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第44 讲 电磁感应中的“单双杆＋导轨”模型
——划重点之精细讲义系列
“杆＋导轨”模型是电磁感应问题高考命题的“基本道具”，也是高考的热点，考查
的知识点多，题目的综合性强，物理情景变化空间大，是我们复习中的难点．“杆＋导
轨”模型又分为“单杆”型和“双杆”型(“单杆”型为重点)；导轨放置方式可分为水平、
竖直和倾斜；杆的运动状态可分为匀速、匀变速、非匀变速运动等．
考点一 单杆水平式模型
物理模型
匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为
B,棒ab 长为L,质量为m,初速度为
零，拉力恒为F,水平导轨光滑，除电
阻R 外，其他电阻不计
动态分析
设运动过程中某时刻棒的速度为v,由牛顿第二定律知棒ab 的加
速度为
，a、v 同向，随速度的增加，棒的加速
度a 减小，当a = 0 时，v 最大，
恒定
收尾状态
运动形式
匀速直线运动
力学特征
a=0 v 恒定不变
电学特征
I 恒定
【典例1】如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R 的金属条制成的矩形线框abcd，固定
在水平面内且处于方向竖直向下的匀强磁场B 中．一接入电路电阻为R 的导体棒PQ，在水
平拉力作用下沿ab、dc 以速度v 匀速滑动，滑动过程PQ 始终与ab 垂直，且与线框接触良
好，不计摩擦．在PQ 从靠近ad 处向bc 滑动的过程中( )
A．PQ 中电流先增大后减小
B．PQ 两端电压先减小后增大
C．PQ 上拉力的功率先减小后增大
D．线框消耗的电功率先减小后增大
【典例2】U 形光滑金属导轨水平放置，如图所示为俯视图，导轨右端接入电阻R＝
1
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0.36 Ω，其他部分无电阻，导轨间距为L＝0.6 m，界线MN 右侧有匀强磁场，磁感应强度
为B＝ T．导体棒ab 电阻为零，质量m＝1 kg.导体棒与导轨始终垂直且接触良好，在距离
界线MN 为d＝0.5 m 处受恒力F＝1 N 作用从静止开始向右运动，到达界线PQ 时恰好匀速，
界线PQ 与MN 间距也为d.
(1)求匀速运动时的速度v 的大小；
(2)求导体棒在MN 和PQ 间运动过程中R 的发热量Q.
【典例3】如图所示，一对足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面上，两导轨间距
为L，左端接一电源，其电动势为E、内阻为r，有一质量为m、长度也为L 的金属棒置于
导轨上，且与导轨垂直，金属棒的电阻为R，导轨电阻可忽略不计，整个装置处于磁感应
强度为B，方向竖直向下的匀强磁场中．
(1)若闭合开关S 的同时对金属棒施加水平向右恒力F，求棒即将运动时的加速度和运
动过程中的最大速度；
(2)若开关S 开始是断开的，现对静止的金属棒施加水平向右的恒力F，一段时间后再
闭合开关S；要使开关S 闭合瞬间棒的加速度大小为，则F 需作用多长时间．
考点二 单杆倾斜式模型
2
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物理模型
匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为B,
导轨间距L,导体棒质量m,电阻R,导轨
光滑，电阻不计(如图)
动态分析
棒ab 释放后下滑，此时a=gsinα,棒ab 速度v↑→感应电动势
E=BLv↑→电流
↑→安培力F=BIL↑→加速度a↓,当安培力
F=mgsinα 时，a=0,v 最大
收尾状态
运动形式
匀速直线运动
力学特征
a = 0 v 最大
电学特征
I 恒定
【典例4】如图所示，平行金属导轨宽度为d，一部分轨道水平，左端接电阻R，倾斜
部分与水平面成θ 角，且置于垂直斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，现将一质量
为m、长度也为d 的导体棒从导轨顶端由静止释放，直至滑到水平部分(导体棒下滑到水平
部分之前已经匀速，滑动过程中与导轨保持良好接触，重力加速度为g)．不计一切摩擦力，
导体棒接入回路电阻为r，则整个下滑过程中( )
A．导体棒匀速运动时速度大小为
B．匀速运动时导体棒两端电压为
C．导体棒下滑距离为s 时，通过R 的总电荷量为
D．重力和安培力对导体棒所做的功大于导体棒获得的动能
【典例5】如图所示，两根足够长平行金属导轨MN、PQ 固定在倾角θ＝37°的绝缘斜
面上，顶部接有一阻值R＝3 Ω 的定值电阻，下端开口，轨道间距L＝1 m．整个装置处于
磁感应强度B＝2 T 的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上．质量m＝1 kg 的金属棒ab 置
于导轨上，ab 在导轨之间的电阻r＝1 Ω，电路中其余电阻不计．金属棒ab 由静止释放后
沿导轨运动时始终垂直于导轨，且与导轨接触良好．不计空气阻力影响．已知金属棒ab 与
导轨间动摩擦因数μ＝0.5，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2.
