研势明向高端把控
2026 高考数学二轮高效备考策略
案例（2025Ⅰ11）
第Ⅰ部分新高考数学的命题动向
一从寡元控制的数学问题向多元控制的数学问题转化
新高考之前的数学命题，很多都可以通过分解、归类、应用固定公式或解题步骤有效
解决，主要的思维方式是分析性思维.而今后新高考的命题，压轴题往往会超越单一理论或
知识的范畴，呈现出更高的复杂性、多元的关联性和动态性.解决这类问题，要求具备系统
性思维（著名的Navier-Stokes 方程有4 个核心控制参数）.
案例（2025Ⅰ19）
二命题思维向大学高等数学转化
（一）超越函数的图象与性质
1 渐近性：
2 凸性：
3 拐点：
4 极值点偏移：
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案例（2022 全国Ⅰ15）
（二）泰勒级数的一般形式：
如果
( )
f x 在
0
x
x
处具有任意阶导数，则幂级数
( )
( )
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
!
2!
!
n
n
n
n
n
f
x
f
x
f
x
x
x
f x
f
x
x
x
x
x
x
x
n
n
称为
( )
f x 在
0x 处的泰勒级数.特别地，当
0
0
x
时，
( )
0
(0)
( )
!
n
n
n
f
f x
x
n
.
（1）（2021 乙理12）
（2）（2022 全国Ⅰ7）
（三）仿射变换
图形在变换：x
mx
y
ny
的作用下变化和不变化的性质.
1 共线性不变；
2 一个图形变成另一个图形，例如，直线变成直线，圆与椭圆可以相互转化等；
3 线段的长度发生变化；
4 图形与图形的位置关系（相交、相切、相离等）不变，直线与直线的平行关系不变，
垂直关系改变；
5 斜率变化，
n
k
k
m
.
案例椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的离心率为
6
3
，过椭圆右焦点F 且倾斜角为45
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的直线l 和椭圆交于A,B 两点，对于椭圆上任一点M，若OM
OA
OB
，求实数,
满足的关系式.
（四）圆锥曲线与高次曲线
1 圆锥曲线
圆锥曲线中包含很多重要的结论，都可以用代数的方法或与平面几何知识相结合的方
法进行证明，例如圆锥曲线的蒙日圆问题、极点极线问题、过圆锥曲线上一点张角为直角
的弦过定点等.
案例（2020 全国新Ⅰ22）
2 圆锥曲线与椭圆曲线
椭圆曲线是三次曲线，其一般方程为
2
3
2
ay
by
c
dx
ex
fx
j
,可以通过变换变
成
2
3
2
y
ay
x
bx
cx
d
或
2
3
y
x
ax
b
，直线与它的位置关系如图.椭圆曲线可以
退化成三条直线或一条直线与一条二次曲线（即圆锥曲线，例如椭圆、双曲线、抛物线）.
案例（2023 四省联考22）
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3 高次曲线
方程
*
1,
1,
, , ,
N
n
m
k
l
n
n
x y
x y
x
y
m n k l
所表示的曲线.
案例（多选题）
（五）正整数的进制问题
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案例（2021 新高考二卷12）
（六）组合数学、卡特兰数与人工智能
卡特兰数（明安图数）是组合数学中一个常出现于各种计数问题中的数列.以中国蒙古
族数学家明安图和比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰的名字来命名，其前几项为（从第0
项开始）：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, ...，其公式为
1
1
2
2
2
2
1
1
C
C
C
C
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
n
n
.
案例（2016Ⅲ理12）
（七）逻辑代数与人工智能
逻辑代数是描述、分析和简化逻辑电路的有效的数学工具,逻辑代数又称为开关代数和
布尔代数,它和普通代数不同,逻辑代数的变量(简称逻辑变量)的取值范围只有“0”和
“1”.
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案例（2023 四省联考16）
（八）几何与逻辑推理
几何学通过公理与演绎推理进行数学论证，是展示理性思维的典范，这是几何学的本质.但
是近几年的立体几何高考题过渡注重了代数运算解决几何的度量问题.
案例(1)如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四
个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，使得Ai∈αi(i＝1,2,3,4)，且其中每相邻
两个平面间的距离都相等；
(2)给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离都为
1，若一个正四面体A1A2A3A4 的四个顶点满足：Ai∈αi(i＝1,2,3,4)，则该正四面体A1A2A3A4 的体
积是否为定值．若是，求出该定值，若不是，求出其范围.
三命题背景向竞赛数学、国外数学试题转化
案例1（2025Ⅰ11）
背景：（2016 年第42 届俄罗斯数学竞赛题）已知,
A B 均为锐角，满足
2
2
sin
sin
sin(
)
A
B
A
B
，求证：
90
A
B
.
案例2（2020 全国Ⅱ理21）
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此题来源于2001 年IMC（国际数学竞赛）第六题
《奥数教程（第七版）》三角不等式习题
四以教材内容或者习题为背景命制试题
案例（2020 全国Ⅲ理21）
此题由教材上的三倍角公式变化而来
3
sin3
3sin
4sin
，
3
3
1
sin
sin
sin3
0
4
4
.令
1
1 1
sin
[ 1,1],
sin3
,
4
4 4
x
c
得
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3
3
0
4
x
x
c
.
