文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
第22 讲 电磁感应现象的“双杆”模型
【模型一 等间距平行导轨的双杆模型 】
类型1 有初速度的光滑等间距双杆模型
类型2 力的作用下的光滑等间距双杆模型
类型3 其他情况下的等间距双杆模型
【模型二 不等间距平行导轨的双杆模型 】
类型1 有初速度的不等间距双杆模型
类型2 恒力的作用下的不等间距双杆模型
【模型三 典型导线框穿磁场模型 】
类型1 在安培力作用下穿越磁场模型
类型2 在恒力F(包括重力mg)和安培力作用下穿越磁场模型
1．初速度不为零，不受其他水平外力的作用
光滑的平行导轨
光滑不等距导轨
示意图
质量mb＝ma
电阻rb＝ra
长度Lb＝La
质量mb＝ma
电阻rb＝ra
长度Lb＝2La
力学观点
杆b 受安培力做变减速运动，杆
a 受安培力做变加速运动，稳定
时，两杆的加速度均为零，以相
等的速度匀速运动
杆b 受安培力做变减速运动，杆
a 受安培力做变加速运动，稳定
时，两杆的加速度均为零，两杆
的速度之比为1∶2
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
运动图像
能量观点
一部分动能转化为内能：Q＝－ΔEk
动量观点
两杆组成的系统动量守恒
两杆组成的系统动量不守恒
对单杆可以用动量定理
2.初速度为零，一杆受到恒定水平外力的作用
光滑的平行导轨
不光滑的平行导轨
示意图
质量mb＝ma
电阻rb＝ra
长度Lb＝La
质量mb＝ma
电阻rb＝ra
长度Lb＝La
摩擦力Ffb＝Ffa
力学观点
开始时，两杆受安培力做变加速
运动；稳定时，两杆以相同的加
速度做匀加速运动
开始时，若Ff<F≤2Ff，则a 杆先
变加速后匀速运动；b 杆静止。
若F>2Ff，a 杆先变加速后匀加速
运动，b 杆先静止后变加速最后
和a 杆同时做匀加速运动，且加
速度相同
运动图像
能量观点
F 做的功转化为两杆的动能和内
能：WF＝ΔEk＋Q
F 做的功转化为两杆的动能和内
能(包括电热和摩擦热)：
WF＝ΔEk＋Q 电＋Qf
动量观点
两杆组成的系统动量不守恒
对单杆可以用动量定理
两杆组成的系统动量不守恒
对单杆可以用动量定理
注：对于不在同一平面上运动的双杆的问题，动量守恒定律不适用，可以用牛顿运动定律、能量观点、
动量定理进行解决。
3.典型导线框模型
示意图
动力学观点
能量观点
动量观点
在安培力作用下穿越
磁场(磁场宽度足够
以进入磁场时为例，设运动过程
中某时刻的速度为v，加速度大
部分(或全部)
动能转化为焦
动量不守恒，可用动量定理分析
导线框的位移、速度、通过导线
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
大)
小为a，则a＝，a 与v 方向相
反，导线框做减速运动，
v↓⇒a↓，即导线框做加速度减
小的减速运动，最终匀速运动
(全部进入磁场)或静止(导线框
离开磁场过程的分析相同)
耳热：
Q＝－ΔEk
横截面的电荷量和除安培力之外
恒力作用的时间：
(1)求电荷量或速度：
－B·LΔt＝mv2－mv1，q＝
Δt；
(2)求位移：－＝v 末－mv0，即
－＝v 末－mv0；
(3)求时间：①－BLΔt＋F 其他
·Δt＝mv2－mv1，即－BLq＋F 其
他·Δt＝mv2－mv1
已知电荷量q，F 其他为恒力，可
求出变加速运动的时间；
②－＋F 其他·Δt＝mv2－mv1，即
－＋F 其他·Δt＝mv2－mv1
若已知位移x，F 其他为恒力，也
可求出变加速运动的时间
在恒力F(包括重力
mg)和安培力作用下
穿越磁场(磁场宽度
足够大)
以进入磁场的过程为例，设运动
过程中某时刻导线框的速度为
v，加速度为a＝－。
(1)若进入磁场时＝，则导线框
匀速运动；
(2)若进入磁场时>，则导线框做
加速度减小的加速运动(直至匀
速)；
(3)若进入磁场时<，则导线框做
加速度减小的减速运动(直至匀
速)(导线框离开磁场过程的分析
相同)
力F 做的功等于
导线框的动能
变化量与回路
中产生的焦耳
热之和：WF＝
ΔEk＋Q
【模型一 等间距平行导轨的双杆模型 】
类型1 有初速度的光滑等间距双杆模型
【模型建立】
1．电路特点：棒2 相当于电源；棒1 受安培力而加速起动,运动后产生反电动势.