3
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(1)求金属棒ab 沿导轨向下运动的最大速度vm；
(2)求金属棒ab 沿导轨向下运动过程中，电阻R 上的最大电功率PR；
(3)若从金属棒ab 开始运动至达到最大速度过程中，电阻R 上产生的焦耳热总共为1.5
J，求流过电阻R 的总电荷量q.
【典例6】如图所示，两足够长的平行光滑的金属导轨MN、PQ 相距L，导轨平面与
水平面的夹角θ＝30°，导轨电阻不计，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直于导轨平面向上．
长为L 的金属棒垂直于MN、PQ 放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为
m、电阻为R.两金属导轨的上端连接一个灯泡，灯泡的电阻也为R.现闭合开关K，给金属
棒施加一个方向垂直于杆且平行于导轨平面向上的、大小为F＝2mg 的恒力，使金属棒由
静止开始运动，当金属棒达到最大速度时，灯泡恰能达到它的额定功率．重力加速度为
g，求：
(1)金属棒能达到的最大速度vm；
(2)灯泡的额定功率PL；
(3)若金属棒上滑距离为s 时速度恰达到最大，求金属棒由静止开始上滑2s 的过程中，
金属棒上产生的电热Q1.
初态
v0≠0
v0＝0
示意
图
阻尼式
电动式
发电式
充电式
情景
说明
质量为m，电阻
不计的单杆ad 以
轨道水平光
滑，杆ad 质量
轨道水平光滑，
单杆ab 质量为
轨道水平光滑，单杆ab 质量
为m，电阻不计，两平行导
4
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一定初速度v0 在
光滑水平轨道上
滑动，两平行导
轨间距为L
为m ，电阻不
计，两平行导
轨间距为L
m，电阻不计，
两平行导轨间距
为L，拉力F 恒
定
轨间距为L，拉力F 恒定
运动
分析
导体杆做加速度
越来越小的减速
运动，最终杆静
止
当E 感＝E 时，v
最大，且vm
＝，最后以vm
匀速运动
当a＝0 时，v 最
大，即vm＝时，
杆开始匀速运动
Δt 时间内流入电容器的电荷
量Δq＝CΔU＝CBLΔv
电流I＝＝CBL＝CBLa
安培力F 安＝BLI＝CB2L2a
F－F 安＝ma，a＝
所以杆以恒定的加速度匀加
速运动
能量
分析
动能全部转化为
内能：mv0
2＝Q
电能转化为动
能和内能，
E 电＝mvm
2＋Q
外力做功转化为
动能和内能：
WF＝mvm
2＋Q
外力做功转化为电能和动
能：WF＝E 电＋mv2
考点三 双杆模型
(1)初速度不为零，不受其他水平外力的作用
光滑的平行导轨
光滑不等距导轨
示意图
质量m1＝m2 电阻r1＝r2
长度L1＝L2
质量m1＝m2 电阻r1＝r2
长度L1＝2L2
运动分析
杆MN 做变减速运动，杆PQ 做变加速
运动，稳定时，两杆的加速度均为零，
以相等的速度匀速运动
稳定时，两杆的加速度均为零，两
杆的速度之比为1 2∶
能量
分析
一部分动能转化为内能，Q＝－ΔEk
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(2)初速度为零，一杆受到恒定水平外力的作用
光滑的平行导轨
不光滑的平行导轨
示意图
质量m1＝m2 电阻r1＝r2 长度L1
＝L2
摩擦力Ff1＝Ff2 质量m1＝m2 电
阻r1＝r2 长度L1＝L2
运动分析
开始时，两杆做变加速运动；稳定
时，两杆以相同的加速度做匀加速
运动
开始时，若F≤2Ff，则PQ 杆先变加
速后匀速运动，MN 杆静止。若F＞
2Ff，PQ 杆先变加速后匀加速运
动，MN 杆先静止后变加速最后和
PQ 杆同时做匀加速运动，且加速度
相同
能量
分析
外力做功转化为动能和内能，
WF＝ΔEk＋Q
外力做功转化为动能和内能(包括电
热和摩擦热)，WF＝ΔEk＋Q 电＋Qf
【典例7】如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨
电阻不计，间距L＝0.4 m．导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线
为MN，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场
的磁感应强度大小均为B＝0.5 T．在区域Ⅰ中，将质量m1＝0.1 kg，电阻R1＝0.1 Ω 的金属
条ab 放在导轨上，ab 刚好不下滑．然后，在区域Ⅱ中将质量m2＝0.4 kg、电阻R2＝0.1 Ω
的光滑导体棒cd 置于导轨上，由静止开始下滑．cd 在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，
ab、cd 始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g＝10 m/s2.问：