第Ⅱ部分2026 高考数学二轮高效备考
策略──高端把控
数学问题的解决依靠的是一套完整性的、综合性的、体系化的思维过程，甚至与解题
经验、态度情感都有密切的关系，靠单一的知识或思维或方法无法解决繁杂的数学问题.这
就需要对知识和思维进行高端把控.
一知识的高端把控──超知识
对知识进行全方位、多维度、深度化的整合，使其成为一个高效的结构体系
案例1 《函数定义》
函数：一般地，设A，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x，按照某
种确定的对应关系f，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f：A B 为从
集合A 到集合B 的一个函数，记作y=f（x），xA.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做
函数的定义域;与x 值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{ f（x）| xA}叫做函数的值
域.
1 代数属性：A 滿B 余多对一，一对多则不允许.
2 几何属性：平行于y 轴（或重合）的直线与函数的图象至多有一个公共点.
3 隐函数：无法或不易用直接的解析式表达.
4 变量组与变量组之间的函数关系：三角形的面积可以表达为三角形的两边及其夹角的函数，
另一边长也可以.
（2025.4 武汉四调11）（多选题）
案例2《图象变换：坐标变换》
1 平移变换
2 伸缩变换
3 周期变换
4 对称变换
5 旋转变换
（2025.4 武汉四调11）（多选题）
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二思维的高端把控──超能力
（一）构建超级思维体系
前苏联教育家家里宁说过：数学是思维的体操.
超级思维体系包括思维的层次、思维的品质、思维的类型及高中数学思维.
1 思维的层次包括在较低层次的认知水平（如记忆、理解和应用）形成的思维叫低阶思
维；在较高认知水平层次上的心智活动或认知能力（如分析、评价和创造）叫高阶思维，
表现于发现问题、分析问题、解决问题的创新性、批判性、敏锐性、洞察力与整体把握.思
维品质的主要成分是观察、试验、归纳、演绎、类比、分析、综合、抽象、概括、推理等.
任子朝在《新高考十年数学科考试内容改革：成就、挑战与转向》中指出：为高水
平学生提供发挥空间，使其能在考查高阶思维、综合能力的试题中充分展示真实水平，从
而使数学试卷发挥良好的区分和选拔功能.
案例（2024 天津15）若函数
2
( )
2
2
1
f x
x
ax
ax
恰有一个零点，则a 的取值范
围为
.
2 思维的品质
数学的思维品质主要包括深刻性、广阔性、灵活性、敏捷性、独创性、批判性.
任子朝在《新高考十年数学科考试内容改革：成就、挑战与转向》中指出：高考数
学科充分发挥学科特点和优势，创设新颖的试题情境、题目条件和设问方式，突出素养和
能力考查，展现思维过程、甄别思维品质，考查学生思维的灵活性与创造性.他也指出; 高
考数学科通过加强对理性思维、创新能力、批判性思维的考查，在落实立德树人根本任务、
实现高考选拔功能和对中学教学的导向作用等方面发挥积极功效，助力培养造就具有创新
潜力的青年人才.
案例（2022 全国Ⅱ12）
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3 数学思维的基本模式
从数学学科的特点来看，数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学（恩格斯
语），数和形是数学的两种最基本的因素，把数和形结合起来进行研究，能更进一步认识数
学的本质. 克鲁捷茨基（Kruteskii，前苏联心理学家）在研究中认为人有两种不同的思维
方式或习惯，他把倾向于语言—逻辑思考方式的学生称为“分析型”，其思维模式称之为代
数型，把倾向于视觉—图形思考方式的学生称为“几何型”，其思维模式称之为几何型，还
有一些学生并不偏爱某一种方式，他称之为“协调型”，分析型的学生在解题时，即使遇到
相对简单的直觉方式也会弃而不用，而几何型的学生则正好相反，即使在遇到相对简单的
分析手段时，也仍然坚持利用直觉方式.
案例（2015 四川理15）
4 高中数学思维
1．数学基本思维
（1）化生为熟思维
（2）化繁为简思维
（3）等价转换思维
（4）估算思维
（5）代数重组思维
（6）多元化一思维
案例化生为熟思维
（2013 全国Ⅰ理16）．若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x
＝－2 对称，则f(x)的最大值为________．
2．选填题超级思维
考时小题小做，平时小题大做
估算思维：通过对数据进行合理的变通，从而简化运算方式，并且不影响结果的正确性，
这种思维叫做估算思维.估算思维能使人对数量、时间、空间等有整体性、全面性和概括性
的认识.
超级点对点
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3．概率统计题超级思维
4．解析几何题超级思维
（1）优化运算
（2）等价转换
（3）定型问题
（4）定值型问题
（5）最值范围型问题
案例解析几何优化运算
（2022 全国乙理20 文21）
（Ⅱ）由
3
0, 2 ,
, 1
2
A
B
得直线AB 的方程为
2
2
3
y
x
.
利用特殊情况猜想定点为(0, 2)
.
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5 函数与导数题超级思维
（1）分离参数
（2）优化讨论
（3）合理放缩
（4）一般化思维
（5）导数正负判断
（6）等价转化
（7）递进关系
（8）构造函数
（9）虚设零点
（10）多元化一
（二）高考数学超能力
“推理是数学的命根子”
——加州大学伯克利分校数学家伍鸿熙
运算是数学的童子功
——数学教育专家章建跃
案例（2024 九省适应性考试14）
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