文档文本内容
专题强化：动量观点在电磁感应中的应用
目录
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考点一 动量定理在电磁感应中的应用............................................................................................................................ 4
考点二 动量守恒定律在电磁感应中的应用................................................................................................................... 7
.....9
基础巩固练.................................................................................................................................................................................9
综合提升练.............................................................................................................................................................................. 13
核心考点
1.动量定理在电磁感应中的应用：
核心公式：-BIL·Δt=mΔv，其中I·Δt=q 代表通过导体横截面的电荷量。因此，常变形
为-BLq=mΔv。
典型应用模型（单棒模型）：
单棒+电阻：导体棒在仅受安培力（或含恒定外力）作用下减速或加速，用动量定理结
合q（或位移x）求解速度、时间、位移、电荷量。
单棒+电容器：电容器充电过程，导体棒做匀加速直线运动（加速度恒定）。此时可通
过动量定理（或牛顿定律）推导出恒定加速度a 和最终速度v 的关系。
2.动量守恒定律在电磁感应中的应用：
适用条件：系统在水平方向（或某方向）不受外力，或所受合外力为零。
典型应用模型（双棒模型）：
无外力双棒系统：两根导体棒在光滑导轨上切割磁感线，整个系统水平方向不受外
力，动量守恒。例：两棒相向运动，或一棒运动另一棒静止，最终两棒以相同速度（共
速）运动，系统动能损失转化为焦耳热。
不等间距导轨：两根棒在不等间距导轨上运动时，安培力大小可能不等，但系统所受
合外力不一定为零，需具体分析。
3.动量观点与能量观点的结合：
核心公式链：动量定理（求Δt、q、Δx）→动量守恒（求共速v）→能量守恒（求焦耳
热Q）。
求解策略：在分析复杂的电磁感应多过程问题时，往往需要同时运用动力学（牛顿定
律）、动量观点、能量观点，形成“三驾马车”的综合解题体系。
考情透析
1.题型与难度：高考的压轴热点与难点，通常出现在计算题的最后两问或选择题的压
轴。难度较高，是区分尖子生的关键。
2.命题规律：
高频考查：
利用动量定理求单棒模型中的电荷量q、位移x 或时间t。
无外力双棒模型中，利用动量守恒定律求共速或求系统总焦耳热。
电磁感应与动量定理、能量守恒定律的综合计算（常出现在复杂多过程问题中）。
常规考法：
给定光滑导轨上的单棒以一定初速度运动（或受瞬时冲量），求运动的距离、产生的
热量或通过的电量。
给定双棒系统（一棒静止，另一棒以某速度滑来），求最终共速和系统总内能。
创新考法：
含容+双棒：双棒与电容器系统相互作用，动量守恒与电容充放电结合。
带外力双棒：在恒力作用下，双棒系统最终以恒定速度差运动，需用动量定理分析两
根棒的动量变化量。
与图像结合：给出I-t 图、v-t 图等，图像面积或斜率的物理意义（如F-t 图面积是冲
量）与动量观点紧密相关。
3.考查方向：侧重动量定理与电荷量q、位移x 之间联系的灵活运用、判断电磁感应系
统中动量守恒的条件、构建“受力分析→动量分析→能量分析”的综合解题流程、突破传