2．电流特点：
I=
Blv 2−BLv 1
R1+R2
=
Bl(v2−v1)
R1+R2
随着棒2 的减速、棒1 的加速，两棒的相对速度
v2−v1变小，回路中电流也变小；
v1=0
时：电流最
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
大，
I= Blv 0
R1+R2 。
v1=v2时：电流 I=0
3．两棒的运动情况
安培力大小
F安=BIl=
B2 L2(v2−v1)
R1+R2
，
两棒的相对速度变小,感应电流变小,安培力变小.棒1 做加速度
变小的加速运动，棒2 做加速度变小的减速运动，最终两棒具有共同速度。
4．两个规律：
(1)动量规律：两棒受到安培力大小相等方向相反,系统合外力为零,系统动量守恒.
m2v0=(m1+m2)v共
(2)能量规律：系统机械能的减小量等于内能的增加量.（类似于完全非弹性碰撞）
Q=1
2 m2v0
2−1
2 (m1+m2)v共
2
两棒产生焦耳热之比：
Q1
Q2
= R1
R2 ；
Q=Q1+Q2
【典例1】（2025·湖北·高考真题）如图（a）所示，相距L 的两足够长平行金属导轨放在同一水平面
内，两长度均为L、电阻均为R 的金属棒ab、cd 垂直跨放在两导轨上，金属棒与导轨接触良好。导轨电阻
忽略不计。导轨间存在与导轨平面垂直的匀强磁场，其磁感应强度大小B 随时间变化的图像如图（b）所
示，
时刻，
。
时刻，两棒相距
，ab 棒速度为零，cd 棒速度方向水平向右，并与棒垂直，
则0~T 时间内流过回路的电荷量为（ ）
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】如图，M、N 是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，导轨足够长且电阻可忽略不计；
导轨间有一垂直于水平面向下的匀强磁场，其左边界
垂直于导轨；阻值恒定的两均匀金属棒a、b 均垂
直于导轨放置，b 始终固定。a 以一定初速度进入磁场，此后运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，并与
b 不相碰。以O 为坐标原点，水平向右为正方向建立x 轴坐标；在运动过程中，a 的速度记为v，a 克服安
培力做功的功率记为P。下列v 或P 随x 变化的图像中，可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2023·全国甲卷·高考真题）如图，水平桌面上固定一光滑U 型金属导轨，其平行部分的
间距为，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计。导轨所在区域有方向竖直向上的匀强
磁场，磁感应强度大小为
。一质量为
、电阻为
、长度也为的金属棒P 静止在导轨上。导轨上质量
为
的绝缘棒Q 位于P 的左侧，以大小为
的速度向P 运动并与P 发生弹性碰撞，碰撞时间很短。碰撞
一次后，P 和Q 先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点。P 在导轨上运动时，两端与导轨
接触良好，P 与Q 始终平行。不计空气阻力。求
（1）金属棒P 滑出导轨时的速度大小；
（2）金属棒P 在导轨上运动过程中产生的热量；
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
（3）与P 碰撞后，绝缘棒Q 在导轨上运动的时间。
【变式1-3】如图所示，水平面上有相距为L 的两光滑平行金属导轨，导轨上静止放置着金属杆a 和
b(杆a、b 均与导轨垂直)，两杆均位于匀强磁场的左侧，让杆a 以速度v 向右运动，当杆a 与杆b 发生弹性
碰撞后，两杆先后进入右侧的磁场中，当杆a 刚进入磁场时，杆b 的速度刚好为a 的一半．已知杆a、b 的
质量分别为2m 和m，接入电路的电阻均为R，其他电阻忽略不计，设导轨足够长，磁场足够大，则( )
A．杆a 与杆b 碰撞后，杆a 的速度为，方向向右
B．杆b 刚进入磁场时，通过b 的电流为
C．从b 进入磁场至a 刚进入磁场时，该过程产生的焦耳热为mv2
D．杆a、b 最终具有相同的速度，大小为
【变式1-4】(多选)如图，P、Q 是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为L，导轨足够长
且电阻可忽略不计。图中EFGH 矩形区域有一方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。在
t＝t1时刻，两均匀金属棒a、b 分别从磁场边界EF、GH 进入磁场，速度大小均为v0；一段时间后，流经a
棒的电流为0，此时t＝t2，b 棒仍位于磁场区域内。已知金属棒a、b 由相同材料制成，长度均为L，电阻
分别为R 和2R，a 棒的质量为m。在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，a、b 棒没有相碰，
则( )
A．t1时刻a 棒加速度大小为
B．t2时刻b 棒的速度为0
C．t1～t2时间内，通过a 棒横截面的电荷量是b 棒的2 倍
D．t1～t2时间内，a 棒产生的焦耳热为mv
【变式1-5】如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。
区域有匀强磁场，磁感
应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M 以初速度
向右运动，磁场内的细金属
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
杆N 处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均为m，在导轨
间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。
（1）求M 刚进入磁场时受到的安培力F 的大小和方向；
（2）若两杆在磁场内未相撞且N 出磁场时的速度为
，求：①N 在磁场内运动过程中通过回路的电
荷量q；②初始时刻N 到
的最小距离x；
（3）初始时刻，若N 到
的距离与第（2）问初始时刻的相同、到
的距离为
，求M 出磁
场后不与N 相撞条件下k 的取值范围。
类型2 恒力的作用下的光滑等间距双杆模型
【模型】
1．电路特点：棒2 相当于电源，棒1 受安培力而起动.
