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专题四 电磁感应中的单双杆模型
1.
如图所示，一匀质金属圆的半径为r,电阻为2R，其内有向里的匀强磁场，磁感应强度为B，
一金属棒长等于圆的直径，电阻为R，在外力的作用下向右以速度v 匀速运动，当运动至与圆的直径
重合时，求：
（1）金属棒产生的感应电动势大小？
（2）流过金属棒的电流方向、大小？
（3）流经金属圆的电流大小？
（4）金属棒两端的电压U？
（5）金属棒受到的安培力大小和方向？
（6）金属棒的发热功率？
2.
如图所示，两足够长的光滑平行长直导轨水平放置在磁感应强度为B 的匀强磁场中，导轨间
距为L,磁场与导轨所在平面垂直，已知金属棒MN 电阻为r,垂直导轨放置，能沿导轨自由滑动，导轨
一端跨接一个定值电阻R，导轨电阻不计。金属棒在恒力F 作用下从静止开始沿导轨向右运动，在以
后过程中，求：
(1) 画出金属棒速度v、加速度a、感应电动势E 以及通过电阻R 的电荷量q 随时间t 变化图线。
(2)从开始到稳定的过程中，若金属棒的位移为x，则此过程电阻R 产生的电热为多少？
3. 如图所示，在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，有一水平放置的U 形导轨，导轨左
端连接一阻值为R 的电阻，导轨电阻不计。导轨间距为L，在导轨上垂直有一根金属棒MN，与导轨接
触良好，电阻为r，金属棒向右以初速度v 开始运动，则金属棒运动过程中（ ）
（1）通过金属棒的电量是多少？
（2）金属棒的位移是多少？
（3）电阻R 产生的焦耳热有多少？
4. 如图所示，两光滑平行金属导轨间距为L，直导线MN 垂直跨在导轨上，且与导轨接触良好，整个装置
处于垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B．电容器的电容为C，除电阻R 外，导轨和导线的
电阻均不计。现给导线MN 一初速度，使导线MN 向右运动，当电路稳定后，MN 以速度v 向右做匀速
运动时（ ）
A．电容器两端的电压为零
B．电阻两端的电压为BLv
C．电容器所带电荷量为CBLv
D．为保持MN 匀速运动，需对其施加的拉力大小为B
2 L
2v
R
5（多选）.如图所示，足够长的光滑平行金属导轨倾斜固定，倾角为30°，上端连接一电容器，方向垂直
导轨平面向上的匀强磁场穿过导轨所在平面．一根质量为m 的导体棒垂直静置在导轨上．现让导体棒
从静止开始滑下，导体棒做匀加速直线运动，所有电阻均不计，重力加速度大小为g，则导体棒在导轨
上运动的加速度大小可能为（ ）
A．1
3 g
B．1
2 g
C．1
4 g
D．3
5 g
6．如图所示，置于同一水平面内的两平行长直导轨相距l＝0.5m，两导轨间接有一固定电阻R＝5Ω 和一
个内阻为零、电动势E＝6V 的电源，两导轨间还有图示的竖直方向的匀强磁场，其磁感应强度B＝
1T．两轨道上置有一根金属棒MN，其质量m＝0.1kg，棒与导轨间的摩擦阻力大小为f＝0.1N，金属棒
及导轨的电阻不计，棒由静止开始在导轨上滑动直至获得稳定速度V．求：
（1）导体棒的稳定速度为多少？
（2）当磁感应强度B 为多大时，导体棒的稳定速度最大？最大速度为多少？
（3）若不计棒与导轨间的摩擦阻力，导体棒从开始运动到速度稳定时，回路产
生的热量为多少？