(1)cd 下滑的过程中，ab 中的电流方向；
(2)ab 刚要向上滑动时，cd 的速度v 多大；
(3)从cd 开始下滑到ab 刚要向上滑动的过程中，cd 滑动的距离x＝3.8 m，此过程中ab
上产生的热量Q 是多少．
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【典例8】如图所示，两根足够长且平行的光滑金属导轨与水平面成53°角固定放置，
导轨间连接一阻值为6 Ω 的电阻R，导轨电阻忽略不计．在两平行虚线m、n 间有一与导轨
所在平面垂直、磁感应强度为B 的匀强磁场．导体棒a 的质量为ma＝0.4 kg，电阻Ra＝3
Ω；导体棒b 的质量为mb＝0.1 kg，电阻Rb＝6 Ω；它们分别垂直导轨放置并始终与导轨接
触良好．a、b 从开始相距L0＝0.5 m 处同时由静止开始释放，运动过程中它们都能匀速穿
过磁场区域，当b 刚穿出磁场时，a 正好进入磁场(g 取10 m/s2，不计a、b 之间电流的相互
作用)．求：
(1)当a、b 分别穿越磁场的过程中，通过R 的电荷量之比；
(2)在穿越磁场的过程中，a、b 两导体棒匀速运动的速度大小之比；
(3)磁场区域沿导轨方向的宽度d；
(4)在整个过程中产生的总焦耳热．
一、单选题
1．（2023·浙江·统考高考真题）如图所示，质量为M、电阻为R、长为L 的导体棒，通过
两根长均为l、质量不计的导电细杆连在等高的两固定点上，固定点间距也为L。细杆通过
开关S 可与直流电源
或理想二极管串接。在导体棒所在空间存在磁感应强度方向竖直向
上、大小为B 的匀强磁场，不计空气阻力和其它电阻。开关S 接1，当导体棒静止时，细
杆与竖直方向的夹角固定点
；然后开关S 接2，棒从右侧开始运动完成一次振动的过
程中（ ）
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A．电源电动势
B．棒消耗的焦耳热
C．从左向右运动时，最大摆角小于
D．棒两次过最低点时感应电动势大小相等
2．（2022·重庆·高考真题）如图1 所示，光滑的平行导电轨道水平固定在桌面上，轨道间
连接一可变电阻，导体杆与轨道垂直并接触良好（不计杆和轨道的电阻），整个装置处在
垂直于轨道平面向上的匀强磁场中。杆在水平向右的拉力作用下先后两次都由静止开始做
匀加速直线运动，两次运动中拉力大小与速率的关系如图2 所示。其中，第一次对应直线
①，初始拉力大小为F0，改变电阻阻值和磁感应强度大小后，第二次对应直线②，初始拉
力大小为2F0，两直线交点的纵坐标为3F0。若第一次和第二次运动中的磁感应强度大小之
比为k、电阻的阻值之比为m、杆从静止开始运动相同位移的时间之比为n，则k、m、n 可
能为（ ）
A．k = 2、m = 2、n = 2
B．
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C．
D．
3．（2023·重庆·统考高考真题）如图所示，与水平面夹角为θ 的绝缘斜面上固定有光滑U
型金属导轨。质量为m、电阻不可忽略的导体杆MN 沿导轨向下运动，以大小为v 的速度
进入方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场区域，在磁场中运动一段时间t 后，速度大小变
为2v。运动过程中杆与导轨垂直并接触良好，导轨的电阻忽略不计，重力加速度为g。杆
在磁场中运动的此段时间内（ ）
A．流过杆的感应电流方向从N 到M
B．杆沿轨道下滑的距离为
C．流过杆感应电流的平均电功率等于重力的平均功率
D．杆所受安培力的冲量大小为
二、多选题
4．（2023·辽宁·统考高考真题）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、
右两侧导轨间距分别为d 和2d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为2B 和B。
已知导体棒MN 的电阻为R、长度为d，导体棒PQ 的电阻为2R、长度为2d，PQ 的质量是
MN 的2 倍。初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为L 的轻质绝缘弹簧。释放
弹簧，两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。整个过程中两棒保持与
导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧伸展过程中、回路中产生顺时针方向的电流
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B．PQ 速率为v 时，MN 所受安培力大小为
C．整个运动过程中，MN 与PQ 的路程之比为2：1
D．整个运动过程中，通过MN 的电荷量为
5．（2023·山东·统考高考真题）足够长U 形导轨平置在光滑水平绝缘桌面上，宽为
，
电阻不计。质量为
、长为
、电阻为
的导体棒MN 放置在导轨上，与导轨形成矩