2．运动分析：某时刻回路中电流：
I=
Blv 2−BLv 1
R1+R2
=
Bl(v2−v1)
R1+R2
安培力大小：
F安=BIL
。棒1：
a1=
F安
m1 棒2：
a2=
F−F安
m2
最初阶段，a2>a1, 只要a2>a1,(v2−v1)↑
；I ↑；
F安↑
；a1↑
；a2↓
当
a1=a2时，
v2−v1恒定，I 恒定，
F安恒定，两棒匀加速
3．稳定时的速度差
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
F=(m1+m2)a
，
F安=m1a
，
F安=BIL
，
I=
Bl(v2−v1)
R1+R2
，
v2−v1= ( R1+R2)m1 F
B2 L2(m1+m2)
【典例2】（2024·辽宁·高考真题）如图，两条“∧”形的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间
距为L，左、右两导轨面与水平面夹角均为30°，均处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小分别为
2B 和B。将有一定阻值的导体棒ab、cd 放置在导轨上，同时由静止释放，两棒在下滑过程中始终与导轨
垂直并接触良好，ab、cd 的质量分别为2m 和m，长度均为L。导轨足够长且电阻不计，重力加速度为g，
两棒在下滑过程中（ ）
A．回路中的电流方向为abcda
B．ab 中电流趋于
C．ab 与cd 加速度大小之比始终为2︰1
D．两棒产生的电动势始终相等
【变式2-1】（2023·河北·高考真题）如图，绝缘水平面上四根完全相同的光滑金属杆围成矩形，彼此
接触良好，匀强磁场方向竖直向下。金属杆2、3 固定不动，1、4 同时沿图箭头方向移动，移动过程中金
属杆所围成的矩形周长保持不变。当金属杆移动到图位置时，金属杆所围面积与初始时相同。在此过程中
（ ）
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．金属杆所围回路中电流方向保持不变
B．通过金属杆截面的电荷量随时间均匀增加
C．金属杆1 所受安培力方向与运动方向先相同后相反
D．金属杆4 所受安培力方向与运动方向先相反后相同
【变式2-2】如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为
，两导轨及其所构成的平
面均与水平面成
角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为
．现将质
量均为
的金属棒
垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为
。运动过程中金属棒与导轨
始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为
。
（1）先保持棒
静止，将棒
由静止释放，求棒
匀速运动时的速度大小
；
（2）在（1）问中，当棒
匀速运动时，再将棒
由静止释放，求释放瞬间棒
的加速度大小
；
（3）在（2）问中，从棒
释放瞬间开始计时，经过时间
，两棒恰好达到相同的速度，求速度的
大小，以及时间
内棒
相对于棒
运动的距离
。
【变式2-3】如图所示，水平面上放置足够长的光滑导轨，一对相互平行的完全相同的导体棒
、
静
置在导轨上。虚线
两侧均有竖直方向的匀强磁场，左侧磁场竖直向下，磁感应强度大小为
，右侧磁
场竖直向上，磁感应强度大小为
，除导体棒外其他电阻不计。现对棒
施加向左的恒力
，导体棒始
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
终与导轨垂直且接触良好，则（ ）
A．回路中电流方向始终为逆时针，电流逐渐减小为零
B．导体棒
在相同时间内所受安培力的冲量大小总为导体棒
的一半
C．导体棒
、
经足够长时间均做匀加速直线运动，且
、
加速度大小相同
D．导体棒
、
经足够长时间均做匀加速直线运动，且导体棒
的加速度为
的2 倍
【变式2-4】两根足够长不计电阻的光滑平行金属导轨上垂直放置两根完全相同的导体棒ab、cd，装
置处于垂直导轨平面的匀强磁场中，如图所示。t=0 时，对cd 施加向右的恒力F，下列图像中，v、a、d、i
分别为导体棒的速度、加速度、间距和电流，则不可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-5】如图所示，平行光滑金属导轨间距为
，导轨处在竖直向上的匀强磁场中，两根长度均
为
材料相同的金属棒
、
垂直于导轨平行放置，与导轨始终接触良好，
、
金属棒质量分别为
、
。
棒的电阻为
。开始时
棒锁定在轨道上，对
棒施加水平向右的恒定拉力
，经时间，
棒的速度达到最大值，此时撤去拉力，同时解除对
棒的锁定，导轨足够长且电阻不计。则（ ）
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．匀强磁场的磁感应强度大小
为
B．撤去拉力前
棒前进的距离为
C．撤去拉力前
棒前进的距离为
D．全过程中
棒产生的焦耳热为
类型3 其他情况下的等间距双杆模型
【典例3】（2022·湖南·高考真题）如图，间距
的U 形金属导轨，一端接有
的定值电阻
，
固定在高
的绝缘水平桌面上。质量均为
的匀质导体棒a 和b 静止在导轨上，两导体棒与导轨
接触良好且始终与导轨垂直，接入电路的阻值均为
，与导轨间的动摩擦因数均为0.1（设最大静摩擦