统运动学无法解决的变力作用时间与位移问题。
素养对接
1.守恒思想与整体观：在系统不受外力时，准确判断动量守恒。不仅将动量守恒定律用
于一维碰撞，更迁移到电磁感应中的双棒系统。培养从宏观整体把握物理过程，利用守恒
律简化求解的科学思维。
2.动量定理的“桥梁”作用：动量定理F·Δt=Δp 是连接冲量（力对时间的积累）与动量
变化的桥梁。在电磁感应中，安培力是变力，无法直接用牛顿定律求时间，但通过动量定
理可将F·Δt 奇妙的与电荷量q、位移x 联系起来（F·Δt=BIL·Δt=BLq，q=BL·Δx/(R+r)）。培
养不同物理量之间等效转化的思维。
3.模型建构与迁移能力：能识别单棒、双棒、含容等不同模型，并能将碰撞问题中的动
量守恒模型迁移到双棒电磁感应系统中，建立“类碰撞”模型。培养把握物理本质，实现
模型正向迁移的素养。
4.多角度综合分析：意识到解决复杂物理问题需要多把工具（力、能、动量），并能根
据题设条件（求时间、位移，首选动量定理；求共速，首选动量守恒；求热量，首选能量
守恒）灵活切换、择优选用。
学习目标
1.知识目标：
能写出带有电荷量q 和位移x 的动量定理表达式。
能叙述出单棒模型中，仅受安培力时动量定理的适用情景。
能说出一根棒受外力、另一根棒无外力的双棒系统中，动量守恒的适用条件（系统合
外力为零）。
能写出动量守恒定律和能量守恒定律联合求解双棒系统问题的基本步骤。
2.能力目标：
推演与代换能力：能从-BIL·Δt=mΔv 推导出BLq=mΔv 和(B²L²·d)/(R+r)=mΔv（d 为位
移）。能熟练进行I·Δt 与q 的互代。
模型识别能力：能快速识别出题目是单棒还是双棒模型，是否有外力，是否满足动量
守恒。
综合列式能力：能根据物理过程，正确列出动量定理（或动量守恒）方程和能量守恒
方程，并进行联立求解。
临界分析能力：在双棒模型中，认识到“共速”往往是系统的临界或最终状态，并作
为解题的切入点。
备考建议
1.熟练掌握“单棒+电阻”模型的动量定理应用，这是解决含时间、位移问题的利器：
模板：
若题目涉及时间t 或位移x，优先考虑动量定理。
步骤：
①列动量定理：对导体棒列-BIL·Δt=mΔv。
②寻找代换：I·Δt=q（通过电路的电荷量），q=ΔΦ/R_总=BLx/R 总（当B、L 恒定，x
为导体棒对地位移）。
③代入求解：最终得到-(B²L²·x)/(R+r)=m(v₂-v₁)或-BLq=m(v₂-v₁)，可直接解出位移x、
电荷量q 或末速度v₂。
优点：避开了复杂的物体运动过程分析，直接由初末动量关系和中间过程的电荷量、
位移建立方程。
2.必须掌握“双棒模型”中动量守恒的分析方法（这是计算题的常见题型）：
标准情境：两根导体棒在光滑水平导轨上，无其他外力作用。
正确思路：
系统水平方向不受外力，动量守恒。
两棒受安培力等大反向（对每一根棒可用动量定理，但系统总动量不变）。
3.重点总结并背诵“电磁感应中三类动量问题的核心结论”：
1.单棒（无外力）：用动量定理求q 和位移x。
2.单棒（受恒外力）：最终做匀速运动（a=0），用平衡方程先求vm；再结合动量定理
求过程中某段的时间或位移。
3.双棒（无外力）：系统动量守恒，最终共速；能量守恒求热量。
4.学会将“动量定理”与“v-t 图”或“I-t 图”结合分析：
F-t 图的面积（冲量）对应动量变化。
I-t 图的面积对应电荷量q。
若图像是直线，可直接用几何方法求面积；若图像是曲线，往往需要用平均电流或微
元法思想积累。
5.强化易错点专项训练：
易错点一：动量守恒定律的适用条件判断错误。只有在系统水平方向（或某方向）不
受外力时才成立。如果导轨不光滑（有摩擦力），或存在外力，动量不守恒，只能对单个
物体用动量定理。
易错点二：运用动量定理时，忽略安培力的方向。安培力方向总是阻碍相对运动
（“来拒去留”）。列式时必须明确F_安的方向，在动量定理中要带正负号。
易错点三：电荷量q 与位移x 的关系式记错。正确的是q=ΔΦ/R 总=BLx/R 总（单杆切割
情况）。注意：此处的x 是导体棒相对于初始位置的位移，不是相对于导轨的任意距离。
易错点四：含电容器模型中的动量观点用错。当导体棒与电容器相连时，安培力大小
