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高考押题卷一
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】先利用复数的四则运算求出 ，然后根据复数的几何意义判断即可.
【详解】由题意得 ，
所以复数 在复平面内对应的点为 ，位于第三象限，
故选：C
2．函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判断函数的奇偶性排除B,D，再根据f(1)排除C得解.
【详解】由题得 ，所以函数是奇函数，排除选项B,D.
由题得 ，所以排除选项C.
故选A
【点睛】本题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握
水平，属于基础题.
3．某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如
下的统计图：用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（ ）．
A．57周岁以上参保人数最少
B．18～30周岁人群参保总费用最少
C．C险种更受参保人青睐
D．31周岁以上的人群约占参保人群80％
【答案】B
【分析】根据扇形图、散点图、频率图对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，57周岁以上参保人数所占比例是 ，是最少的，A选项正确.
B选项，“18～30周岁人群参保平均费用”比“57周岁以上人群参保平均费用”的一半还多，
而18～30周岁人群参保人数所占比例是57周岁以上参保人数所占比例的两倍，
所以57周岁以上参保人群参保总费用最少，B选项错误.
C选项，C险种参保比例 ，是最多的，所以C选项正确.
D选项，31周岁以上的人群约占参保人群 ，D选项正确.
故选：B
4．将5名女老师和5名男老师分配到三个社区，每名老师只去一个社区，若每个社区都必须要有女老师，
且有男老师的社区至少有2名女老师，则不同的分配方法有（ ）
A．1880种 B．2940种 C．3740种 D．5640种
【答案】B
【分析】利用分组分配的思路，先分配女老师，根据题目要求，分配男老师，结合分布乘法原理以及分类
加法原理，可得答案.
【详解】5名女老师分配到三个社区，分配的方案有 型与 型，
对于 型，女老师的分配情况有 ，其中只有一个社区女老师的人数超过 ，则 名男老师只
能分配去这个村，即总分配情况为 ；对于 型，女老师的分配情况有 ，其中有两个社区女老师的人数为 ，
则将 名男老师分配去两个社区，则分配方案有 型、 型与 型，则分配情况有
，
即总分配情况为 ；
综上所述， .
故选：B.
5．中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，
斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．下图为一种婚庆升斗的规格，把该
升斗看作一个正四棱台，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（ ）（参考数据：
，参考公式： ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由勾股定理算出高h，即可由公式求体积.
【详解】由题意，正四棱台中，设棱台的高为 ，则
，
故 .
故选：B
6．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】结合指数函数单调性及指数式对数式转换即可判断.
【详解】由 ，∴ ，
.
∴ .
故选：D
7．已知函数 有两条与直线 平行的切线，且切点坐标分别为 ，
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义求出 在 两点处的切线斜率，即可得出 是
的两根，利用韦达定理即可得出 的取值范围.
【详解】根据题意可知 的定义域为 ，所以 ，
易得 ，
由导数的几何意义可得切点为 时，切线斜率为 ,
同理可得， 点处切线斜率为 ；又因为两条切线与直线 平行，可得 ，即
所以 是关于方程 的两根，
所以 ，即 ，又
可得 ；
所以 ，由 可得
即 ，所以 的取值范围是 .
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用导数的几何意义和两直线平行的位置关系得出关于 的等量
关系，再根据函数定义域和韦达定理即可求得表达式的取值范围.
8．若函数 (其中 )存在零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．(1，3] C．(2，3) D．(2，3]
【答案】C
【分析】先判断 ，再判断指数函数 在区间 上无零点，可得函数 在区间
上存在零点，利用对数函数的单调性可得答案.
【详解】由函数的解析式可知 ，
因为指数函数 单调递增，在区间 上无零点，
所以函数 在区间 上存在零点，
由于 单调递增，故当 时，有 ，
从而
所以实数 的取值范围是(2，3)，
故选：C.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，上饶市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为
了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在本市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中
了解冬奥会项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记 为被选中的学校中了解冬奥会项
目的人数在30以上的学校所数，则下列说法中正确的是（ ）
A． 的可能取值为0，1，2，3 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意分析 服从参数为10，4，3的超几何分布，根据超几何分布的性质运算即可对选项一
一验证得出答案.