7．如图所示，足够长的水平光滑金属导轨所在空间中，分布着垂直于导轨平面且方向竖直向上的匀强磁
场，磁感应强度大小为B。两导体棒a、b 均垂直于导轨静止放置，接触良好。已知导体棒a 质量为
2m，导体棒b 质量为m，长度均为l，电阻均为r，其余部分电阻不计。现使导体棒a 获得瞬时平行于
导轨水平向右的初速度v0。除磁场作用外，两棒沿导轨方向无其他外力作用，在两导体棒运动过程
中，下列说法正确的是（ ）
A．从开始到最终稳定的任意一段时间内，导体棒b 的动能增加量等
于导
体棒a 的动能减少量
B．从开始到最终稳定的任意一段时间内，导体棒b 的动量改变量与
导体
棒a 的动量改变量相同
C．从开始到最终稳定的全过程中，通过导体棒b 的电荷量为2mv0
3 Bl
D．从开始到最终稳定的全过程中，两棒共产生的焦耳热为3
4 m v0
2
8（多选）．如图所示，两根光滑足够长且电阻不计的平行金属导轨MNPQ 和M1N1P1Q1，固定水在平面
上，MN 与M1N1距离为2l，PQ 与P1Q1距离为l。金属棒a 和b 的质量分别为2m 和m、长度分别为2l
与l，金属棒a、b 分别垂直放在导轨MM1和PP1上，静止在导轨上。整个装置处于竖直向下的、磁感
强度为B 的匀强磁场中。现a 棒获得水平向右初速度v0，两棒运动时始终保持平行且a 总在MNM1N1
上运动，b 总在PQP1Q1上运动，经过足够长时间后，下列说法正确的（ ）
A．金属棒a 流过的电荷量是2m v0
3 Bl
B．金属棒a 和b 均做加速度相同的匀加速直线运动
C．金属棒a 和b 均做速度相等的匀速直线运动
D．回路感应电动势为零
9（多选）．如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ 水平固定放置，导轨间存在竖直向上的
匀强磁场。两根完全相同的金属棒ab、cd 垂直放置在导轨上，两金属棒的长度恰好等于金属导轨的间
距。t＝0 时刻对金属棒cd 施加一个水平向右的恒力F，此后两金属棒由静止开始运动，金属棒在运动
过程中始终与导轨接触良好，两金属棒的速度大小分别记为va、vc，加速度大小分别记为aa、ac，金属
棒cd 两端电压记为Ucd，闭合回路消耗的电功率记为P，电路中
除金属棒以外的电阻均不计，下列关系图像可能正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，光滑平行导轨水平放置，电阻不计，MN 部分的宽度为2l，PQ 部分的宽度为l，金属棒a 和b
的质量分别为2m 和m，其电阻大小分别为2R 和R，a 和b 分别静止在MN 和PQ 上，垂直导轨相距足
够远，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B。现对a 棒施加水平向右恒力F 作用，两
棒运动时始终保持平行且a 总在MN 上运动，b 总在PQ 上运动，经过足够长时间后，下列说法正确的
（ ）
A．回路感应电动势为零
B．流过a 的电流大小为F
3 Bl
C．金属棒a 和b 均做匀速直线运动
D．金属棒a 和b 均做加速度相同的匀加速直线运动
单双杆模型答案
1.
（1）E=2BrV；（2）由右手定则知，电流方向向上；左半圆与右半圆并联得并联电阻为R，所以
I = BrV
R
；（3）I 0= BrV
2 R
；（4）U = BrV ；
（5）F = 2B
2r
2V
R
；由左手定则知方向向左；（6）P= B
2r
2V
2
R
；
2.