形回路并始终接触良好，I 和Ⅱ区域内分别存在竖直方向的匀强磁场，磁感应强度分别为
和
，其中
，方向向下。用不可伸长的轻绳跨过固定轻滑轮将导轨CD 段中点与
质量为
的重物相连，绳与CD 垂直且平行于桌面。如图所示，某时刻MN、CD 同时
分别进入磁场区域I 和Ⅱ并做匀速直线运动，MN、CD 与磁场边界平行。MN 的速度
，CD 的速度为
且
，MN 和导轨间的动摩擦因数为0.2。重力加速度大小
取
，下列说法正确的是（ ）
A．
的方向向上B．
的方向向下
C．
D．
三、解答题
6．（2023·湖南·统考高考真题）如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距
为
，两导轨及其所构成的平面均与水平面成
角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上
的匀强磁场中，磁感应强度大小为
．现将质量均为
的金属棒
垂直导轨放置，每根
金属棒接入导轨之间的电阻均为
。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属
棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为
。
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（1）先保持棒
静止，将棒
由静止释放，求棒
匀速运动时的速度大小
；
（2）在（1）问中，当棒
匀速运动时，再将棒
由静止释放，求释放瞬间棒
的加速度大
小
；
（3）在（2）问中，从棒
释放瞬间开始计时，经过时间
，两棒恰好达到相同的速度，
求速度的大小，以及时间
内棒
相对于棒
运动的距离
。
7．（2022·福建·高考真题）如图（a），一倾角为
的绝缘光滑斜面固定在水平地面上，其
顶端与两根相距为L 的水平光滑平行金属导轨相连；导轨处于一竖直向下的匀强磁场中，
其末端装有挡板M、N．两根平行金属棒G、H 垂直导轨放置，G 的中心用一不可伸长绝缘
细绳通过轻质定滑轮与斜面底端的物块A 相连；初始时刻绳子处于拉紧状态并与G 垂直，
滑轮左侧细绳与斜面平行，右侧与水平面平行．从
开始，H 在水平向右拉力作用下向
右运动；
时，H 与挡板M、N 相碰后立即被锁定．G 在
后的速度一时间图线如
图（b）所示，其中
段为直线．已知：磁感应强度大小
，
，G、H 和
A 的质量均为
，G、H 的电阻均为
；导轨电阻、细绳与滑轮的摩擦力均忽略不计；
H 与挡板碰撞时间极短；整个运动过程A 未与滑轮相碰，两金属棒始终与导轨垂直且接触
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良好：
，
，重力加速度大小取
，图（b）中e 为自然常数，
．求：
（1）在
时间段内，棒G 的加速度大小和细绳对A 的拉力大小；
（2）
时，棒H 上拉力的瞬时功率；
（3）在
时间段内，棒G 滑行的距离．
8．（2023·全国·统考高考真题）如图，水平桌面上固定一光滑U 型金属导轨，其平行部分
的间距为，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计。导轨所在区域有方
向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为
。一质量为
、电阻为
、长度也为的金属
棒P 静止在导轨上。导轨上质量为
的绝缘棒Q 位于P 的左侧，以大小为
的速度向P
运动并与P 发生弹性碰撞，碰撞时间很短。碰撞一次后，P 和Q 先后从导轨的最右端滑出
导轨，并落在地面上同一地点。P 在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P 与Q 始终平
行。不计空气阻力。求
（1）金属棒P 滑出导轨时的速度大小；
（2）金属棒P 在导轨上运动过程中产生的热量；
（3）与P 碰撞后，绝缘棒Q 在导轨上运动的时间。
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9．（2023·山西·统考高考真题）一边长为L、质量为m 的正方形金属细框，每边电阻为
R0，置于光滑的绝缘水平桌面（纸面）上。宽度为2L 的区域内存在方向垂直于纸面的匀强
磁场，磁感应强度大小为B，两虚线为磁场边界，如图（a）所示。
（1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框始终
与磁场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金属框
的初速度大小。
（2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻R1 =
2R0，导轨电阻可忽略，金属框置于导轨上，如图（b）所示。让金属框以与（1）中相同的
