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专题23 电磁感应中的单导体棒运动模型
阻尼式单棒模型（3-6 题）.............................................................................................................3
电动式单棒模型（7-9 题）.............................................................................................................8
发电式单棒模型（10-14 题）.......................................................................................................10
含容单棒模型（15-19 题）...........................................................................................................15
1.
（2022•上海）宽L＝0.75m 的导轨固定，导轨间存在着垂直于纸面且磁感应强度B＝
0.4T 的匀强磁场。虚线框Ⅰ、Ⅱ中有定值电阻R0和最大阻值为20Ω 的滑动变阻器R。一根与
导轨等宽的金属杆以恒定速率向右运动，图甲和图乙分别为变阻器全部接入和一半接入时沿
abcda 方向电势变化的图像。求：
（1）匀强磁场的方向；
（2）分析并说明定值电阻R0在Ⅰ还是Ⅱ中，并且R0大小为多少：
（3）金属杆运动时的速率；
（4）滑动变阻器阻值为多少时变阻器的功率最大？并求出该最大功率Pm。
2.
（2013•新课标Ⅰ）如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L．
导轨上端接有一平行板电容器，电容为C．导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向
垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m 的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保
持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。
忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：
（1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
1
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（2）金属棒的速度大小随时间变化的关系。
阻尼式单棒模型（3-6 题）
3.
（2023 春•宁乡市期末）如图所示，一宽度为L 的光滑导轨与水平面成α 角，磁感应
强度大小为B 的匀强磁场垂直于导轨平面向上，导轨上端连有一阻值为R 的电阻，导轨电阻
不计。一质量为m，电阻也为R 的金属棒从导轨顶端由静止释放，设导轨足够长，重力加速度
为g，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒将做匀加速运动
B．释放的瞬间金属棒的加速度大小为gcosα
C．金属棒的最大速度大小为2mgRsinα
B
2 L
2
D．金属棒下滑相等距离的时间内通过定值电阻R 的电荷量越来越多
4.
（2023•朝阳区一模）如图所示，足够长的平行光滑金属导轨ab、cd 水平放置，间距
为L，一端连接阻值为R 的电阻。导轨所在空间存在竖直向下的、磁感应强度大小为B 的匀强
磁场。质量为m、电阻为r 的导体棒MN 放在导轨上，其长度恰好等于导轨间距，与导轨接触
良好。导轨的电阻可忽略不计。t＝0 时金属棒以初速度v 水平向右运动，经过一段时间停在导
轨上。下列说法不正确的是（ ）
2
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A．全过程中，金属棒克服安培力做功为1
2 m v
2
B．全过程中，电阻R 上产生的焦耳热为Rm v
2
2( R+r )
C．t＝0 时刻，金属棒受到的安培力大小为B
2 L
2v
R+r
D．t＝0 时刻，金属棒两端的电压UMN＝BLv
5.
（2023•日照一模）光滑平行金属导轨由左侧弧形轨道与右侧水平轨道平滑连接而成，
导轨间距均为L，如图所示。左侧轨道上端连接有阻值为R 的电阻。水平轨道间有连续相邻、
宽均为d 的区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，区域边界与水平导轨垂直。I、Ⅲ区域有竖直向上的匀强磁场，
磁感应强度大小为B；Ⅱ区域有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为2B。金属棒从左侧
轨道上某处由静止释放，金属棒最终停在Ⅲ区域右边界上，金属棒的质量为m、长度为L、电
阻为R。不计金属导轨电阻，金属棒与导轨接触良好，重力加速度为g，则金属棒（ ）
A．穿过区域Ⅰ过程，通过R 的电荷量为BLd
R
B．刚进入区域Ⅲ时受到的安培力大小为B
2 L
2d
4 m R
2
C．穿过区域Ⅰ与Ⅱ过程，R 上产生的焦耳热之比为11：25
D．穿过区域Ⅰ与Ⅲ过程，克服安培力做功之比为11：1
6.
（2023 春•开福区校级期末）如图甲所示，两平行导轨是由倾斜导轨（倾角为θ）与
水平导轨用极短的圆弧导轨平滑连接而成的，并处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀
3
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强磁场中，两导轨间距为L，上端与阻值为R 的电阻连接。一质量为m 的金属杆MN 在t＝0
时由静止开始在沿P1P2方向的拉力（图中未画出）作用下沿导轨下滑。当杆MN 运动到P2Q2
处时撤去拉力，杆MN 在水平导轨上继续运动，其速率v 随时间t 的变化图象如图乙所示，图
中vm和t0为已知量。若全过程中电阻R 产生的总热量为Q，杆MN 始终垂直于导轨并与导轨
保持良好接触，导轨和杆MN 的电阻以及一切摩擦均不计，重力加速度为g，求：
（1）杆MN 中的最大感应电流Im的大小和方向；
（2）拉力做的功WF；
（3）撤去拉力后杆MN 在水平导轨上运动的路程s。
电动式单棒模型（7-9 题）
7.