解答（1）：如图；
解析：金属棒在恒力F 作用下向右做加速运动，金属棒受到向左的安培力，根据牛顿第二定律得：F
−B
2 L
2v
R
=ma，随着速度增大，加速度减小，金属棒做加速度逐渐减小的变加速运动，最终加速度减至
零，做匀速运动；由F−B
2 L
2v
R
=ma，得a= F
m −B
2 L
2v
mR
，则Δa
Δt =−B
2 L
2
mR
• Δv
Δt =−B
2 L
2
mR
•a，可知a 减
小，Δa
Δt
减小，a﹣t 图像的斜率减小，a﹣t 图像是曲线；根据法拉第电磁感应定律可得感应电动势E＝
BLv，v 增大，E 增大，最后E 为一定值。根据ΔE
Δt =BL• Δv
Δt =BLa，知a 减小，图像的斜率逐渐减小；通
过电阻R 的电荷量q= It= BLv t
R
= BLx
R
，式中x 是金属棒的位移，随着位移增大，q 一直增大。由于金属
棒做加速度减小的变加速运动，金属棒的位移x 随时间t 增大，随着速度增大，位移增加得越来越快，通
过R 的电荷量随时间增加，当速度恒定后，单位时间内位移的增加量不再变化，q﹣t 图线的切线斜率不
变，但不等于零。
（2），设稳定时金属棒的速率为v，则此时E=BLv I =
E
R+r
，F=BIL ，得F= B
2 L
2v
R+r
，v = F( R+r )
B
2 L
2
；由功能关系得F x = 1
2 m v
2+Q ，QR=
R
R+r Q，化简得：QR=
R
R+r [ Fx−m F
2(R+r)
2
2B
4 L
4
]
【点评】本题的关键应用牛顿第二定律求出加速度，利用数学知识得到图像斜率表达式，然后进行分析。
3.
(1)对金属棒，从开始到停止，由动量定理得−B I Lt=−mV ；I t =q；整理得q = mV
BL
；
(2)对金属棒，从开始到停止，由动量定理得−B I <=−mV ，I = BLV
R+r
；V t = x；整理得
x = mV ( R+r )
B
2 L
2
；
（3）对整个系统，由能量守恒得Q = 1
2 mv
2,QR=
R
R+r Q；整理得QR= Rm v
2
2(R+r)
；
4. C.【解答】解：A、B 当导线MN 匀速向右运动时，导线所受的合力为零，说明导线不受安培力，电路
中电流为零，故电阻两端没有电压。此时导线MN 产生的感应电动势恒定，根据闭合电路欧姆定律得知，
电容器两板间的电压为U＝E＝BLv．故AB 错误。C、电容器两板间的电压为U＝BLv，则电容器所带电
荷量Q＝CU＝CBLv，故C 正确；D、因匀速运动后MN 所受合力为0，而此时无电流，不受安培力，则
无需拉力便可做匀速运动，故D 错误。故选：C。
5. AC【解答】解：BD、电容器两端电势差U 等于导体棒切割磁感线产生的感应电动势，当导体棒的速度
大小为v 时，有：U＝Blv，ΔU＝BlΔv，ΔQ＝CΔU，ΔQ＝IΔt 根据加速度定义式可得：a= Δv
Δt
根据牛顿第二定律可得：mgsin30°﹣BIl＝ma 解得：a= mgsin30°
m+ B
2l
2C
＜mgsin30°
m
= 1
2 g，故BD 错误；
A、当B
2l
2C = 1
2 m时，a= 1
3 g，故A 正确；C、当B2l2C＝m 时，a= 1
4 g，故C 正确。
6. 【解答】解：（1）对金属棒，由牛顿定律得：F 安﹣f＝ma，F 安＝BIL，I = E−BLV
R
，
当a＝0 时，速度达到稳定，代入解得：V = E
BL −fR
B
2 L
2 =
6
1×0.5 −
0.1×5
1
2×0．5
2 =10m/ s
（2）当棒的稳定运动速度为：V = E
BL −Rf
B
2 L
2当1
B =
E
L
2 Rf
L
2
= EL
2 Rf =3时，
即：B = 1
3 T时，V 最大。代入数据得：Vm＝18m/s
（3）不计阻力，稳定时有v= E
BL =
6
1×0.5 =12m/s