力等于滑动摩擦力），导体棒
距离导轨最右端
。整个空间存在竖直向下的匀强磁场（图中未画
出），磁感应强度大小为
。用
沿导轨水平向右的恒力拉导体棒a，当导体棒a 运动到导轨最
右端时，导体棒b 刚要滑动，撤去
，导体棒a 离开导轨后落到水平地面上。重力加速度取
，不计
空气阻力，不计其他电阻，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒a 离开导轨至落地过程中，水平位移为
B．导体棒a 离开导轨至落地前，其感应电动势不变
C．导体棒a 在导轨上运动的过程中，导体棒b 有向右运动的趋势
D．导体棒a 在导轨上运动的过程中，通过电阻
的电荷量为
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【变式3-1】如图所示，光滑的平行长导轨水平放置，质量相等的导体棒
和
静止在导轨上，与导
轨垂直且接触良好。已知
的电阻大于
的电阻，两棒间的距离为d，不计导轨电阻，忽略电流产生的磁
场。将开关S 从1 拨到2，两棒运动一段时间后达到稳定状态，则（ ）
A．S 拨到2 的瞬间，
中的电流大于
中的电流
B．S 拨到2 的瞬间，
的加速度小于
中的加速度
C．运动稳定后，电容器C 的电荷量为零
D．运动稳定后，两棒之间的距离大于d
【变式3-2】如图，电阻不计足够长的金属导轨水平平行放置，处于方向竖直向下的匀强磁场中。与
导轨等宽的导体棒MN 和PQ 垂直于导轨放置，MN 质量为m，PQ 质量为2m，导体棒电阻不同，它们与导
轨间的动摩擦因数均为μ。现对MN 施加一水平恒力F 作用，则下列说法正确的是（ ）
A．只要F 大于
，时间足够长，PQ 一定会向右运动
B．只要F 大于
，时间足够长，PQ 一定会向右运动
C．若MN 向右匀加速，则PQ 一定也向右匀加速但两者加速度不相同
D．若PQ 向右匀加速，则MN 一定也向右匀加速，且两者加速度相同
【变式3-3】如图所示，平面内有足够长的间距为L 的光滑平行金属导轨MN、PQ 水平固定放置，导
轨处在垂直于导轨平面向上的有界匀强磁场中（虚线是磁场的左边界，其右侧磁场区域足够大）。两根材
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
质相同的金属棒ab、cd 垂直导轨放置，长度均为L，质量分别为2m、m，金属棒cd 恰好位于磁场的左边
界内。现给金属棒ab 向右的初速度v0，两金属棒发生弹性碰撞，碰撞时间极短。已知两金属棒与导轨始终
接触良好，金属棒ab 的电阻为R，导轨的电阻不计，下列说法正确的是（ ）
A．碰撞结束的瞬间，流过金属棒ab 的电流是
B．碰撞结束的瞬间，流过金属棒cd 的电流是
C．最终金属棒ab、cd 相距
D．最终金属棒cd 上产生的热量为
【变式3-4】如图所示，水平金属圆环由外环和内环构成，其半径分别为
，
，沿半
径方向放置的金属杆固定在圆环上，金属圆环和金属杆以角速度
绕中心轴线转动。两环通过电
刷用导线连接间距为L＝0.5m 的两条平行光滑水平金属导轨PM、
，水平金属导轨接有理想电容器，
电容C=1F。
右侧是水平绝缘导轨。导体棒ab、cd，垂直静止放置于
两侧，质量分别为
m1=0.1kg，m2=0.2kg，电阻均为r=0.1Ω。ab 放置位置与
距离足够长，所有导轨均光滑，除已知电阻外，
其余电阻均不计。整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度B=1T，忽略磁场对电容器的影响。下
列说法正确的是（ ）
A．水平金属圆环中金属杆产生的电动势为0.2V
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
B．S 掷向1，稳定后电容器所带电荷量的大小q=0.3C
C．S 掷向1，稳定后再将S 掷向2，导体棒ab 到达
的速度大小是
D．S 掷向1，稳定后再将S 掷向2，导体棒ab 到达
时通过导体棒cd 的电荷量是
【变式3-5】如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，两根足够长
的光滑金属轨道间距为d，电阻不计。轨道最左侧接入由电动势为E 的直流电源、电容为C 的电容器、单
刀双掷开关S 构成的电路。质量为m、电阻为R 的金属棒a 垂直放置于轨道左侧某处，质量为3m 的绝缘棒
b 垂直放置于轨道上。现将S 接1，待电容器充电完毕后将S 接2，a 运动达到稳定状态后，再与b 发生弹
性碰撞。a、b 均始终与轨道接触良好。下列说法正确的是（ ）
A．S 接通1 稳定时，电容器的电量Q=CE
B．S 接通2 瞬间，金属棒a 的加速度为
C．a、b 碰前瞬间，a 的速度为
D．a、b 碰后瞬间，a 的速度方向向左
【模型二 不等间距平行导轨的双杆模型 】
类型1 有初速度的不等间距双杆模型
【模型建立】
1.运动过程：a 棒减速，b 棒加速，E＝BL1va－BL2vb由va↓vb↑⇒E↓⇒F 安↓⇒a↓，当BL1va＝BL2vb时，
a＝0，两棒匀速
2.动力学观点：最终速度
3.能量观点：动能转化为焦耳热
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
4.动量观点：BIL1t＝mv0－mva BIL2t＝mvb－0
【典例4】如图所示的光滑金属轨道由左、右两段足够长的轨道拼接而成，整个轨道固定在水平面内，
左侧两平行导轨间距为
，在上面搁置导体棒2（长度为
，质量为
，电阻为
），右侧两平行