（2023•惠州模拟）如图所示，导体棒MN 接入电路部分的电阻为R 长度为L，质量
为m，初始时静止于光滑的水平轨道上，电源电动势为E，内阻大小也为R，匀强磁场的磁感
应强度为B，其方向与轨道平面成θ＝45°角斜向上方，电键闭合后导体棒开始运动，则下列说
法正确的是（ ）
A．导体棒向左运动
B．电键闭合瞬间导体棒MN 的加速度为BEL
2mR
C．电键闭合瞬间导体棒MN 所受安培力大小为√2BEL
4 R
4
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D．电键闭合瞬间导体棒MN 所受安培力大小为BEL
2 R
8.
（2022 春•潍坊期中）如图所示，两根足够长的光滑直金属导轨平行固定在倾角为θ
的绝缘斜面上，两导轨间距为L；导轨上端接入电源和滑动变阻器，电源电动势为E、内阻为
r；整个装置处在磁感应强度大小为B、方向垂直导轨的匀强磁场中。调节滑动变阻器滑动头
至某一位置，将质量为m 的金属棒ab 垂直两导轨置于导轨上，ab 恰能保持静止。已知重力加
速度大小为g，导轨和导体棒的电阻不计，ab 与两导轨接触良好，则（ ）
A．磁场方向垂直导轨向下
B．流过ab 的电流大小为mgcosθ
BL
C．滑动变阻器接入电路的阻值为EBL
mgsinθ -r
D．若减小滑动变阻器的阻值，ab 向下运动
9.
（2023•佛山二模）近年来电动汽车越来越普及，有的电动汽车动力来源于直流电机。
直流电机工作原理可简化如图所示：在竖直向下、磁感应强度为B 的匀强磁场中，两光滑平行
金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，两轨间接一电动势恒为E、内阻恒为r 的直流电源。
质量为m 的导体棒ab 垂直导轨静置于导轨上，接入电路部分的有效电阻为R，电路其余部分
电阻不计。一根不可伸长的轻绳两端分别连接在导体棒的中央，和水平地面上质量为M 的物
块上，绳与水平面平行且始终处于伸直状态。已知物块与水平面的动摩擦因数为μ，重力加速
度为g﹒闭合开关S，物块即刻开始加速。
（1）求S 刚闭合瞬间物块加速度的大小，设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力；
（2）求当导体棒向右运动的速度为v 时，流经导体棒的电流；
（3）求物块运动中最大速度的大小。
5
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发电式单棒模型（10-14 题）
10. （2023•重庆开学）如图所示，两条足够长，间距d＝1m 的光滑平行金属导轨MN 和
PQ 固定在水平面上，阻值R＝2Ω 的定值电阻与导轨的M、P 端相连，导轨电阻不计。空间中
存在垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B＝1T 的匀强磁场，质量m＝0.1kg、长度L＝
1m、阻值不计的金属杆ab 垂直于导轨放置并且始终与导轨接触良好。在杆ab 的中点处系一根
不可伸长的轻绳，轻绳跨过定滑轮与一个质量也为m 的物块相连，滑轮左侧轻绳与导轨平面
保持平行。某时刻释放物块，物块和金属杆从静止开始运动，当物块下落的高度h＝2m 时，
二者达到最大速度。重力加速度g 取10m/s2，不计空气阻力。从开始运动到达到最大速度的过
程中，下列说法正确的是（ ）
A．金属杆的平均速度大小为5m/s
B．通过电阻R 的电荷量为0.7C
C．所用的时间为1.4s
D．电阻R 产生的热量为1.8J
11. （2023 春•湟中区校级期末）如图所示，固定在水平面上的光滑金属导轨AB、CD，
导轨一端连接电阻R，导轨宽为L，垂直于导轨平面向下存在磁感应强度为B 的匀强磁场，将
一质量为m、电阻为r 的导体棒垂直导轨放置，用恒力F 向右拉动导体棒，经过距离x 导体棒
恰好达到最大速度v，则在此过程中（ ）
6
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A．外力F= B
2 L
2v
R
B．从开始至速度最大所用的时间t= m( R+r )
B
2 L
2
C．定值电阻产生的焦耳热QR= B
2 L
2 Rvx
( R+r )
2
D．通过导体棒的电荷量q= BLx
