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111公式章 1 节 1课时同步练
5.3.3 函数的最大（小）值与导数
一、单选题
1．函数 在 上的最小值为（ ）
A．-2 B．0 C． D．
【答案】D
【解析】由题意，函数 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增，
所以函数 在区间 上的最小值为 ，
故选D．
2．函数 ， 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，易得当 时， 恒成立，所以 在闭区间内单调递减，故当 时， 取最大值，即 ，
故选A．
3．已知函数 ，函数 在 上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 ，则 ，
显然在 上 ，故函数 单调递增，
故
故选D
4．若不等式 对于一切 恒成立，则 的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为不等式 对于一切 恒成立，
所以 对一切 恒成立，
所以 ，
又因为 在 上单调递减，所以 ，所以 ，所以 的最小值为 ，
故选C.
5．若关于 的方程 有两个实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 ，设 ， .
当 时， ， 为增函数；
当 时， ， 为减函数,且 .
所以 有最大值 ，简图如下，
由图可知， 时符合题意.
故选C.
6．已知函数 有最小值，则函数 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
【答案】C
【解析】由题意， ，因为函数 有最小值，且 ，
所以函数存在单调递减区间，即 有解，
所以 有两个不等实根，
所以函数 的零点个数为2.
故选C.
7．若存在 ，使得不等式 成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设 ，则
当 时， ， 单调递减
当 时， ， 单调递增
存在 ， 成立
，
，故选
8．若定义域为 的偶函数 满足 ，且当 时， ，则函数
在 上的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．－
【答案】A
【解析】根据 ,得函数 关于点(1,0)对称,且当 时, ,
则 时， ，
所以当 时， ;又函数 为偶函数,
所以当 时，
则 ,
可知当 ， 故 在[-2，0)上单调递增, 时 ， 在[0,2]上
单调递减,故 .
故选A
9．已知存在正实数 ， 满足 ，则实数 的取值范围是（ ）A． B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【解析】已知存在正实数 ， 满足 ，
则 有解，
令 ，则 ，
， ，
则 ，
又易得 为增函数，
又 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 为减函数，在 为增函数，
所以 ，
即 的值域为 ，
即 ，
即实数 的取值范围是 ，
故选C．
10．已知点 为曲线 上的动点， 为圆 上的动点，则 的最小值是
（ ）A．3 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】（方法一）设 ，并设点A到圆 的圆心C距离的平方为 ，
则 ，求导，得
，令 ，得 .
由 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
从而 在 时取得最小值为 ，从而点A到圆心C的最小值为 ，所
以 的最小值为 .
故选A
（方法二）由对勾函数的性质，可知 ，当且仅当 时取等号，结合图象可知当A点
运动到 时能使点A到圆心的距离最小，最小为4，从而 的最小值为 .
故选A11．已如函数 ，若 ，且 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，画出分段函数 图象如下：
由两个函数图象及题意，可知： 不可能同时大于1，也不可能同时小于1．
否则不满足
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
， ．构造函数 ， ．
则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 在 上是单调递增函数．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故选C．
12．已知对于任意的 ，总有 成立，其中 为自然对数的底数，则 的最小值为（
）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由题得 ，
设 ，
由 得 ，
当 时， ，所以函数f(x)在 上单调递增，在 上单调递减，
所以
所以 ，
所以 ，
设 ，
所以 ，所以函数 在（0,1）单调递减，在（1，﹢∞）单调递增，
所以 .
所以此时 的最小值为 .
当 时，函数f(x)单调递增，不符合题意 .
故选A
二、填空题
13．已知函数 ，则 的最大值为____________．
【答案】【解析】
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减
即
故填
14．已知函数 ，当 （e为自然常数），函数 的最小值为3，则 的值为
_____________.
【答案】
【解析】 ， ，
当 时，则 ， 在 上是减函数，
， （舍去）．
当 时，当 时， ， 递减，当 时， ， 递增．∴
， ，符合题意．
故填 ．
15．已知 （ 为常数）在 上有最小值3，那么此函数在 上的最大值
为_________.
【答案】43.【解析】 ，
,
令 ，解得 或 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，当 时，
单调递减，
所以 在 时有极小值，也是 上的最小值，
即 ，
函数在 上的最大值在 或 时取得，
，
函数在 上的最大值为43.
故填43
16．函数 ， ，当 时，对任意 、 ，都有 成立，
则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】求出函数的导数，通过题中所给的大的范围，可以确定函数在相应区间上的单调性，求出函
数的最值，得到关于 的不等式，从而求出 的范围.
详解： ，依题意，
时， 成立，
已知 ，则 ，所以 在 上单调递减，而 在 上单调递增，
所以 ， ，
所以有 ，得 ，故 的取值范围是 .
故填
17．已知函数 ，当 时， 的取值范围为 ，则实
数 的取值范围是________.
【答案】
【解析】当 时， ，
令 ，则 或 ； ，则 ，
函数 在 上单调递减，在 单调递增，
函数 在 处取得极大值为 ，
在 出的极小值为 .
当 时， ，综上所述， 的取值范围为
故填
18．设直线 与函数 ， 的图象分别交于点 ，则当 达到最小值时，
的值为________．
【答案】1【解析】设 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
即函数 在 为减函数，在 为增函数，
即 ，
即当 达到最小值时， 的值为1，
故填 .
三、解答题
19．已知函数 有极小值 .
（1）求实数b的值；
（2）求f（x）在区间 上的最大值和最小值.
【解析】（1） ，由 得： 或 ，则：
时： ，f（x）递增；
时： ，f（x）递减；
时： ，f（x）递增；
函数f（x）在 取得极小值 ，即 ，
解得所求 ；
（2）由以上可知函数f（x）在 取得极大值又 ，
故所求最小值为 ，最大值为 .
20．已知函数
（1）若 在 上是减函数，求实数 的取值范围；
（2）若 的最大值为2，求实数 的值.
【解析】（1）若 在 上是减函数，
则 在 恒成立，
，
∴ ，设 ，
则 ，
∵ ，∴ 递增，
又 ，故 .
（2）由 ，要使 ，
故 的递减区间是 ，递增区间是 ，
∴ ，即 ，
∴ .21．已知函数 ， 是 的导函数， .
（1）当 时，判断函数 在 上是否存在零点，并说明理由；
（2）若 在 上存在最小值，求 的取值范围.
【解析】（1） 时， .
令 ，即 ， ，得 ，
当 变化时， ， 变化如下：
- 0 +
减 最小值 增
∴函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
∴ 的极小值为 .∴函数 在 上不存在零点.
（2）因为 ，所以 ，
令 ，则 .
①当 时， ，即 ，
∴ 在 单调递增，
∴ 时， ，∴ 在 单调递增，∴ 在 不存在最小值，
②当 时， ，
所以 ，即 在 内有唯一解 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 ，又因为 ，
所以 在 内有唯一零点 ，
当 时， 即 ，
当 时， 即 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以函数 在 处取得最小值，
即 时，函数 在 上存在最小值.
综上所述， 在 上存在最小值时， 的取值范围为 .
22．已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若不等式 对任意 恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）依题意， ， ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．（2）令 ，则 ．
令 ，则 ，
当 时， ， ，所以 ，函数 在 上是增函数．
所以 ，所以 ．
①当 时， ，所以函数 在 上是增函数，
所以 ，即对任意 不等式 恒成立．
②当 时， ，由 ，得 ． ．
当 时， ，即 ，函数 在 上是减函数，
所以 ，即 ，不合题意．
综上，所以实数a的取值范围是 ．