导轨间距为
，在上面搁置导体棒1（长度为
，质量为
，电阻为
），导轨电阻不计，整个轨道所在
的空间中有垂直于轨道平面的匀强磁场。现在给棒1 一个初速度
，它通过安培力带动棒2 向右运动，运
动过程中棒1、棒2 均与导轨良好接触。下列说法正确的是（ ）
A. 两棒一直做减速运动，最终速度为0
B. 棒1 和棒2 的最终速度分别为
和
C. 两棒在运动过程中的同一时刻加速度大小不相等
D. 整个过程中两棒上产生的焦耳热为
【变式4-1】如图所示，M、N、P、Q 四条光滑的足够长的金属导轨平行放置，导轨间距分别为2L 和
L，两组导轨间由导线相连，装置置于水平面内，导轨间存在竖直向下的磁感应强度为B 的匀强磁场，两根
质量均为m、接入电路的电阻均为R 的导体棒C、D 分别垂直于导轨放置，且均处于静止状态，不计导体棒
外其余部分电阻。t＝0 时使导体棒C 获得瞬时速度v0向右运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并
与导轨接触良好，且达到稳定运动时导体棒C 未到两组导轨连接处。则下列说法正确的是( )
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．t＝0 时，导体棒D 的加速度大小为a＝
B．达到稳定运动时，C、D 两棒速度之比为1∶1
C．从t＝0 时至达到稳定运动的过程中，回路产生的内能为mv
D．从t＝0 时至达到稳定运动的过程中，通过导体棒的电荷量为
【变式4-2】如图所示的装置水平置于竖直向下、磁感应强度大小为
的匀强磁场中，电源电动势为
、内阻为
，两副平行且光滑的导轨间距分别为
与
。材质均匀的导体棒
的长度均为
，电阻
均为
，质量分别为
，垂直置于导轨上。导轨足够长且不计电阻，从闭合开关到两导体棒达到稳定
状态的全过程（ ）
A．稳定前
棒加速度之比为
B．稳定时导体棒
的速度为
C．通过
棒的电量
D．导体棒
中产生的焦耳热为
【变式4-3】 如图所示，半径为r、间距为2L 的
光滑圆弧导轨与水平光滑导轨在M、N 处相切且平
滑连接，水平导轨由两个足够长的宽窄导轨组成，宽导轨的间距为2L，窄导轨的宽度为L，虚线MN 右侧
存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两根粗细相同、材质相同的均匀金属棒a、b 分别放在宽
窄导轨上，长度与导轨宽度相同，a 棒的质量为m，电阻为R。a 棒从
圆弧导轨顶端由静止沿圆弧导轨滑
下，到a、b 棒运动稳定的整个过程中，两棒始终与导轨接触良好且垂直于导轨，不计导轨的电阻，重力
加速度为g。在a、b 棒整个运动过程中，下列说法正确的是（ ）
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A. a 棒克服安培力做的功大于安培力对b 棒做的功
B. b 棒的最大加速度大小为
C. b 棒上产生的焦耳热为
D. 流过b 棒的电荷量为
【变式4-4】如图所示，空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，足够长的光滑平行金属
导轨水平放置，导轨左右两部分的间距分别为l、2l；质量分别为m、2m 的导体棒a、b 均垂直导轨放置，
导体棒a 接入电路的电阻为R，其余电阻均忽略不计；a、b 两棒分别以v0、2v0的初速度同时向右运动，两
棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，a 总在窄轨上运动，b 总在宽轨上运动，直到两棒达到稳
定状态，从开始运动到两棒稳定的过程中，下列说法正确的是（ ）
A.a 棒加速度的大小始终等于b 棒加速度的大小
B.稳定时a 棒的速度为1.5v0
C.电路中产生的焦耳热为3
2mv0
2
D.通过a 棒的某一横截面的电荷量为m v0
2Bl
【变式4-5】如图所示，光滑金属轨道由左、右两段足够长的轨道拼接而成，整个轨道固定在水平面
内。左、右侧两平行轨道间距分别为2L、L，左、右侧轨道所在的空间中分别有垂直于轨道平面向里、向
外的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。材料、横截面积均相同的导体棒a、b 分别垂直于左、右
侧轨道放置，且导体棒长度分别为2L、L。某时刻质量为m、电阻为R 的导体棒b 获得水平向右、大小为
的初速度，一段时间后两导体棒达到稳定状态。轨道电阻不计，两导体棒始终与轨道接触良好。下列说
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
法正确的是（ ）
A．两导体棒重新达到稳定状态时导体棒a 的速度大小为
B．两导体棒重新达到稳定状态时导体棒b 的速度大小为
C．从导体棒b 开始运动到两导体棒重新达到稳定状态的过程中导体棒b 产生的热量为
D．从导体棒b 开始运动到两导体棒重新达到稳定状态的过程中通过导体棒b 的电荷量为
类型2 力的作用下的不等间距双杆模型
【模型】
1.动力学观点：导体棒1 做加速度逐渐减小的加速运动，导体棒2 做加速度逐渐增大的加速运动，最
终两棒以相同的加速度做匀加速直线运动
2.动量观点：系统动量不守恒
3.能量观点：外力做的功＝棒1 增加的动能＋棒2 增加的动能＋焦耳热
4.求解焦耳热Q 的三种方法
(1)焦耳定律：Q＝I2Rt，适用于电流恒定的情况。
(2)功能关系：Q＝W 克安(W 克安为克服安培力做的功)。
(3)能量转化：Q＝ΔE(其他能的减少量).