【详解】由题意可得 的可能取值为0，1，2，3，故A正确；
分析可得 服从参数为10，4，3的超几何分布，
其分布列为 ，
则 ，故B错误；，故C正确；
，故D正确；
故选：ACD.
10．已知函数 ， ， ，函数 的图象在点 和点 处的两条切
线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则下列结论正确的有（ ）
A．函数 只有一个极值
B．若函数 有且只有一个零点，则实数a的取值范围是
C．
D． 的取值范围是（0，1）
【答案】ACD
【分析】作出函数图象可得极值点的个数，判断A，利用函数图象交点问题得解决零点个数问题，判断
B，求出 两点处的导数值即切线斜率，由斜率乘积为 可判断C，利用C的结论计算 并化简后可
判断D．
【详解】作出函数 的图象，由图知函数 只有一个极值，故A正确；
若函数 有且只有一个零点， 的图象与直线 只有一个公共点，则实数a的取值范围
是 ，故B错误；
由题意, ， ，
所以点 和点 ， ，所以 ，所以 ，所以 ，故C正确；
所以直线 的方程为 ，
所以 ，
同理 ，
所以 .所以D正确.
故选：ACD．
11．如图，点 是棱长为1的正方体 中的侧面 上的一个动点（包含边界），则下
列结论正确的是（ ）
A．存在无数个点 满足
B．当点 在棱 上运动时， 的最小值为
C．在线段 上存在点 ，使异面直线 与 所成的角是D．满足 的点 的轨迹长度是
【答案】AD
【分析】对于选项A，利用线面垂直即可判断；对于B，旋转平面 使之与平面 共面，求此时
线段 的长，即可判断；对于C，根据异面直线的定义，可求得该角的最小值，即可判断.对于D，由线
面垂直求得 ，确定点 的轨迹是以 为圆心，半径为 的 圆弧，即可求得答案；
【详解】对A，若M在 上，此时必有 ，证明如下： 平面 ，
所以 ，又 ，所以 平面 ，
所以 ，所以A正确；
对B，如图 ，旋转面 使之与面 共面，
连接 交 于 ，此时 最短为 ，大小为 ，故B错误，
对C， 当 在 和 交点处时，
此时直线 与 所成的角即直线 与 所成角，此时此异面直线所成角最小，其正切值为 ，
即最小角大于 ，故不存在，即C错误，
当点 在平面 内时，由 面 ， 面 ，则 ，
所以有 ，所以 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心，半径为 的 圆弧，
从而动点 轨迹长度为 ，所以D正确.
故选：A D.
12．双曲线具有如下光学性质：如图 ， 是双曲线的左、右焦点，从右焦点 发出的光线m交双曲线
右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点 ．若双曲线C的方程为 ，
下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．当n过 时，光由 所经过的路程为13
C．射线n所在直线的斜率为k，则
D．若 ，直线PT与C相切，则
【答案】CD【分析】对于A：判断出 ，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定
义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的
范围；对于D：设直线PT的方程为 .利用相切解得 ，进而求出 .即可求
出 .
【详解】对于A：若 ，则 .
因为P在双曲线右支上，所以 .由勾股定理得：
二者联立解得： .故A错误；
对于B：光由 所经过的路程为
.
故B错误；
对于C：双曲线 的方程为 .设左、右顶点分别为A、B.如图示：
当 与 同向共线时， 的方向为 ，此时k=0，最小.
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为 .即 .故C正确.
对于D：设直线PT的方程为 .
，消去y可得： .
其中 ，即 ，解得
代入 ，有 ，解得：x=9.
由P在双曲线右支上，即 ，解得： （ 舍去），所以 .
所以 .
故D正确
故选：CD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13． 展开式中含 项二项式系数为__________．
【答案】
【分析】根据二项式系数的定义运算求解.
【详解】 展开式中含 项二项式系数为 .
故答案为：20.
14．已知在 ， ， ， ，则 的面积为__________．
【答案】 ##
【分析】由正弦定理求得AB，由面积公式结合三角恒等变换化简求值.
【详解】由正弦定理得 ， .
.
故答案为：
15．已知函数 的图像向右平移 个单位，可得到函数
的图像，则 =___________.
