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专题03 导数小题压轴
压轴分析
高考数学中，导数小题往往以压轴题形式出现，其难点不仅在于计算，更在于对导数工具的综合运
用与代数结构的深度解析。真正的压轴难点在于将几何直观、代数变形与极限分析融为一体，考查
学生在复杂情境下选择与转化策略的能力。命题人常通过含参函数、切线及公切线、隐零点、极值
点偏移等情境设置障碍，其核心是检验学生能否突破形式限制，洞察问题本质，灵活选取求导、构
造、放缩、数形结合等方法。解题的关键在于建立“分析-转化-求解链”：首先分析题目结构，识
别其属于单调性、极值、零点或不等式中的哪一类问题；然后通过求导、换元、分离参数等手段进
行代数转化；最后结合函数性质、极限思想或特殊点取值完成严谨推理。掌握“结构识别→方法选
择→严谨推证”的思想路径，方能从抽象问题中构建清晰、简洁的解答框架。
知识总结
1. 函数切线相关问题
核心问题
关键方程/结论
说明
求切线方程（在某点）y −f ( x0)= f
′( x0)( x −x0)
已知切点 ( x0,f ( x0))，利用导数求斜率
求切线方程（过某点）
设切点 ( x0,f ( x0))，列方程：
1. 斜率 k = f
′( x0)
2. 点斜式：
y P−f ( x0)= f
′( x0)( xP−x0)
点 P( xP, y P) 为曲线外一点，通过解方程
求 x0
公切线问题
设两曲线 y = f ( x) 与 y = g( x)
若存在公切线，设切点分别为 (a,f (a))
, (b, g(b))
则：
1. 斜率相等： f
′(a)= g
′(b)
2. 切线重合：
f (a)−f
′(a)a= g(b)−g
′(b)b
转化为关于 a,b 的方程组，讨论解的存在
性
常用切线放缩（不等
式）
e
x≥x +1（当且仅当 x =0 取等）
ln x ≤x−1（当且仅当 x =1 取等）
sin x ≤x（当 x ≥0 时）
cos x ≥1−x
2
2
利用切线构造不等式桥梁，是比大小与证明
题的重要工具
2. 导数与函数性质
2.1 单调性
在区间I 上：f
′( x)>0⇒f ( x) 单调递增；f
′( x)<0⇒f ( x) 单调递减
关键步骤：先求 f
′( x)，再解不等式 f
′( x)>0 或 f
′( x)<0 确定单调区间。含参时需分类讨论导数的符
号。
2.2 极值与最值
极值的必要条件：若 f ( x) 在 x0
处可导且取得极值，则 f
′( x0)=0。
极值的第一充分条件：通过 f
′( x) 在 x0
两侧的符号变化判断。
极值的第二充分条件：若 f
′( x0)=0 且 f
′ ′( x0)≠0，则：
f
′ ′( x0)>0⇒极小值；f
′ ′( x0)<0⇒极大值
求连续函数在闭区间 [a,b] 上的最值：比较端点值 f (a),f (b) 和所有极值点的函数值。
3. 导数与函数的零点（方程的根）
3.1 零点存在性定理（结合单调性）
若 f ( x) 在 [a,b] 上连续，且 f (a)⋅f (b)<0，则 f ( x) 在 (a,b) 内至少有一个零点。若再配合
f ( x) 在 [a,b] 上严格单调，则零点唯一。
3.2 “隐零点”问题的处理
当方程 f
′( x)=0 的解 x0
无法精确求出时：
1. 设 x0
为 f
′( x)=0 的根，并确定其大致范围（如 x0∈(m,n)）。
2. 将 f ( x0) 用 x0 满足的方程（如 e
x0= 2
x0
）进行代换化简。
3. 将 f ( x0) 转化为关于 x0 的新函数 h( x0)，利用其单调性估计范围或符号。
4. 常见不等式证明与放缩
目标
常用方法
证明 f ( x)>0（恒成立）1. 求 f min ( x)，证明最小值 >0
2. 利用常见不等式（如切线放缩）进行放缩
证明存在 x0 使
f ( x0)>0
寻找特殊点代入，或利用极限思想（如 x→+ ∞ 时
f ( x)→+ ∞）
含参不等式恒成立
1. 分离参数： a>g( x) 恒成立 ⇒a>gmax ( x)
2. 不分离参数：讨论函数 f ( x ,a) 的最值，对 a 分类讨论
5. 解题流程要点
1. 结构识别：审题判定问题属于切线、单调性、极值、零点、不等式中的哪一类或哪几类的综合。
2. 方法选择：
切线问题：关注“切点”、“斜率”、“点在线上”的几何条件。
单调性/极值：求导，讨论 f
′( x) 符号。
零点问题：结合单调性与零点存在定理，或转化为两函数图像交点。
不等式证明：考虑最值法、放缩法或构造函数法。
3. 严谨推证：含参问题注意分类讨论的完整性；利用导数工具时，定义域优先；涉及极限、趋近过
程时，表述需严谨。
典例精讲
【典例1】
（24-25 高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线
与
的公共切线，则直线
的方程可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
1．已知直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则a 的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·山东临沂·期中）已知曲线
与
有公共切线，求实
数a 的取值范围是
【典例2】
（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数
，若曲线
与
有两条
公切线，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
1．（24-25 高二下·湖北·月考）从点
可向曲线
引三条不同切线，则a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·山东济宁·期中）已知函数
，过点
可作出曲线
的三条切
线，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】
（24-25 高二下·辽宁沈阳·月考）已知
，若0 是
的极小值点，则a 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知
，若0 是
的极小值点，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·四川巴中·模拟预测）已知
有两个极值点
，且
，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例4】
（2025·山东烟台·三模）若不等式
恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
1．（2025·全国·模拟预测）若对任意
，满足
恒成立，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·安徽六安·月考）若不等式
