文档内容
第三周
[周一]
1．(2022·广州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos C＋
ccos A＝，a＝b，记△ABC的面积为S.
(1)求a；
(2)请从下面的三个条件中任选一个，探究满足条件的△ABC的个数，并说明理由．
条件：①S＝(a2＋c2－b2)；②bcos A＋a＝c；③bsin A＝acos.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 (1)在△ABC中，因为acos C＋ccos A＝，
所以a·＋c·＝，
解得b＝，
所以a＝b＝.
(2)选择①，S＝(a2＋c2－b2)，
则acsin B＝(a2＋c2－b2)，
所以acsin B＝×2accos B，
化简得tan B＝.
又0b，所以A＝或A＝，
故满足条件的△ABC的个数为2.
选择②，bcos A＋a＝c，
则sin Bcos A＋sin A＝sin C，
即sin Bcos A＋sin A＝sin(A＋B)，
化简得sin A＝sin Acos B，
因为sin A≠0，
所以cos B＝，
解得B＝.
由＝，
得sin A＝＝1，
所以A＝，故满足条件的△ABC的个数为1.选择③，bsin A＝acos，
则sin Bsin A＝sin Acos.
又sin A≠0，所以sin B＝cos，
所以sin B＝cos B＋sin B，
化简得tan B＝.
又01，无解，不存在满足条件的三角形．
[周二]
2．(2022·泸州模拟)为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经
济”的举措．某市城管委对所在城市约6 000个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为
小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图．
(1)该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取 100个进行政策问
询．如果按照分层抽样的方式随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？
(2)为了更好地了解商户的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近40天的日收入进行了
统计(单位：元)，得到如图所示的频率分布直方图．
①请根据频率分布直方图估计该果蔬经营点的日平均收入(同一组中的数据用该组区间的中
点值为代表)；
②若从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中随机抽取两天，求这两天的日收入至多有
一天超过250元的概率．
解 (1)由题意知，小吃类所占比例为1－25%－15%－10%－5%－5%＝40%，
按照分层抽样的方式随机抽取，应抽取小吃类商贩100×40%＝40(家)，
果蔬类商贩100×15%＝15(家)．
(2)①该果蔬经营点的日平均收入为
(75×0.002＋125×0.009＋175×0.006＋225×0.002＋275×0.001)×50＝152.5(元)．
②该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为(0.002＋0.001)×50×40＝6(天)，其中超过250元的有两天，记日收入超过250元的两天为a ，a ，其余四天为b ，b ，b ，b ，随机抽取
1 2 1 2 3 4
两天的所有可能情况为(a ，a)，(a ，b)，(a ，b)，(a ，b)，(a ，b)，(a ，b)，(a ，b)，
1 2 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2
(a，b)，(a，b)，(b，b)，(b，b)，(b，b)，(b，b)，(b，b)，(b，b)，共15种，
2 3 2 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
至多有一天超过250元的对立事件为两天都超过250元，即对应的情况为(a，a)，共1种．
1 2
所以这两天的日收入至多有一天超过250元的概率为1－＝.
[周三]
3.(2022·大庆模拟)如图所示，在正方体ABCD－ABC D 中，棱长为2，且E，F分别为棱
1 1 1 1
BB，DD 的中点．
1 1
(1)求证：AE∥平面BC F；
1
(2)求四面体A－BC F的体积．
1
(1)证明 如图，取CC 的中点G，连接DG，EG，
1
因为ABCD－ABC D 是正方体，点G和E为所在棱的中点，
1 1 1 1
所以 AD∥EG，AD＝EG，所以四边形 AEGD 为平行四边形，所以 AE∥DG，在正方形
CDD C 中，点G和F为所在棱的中点，所以 C F∥DG，所以AE∥FC ，又因为AE⊄平面
1 1 1 1
BC F，C F⊂平面BC F，所以AE∥平面BC F.
1 1 1 1
(2)解 因为AE∥平面BC F，
1
所以 ，
在四面体F－BC E中，
1
＝BE·C B＝×1×2＝1，
1 1
又点F到平面BC E的距离为2，
1
所以 ＝×1×2＝.
[周四]
4．(2022·广州模拟)已知圆(x＋1)2＋y2＝16的圆心为A，点P是圆A上的动点，点B是抛物
线y2＝4x的焦点，点G在线段AP上，且满足|GP|＝|GB|.
