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专题22 导数及其应用解答题（二）
（证明不等式、恒成立与有解、零点与方程的根、双变量问题）
（六大考点，53 题）
考点分类
十年考情（2017-2026）
命题规律
考点01 利用导数
证明不等式
2026 天津、2025 天津/全国二卷、
2024 全国甲卷、2023 上海/天津、
2022 新高考Ⅱ卷、2021 全国乙/新
高考Ⅰ、2020 浙江/江苏、2019 北
京/天津、2018 全国Ⅰ/Ⅲ、2017
全国Ⅱ/浙江/江苏
1.导数大题高频压轴问，综合性
强，区分度高。
2.题型分为单变量不等式、数列不
等式、双变量不等式证明；常用构
造函数、最值放缩、拆分函数方
法。
3.函数以指数、对数复合型为主，
常结合极值、零点辅助推导。
考点02 恒成立问
题
2026 全国二卷、2025 北京、2024
新课标Ⅰ/全国甲/天津、2023 全
国甲、2022 全国甲、2020 全国
Ⅰ/海南、2019 全国Ⅰ、2017 天
津/全国Ⅰ/Ⅱ
1.高考导数核心必考题型，常求参
数取值范围。
2.常规解法：分离参数、分类讨
论、端点效应；分为全体区间恒成
立、给定区间恒成立两类。
3.常与最值、极值结合，是连接切
线、单调性与压轴证明的过渡题
型。
考点03 有解问题
2021 天津、2018 天津
1.中档衍生题型，考查频次低于恒
成立，常配套出现。
2.核心逻辑：存在解等价于函数最
值满足对应不等式，区分“
有
∃
解”与“
恒成立”逻辑差异。
∀
3.多结合公切线、切线存在性背景
出题。
考点04 零点问题
2022 全国乙、2021 新高考Ⅱ/浙
江、2020 全国Ⅰ/Ⅲ、2019 全国
Ⅰ、2018 全国Ⅱ、2017 全国Ⅰ
1.导数经典重难点，压轴高频考
点。
2.考向：零点个数判定、零点分
布、零点范围证明、多零点之间关
系。
3.依靠单调性、极值符号、极限趋
势数形结合分析。
考点05 图象交点
与方程的根
2026 北京、2022 天津/新高考Ⅰ、
2021 全国甲、2019 全国Ⅱ、2018
浙江
1.零点问题等价变形题型，两曲线
交点即方程根。
2.常考交点个数、交点横坐标等量
关系（等差、倒数）、直线与曲线
公共点。
3.可转化为单函数零点问题求解。
考点06 双变量问
题
2022 浙江、2020 天津
1.导数压轴难点，试卷区分度拉
满。
2.两类典型考法：双切线切点问
题、任意两个自变量比较大小/证
明不等式。
3.解题核心：统一变量构造新函
数，消元转化为单变量函数分析。
考点01 利用导数证明不等式
1. （2026·天津·高考真题）已知
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，证明
；
(3)求实数
的最大可能值，使得
对任意的
都成立．
2. （2025·天津·高考真题）已知函数
(1)
时，求
在点
处的切线方程；
(2)
有3 个零点，
且
.
（i）求a 的取值范围；
（ii）证明
．
3. （2025·全国二卷·高考真题）已知函数
，其中
．
(1)证明：
在区间
存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设
分别为
在区间
的极值点和零点.
（i）设函数
.证明：
在区间
单调递减；
（ii）比较
与
的大小，并证明你的结论．
4. （2024·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)当
时，证明：当
时，
恒成立．
5. （2023·上海·高考真题）令
，取点
过其曲线
作切线交y 轴于
，取点
过其作切线交y 轴于
，若
则停止，以此类推，得到数列
．
(1)若正整数
，证明
；
(2)若正整数
，试比较
与
大小；
(3)若正整数
，是否存在k 使得
依次成等差数列？若存在，求出k 的所有取值，若不存在，试
说明理由．
6. （2023·天津·高考真题）已知函数
．
(1)求曲线
在
处的切线斜率；
(2)求证：当
时，
；
(3)证明：
．
7. （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，
，求a 的取值范围；
(3)设
，证明：
．
8. （2021·全国乙卷·高考真题）设函数
，已知
是函数
的极值点．
（1）求a；
（2）设函数
．证明:
．
9. （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）设
，
为两个不相等的正数，且
，证明：
.
10. （2020·浙江·高考真题）已知
，函数
，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数
在
上有唯一零点；
（Ⅱ）记x0为函数
在
上的零点，证明：
（ⅰ）
；
（ⅱ）
．
11. （2020·江苏·高考真题）已知关于x 的函数
与
在区间D 上恒有
．
（1）若
，求h(x)的表达式；
（2）若
，求k 的取值范围；
（3）若
求
证：
．
12. （2019·北京·高考真题）已知函数
.
（Ⅰ）求曲线
的斜率为1 的切线方程；
（Ⅱ）当
时，求证：
；
（Ⅲ）设
，记
在区间
上的最大值为M（a），当M（a）最小时，
求a 的值．
13. （2019·天津·高考真题）设函数
为
的导函数.
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）当
时，证明
；
（Ⅲ）设
为函数
在区间
内的零点，其中
，证明
.
14. （2018·全国III 卷·高考真题）已知函数
．
（1）若
，证明：当
时，
；当
时，
；
（2）若
是
的极大值点，求
．
15. （2018·全国III 卷·高考真题）已知函数
．
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）证明：当
时，
．
16. （2018·全国I 卷·高考真题）已知函数
．
（1）设
是
的极值点．求
，并求
的单调区间；
（2）证明：当
时，
．
17. （2017·全国II 卷·高考真题）已知函数
且
.