初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好。
求在金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量。
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10．（2023·浙江·统考高考真题）某兴趣小组设计了一种火箭落停装置，简化原理如图所示，
它由两根竖直导轨、承载火箭装置（简化为与火箭绝缘的导电杆MN）和装置A 组成，并
形成闭合回路。装置A 能自动调节其输出电压确保回路电流I 恒定，方向如图所示。导轨
长度远大于导轨间距，不论导电杆运动到什么位置，电流I 在导电杆以上空间产生的磁场
近似为零，在导电杆所在处产生的磁场近似为匀强磁场，大小
（其中k 为常量），
方向垂直导轨平面向里；在导电杆以下的两导轨间产生的磁场近似为匀强磁场，大小
，方向与B1相同。火箭无动力下降到导轨顶端时与导电杆粘接，以速度v0进入导
轨，到达绝缘停靠平台时速度恰好为零，完成火箭落停。已知火箭与导电杆的总质量为
M，导轨间距
，导电杆电阻为R。导电杆与导轨保持良好接触滑行，不计空气阻
力和摩擦力，不计导轨电阻和装置A 的内阻。在火箭落停过程中，
（1）求导电杆所受安培力的大小F 和运动的距离L；
（2）求回路感应电动势E 与运动时间t 的关系；
（3）求装置A 输出电压U 与运动时间t 的关系和输出的能量W；
（4）若R 的阻值视为0，装置A 用于回收能量，给出装置A 可回收能量的来源和大小。
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1．如图，在磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，金属杆MN 在平行金
属导轨上以速度v 向右匀速滑动，MN 中产生的感应电动势为E1；若磁感应强度增为2B，
其他条件不变，MN 中产生的感应电动势变为E2.则通过电阻R 的电流方向及E1与E2之比
E1∶E2分别为( )
A．c→a,2∶1
B．a→c,2∶1
C．a→c,1∶2
D．c→a,1∶2
2．(多选)如图，水平放置的金属导体框abcd，ab、cd 边平行、间距为l，导体框内均
有垂直于框面、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，一单位长度电阻为r 的金属杆MN，与导
轨成θ 角，以速度v 沿平行于cd 的方向匀速滑动，金属杆滑动过程中与导轨接触良好，导
轨框电阻不计，则( )
A．M 点电势低于N 点电势
B．闭合回路中磁通量的变化率为Blv
C．金属杆所受安培力的方向与运动方向相反
D．金属杆所受安培力的大小为
3．如图所示，两根间距为l 的光滑平行金属导轨与水平面夹角为α，图中虚线下方区
域内存在磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于斜面向上．两金属杆质量均为m，
电阻均为R，垂直于导轨放置．开始时金属杆ab 处在距磁场上边界一定距离处，金属杆cd
处在导轨的最下端，被与导轨垂直的两根小柱挡住．现将金属杆ab 由静止释放，金属杆
ab 刚进入磁场便开始做匀速直线运动．已知重力加速度为g，则( )
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A．金属杆ab 进入磁场时感应电流的方向为由a 到b
B．金属杆ab 进入磁场时速度大小为
C．金属杆ab 进入磁场后产生的感应电动势为
D．金属杆ab 进入磁场后，金属杆cd 对两根小柱的压力大小为零
4．CD、EF 是两条水平放置的电阻可忽略的平行金属导轨，导轨间距为L，在水平导
轨的左侧存在磁感应强度方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场
区域的长度为d，如图所示．导轨的右端接有一电阻R，左端与一弯曲的光滑轨道平滑连接．
将一阻值也为R 的导体棒从弯曲轨道上h 高处由静止释放，导体棒最终恰好停在磁场的右
边界处．已知导体棒与水平导轨接触良好，且动摩擦因数为μ，则下列说法中正确的是(
)
A．电阻R 的最大电流为
B．流过电阻R 的电荷量为
C．整个电路中产生的焦耳热为mgh
D．电阻R 中产生的焦耳热为mg(h－μd)
5．(多选)如图所示，足够长的“U”形光滑金属导轨平面与水平面成θ 角(0＜θ＜90°)，
其中MN 与PQ 平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度大小为B 的匀强磁场垂直，导轨电
阻不计．金属棒ab 由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且接触良好，ab 棒
接入电路的部分的电阻为R，当流过ab 棒某一横截面的电荷量为q 时，棒的速度大小为
v，则金属棒ab 在这一过程中( )
A．a 点的电势高于b 点的电势