r + R
12. （2023 春•项城市期末）如图所示，间距为L 的足够长光滑平行金属导轨M、N 固定
在水平面上，导轨处在垂直于导轨平面向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，导轨左端连
有阻值为R 的定值电阻，长度也为L、质量为m、电阻为R 的金属棒ab 垂直于导轨水平放置。
某时刻开始，金属棒ab 在水平向右的恒定拉力作用下由静止开始运动，当金属棒ab 到达虚线
位置时，加速度刚好为零，此时，撤去拉力，此后，金属棒ab 向右运动过程中，电阻R 上产
生的焦耳热为Q。金属棒ab 运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，金属棒ab 开始的位置离
虚线的距离为L，导轨电阻不计，则拉力大小为（ ）
A．B
2 L
2
R √
Q
m
B．B
2 L
2
2 R √
Q
m
C．B
2 L
2
R √
2Q
m
D．B
2 L
2
R √
Q
2m
13. （2023•西城区校级三模）如图所示，间距为L 的两倾斜且平行的金属导轨固定在绝
缘的水平面上，金属导轨与水平面之间的夹角为θ，电阻不计，空间存在垂直于金属导轨平面
向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，导轨上端接有阻值为R 的定值电阻。质量为m 的导
体棒ab 从金属导轨上某处由静止释放，开始运动Δt 时间后做匀速运动，速度大小为v，且此
阶段通过定值电阻R 的电量为q。已知导轨平面光滑，导体棒的电阻为r，重力加速度为g，下
列说法正确的是（ ）
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A．导体棒ab 先做匀加速运动，后做匀速运动
B．导体棒稳定的速度大小v = mg( R+r )
B
2 L
2
C．导体棒从释放到其速度稳定的过程中，其机械能的减少量等于电阻R 产生的焦耳热
D．导体棒从释放到其速度稳定的过程中，位移大小为q( R+r )
BL
14. （2023 春•玉林期末）传统航空母舰的阻拦系统原理如图甲所示，飞机着舰时，通过
阻拦索对飞机施加作用力，使飞机在甲板上短距离滑行后停止。新一代航母阻拦系统的研制，
则从阻拦索阻拦转向了引入电磁学模型的电磁阻拦技术，其基本原理如图乙所示，飞机着舰时
钩住轨道上的一根金属棒并关闭动力系统，在磁场中共同滑行减速。
金属棒在导轨间宽为d，飞机质量为M，金属棒质量为m，飞机着舰钩住金属棒后与金属棒以共
同速度v0进入磁场。轨道端点MP 间电阻为R，金属棒电阻为r，不计其它电阻，且飞机阻拦索
与金属棒绝缘。轨道间有竖直方向的匀强磁场，磁感应强度为B。金属棒运动L 后飞机停下，测
得此过程电阻R 上产生焦耳热为Q，求：
（1）通过金属棒的最大电流；
（2）通过金属棒的电荷量；
（3）飞机和金属棒克服摩擦阻力和空气阻力所做的总功。
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含容单棒模型（15-19 题）
15. （2022 秋•武昌区月考）如图是某电磁弹射技术的简化模型的等效电路，直流电源电
动势E＝35V，超级电容器的电容C＝2F。两根固定于同一水平面内的光滑平行金属导轨
MN、PQ 电阻不计，它们的间距L＝1m，磁感应强度大小B＝2T 的匀强磁场垂直于导轨平面
向上。质量m＝2kg、阻值R＝5Ω 的金属棒ab，垂直搁放在两导轨上处于静止状态，并与两导
轨始终保持良好接触。开关S 先接1，使电容器完全充电后再将S 接至2，金属棒ab 开始向右
加速运动。当S 金属棒ab 切割磁感线产生的感应电动势等于此时电容器两端电压时，金属棒
ab 达到最大速度，之后便离开导轨。下列说法正确的是（ ）
A．开关S 先接1，使电容器完全充电后，其电荷量为Q＝7C
B．开关S 接2 后，金属棒ab 加速运动过程中，加速度保持不变
C．金属棒ab 的加速度最大值为14m/s2
D．金属棒ab 的最大速度为14m/s
16. （2023•重庆模拟）电磁炮作为发展中的高技术兵器，被世界各国海军所重视，把它
作为未来新式武器，其军事用途十分广泛。某电磁弹射技术原理可简化为如图所示的等效电路