【典例5】（2023·辽宁·高考真题）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导
轨间距分别为d 和2d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为2B 和B。已知导体棒MN 的电阻为
R、长度为d，导体棒PQ 的电阻为2R、长度为2d，PQ 的质量是MN 的2 倍。初始时刻两棒静止，两棒中
点之间连接一压缩量为L 的轻质绝缘弹簧。释放弹簧，两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性
限度内。整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是
（ ）
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．弹簧伸展过程中，回路中产生顺时针方向的电流
B．PQ 速率为v 时，MN 所受安培力大小为
C．整个运动过程中，MN 与PQ 的路程之比为2：1
D．整个运动过程中，通过MN 的电荷量为
【变式5-1】如图所示，由同种材料制成的两根匀质金属棒a、b 垂直静置在足够长的光滑水平导轨上，
金属棒a、b 的质量分别为m、3m，电阻分别为R、3R，长度分别为L、3L，导轨左侧间距为L，右侧间距
为3L，两导轨处于方向竖直相反、磁感应强度大小均为B 的匀强磁场中。某时刻，金属棒a 在水平向左、
大小为F 的恒力作用下向左加速，金属棒b 随之向右加速，经时间t0后回路中的电流恒定。已知两金属棒
运动过程中始终与导轨接触良好，不计导轨的电阻，求：
(1)稳定时回路中的感应电流I；
(2)t0时间内通过回路中某截面的电荷量q。
【变式5-2】如图甲，abcd 和a'b'c'd'为在同一水平面内的固定光滑平行金属导轨，左右导轨间距分别
为2L、L，整个导轨处于竖直向下的匀强磁场中，左侧导轨间的磁感应强度大小为B0，右侧导轨间的磁感
应强度大小按图乙规律变化，两根金属杆M、N 分别垂直两侧导轨放置，N 杆与cc'之间恰好围成一个边长
为L 的正方形，M 杆中点用一绝缘细线通过轻质定滑轮与一重物相连，t=0 时释放重物，同时在N 杆中点
处施加一水平向右的拉力F，两杆在0~t0时间内均处于静止状态，从t0时刻开始，拉力F 保持不变，重物
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
向下运动x 距离时（M 杆未到达定滑轮处），速度达到最大，已知M、N 杆和重物的质量都为m，M、N 接
入电路的电阻都为R，不计导轨电阻，重力加速度为g，下列说法不正确的是（ ）
A．0~t0时间内，回路中的感应电动势为
B．0~t0时间内，施加在N 杆上的拉力F 随时间t 变化的关系为
C．重物下落的最大速度为
D．从t=0 时刻到重物达到最大速度的过程中，回路产生的焦耳热为
【变式5-3】如图所示，左右两部分间距之比为1 2∶的光滑水平导轨分别放在大小相等、方向相反且与
导轨平面垂直的匀强磁场中。两根质量均为
，电阻之比
的金属棒垂直静置在水平轨
道上。现用水平拉力
作用在CD 棒上，使其向右移动0.5m 时撤去拉力，此时
，在此
过程中CD 棒产生的热量为30J。设导轨足够长且两棒始终在不同的磁场中运动，导轨电阻不计，下列说法
正确的是（ ）
A．撤去外力时导体棒AB 的速度为4m/s
B．撤去外力F 后，棒AB、CD 的加速度始终相等
C．运动的全过程中回路产生的焦耳热为73.8J
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
D．从撤去外力到两棒达到稳定状态，棒AB、CD 运动的位移之比为1 3∶
【变式5-4】如图所示，左右两部分间距如分别为、
的光滑水平导轨分别放在大小相等、方向相
反且与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。两金属棒垂直静置在水平轨道上，已知a、b 棒
电阻分别为R、2R，质量分别为m、2m，金属导轨电阻忽略不计。对金属棒b 施加水平向右的恒力
，经
过一段时间，两金属棒中的电流达到最大值Im，此时a、b 棒加速度大小分别为a1、a2。下列说法正确的是
（ ）
A．稳定后，两棒速度保持不变
B．
C．
D．
【变式5-5】如图所示，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，以直线
为分界线，
左、右两
侧导轨的间距分别为、
。导轨处在竖直向上的匀强磁场中，其中
左侧磁场的磁感应强度大小为
、
右侧磁场的磁感应强度大小为
。质量分别为
、
的导体棒
、
均垂直导轨放置，两导体棒接入
电路中的阻值均为
，其余电阻不计。初始时两导体棒均静止，现对
棒施加水平向左的恒力
，同时对
棒施加水平向右的恒力
，且
，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触。已
知从开始运动到两棒运动状态刚好稳定的过程中
棒的位移大小为
，则此过程中（ ）
A．同一时刻
棒的加速度大小等于
棒加速度大小的2 倍
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
B．运动状态稳定时
棒做匀加速运动
C．运动状态稳定时
棒的速度大小为
D．
棒产生的焦耳热为
【变式5-6】如图所示，两个“U”型光滑导轨水平放置，处于竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强