【答案】
【分析】根据平移后的解析式利用三角恒等变换确定 ，分别说明 与 时，根据
平移后的解析式结合 ，即可求得 的值.【详解】解：函数 的图像向右平移 个单位得到函数
，即函数
又函数 ，
所以 ，则 .
当 时， ，
则 ，所以 ，又 ，所以 ；
当 时， ，
则 ，所以 ，又 ，所以无解；
综上， .
故答案为： .
16．已知抛物线 ，位于第一象限的A、 两点在抛物线 上，焦点为 ，
，则直线 的倾斜角等于___________．
【答案】 ##
【分析】设A、 在准线上的射影分别为 、 ，过A作 于 ，在 中结合抛物线定义，
即可求得 ，即可得倾斜角.
【详解】如图，设A、 在准线上的射影分别为 、 ，由抛物线定义得 ， ，过A作 于 ，
在 中， ， ，所以 ， .
则直线 的倾斜角为 ．
故答案为： .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知等差数列{ }的前三项和为15，等比数列{ }的前三项积为64，且 .
(1)求{ }和{ }的通项公式;
(2)设 ，求数列{ }的前20项和.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据等差，等比数列的性质，分别求公差和公比，即可求得通项公式；
（2）根据（1）的结果求数列 的通项公式，再利用分组求和法，求数列 的前20项和.
【详解】（1）设等差数列的公差为 ，等比数列的公比为 ，
由条件可知， ，得 ， ，
所以 ，等比数列中， ，则 ， ，
所以 ；
（2） ,
对数列 为奇数时， ，
所以数列 的奇数项是首项为2，公差为6的等差数列，
对数列 为偶数， ，
所以数列 的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，
所以数列 的前20项和为：
.
18．如图，在四棱锥 中，底面ABCD为直角梯形，其中 ， ， ，
， 平面ABCD，且 ，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点．
(1)若 ，求证：直线 平面PAB；
(2)求二面角 的余弦值．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明
（2）建系，利用空间向量求二面角.
【详解】（1）取PA的点Q，满足 ，连接MQ，QB，
因为 ，所以 且 ，
又因为 ，且 ，点N为BC中点，即 ，且 ，
所以 且 ，则四边形MQBN为平行四边形，
则 ， 平面PAB， 平面PAB，
所以直线 平面PAB．
（2）如图所示，以点A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z
轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
又N为BC的中点，则 ，
所以 ， ， ， ，
设平面CPD的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
设平面CPN的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以 ，
由题意可得：二面角 的平面为钝角，故其余弦值为 ．
19．已知椭圆 ， 是其左、右焦点， 是其左、右顶点，过 的直线 交椭圆于
两点，且点 在 轴上方， 为坐标原点.
(1)若 轴，求线段 的长；
(2)若 的中点为 ，且点 在以 为直径的圆上，求点 的坐标；(3)若 ，求直线 的方程.
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）由已知可得 方程为 .联立直线与椭圆方程可得 ，即可得出点 、 的坐标，
进而得出 ；
（2）由已知可推得圆方程 ，与椭圆联立可得 ，求出 的值，即可得出点
的坐标；
（3）设直线 的方程为 ，联立直线与椭圆的方程，得到 ，根据韦达
定理得到坐标之间的关系.结合已知可推得 ，结合韦达定理可得 ，整理可
得 .又 ，即可得出 ，进而得出直线方程.
【详解】（1）由已知可得， ， ，所以 .
因为 轴，则 方程为 .
联立直线 与椭圆的方程 ，可得 ，解得 ，
所以 ， ，
所以线段 的长为 .（2）由已知可得， ， ， .
又点 在以 为直径的圆上，此圆心坐标为 ，半径为 ，
所以点 的坐标满足圆方程 ，.
与椭圆方程联立 ，消去 整理可得 ，
解得 或 .
当 时，可得点 的坐标为 ，满足；
当 时，可得点 的坐标为 ，不合题意，舍去.
所以点 的坐标为 .
（3）显然直线 的斜率不等于0，可设过 的直线 的方程为 ，
设 ， .
由 ，得 ，
恒成立，
由韦达定理可得 .