对
恒成立，则
的最大值为
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【典例5】
（2025·山东青岛·模拟预测）若函数
有2 个零点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
1．（2025·重庆·模拟预测）已知
，若函数
存在两个零点，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·江西·二模）已知函数
恰有2 个零点，则实数a 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例6】
（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知
，若
有唯一解，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
1．（2025·甘肃·模拟预测）若关于
的不等式
有且只有两个整数解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例7】
（2025·江西新余·模拟预测）（多选）已知函数
，下列四个结论中正确的有（ ）
A．当
时，
有两个极值点
B．当
时，
恒成立
C．若
有两个不同的根，则
D．若
有两个根
，则
会一题通一类
1．（2025·江西新余·模拟预测）（多选）已知函数
，则（ ）
A．若
，则
B．
可以有2 个极值点
C．若
，则
是增函数
D．若
有两个零点
，则
2．（25-26 高三上·江苏苏州·开学考试）（多选）已知函数
.（ ）
A．
在
上单调递增
B．
是奇函数
C．过点
可作曲线
的两条切线
D．当
时，
恒成立
热点预测
1．（25-26 高三上·重庆·开学考试）若函数
满足
，且
，
则
的极大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数
，若
对任意的
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·江苏镇江·模拟预测）若函数
在
上有极值，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·北京朝阳·二模）已知函数
，曲线
在点
处的切线方程
为
，设函数
，则（ ）
A．当
时，
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
5．（25-26 高三上·四川绵阳·月考）已知函数
恰有4 个零点，则
实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·云南玉溪·模拟预测）（多选）函数
有两个零点
，下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·安徽·模拟预测）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
，使得
为单调函数
B．
，
的图象恒有对称中心
C．当
时，
D．若
，
，
是方程
的三个不同的根，则
8．（2025·辽宁大连·一模）（多选）记
的导函数
，下列说法正确的是
（ ）
A．
在
上一定有3 个极值点
B．
在
上一定有4 个零点
C．过
上一点作切线
，若存在三个点的切线斜率相同，则k 的取值范围为
D．记
，则
一定是偶函数
9．（24-25 高二下·山东济南·期末）过点
可以作曲线
的三条切线，则实数a 的取值范围
是 ．
10．（2025·河南·模拟预测）某正六棱柱外接球的表面积为
，则该正六棱柱的体积的最大值为
.
模拟训练
一、单选题
11．（2025·山东·模拟预测）已知函数
，曲线
上存在不同的两点，使得曲线
在这两点处的切线都与直线
垂直，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2025·辽宁·三模）若
是函数
的极大值点，则实数
的取值集合为
（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2025·湖南长沙·模拟预测）若曲线
与
有公共的切线，则
的最大值为
（ ）
A．-2
B．2
C．-1
D．1
14．（25-26 高三上·山东聊城·月考）已知函数
，当
时，函数
极值点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
15．（2025·浙江丽水·一模）若关于
的方程
恰有四个不同的实根
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2025·四川成都·一模）若函数
存在最大值
，且满足
恒
成立，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2025·四川德阳·模拟预测）任意实数
，函数
在
上有最值，
则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（24-25 高二下·江西南昌·期中）过点
可以做三条直线与曲线
相切，则实数的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
19．（2025·四川·三模）已知
是函数
的极大值点，则（ ）
A．函数
的极小值为0
B．若
，则
C．若
，则
有3 个相异的零点
D．若
（其中
），则
20．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数
有极值，且导函数
的极值点
是
的零点，则（ ）
A．
B．
C．
的最小值为
D．
21．（2025·全国·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．若
是
的极小值点，则
在
上单调递减
B．若
存在极值点
，且
（其中
），则
C．若
，过点
作函数
的切线最多有2 条
D．若
在
上的最大值为
，则
的最小值为2
22．（25-26 高三上·海南海口·开学考试）已知函数
，
为
的导数，则
下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
恒成立
B．当
时，
在区间
单调递减
C．当
时，
在区间
上存在唯一极小值点
D．当
时，
有2 个零点
23．（2025·安徽合肥·一模）已知
分别为
与
的零点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（2025·浙江金华·一模）已知函数
在
处取得极小值，
为其导函数，
则（ ）
A．
B．
C．
的解集为
D．
三、填空题
25．（2025·海南·一模）已知函数
，过点
有三条直线与
的图象相切，则实数
的取值范围为 .
