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第七周
[周一]
1．(2022·广州模拟)从①－＝－5；②S＝S－8；③a＝1这三个条件中任选一个，补充在下
8 4 5
面的问题中，并作答．
问题：已知等差数列{a}的前n项和为S，S＝9，且________，求数列{|a|}的前n项和T.
n n 1 n n
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 设数列{a}的公差为d.
n
选①－＝－5.
因为－＝－
＝＝，
所以＝－5，
解得d＝－2，
又a＝S＝9，
1 1
所以a＝－2n＋11，
n
S＝＝－n2＋10n.
n
当1≤n≤5时，a>0，T＝S＝－n2＋10n；
n n n
当n≥6时，a<0，
n
T＝S－(S－S)＝2S－S＝n2－10n＋50.
n 5 n 5 5 n
综上所述，T＝
n
选②S＝S－8，
8 4
因为a＝S＝9，S＝8a＋28d，S＝4a＋6d，
1 1 8 1 4 1
所以S－S＝4a＋22d＝－8，
8 4 1
解得d＝－2.
下同①.
选③a＝1，
5
因为a＝S＝9，a＝a＋4d＝1，
1 1 5 1
所以d＝－2.
下同①.
[周二]
2．(2022·南京师大附中模拟)自1980年以来我国逢整十年进行一次人口普查，总人口等指标
与年份如下表所示：
指标 1980 1990 2000 2010 2020年份数x 1 2 3 4 5
总人口y(亿) 9.8 11.3 12.6 13.4 14.1
(1)建立总人口y关于年份数x的线性回归方程；
(2)某市某街道青年人(15－35岁)、中年人(36－64岁)与老年人(65岁及以上)的比例约为
3∶2∶1，为了比较中青年人与老年人的购物方式，街道工作人员按比例随机调查了 120位
居民，购物方式统计如下表所示：
实体店购物 网上购物 电视购物 其他
青年人 15 35 4
中年人 15 8 2
老年人 2 2 1
将实体店购物视作传统购物方式，网上购物、电视购物和其他视作新兴购物方式．根据所给
数据和上表，完成下面的2×2列联表：
传统购物方式 新兴购物方式 总计
中青年人
(15－64岁)
老年人
(65岁及以上)
总计
并请判断是否有99.9%的把握认为该街道居民购物方式与其是否为老年人有关？
参考公式：b＝＝，a＝－b；K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.参考数据：＝12.24，y＝194.3.
i i
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
0
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
0
解 (1)由题意得＝＝3，＝12.24，＝12＋22＋32＋42＋52＝55，
故b＝＝＝1.07，
则a＝－b＝12.24－1.07×3＝9.03，
故总人口y关于年份数x的线性回归方程为y＝1.07x＋9.03.
(2)由题意可得，该街道中青年人与老年人的比例为5∶1，所以调查的120位居民中，老年
人有20位，故得列联表如下.
传统购物方式 新兴购物方式 总计
中青年人
30 70 100
(15－64岁)老年人
15 5 20
(65岁及以上)
总计 45 75 120
故K2＝＝14.4>10.828，
所以有99.9%的把握认为该街道居民购物方式与其是否为老年人有关．
[周三]
3．如图1，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB＝AD＝2BC＝2，∠ABC＝，E为AD的中点．
以BE为折痕将△ABE折起，使点A到达点P的位置，连接PD，PC，如图2.
(1)证明：平面PED⊥平面BCDE；
(2)当PC＝2时，求点D到平面PEB的距离．
(1)证明 因为在梯形ABCD中，∠ABC＝，所以∠BAE＝，
在△ABE中，AB＝2，AE＝1，所以BE＝＝，
所以AE2＋BE2＝AB2，即∠AEB＝，则梯形ABCD为直角梯形．
因为BE⊥ED，BE⊥PE，PE∩ED＝E，PE，ED⊂平面PED，
所以BE⊥平面PED，
又因为BE⊂平面BCDE，
所以平面PED⊥平面BCDE.
(2)解 因为平面PED⊥平面BCDE，平面PED∩平面BCDE＝ED，CD⊥ED，CD⊂平面
BCDE，所以CD⊥平面PED，
又PD⊂平面PED，所以CD⊥PD，CD＝，
所以PD＝＝1，
即△PED为等边三角形．
取ED的中点F，连接PF，BD，如图所示，因为PE＝PD，F为ED的中点，所以PF⊥ED.