磁场中，导轨间所接电源电动势E 大小未知，内阻为R。两根材料、粗细都相同的导体棒
、
，长度分
别为d、2d，导体棒
电阻为R、质量为m。导体棒始终与导轨垂直，两端与导轨接触良好，导轨足够长
且不计电阻。闭合开关，两导体棒由静止开始运动，最终稳定时导体棒
的速度大小为v。下列说法正确
的是（ ）
A．闭合开关后，导体棒
可能做匀加速运动
B．闭合开关后，加速过程中导体棒
、
的加速度大小相等
C．电源电动势
D．整个过程中，导体棒
中产生的焦耳热为
【模型三 典型导线框穿磁场模型 】
类型1 在安培力作用下穿越磁场模型
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
在安培力作用下穿越磁场(磁场宽度足够大)
1.动力学观点：以进入磁场时为例，设运动过程中某时刻的速度为v，加速度大小为a，则a＝，a 与
v 方向相反，导线框做减速运动，v↓⇒a↓，即导线框做加速度减小的减速运动，最终匀速运动(全部进入
磁场)或静止(导线框离开磁场过程的分析相同)
2.能量观点：部分(或全部)动能转化为焦耳热：Q＝－ΔEk
3.动量观点：动量不守恒，可用动量定理分析导线框的位移、速度、通过导线横截面的电荷量和除安
培力之外恒力作用的时间：
(1)求电荷量或速度：－B·LΔt＝mv2－mv1，q＝Δt；
(2)求位移：－＝v 末－mv0，即－＝v 末－mv0；
(3)求时间：①－BLΔt＋F 其他·Δt＝mv2－mv1，即－BLq＋F 其他·Δt＝mv2－mv1
已知电荷量q，F 其他为恒力，可求出变加速运动的时间；
【典例6】（2025·陕晋青宁卷·高考真题）如图，光滑水平面上存在竖直向上、宽度d 大于
的匀强
磁场，其磁感应强度大小为B。甲、乙两个合金导线框的质量均为m，长均为
，宽均为L，电阻分别为
R 和
。两线框在光滑水平面上以相同初速度
并排进入磁场，忽略两线框之间的相互作用。则
（ ）
A．甲线框进磁场和出磁场的过程中电流方向相同
B．甲、乙线框刚进磁场区域时，所受合力大小之比为
C．乙线框恰好完全出磁场区域时，速度大小为0
D．甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热之比为
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【变式6-1】（2023·北京·高考真题）如图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖
直向下的匀强磁场并最终完全穿出。线框的边长小于磁场宽度。下列说法正确的是（ ）
A．线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向
B．线框出磁场的过程中做匀减速直线运动
C．线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等
D．线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等
【变式6-2】（2022·天津·高考真题）如图所示，边长为a 的正方形铝框平放在光滑绝缘水平桌面上，
桌面上有边界平行、宽为b 且足够长的匀强磁场区域，磁场方向垂直于桌面，铝框依靠惯性滑过磁场区域，
滑行过程中铝框平面始终与磁场垂直且一边与磁场边界平行，已知
，在滑入和滑出磁场区域的两个过
程中（ ）
A．铝框所用时间相同
B．铝框上产生的热量相同
C．铝框中的电流方向相同
D．安培力对铝框的冲量相同
【变式6-3】（2022·上海·高考真题）如图，一个正方形导线框以初速v0向右穿过一个有界的匀强磁场。
线框两次速度发生变化所用时间分别为t1和t2，以及这两段时间内克服安培力做的功分别为W1和W2，则（
）
A．t1＜t2，W1＜W2
B．t1＜t2，W1>W2
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
C．t1>t2，W1＜W2
D．t1>t2，W1>W2
【变式6-4】（2023·广东·高考真题）光滑绝缘的水平面上有垂直平面的匀强磁场，磁场被分成区域Ⅰ
和Ⅱ，宽度均为，其俯视图如图（a）所示，两磁场磁感应强度随时间的变化如图（b）所示，
时
间内，两区域磁场恒定，方向相反，磁感应强度大小分别为
和
，一电阻为
，边长为的刚性正方
形金属框
，平放在水平面上，
边与磁场边界平行．
时，线框
边刚好跨过区域Ⅰ的左边
界以速度向右运动．在
时刻，
边运动到距区域Ⅰ的左边界
处，线框的速度近似为零，此时线框被
固定，如图（a）中的虚线框所示。随后在
时间内，Ⅰ区磁感应强度线性减小到0，Ⅱ区磁场保持不
变；
时间内，Ⅱ区磁感应强度也线性减小到0。求：
（1）
时线框所受的安培力
；
（2）
时穿过线框的磁通量
；
（3）
时间内，线框中产生的热量
。
类型2 在恒力F(包括重力mg)和安培力作用下穿越磁场模型
在恒力F(包括重力mg)和安培力作用下穿越磁场(磁场宽度足够大)
1.动力学观点：以进入磁场的过程为例，设运动过程中某时刻导线框的速度为v，加速度为a＝－。
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)若进入磁场时＝，则导线框匀速运动；
(2)若进入磁场时>，则导线框做加速度减小的加速运动(直至匀速)；
(3)若进入磁场时<，则导线框做加速度减小的减速运动(直至匀速)(导线框离开磁场过程的分析相同)
2.能量观点：力F 做的功等于导线框的动能变化量与回路中产生的焦耳热之和：WF＝ΔEk＋Q
3.动量观点：动量不守恒，可用动量定理分析导线框的位移、速度、通过导线横截面的电荷量和除安