B．ab 棒中产生的焦耳热小于ab 棒重力势能的减少量
C．下滑的位移大小为
D．受到的最大安培力大小为sin θ
6．(多选)如图甲所示，水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为L，一
端通过导线与阻值为R 的电阻连接．导轨上放一质量为m 的金属杆，金属杆、导轨的电阻
均忽略不计，匀强磁场垂直导轨平面向下．用与导轨平行的恒定拉力F 作用在金属杆上，
杆最终将做匀速运动．当改变拉力的大小时，金属杆做匀速运动时的速度v 也会变化，v
和F 的关系如图乙所示．下列说法正确的是( )
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A．金属杆在匀速运动之前做匀加速直线运动
B．流过电阻R 的电流方向为a→R→b
C．由图象可以得出B、L、R 三者的关系式为＝
D．当恒力F＝3 N 时，电阻R 消耗的最大电功率为8 W
7．（多选）在图中，EF、GH 为平行的金属导轨，其电阻不计，R 为电阻，C 为电容
器，AB 为可在EF 和GH 上滑动的导体棒。有匀强磁场垂直于导轨平面。若用I1和I 别表示
图中该处导线中的电流，则当AB 棒（ ）
A．匀速滑动时，I1 = 0，I2 = 0
B．匀速滑动时，I1 ≠ 0，I2 = 0
C．减速滑动时，I1 ≠ 0，I2≠ 0
D．减速滑动时，I1 = 0，I2 = 0
8．（多选）如图，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，左右两侧导轨的间距分别为
l、2l，导轨间存在竖直向上磁感应强度大小为B 的匀强磁场。质量分别为m、2m 的导体棒
a、b 均垂直导轨放置，回路总电阻保持不变。a、b 两棒分别以
、
的初速度同时向右
运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持接触良好，a 总在窄轨上运动，b 总在宽轨
上运动，从开始运动到两棒稳定的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．a 棒的加速度始终等于b 棒的加速度
B．a 棒的加速度始终大于b 棒的加速度
C．稳定时a 棒的速度大小为
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D．稳定时a 棒的速度大小为
9．如图所示，足够长平行金属导轨倾斜放置，倾角为
，宽度为
，电阻忽略不
计，其上端接一小灯泡，电阻为
。导体棒
垂直于导轨放置，质量为
，电阻
为
，两端与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为0.5。在整个导轨间存在着垂直
于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为
。将导体棒由静止释放，运动
后，小灯泡稳
定发光，此后导体棒的运动速度保持不变，（重力加速度
取
，
，
），求：
（1）导体棒速度为
时棒所受的安培力大小和方向；
（2）导体棒匀速运动时的速度大小；
（3）导体棒从静止到匀速的过程中通过小灯泡的电量。
（4）导体棒从静止到匀速的过程中整个电路产生的焦耳热。
10．如图所示，间距
的粗糙倾斜金属轨道与水平面间的夹角
，在其顶端
与阻值为
的定值电阻相连，间距相同的光滑金属轨道固定在水平面上，两轨道都足够长
且在
处平滑连接，
至
间是光滑绝缘带，保证倾斜轨道与水平轨道间电流不导
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通。倾斜轨道处有垂直轨道向上、磁感应强度大小为
的匀强磁场，水平轨道处有
竖直向上。磁感应强度大小为
的匀强磁场。两根导体棒1、2 的质量均为
，
两棒接入电路部分的电阻均为
，初始时刻，导体棒1 放置在倾斜轨道上，且距离
足
够远，导体棒2 静置于水平轨道上，已知倾斜轨道与导体棒1 间的动摩擦因数
，
。现将导体棒1 由静止释放，运动过程中未与导体棒2 发生碰撞。
，
，重力加速度
，两棒与轨道始终垂直且接触良好，导轨电阻不计。
下列说法正确的是（ ）
A．导体棒1 滑至
瞬间的速度大小为
B．导体棒1 滑至
瞬间，导体棒2 的加速度大小为
C．稳定时，导体棒2 的速度大小为
D．整个运动过程中通过导体棒2 的电荷量为0.32C
11．如图1 所示，两光滑平行导轨固定且与水平面的夹角θ=30°，底端接有一阻值为R
的电阻，质量为m、有效阻值为
的金属棒与导轨接触良好，被细绳拉住，与导轨及电阻
R 构成一个边长为L 的正方形回路，空间中存在方向垂直于导轨平面向上的磁场，其磁感
应强度B 随时间t 变化的关系如图2 所示，在t0时刻，细绳刚好被拉断，此时磁感应强度大
小达到B0，金属棒沿斜面向下运动0.5L 达到最大速度，重力加速度为g，导轨电阻不计，
下列说法正确的是（ ）
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A．0.5t0时刻，细绳的拉力为