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .代入 可得， ，
代入 可得， ，
所以有 ，整理可得 ，
因为 ，所以 ，所以 .
所以直线 的方程为 .
【点睛】方法点睛：研究直线与椭圆的位置关系时，若已知中出现向量共线，则根据韦达定理得出的坐标
关系，代入向量关系式，化简求解即可.
20．数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，
下表为2018—2022年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份2018—2022对应的代码分别为
1—5．
年份代码x 1 2 3 4 5
车载音乐市场规模y 2.8 3.9 7.3 12.0 17.0
(1)由上表数据知，可用指数函数模型 拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值
精确到0.1）；
(2)综合考虑2023年及2024年的经济环境及疫情等因素，某预测公司根据上述数据求得y关于x的回归方
程后，通过修正，把 作为2023年与2024年这两年的年平均增长率，请根据2022年中国车载音乐市
场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中国车载音乐市场规模．
参考数据：
1.94 33.82 1.7 1.6其中 ， ．
参考公式：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘
估计公式分别为 ， ．
【答案】(1)
(2) （十亿元）
【分析】（1）由 得 ，由回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式求得
，从而求得y关于x的回归方程.
（2）两年的年平均增长率为0.3，故2024年的中国车载音乐市场规模为
【详解】（1）因为 ，所以两边同时取常用对数，得 ，设 ，所以
，设 ，
因为 ，所以
，
所以
所以
所以
（2）由题意知2023年与2024年这两年的年平均增长率 ，2022年中国车载音乐市场规模为1.7，
故预测2024年的中国车载音乐市场规模 （十亿元）.
21．已知函数 的定义域为区间 ，若对于给定的实数 ，存在 ，使得
，则称函数 在区间 上具有性质 .
(1)判断函数 在区间 上是否具有性质 ，并说明理由；
(2)若函数 在区间 上具有性质 ，求实数 的取值范围；
(3)若函数 的图像是一条连续不断的曲线，且 ，求证：函数 在区间 上具有
性质 .
【答案】(1)具有，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由题可得 ，则 ，结合条件即可判断；
（2）由 ，解得 ， （ ），可得 ；
（3）设 ， ，可得
，
当 中有一个为 时，可得 ，即证；
当 中均不为 时，由于其和为 ，则其中必存在正数和负数，不妨设
，结合条件可知，存在 ，使得 ，即证.【详解】（1）函数 在 上具有性质 ，理由如下，
若 ，则 ，
因为 ，且 ，
所以函数 在 上具有性质 ．
（2）由题意可知，存在 ，使得 ，
即 ，由余弦函数性质得 （ ），
得 ．
因为 ，所以 ．
又因为存在 且 （ ），
所以 ，即实数 的取值范围是 ．
（3）设 ， ．
则 ， ， ，…，
，…， （ ）．
以上各式相加得 ，
即 （ ）．
①当 中有一个为 时，
不妨设 ， ，即 ，
即 ， ，所以函数 在区间 上具有性质 ．
②当 中均不为 时，由于其和为 ，
则其中必存在正数和负数，不妨设 ，
其中 ， ．
由于函数 的图像是连续不断的曲线，
所以当 时，至少存在一个实数
（当 时，至少存在一个实数 ），其中 ，
使得 ，即 ，
即存在 ，使得 ，
所以函数 在区间 上也具有性质 ．
综上，函数 在区间 上具有性质 ．
22．已知函数 ．
(1)证明函数 有唯一极小值点；
(2)若 ，求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先求函数的导数，利用求根公式，判断函数的单调区间，再证明函数存在极小值点；
（2）首先不等式整理为 ，再构造函数 ， ，利用导数求函
数的最值，即 和 ，即可证明不等式.【详解】（1）函数 的定义域为 ， ．
对于方程 ， ．
解方程 ，
可得 ， ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以函数 有唯一极小值点．
（2）要证明 ，
即证 ，
即证 ，即证 ．
令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递减；
当 时， ，此时函数 单调递增．
所以 ．
构造函数 ，其中 ， ，
则 ．当 时， ，此时函数 单调递增；
当 时， ，此时函数 单调递减．
所以 ，则 ，
所以 ．
故原不等式得证．