对金属棒，由牛顿定律得：F =ma=m △V
△t
得：F△t＝m△V
即BIL△t＝m△V，BqL＝mV﹣0 得：q= mv
BL = 0.1×12
1×0.5 =2.4C
由能量守恒得：Eq =Q+ 1
2 mV
2得：Q＝7.2J。
答：（1）导体棒的稳定速度为10m/s
（2）当磁感应强度B 为1
3 T时，导体棒的最大速度为V＝18m/s
（3）回路产生的热量为7.2J。
7.C【解答】解：AB．两棒组成回路，电流相同，故所受安培力合力为零，动量守恒，故任何一段时间
内，导体棒b 的动量改变量跟导体棒a 的动量改变量总是大小相等、方向相反；根据能量守恒定律可
知，a 的动能减少量等于b 的动能增加量与回路中产生的焦耳热之和，导体棒b 的动能增加量小于导体
棒a 的动能减少量，故A、B 错误；
CD．a、b 两棒的速度最终相等，设为v，以向右为正方向，根据动量守恒定律得2mv0＝（2m+m）v
解得：v= 2
3 v0
对b 棒，由动量定理有mv −0= Bl I t = Blq； 解得q = 2mv0
3 Bl
根据能量守恒定律，两棒共产生的焦耳热为Q = 1
2 ×2mv0
2−1
2 (2m+m)v
2= 1
3 mv0
2
故D 错误，C 正确。
故选：C。
8. AD【解答】解：CD．金属棒a 向右运动，由左手定则可知，金属棒a 受安培力向左，做减速运动，
金属棒b 受安培力向右，做加速运动，则经过一段时间后，两棒稳定时均做匀速运动，此时回路的感应
电流为零，感应电动势为零，则B•2lva＝Blvb
即2va＝vb，故C 错误，D 正确；
B．根据牛顿第二定律可得a= BIL
m
；aa= BI ⋅2l
2m
=ab= BIl
m
金属棒a 做匀减速直线运动，b 做匀加速直线运动，两者加速度大小相等，方向相反，故B 错误；
A．设初速度方向为正方向，对a、b 列动量定理方程
−B I ⋅2lΔt =2m va−2m v0
B I ⋅lΔt =m vb
解得q = I Δt = 2m v0
3 Bl
，故A 正确。
故选：AD。
9.AD【解答】解：AB、金属棒cd 在恒力F 作用下由静止开始加速，此时加速度ac = F
m
，aa＝0，之后
回路中出现感应电流，金属棒cd 受到的安培力与恒力F 反向，金属棒cd 的加速度减小，金属棒ab 在
安培力作用下开始加速，金属棒cd 与金属棒ab 的速度差逐渐增大，回路中的电动势逐渐增大，安培力
F安= B
2 L
2
2 R (vc−va)逐渐增大，金属棒cd 加速度减小，金属棒ab 加速度增大，当ac＝aa时，vc﹣va不
再变化，回路中的电流不再变化，但是两金属棒的速度仍在增大，v﹣t 图像如图甲所示，故A 正确、B
错误；
C、系统达到稳定之前Ucd＝BLva+IR，随时间逐渐增大，系统达到稳定后，因回路中电流不变，则Ucd
＝BLvc﹣IRcd，Ucd随着vc的增加而均匀增加，如图乙所示，故C 错误；
D、闭合回路消耗的电功率P＝2I2R，在开始阶段随回路中电流的增大，电功率逐渐增大，当系统稳定
后回路中电流不变，电功率不再变化，故D 正确。
故选：AD。
10. B 【解答】解：ACD、对金属棒a 和b 整体，由于受恒定的拉力作用，则最终的稳定状态时，两棒
都将有固定的加速度值，则受恒定的安培力，即回路中有恒定的电流，设两棒的加速度分别为a1 和
a2，则回路的电动势为
E＝Bl1（v1+a1•Δt）﹣Bl2（v2+a2•Δt）
根据闭合电路的欧姆定律有E＝I•3R
则稳定时Bl1a1•Δt﹣Bl2a2•Δt＝0；因l1＝2l2 ；则a2＝2a1
可知最终有加速度，此时电路中有电流，回路中感应电动势不为零。故ACD 错误；
B．足够长时间后，对a 棒，根据牛顿第二定律有F﹣BI×2l＝2ma1
对b 棒，根据牛顿第二定律有BIl＝ma2
解得流过a 的电流大小为I= F
3 Bl，故B 正确。故选：B。