B．细绳断裂瞬间电路总功率为
C．金属棒下落的最大速度为
D．金属棒沿导轨向下运动0.5L 的过程中电阻R 上产生的热量为
12．如图所示，MN、PQ 是两根间距为L 且电阻不计的足够长平行金属导轨，左侧弧
形部分光滑，右侧水平部分粗糙且处在磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，磁场方向与水
平导轨平面夹角为
，导轨右端接一阻值为R 的定值电阻。一质量为m、长度为L 的金属
棒，垂直导轨放置，与水平导轨间的动摩擦因数为
。现让其从导轨左端h 高处由静止释
放，进入磁场后经时间t 停止运动。已知金属棒电阻为R，与导轨间接触良好，且始终与磁
场垂直，则金属棒进入磁场区域后（ ）
A．定值电阻R 产生的焦耳热为
B．金属棒在水平导轨上运动时所受摩擦力越来越小
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C．定值电阻R 两端的最大电压为
D．金属棒在磁场中运动的距离为
13．如图所示，足够长的光滑金属导轨水平固定于竖直向上的匀强磁场中，窄轨的间
距为
，宽轨的间距为L，两根完全相同的导体棒
、
垂直于导轨静止放置并与导轨
接触良好，导体棒的长度均为L，现使导体棒
瞬间获得一个向右的初速度开始运动，
已知导体棒
在到达宽窄导轨的连接处之前就已经匀速运动，经过足够长的时间，两根
导体棒都在宽轨上匀速运动，不考虑导体棒
经过宽窄导轨的连接处时速度的变化。下
列说法中正确的是（ ）
A．导体棒
前后两次匀速运动的速率之比为3：2
B．导体棒
前后两次匀速运动的速率之比为1：2
C．导体棒
分别在窄轨上和宽轨上运动的过程中，通过回路的电荷量之比为1：3
D．导体棒
分别在窄轨上和宽轨上运动的过程中，回路中产生的焦耳热之比为5：9
14．如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨
、
水平放置，
两侧导轨
所在空间区域，导轨间距分别为
和
，磁感应强度分别为
和
，方向分别为竖直向
上和竖直向下，
，
，电阻均为R、质量均为m 的导体棒a、b 垂
直导轨放在
左右两侧，并与导轨保持良好接触，不计其他电阻．现给导体棒b 一个水
平向右的瞬时冲量I，关于a、b 两棒此后整个运动过程，下列说法正确的是（ ）
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A．a、b 两棒组成的系统动量守恒
B．a、b 两棒最终都将以大小为
的速度做匀速直线运动
C．整个过程中，a 棒上产生的焦耳热为
D．整个过程中，通过a 棒的电荷量为
15．如图所示，间距为L 的足够长光滑平行金属导轨MN、PQ 固定在绝缘水平面上，
质量均为m 的金属棒ab、cd 垂直放在导轨上，两金属棒接入电路的电阻均为R，垂直于导
轨的虚线ef 左侧有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，虚线ef
的右侧没有磁场，给金属棒ab 一个水平向右的初速度v0，已知cd 棒到达ef 前已匀速运动，
ab、cd 棒不会发生相碰，两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，ab 棒出磁场时
速度刚好为零，则下列说法正确的是（ ）
A．cd 棒最终速度为零
B．cd 棒从静止运动到ef 过程中通过的电荷量为
C．整个过程，金属棒ab 中产生的焦耳热为
D．整个过程，金属棒ab 克服安培力做的功为
16．如图所示，在匀强磁场中竖直放置两条足够长的平行导轨，磁场方向与导轨所在
平面垂直，磁感应强度大小
，两导轨间距L＝1.0m，两水平金属棒a 和b 接入电
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路的电阻都为R＝2.0Ω，质量分别为
和
，它们始终与导轨接触良
好，并可沿导轨无摩擦滑动。若将b 棒固定，用一竖直向上的恒力F 拉a 棒，稳定后a 棒
向上匀速运动，此时再释放b 棒，b 棒恰能保持静止。不计导轨电阻，取
。
（1）求a 棒向上匀速运动的速度
和拉力F 的大小；
（2）若将a、b 棒都固定，使磁感应强度从
随时间均匀增加，经
后磁
感应强度增大到
时，a 棒受到的安培力大小
，求两棒间的距离h。
17. 如图所示，两条足够长的平行金属导轨相距L，与水平面的夹角为θ，整个空间存
在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，虚线上方轨道光滑且磁场方向垂
直导轨平面向上，虚线下方轨道粗糙且磁场方向垂直导轨平面向下．当导体棒EF 以初速
度v0沿导轨上滑至最大高度的过程中，导体棒MN 一直静止在导轨上，若两导体棒质量均
为m、电阻均为R，导轨电阻不计，重力加速度为g，在此过程中导体棒EF 上产生的电热