（1）求a；
（2）证明：
存在唯一的极大值点
，且
.
18. （2017·浙江·高考真题）已知数列
满足：
，
证明：当
时，
（I）
；
（II）
；
（III）
.
19. （2017·江苏·高考真题）已知函数
有极值，且导函数
的极值点
是
的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：b²>3a;
（3）若
，
这两个函数的所有极值之和不小于
，求a 的取值范围．
考点02 恒成立问题
1. （2026·全国二卷·高考真题）已知函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
，
；
(2)当
时，
，求
的取值范围；
(3)当
时，
，求
的最小值．
2. （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
(1)若
，且
，求
的最小值；
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
(3)若
当且仅当
，求
的取值范围．
3. （2025·北京·高考真题）已知函数
的定义域是
，导函数
，设是
曲线
在点
处的切线．
(1)求
的最大值；
(2)当
时，证明：除切点A 外，曲线
在直线的上方；
(3)设过点A 的直线
与直线垂直，，
与x 轴交点的横坐标分别是
，
，若
，求
的
取值范围．
4. （2024·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
5. （2024·天津·高考真题）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
对任意
成立，求实数
的值；
(3)若
，求证：
．
6. （2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
，求
的取值范围．
7. （2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
8. （2022·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)若
，求a 的取值范围；
(2)证明：若
有两个零点
，则
．
9. （2020·全国I 卷·高考真题）已知函数
.
（1）当a=1 时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0 时，f（x）≥
x3+1，求a 的取值范围.
10. （2020·海南·高考真题）已知函数
．
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式
恒成立，求a 的取值范围．
11. （2019·全国I 卷·高考真题）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x [0
∈
，π]时，f（x）≥ax，求a 的取值范围．
12. （2017·天津·高考真题）设
，
.已知函数
，
.
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）已知函数
和
的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，
（i）求证：
在
处的导数等于0；
（ii）若关于x 的不等式
在区间
上恒成立，求b 的取值范围.
13. （2017·全国II 卷·高考真题）设函数
.
（I）讨论函数
的单调性；
（II）当
时，
，求实数
的取值范围.
14. （2017·全国I 卷·高考真题）已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≥0，求a 的取值范围.
考点03 有解问题
1. （2021·天津·高考真题）已知
，函数
．
（I）求曲线
在点
处的切线方程：
（II）证明
存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得
对任意
成立，求实数b 的取值范围．
2. （2018·天津·高考真题）已知函数
，
，其中a>1.
（I）求函数
的单调区间；
（II）若曲线
在点
处的切线与曲线
在点
处的切线平行，证明：
；
（III）证明：当
时，存在直线l，使l 是曲线
的切线，也是曲线
的切线.
考点04 零点问题
1. （2022·全国乙卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求
的最大值；
(2)若
恰有一个零点，求a 的取值范围．
2. （2022·全国乙卷·高考真题）已知函数
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
在区间
各恰有一个零点，求a 的取值范围．
3. （2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：
只有一个零点
①
；
②
．
4. （2021·浙江·高考真题）设a，b 为实数，且
，函数
（1）求函数
的单调区间；
（2）若对任意
，函数
有两个不同的零点，求a 的取值范围；
（3）当
时，证明：对任意
，函数
有两个不同的零点
，满足
.
(注：
是自然对数的底数)
5. （2020·全国III 卷·高考真题）设函数
，曲线
在点(
，f(
))处的切线与y 轴垂
直．
（1）求b．
（2）若
有一个绝对值不大于1 的零点，证明：
所有零点的绝对值都不大于1．
6. （2020·全国III 卷·高考真题）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）若
有三个零点，求
的取值范围．
7. （2020·全国I 卷·高考真题）已知函数
.
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）若
有两个零点，求
的取值范围.
8. （2019·全国I 卷·高考真题）已知函数
，
为
的导数．证明：
（1）
在区间
存在唯一极大值点；
（2）
有且仅有2 个零点．
9. （2018·全国II 卷·高考真题）已知函数
．
（1）若
，求
的单调区间；
（2）证明：
只有一个零点．
10. （2017·全国I 卷·高考真题）已知函数
（1）讨论
的单调性；
（2）若
有两个零点，求
的取值范围.
考点05 图象交点与方程的根
1. （2026·北京·高考真题）设函数
，曲线
在点
处的切线
方程为
．
(1)求
，
的值；
(2)求
的极值点个数；
(3)求
与
交点个数．
2. （2022·天津·高考真题）已知
，函数
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若曲线
和
有公共点，
（i）当
时，求
的取值范围；
（ii）求证：
．
3. （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数
和
有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．
4. （2021·全国甲卷·高考真题）已知
且
，函数
．
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）若曲线
与直线
有且仅有两个交点，求a 的取值范围．
5. （2019·全国II 卷·高考真题）已知函数
.证明：
（1）
存在唯一的极值点；
（2）
有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
6. （2018·浙江·高考真题）已知函数
．
（1）若
在
处导数相等，证明：
；
（2）若
，证明：对于任意
，直线
与曲线
有唯一公共点．
考点06 双变量问题
1. （2022·浙江·高考真题）设函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)已知
，曲线
上不同的三点
处的切线都经过点
．证
明：
（ⅰ）若
，则
；
（ⅱ）若
，则
．
（注：
是自然对数的底数）
2. （2020·天津·高考真题）已知函数
，
为
的导函数．
（Ⅰ）当
时，
（i）求曲线
在点
处的切线方程；
（ii）求函数
的单调区间和极值；
（Ⅱ）当
时，求证：对任意的
，且
，有
．