(1)求点G的轨迹E的方程；(2)不过原点的直线l与(1)中轨迹E交于M，N两点，若线段MN的中点Q在抛物线y2＝4x上，
求直线l的斜率k的取值范围．
解 (1)易知A(－1,0)，
∵点B是抛物线y2＝4x的焦点，
∴B(1,0)，
依题意|GA|＋|GB|＝|AP|＝4>2＝|AB|，
∴点G的轨迹是一个椭圆，其焦点分别为A，B，长轴长为4，
设该椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
则2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，
∴b2＝a2－c2＝3，
故点G的轨迹E的方程为＋＝1.
(2)易知直线l的斜率存在，
设直线l：y＝kx＋t(k≠0，t≠0)，M(x，y)，
1 1
N(x，y)，Q(x，y)，
2 2 0 0
由
得(4k2＋3)x2＋8ktx＋4t2－12＝0，
∵Δ＝(8kt)2－4(4k2＋3)(4t2－12)>0，
即4k2－t2＋3>0，①
又x＋x＝－，
1 2
xx＝，
1 2
故Q，
∵Q在抛物线y2＝4x上，
∴将Q点的坐标
代入y2＝4x，
得t＝－(k≠0)，②
将②代入①，得162k2(4k2＋3)<81，
4×162k4＋3×162k2－81<0，
即k4＋k2－2<0，
即<0，
即k2－<0，∴－0恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当m>0时，令f′(x)>0，解得x>m，
令f′(x)<0，解得00时，f(x)的单调递增区间为(m，＋∞)，单调递减区间为(0，m)．
(2)若要ex－1－ax2≥－axln x，
只需≥a(x－ln x)，
即需要ex－ln x－1≥a(x－ln x)恒成立．
设t(x)＝x－ln x，x>0，
由(1)知t(x)在(0,1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增，
所以t(x)≥t(1)＝1，
于是需要et－1≥at，t≥1恒成立，
即≥a，t≥1恒成立．
设h(t)＝，t≥1，
则h′(t)＝≥0恒成立，
所以h(t) ＝h(1)＝1，则a≤1，即a∈(－∞，1]．
min
[周六]
6．[坐标系与参数方程]
(2022·信阳模拟)已知圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－7＝0，直线l过坐标原点O，
以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系解答以下问题．
(1)求圆C的极坐标方程f(ρ，θ)＝0；
(2)设l与C交于A，B两点，当|AB|＝2时，求直线l的极坐标方程．
解 (1)圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－7＝0，根据转化为极坐标方程为
ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－7＝0，
所以圆C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－7＝0.
(2)因为直线l过坐标原点O，所以直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)，其中α为直线l的倾
斜角，
由于直线l与圆C相交，故由
消去θ整理得，
ρ2－2(cos α＋sin α)ρ－7＝0, 设A，B两点所对应的极径分别为ρ，ρ，
1 2
则ρ＋ρ＝2(cos α＋sin α)，ρρ＝－7，
1 2 1 2
因为|AB|＝2，
所以|ρ－ρ|＝＝＝2，整理得sin 2α＝－1，
1 2
又0≤α<π，所以0≤2α<2π，所以2α＝，即α＝，
所以直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
6．[不等式选讲]
(2022·遂宁模拟)已知x，y为任意实数，有a＝2x＋y，b＝2x－y，c＝y－1.
(1)若4x＋y＝2，求a2＋b2＋c2的最小值；
(2)求|a|，|b|，|c|三个数中最大数的最小值．
解 (1)由题意知a＝2x＋y ，b＝2x－y，c＝y－1，
∵4x＋y＝2 ，∴y＝2－4x，
则a2＋b2＋c2
＝4－8x＋4x2＋36x2－24x＋4＋1－8x＋16x2
＝56x2－40x＋9＝562＋ ，
∴当x＝时，a2＋b2＋c2 取得最小值为.
(2)由条件a＝2x＋y，b＝2x－y，c＝y－1，
可得a－b－2c＝2，
设M ＝{|a|，|b|，|c|} ，则M≥|a|，M≥|b|，M≥|c| ,4M≥|a|＋|b|＋2|c|≥|a－b－2c|＝2，
max
∴M≥，∴|a|，|b|，|c|三个数中最大数的最小值为.