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为Q，求：
(1)导体棒MN 受到的最大摩擦力；
(2)导体棒EF 上升的最大高度．
18．如图甲所示，足够长的光滑导轨倾角为30°，间距L＝1 m，电阻不计，恒定的非
匀强磁场方向垂直于斜面向下，电阻R＝1 Ω，导体棒ab 质量m＝0.25 kg，其电阻r＝1
Ω，垂直于导轨放置．现导体棒ab 从磁场上边界由静止下滑，测得导体棒所到达位置的磁
感应强度B 与导体棒在该位置速度之间的关系如图乙所示，(g 取10 m/s2)
(1)求导体棒下滑2 s 时的速度和位移；
(2)求导体棒下滑2 s 内回路中产生的焦耳热．
19．如图甲所示，两根足够长平行金属导轨MN、PQ 相距为L，导轨平面与水平面夹
角为α，金属棒ab 垂直于MN、PQ 放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量
为m.导轨处于匀强磁场中，磁场的方向垂直于导轨平面斜向上，磁感应强度大小为B.金属
导轨的上端与开关S、定值电阻R1和电阻箱R2相连．不计一切摩擦，不计导轨、金属棒的
电阻，重力加速度为g.现在闭合开关S，将金属棒由静止释放．
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(1)判断金属棒ab 中电流的方向；
(2)若电阻箱R2接入电路的阻值为0，当金属棒下降高度为h 时，速度为v，求此过程
中定值电阻上产生的焦耳热Q；
(3)当B＝0.40 T，L＝0.50 m，α＝37°时，金属棒能达到的最大速度vm随电阻箱R2阻值
的变化关系，如图乙所示．取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80.求R1的阻值和金属
棒的质量m.
20．如图所示，电阻不计、间距L＝1 m、足够长的光滑金属导轨ab、cd 与水平面成θ
＝37°角，导轨平面矩形区域efhg 内分布着磁感应强度大小B＝1 T、方向垂直导轨平面向
上的匀强磁场，边界ef、gh 之间的距离D＝1.4 m．现将质量m＝0.1 kg、电阻R＝ Ω 的导
体棒P、Q 相隔Δt＝0.2 s 先后从导轨顶端由静止自由释放，P、Q 在导轨上运动时始终与导
轨垂直且接触良好，P 进入磁场时恰好匀速运动，Q 穿出磁场时速度为2.8 m/s.已知重力加
速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：
(1)导轨顶端与磁场上边界ef 之间的距离s；
(2)从导体棒P 释放到Q 穿出磁场的过程，回路中产生的焦耳热Q 总．
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21．如图所示，足够长的光滑平行金属导轨cd 和ef 水平放置，在其左端连接倾角为θ
＝37°的光滑金属导轨ge、hc，导轨间距均为L＝1 m，在水平导轨和倾斜导轨上，各放一
根与导轨垂直的金属杆，金属杆与导轨接触良好。金属杆a、b 质量均为M＝0.1 kg，电阻
Ra＝2 Ω、Rb＝3 Ω，其余电阻不计。在水平导轨和斜面导轨区域分别有竖直向上和竖直向下
的匀强磁场B1、B2，且B1＝B2＝0.5 T。已知从t＝0 时刻起，杆a 在外力F1作用下由静止开
始水平向右运动，杆b 在水平向右的外力F2作用下始终保持静止状态，且F2＝0.75＋0.2t
（N）。（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取10 m/s2）
（1）判断杆a 的电流方向并通过计算说明杆a 的运动情况；
（2）从t＝0 时刻起，求1 s 内通过杆b 的电荷量；
（3）若从t＝0 时刻起，2 s 内作用在杆a 上的外力F1做功为13.2 J，则求这段时间内杆b 上
产生的热量。
22．如图，平行光滑导轨的左侧AB 和
是竖直平面内半径为R 的四分之一圆弧，
BE、
处于同一水平面，AC 和
间距为L，DE 和
间距为2L，AC、
、DE、
均足够长（MN 始终位于
左侧运动），AC 和DE、
和
通过导线连接，其
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中
右侧导轨平面都处在竖直向上磁感应强度为B 的匀强磁场中。现将长度为2L 的导体
棒PQ 垂直导轨放置于DE 和
上，将长度为L 的导体棒MN 垂直导轨放置于
端，由
静止释放导体棒MN，导体棒运动的过程中始终与导轨垂直且接触良好。已知导体棒MN
和PQ 材料、横截面积均相同，导体棒MN 质量为m，电阻为r，重力加速度为g，不计导
轨电阻。求：
（1）导体棒MN 刚进入磁场时的速度大小；
（2）导体棒MN 刚进入磁场时，导体棒PQ 的加速度大小；
（3）导体棒MN 最终稳定的速度大小以及从释放MN 至两导体棒稳定运动的整个过程中导
体棒MN 产生的焦耳热。
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