与电容C、加速度a 有关，直接使用q=BLx/R 已不适用（因为“R”路径可能被电容旁
路）。此时需用动量定理+电流定义式+电容定义式联立推导出a 是常数的结论。
易错点五：在双棒系统中，误以为两棒安培力大小相等（仅在等距导轨中成立）。如
果是不等距导轨，两棒受到的安培力F₁=B·I·L₁，F₂=B·I·L₂，由于L₁≠L₂，合力不一定为
零，系统总动量可能不守恒。遇到双棒模型，务必先看导轨间距是否相等！
考点一 动量定理在电磁感应中的应用
【必备知识回顾】
在电磁感应中，动量定理应用于单杆切割磁感线运动，可求解单杆所受其他恒力(非安培力)作用的时
间、单杆的速度、单杆的位移和通过单杆的横截面的电荷量。
情境示例1
水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体棒初速度为v0，
质量为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B，导轨足够长且电阻不计，从开
始运动至停下来
求电荷量q
－BILΔt＝0－mv0，q＝IΔt，q＝mv0
BL
求位移x
－B
2 L
2v
R
Δt＝0－mv0，x＝vΔt＝mv0 R
B
2 L
2
应用技巧
初、末速度已知的变加速运动，在动量定理列出的式子中q＝IΔt，x＝vΔt；若
已知q 或x 也可求末速度
情境示例2
间距为L 的光滑平行导轨倾斜放置，倾角为θ，由静止释放质量为m、接入电
路的阻值为R 的导体棒，当通过横截面的电荷量为q 或下滑位移为x 时，速度达到
v
求运动时间
－BILΔt＋mgsinθ·Δt＝mv－0，q＝IΔt，
－B
2 L
2v
R
Δt＋mgsinθ·Δt＝mv－0，x＝vΔt
应用技巧
用动量定理求时间需有其他恒力参与。若已知运动时间，也可求q、x、v 中的
一个物理量
【重难模型精讲】
【典例1】(2026·江苏省·月考试卷)如图所示，两根足够长的光滑导轨PQ、MN，平行固定在水平面
上，导轨相距L=1m，左端用R = 4 Ω的电阻连接，一根导体棒ab质量m=0.5kg与两根轨道垂直并且接触
良好，静止放在导轨上，导轨和ab的电阻可忽略不计．整个装置处于磁感应强度B =2T的匀强磁场中，磁
场方向垂直导轨平面向下，现用水平恒力沿导轨向右拉导体棒，导体棒由静止开始运动，当导体棒开始做
匀速运动后，电阻R消耗的功率为4W .求：
(1)ab匀速运动时，ab电流的流向及速度；
(2)从静止开始到恰好匀速运动的过程中，电阻R产生的焦耳热Q =2J，该过程ab位移x的大小；
(3)从静止开始运动到恰好匀速运动，ab所用的时间t。
【变式训练与拓展】
【变式1】(2026·山东省潍坊市·入学测验)如图所示，绝缘水平面内两光滑导轨平行固定放置，导轨间
距为L，在导轨上垂直导轨放置一质量为m、长度略大于L、电阻不计的导体棒ab，导轨左侧通过导线连
接电动势为E、内阻为r的电源，整个装置处于竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。闭合开关S，
导体棒开始运动，最终匀速运动，导轨电阻可忽略。
(1)求从开始到恰匀速运动过程通过导体棒某一横截面的电荷量q；
(2)求从开始到恰匀速运动过程回路产生的焦耳热Q；
(3)若导体棒恰达到匀速状态时的位移x = 2mEr
B
3 L
3 ，求从开始到恰匀速运动所用的时间t。
【变式2】(2026·山东省烟台市·其他类型)如图所示，匝数N =100、截面积S =1.0×10
-2m
2、电阻
r =0.15Ω的线圈内有方向垂直于线圈平面向上的随时间均匀增加的匀强磁场B1，其变化率k =0.80T / s。
线圈通过开关S连接两根相互平行、间距d =0.20m的竖直导轨，下端连接阻值R =0.50Ω的电阻。一根阻
值也为0.50Ω、质量m=1.0×10
-2kg的导体棒ab搁置在等高的挡条上。在竖直导轨间的区域仅有垂直纸
面的不随时间变化的匀强磁场B2。接通开关S后，棒对挡条的压力恰好为零。假设棒始终与导轨垂直，且
与导轨接触良好，不计摩擦阻力和导轨电阻。
(1)求磁感应强度B2的大小，并指出磁场方向；
(2)断开开关S后撤去挡条，棒开始下滑，经t =0.25 s后下降了h=0.29m，求此过程棒上产生的热量。