因为平面PED⊥平面BCDE，平面PED∩平面BCDE＝ED，PF⊂平面PED，所以PF⊥平
面BCDE，
PF＝＝，S ＝S ＝×1×＝，
△EBD △PEB
设点D到平面PEB的距离为h，
因为V ＝V ，
D－PEB P－EBD
所以××h＝××，解得h＝.
即点D到平面PEB的距离为.
[周四]
4．(2022·临沂模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为，
1 2
A为C的左顶点，且AF1·AF2＝－5.
(1)求C的方程；
(2)若动直线l与C恰有1个公共点，且与C的两条渐近线分别交于点M，N.求证：点M与
点N的横坐标之积为定值．
(1)解 易知点A(－a,0)，F(－c,0)，F(c,0)，
1 2
AF1＝(－c＋a,0)，AF2＝(c＋a,0)，
所以
解得a＝2，c＝3，
则b＝＝，
所以双曲线C的方程为－＝1.
(2)证明 分以下两种情况讨论：
①当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝±2，此时点M，N的横坐标之积为22＝4；
②当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝kx＋m，
由题意可知直线l不与双曲线C的渐近线平行或重合，即k≠±，
设点M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
联立
可得(5－4k2)x2－8kmx－4m2－20＝0，
令Δ＝64k2m2＋4(5－4k2)(4m2＋20)＝0，
可得4k2＝m2＋5，
则m≠0，
不妨令点M，N分别为直线l与直线y＝x，y＝－x的交点，
联立可得x＝，
1
联立可得x＝－，
2此时xx＝＝＝＝4.
1 2
综上所述，点M与点N的横坐标之积为定值．
[周五]
5．(2022·深圳模拟)已知函数f(x)＝ex－ax＋sin x－1.
(1)当a＝2时，求函数f(x)的极值点；
(2)当1≤a<2时，试讨论函数f(x)的零点个数．
解 (1)当a＝2时，f(x)＝ex－2x＋sin x－1，
则f′(x)＝ex－2＋cos x，
令g(x)＝ex－2＋cos x，
则g′(x)＝ex－sin x.
当x∈(0，＋∞)时，ex>1，
∴g′(x)>1－sin x≥0,
∴f′(x)＝g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f′(x)>f′(0)＝0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
当x∈(－∞，0]时，可得ex≤1，
∴f′(x)＝ex－2＋cos x≤－1＋cos x≤0，
∴f(x)在(－∞，0]上单调递减，
综上，函数f(x)的极值点为x＝0.
(2)当x＝0时，f(0)＝e0－0－1＋sin 0＝0，
∴x＝0是f(x)的一个零点，
令h(x)＝f′(x)＝ex－a＋cos x,1≤a<2，
则h′(x)＝ex－sin x.
①当x∈(0，＋∞)时，ex>1，
∴h′(x)>1－sin x≥0，
∴f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f′(x)>f′(0)＝2－a>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)>f(0)＝0，此时f(x)在(0，＋∞)上无零点．
②当x∈(－∞，－π]时，－ax≥π，
有f(x)＝ex－ax＋sin x－1≥ex＋π＋sin x－1>0，
此时f(x)在(－∞，－π]上无零点．
③当x∈(－π，0)时，
sin x<0，h′(x)＝ex－sin x>0，∴f′(x)在(－π，0)上单调递增，
又f′(0)＝2－a>0，f′(－π)＝e－π－a－1<0，
由零点存在定理知，存在唯一的x∈(－π，0)，
0
使得f′(x)＝0.
0
当x∈(－π，x)时，f′(x)<0，f(x)在(－π，x)上单调递减；
0 0
当x∈(x，0)时，f′(x)>0，f(x)在(x，0)上单调递增，
0 0
又f(－π)＝e－π＋aπ－1>0，f(x)5的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)<有解，求实数m的取值范围．解 (1)当a＝1时，f(x)＝|x＋2|＋|1－x|＝
即f(x)＝
当x≤－2时，由－2x－1>5，解得x<－3；
当－21时，由2x＋1>5，解得x>2.
故f(x)>5的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)．
(2)当x∈R时，f(x)＝|ax＋2|＋|－ax＋1|≥|ax＋2－ax＋1|＝3恒成立，故f(x) ＝3，又f(x)<有
min
解，即3<，故0