图，电阻不计且足够长的光滑平行金属导轨固定在距水平地面高度h＝5m 的水平面内，导轨
左侧连接有内阻不计、电动势E＝100V 的直流电源和电容C＝9F 的超级电容器，导轨间距L
＝1m，范围足够大的匀强磁场方向竖直向上、磁感应强度大小B＝2T，质量m＝2kg 的金属棒
ab 垂直导轨放置，并始终与两导轨接触良好。单刀双掷开关K 先接“1”，电容器充满电后，
开关K 立即接“2”，金属棒ab 射出导轨时已匀速运动。水平地面足够长，重力加速度g 取
10m/s2，忽略一切阻力，求：
（1）金属棒ab 射出导轨时的速度大小；
（2）金属棒ab 离开导轨后在空中运动的水平位移大小。
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17. （2023 春•潍坊期中）如图所示，足够长的光滑金属导轨平行放置，固定在水平面上，
间距L＝1.0m，导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小B＝2.0T，导轨左端的单刀
双掷开关可分别与电阻或电容器相连接，已知定值电阻R＝2.0Ω，电容器电容C＝0.1F，导体
棒质量m＝0.4kg、电阻r＝1.0Ω，其余电阻不计。开始电容器不带电，导体棒静置于导轨上，
开关合向a，对导体棒施加水平向右的F＝4N 的拉力，当导体棒匀速运动时撤去F，导体棒始
终与导轨垂直且接触良好。
（1）求拉力的最大功率；
（2）求撤去F 后定值电阻R 中产生的热量；
（3）若撤去F 的同时将开关合向b，求导体棒最终运动的速度大小。
18. （2023•河北模拟）如图甲所示，足够长的粗糙导轨a、b 互相平行固定放置，导轨及
导轨面与水平面的夹角为37°；足够长的光滑导轨c、d 平行固定放置，导轨及导轨面与水平面
的夹角为53°，a 与d、b 与c 分别连接，平行导轨间距均为L 且导轨电阻均为0。空间存在方
向斜向右上方且与c、d 所在的导轨平面垂直的匀强磁场；质量为m、电阻为0 的导体棒1 垂
直放置于c、d 导轨上，质量也为m、有效接入电路的电阻为R 的导体棒2 垂直放置于a、b 导
轨上。给导体棒1 一个沿斜面向下的速度v0，导体棒1 正好做匀速运动，导体棒2 在斜面上刚
好不下滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力；把导体棒2 除掉，换上电容为C 的电容器，如图乙
所示，让导体棒1 从静止开始沿着斜面向下运动，重力加速度为g，sin37°＝0.6、cos37°＝
0.8，求：
（1）磁感应强度的大小；
（2）导体棒2 与导轨a、b 之间的动摩擦因数；
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（3）图乙中，导体棒1 经过一段时间t0时的速度大小。
19. （2023•石家庄模拟）如图所示，在正交坐标系O
xyz
﹣
空间中，Oz 竖直向下，O'为y
轴上的一点。相距0.5m 的两平行抛物线状光滑轨道OP、O'P'通过长度不计的光滑绝缘材料在
P、P'处与平行倾斜粗糙直轨道PQ、P'Q'平滑相接，其中抛物线状轨道OP 的方程为z = 5
4 x
2，
OO'间用导线连接R＝1Ω 的定值电阻，倾斜轨道足够长，QQ'间用导线连接C＝1F 的电容器。
电容器最初不带电。抛物线状轨道区域存在方向竖直向下、磁感应强度B1＝4T 的匀强磁场，
倾斜直轨道区域存在与导轨垂直向上、磁感应强度B2＝2T 的匀强磁场。一质量为0.5kg，长为
0.5m 的金属导体棒在恒定外力F 作用下从y 轴开始以初速度v0沿抛物线状轨道做加速度方向
竖直向下、大小为10m/s2的加速运动，导体棒到达连接处PP'后立即撤去该外力F。已知金属
导体棒与轨道始终接触良好，金属棒与倾斜直轨道间的动摩擦因数μ＝0.75，P 点纵坐标
zP= 9
80 m，金属棒电阻为1Ω，其他电阻忽略不计，金属棒在运动过程中始终与y 轴平行，不
计空气阻力，重力加速度g 取10m/s2。求：
（1）金属棒初速度v0的大小；
（2）外力F 的大小和金属棒在抛物线状光滑轨道运动过程中产生的焦耳热Q；
（3）电容器最终的电荷量q。
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