【变式3】(2026·山东省青岛市·期末考试)如图所示，间距L=1m、倾角θ =30°的光滑金属导轨上端接
有R0=0.5Ω的定值电阻，矩形EFGH区域存在方向竖直向下、磁感应强度B = 4T的匀强磁场。质量
m=3.6 kg、阻值R =0.5Ω的导体棒从距磁场上边界EF为x0=0.1m处由静止释放，到达磁场下边界GH前
已经匀速。已知EF和GH间距离x1=5.85m，重力加速度大小g=10m/ s
2，导轨电阻不计。求：
(1)导体棒匀速运动时的速度大小v；
(2)导体棒穿过有界磁场的时间t。
考点二 动量守恒定律在电磁感应中的应用
【必备知识回顾】
1．在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它
们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0 时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解题比较方便。
2．双棒模型（不计摩擦力）
模型示意图
及条件
水平面内的光滑等距导轨，两个棒的质量分别为m1、m2，电
阻分别为R1、R2，给棒2 一个初速度v0
电路特点
棒2 相当于电源；棒1 受安培力而加速运动，运动后产生反电
动势
电流及速
度变化
棒2 做变减速运动，棒1 做变加速运动，随着两棒相对速度的
减小，回路中的电流减小，I = BL v2- v1
R1+ R2
，安培力减小，加速度
减小，稳定时，两棒的加速度均为零，以相等的速度匀速运动
最终状态
a＝0，I＝0，v1＝v2
系统规律
动量守恒m2v0＝(m1＋m2)v
能量守恒Q＝1
2 m2v0
2- 1
2 (m1+m2)v
2
两棒产生焦耳热之比＝
【重难模型精讲】
【典例2】(2026·湖北省孝感市·其他类型)如图所示，间距为l =1m且足够长的平行金属导轨M M 1 M 2
与N N 1 N 2，由倾斜与水平两部分平滑连接组成。倾角θ =37°的倾斜光滑导轨间有垂直导轨平面斜向上的
匀强磁场，水平粗糙导轨间有竖直向上的匀强磁场，两个匀强磁场的磁感应强度均为B =1T。质量均为
m=1kg的金属棒a、b分别垂直放在倾斜和水平导轨上，a、b棒与水平粗糙导轨间的动摩擦因数均为
μ=0.2，现将a棒从倾斜导轨某位置由静止开始释放，并同时锁定b棒，使其保持静止。已知a棒穿过
M 1 N 1之前已做匀速直线运动，且当a棒刚穿过M 1 N 1时，立即解除b棒锁定并同时给b棒施加F = 4 N水平
向右的恒定拉力，b棒运动t =2s后两棒速度相等。已知a、b棒接入电路的电阻均为R =1Ω，不计导轨的
电阻，两棒始终与导轨保持接触良好，在运动过程中两棒不会发生碰撞，取g=10m/ s
2，sin37° =0.6，
求：
(1)金属棒a到达斜面底端M 1 N 1时的速度v0的大小；
(2)为了保证两棒不会发生碰撞，初始时金属棒b到M 1 N 1的最小距离Δs；
(3)a、b两棒最终运动的速度va，vb大小。
【变式训练与拓展】
【变式4】(2026·四川省·模拟题)如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ的间距L=0.5m，固
定在同一水平面内，直导轨在左端M、P点分别与两条半径r =0.45m的竖直1
4 圆弧固定导轨相切。MP连
线与直导轨垂直，其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为B =1T、方向竖直向下的匀强磁场。长
L=0.5m、质量m=1kg、电阻R =2Ω的金属棒ab跨放在两圆弧导轨的最高点。质量m' = 4 kg、电阻
R' =12Ω的均匀金属丝制成一个金属长方形HIJK，其长为1m，宽为0.5m，水平放置在两直导轨上，金
属长方形的中心到两直导轨的距离相等，且HI与导轨平行。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属长方形的
可能形变，金属棒、金属长方形均与导轨始终接触良好，取重力加速度g=10m/ s
2。现将金属棒ab由静
止释放，运动过程中金属棒始终不与金属长方形接触，求：