培力之外恒力作用的时间：
(1)求电荷量或速度：－B·LΔt＝mv2－mv1，q＝Δt；
(2)求位移：－＝v 末－mv0，即－＝v 末－mv0；
(3)求时间：①－BLΔt＋F 其他·Δt＝mv2－mv1，即－BLq＋F 其他·Δt＝mv2－mv1
已知电荷量q，F 其他为恒力，可求出变加速运动的时间；
②－＋F 其他·Δt＝mv2－mv1，即－＋F 其他·Δt＝mv2－mv1
若已知位移x，F 其他为恒力，也可求出变加速运动的时间
【典例7】（2025·江西·高考真题）如图所示，足够长的传送带与水平面的夹角为
，速率恒为
，宽
为
的
区域存在与传送带平面垂直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。边长为
、质量为
m、电阻为R 的正方形线框
置于传送带上，进入磁场前与传送带保持相对静止，线框
边刚离开磁场
区域时的速率恰为
。若线框
或
边受到安培力，则其安培力大于
。线框受到的最大静摩擦
力等于滑动摩擦力，动摩擦因数
，
边始终平行于
，重力加速度为g。下列选项正确的是（
）
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．线框速率的最小值为
B．线框穿过磁场区域产生的焦耳热为
C．线框穿过磁场区域的时间为
D．
边从进入到离开磁场区域的时间内，传送带移动距离为
【变式7-1】（2025·重庆·高考真题）如图1 所示，小明设计的一种玩具小车由边长为d 的正方形金属
框efgh 做成，小车沿平直绝缘轨道向右运动，轨道内交替分布有边长均为d 的正方形匀强磁场和无磁场区
域，磁场区域的磁感应强度大小为B，方向竖直向上。gh 段在磁场区域运动时，受到水平向右的拉力F =
kv＋b（k > 0，b > 0），且gh 两端的电压随时间均匀增加；当gh 在无磁场区域运动时，F = 0。gh 段速度
大小v 与运动路程s 的关系如图2 所示，图中
为gh 每次经过磁场区域左边界时速度大小，忽略摩
擦力。则（ ）
A．gh 在任一磁场区域的运动时间为
B．金属框的总电阻为
C．小车质量为
D．小车的最大速率为
【变式7-2】（2024·全国甲卷·高考真题）如图，一绝缘细绳跨过两个在同一竖直面（纸面）内的光滑
定滑轮，绳的一端连接一矩形金属线框，另一端连接一物块。线框与左侧滑轮之间的虚线区域内有方向垂
直纸面的匀强磁场，磁场上下边界水平，在
时刻线框的上边框以不同的初速度从磁场下方进入磁场。
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
运动过程中，线框始终在纸面内且上下边框保持水平。以向上为速度的正方向，下列线框的速度v 随时间t
变化的图像中可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-3】（2025·福建·高考真题）水平地面上固定有一倾角为30°的绝缘光滑斜面，其上有两个宽
度分别为l1、 l2、的条形匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ，虚线为磁场边界，均与斜面底边平行，两区域磁场的磁感应
强度大小相等、方向均垂直斜面向上，示意图如图所示。一质量为m、电阻为R 的正方形细导线框abcd 置
于区域Ⅰ上方的斜面上， cd 边与磁场边界平行。线框由静止开始下滑，依次穿过区域Ⅰ、区域Ⅱ。已知
cd 边进入Ⅰ到ab 边离开Ⅰ的过程中，线框速度恒为v，cd 边进入区域Ⅱ和ab 边离开区域Ⅱ时的速度相同；
区域Ⅰ、Ⅱ间的无磁场区域宽度大于线框边长，线框各边材料相同、粗细均匀；下滑过程线框形状不变且
始终处于斜面内，cd 边始终与磁场边界平行；重力加速度为
。求：
(1)初始时，cd 边与Ⅰ区域上边缘的距离；
(2)求cd 边进入Ⅰ号区域时，cd 边两端的电势差；
(3)cd 边进入区域Ⅱ和ab 边离开区域Ⅱ的过程中，线框克服安培力做功的平均功率。
【变式7-4】（2023·上海·高考真题）如图（a），线框
位于倾斜角
的斜面上，斜面上有一
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
长度为
的单匝矩形磁场区域，磁场方向垂直于斜面向上，大小为
，已知线框边长
，
，总电阻
，现对线框施加一沿斜面向上的力
使之运动。斜面上动摩擦因数
，
线框速度随时间变化如图（b）所示。（重力加速度
取
）
（1）求外力
大小；（2）求
长度
；（3）求回路产生的焦耳热
。
【变式7-5】（2022·湖北·高考真题）如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左右边界竖直，
磁场方向垂直于纸面向里。正方形单匝线框abcd 的边长L = 0.2m、回路电阻R = 1.6 × 10 - 3Ω、质量m =
0.2kg。线框平面与磁场方向垂直，线框的ad 边与磁场左边界平齐，ab 边与磁场下边界的距离也为L。现
对线框施加与水平向右方向成θ = 45°角、大小为
的恒力F，使其在图示竖直平面内由静止开始运动。
从ab 边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc 边进入磁场时，bc 边恰好到达磁场右边界。重力
加速度大小取g = 10m/s2，求：
（1）ab 边进入磁场前，线框在水平方向和竖直方向的加速度大小；
（2）磁场的磁感应强度大小和线框进入磁场的整个过程中回路产生的焦耳热；
（3）磁场区域的水平宽度。
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
30