(1)金属棒刚越过MP时产生的感应电动势大小；
(2)金属长方形刚开始运动时的加速度大小；
(3)开始到稳定过程中金属长方形产生的焦耳热。
【变式5】(2026·云南省·月考试卷)如图所示，平行光滑金属导轨间距为L，导轨处在竖直向上的匀强
磁场中，两根相同的金属棒ab、cd垂直于导轨平行放置，与导轨始终接触良好，每根金属棒质量为m，接
入电路的电阻均为R。开始时cd棒锁定在轨道上，对ab棒施加水平向右的恒力F，经时间t，ab棒的速度
达到最大值v，此时撤去拉力，同时解除对cd棒的锁定，导轨足够长且电阻不计。求：
(1)匀强磁场的磁感应强度B;
(2)撤去力F前，ab棒前进的位移x1;
(3)从开始施加F到解除对cd棒锁定后足够长的时间内，回路产生的焦耳热Q。
【变式6】(2026·江苏省南通市·其他类型)如图所示，P、Q是两根固定在水平面内的光滑平行金属导
轨，间距为L，导轨足够长且电阻可忽略不计。图中EFGH矩形区域有一方向垂直导轨平面向上、感应强
度大小为B的匀强磁场。在t =t1时刻，两均匀金属棒a、b分别从磁场边界EF、GH进入磁场，速度大小均
为v0;t =t2时刻，流经a棒的电流为0，此时b棒仍位于磁场区域内。已知金属棒a、b的质量分别为2m和m，
电阻分别为R和2 R。在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，a、b棒没有相碰，求：
(1)t1时刻a棒加速度大小;
(2)t1∼t2时间内，a棒产生的焦耳热。
基础巩固练
1.(2025·江苏省泰州市·单元测试)如图所示，空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B，两条足
够长的光滑平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距为L，左端接有电阻R。一质量为m、电阻为r的
金属棒MN放置在导轨上。金属棒在水平向右的拉力F作用下，以速度v沿导轨做匀速直线运动。求：
(1)金属棒中产生的感应电动势E；
(2)拉力F的大小；
(3)从撤去拉力F到金属棒停止运动的过程中，安培力对金属棒的冲量大小I。
2.(2025·安徽省阜阳市·其他类型)如图所示，间距为L的光滑平行导轨固定在水平面上，导轨左端连接
一个阻值为R的定值电阻，垂直于导轨的虚线M、N是竖直向下的匀强磁场的边界，磁场宽度也为L，质
量为m的金属棒垂直导轨放置，金属棒接入电路的电阻也为R，给金属棒施加一个水平向右大小为F的拉
力，使金属棒从静止开始运动，当金属棒运动到M时撤去拉力，此时金属棒的速度为v0，当金属棒运动到
N时速度恰好为零，不计导轨电阻，金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，求：
(1)金属棒初始位置到M的距离；
(2)磁场的磁感应强度大小；
(3)保持金属棒的初始位置不变，将拉力变为2 F，当金属棒运动到M时撤去拉力，则金属棒最终的速
度多大．
3.(2025·河北省沧州市·合格性考试)如图所示，放置在水平面上的粗糙平行长直轨道处于匀强磁场中，
磁感应强度大小为B，轨道宽为d；质量为m、长也为d、电阻为r的导体棒垂直静置于导轨上。当开关与1
接通时，电源提供恒定电流I，导体棒自静止开始向右运动，运动t时间时，迅速把开关接通2，与定值电
阻R接通，导体棒再运动kt(k为常数，已知)时间停止运动。导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加
速度为g，导轨足够长且电阻忽略不计。求：
(1)开关接通2瞬间导体棒的速度大小；
(2)假设开关刚接通2时，导体棒的速度大小为v(已知)，求接通2后导体棒能继续运动的距离。
4.(2025·湖南省·模拟题)如图所示，足够长的水平平行导轨间距L=1m，导轨左端用导线连接阻值
R =1.5Ω的定值电阻，质量为m、阻值r =0.5Ω、长也为L的导体棒垂直导轨放置，整个空间存在与水平
方向成θ =37
∘的匀强磁场(磁场方向与导体棒垂直)，磁感应强度大小B =2.5T。现在导体棒上施加一水平
向右的恒力F =18 N，经t =0.8 s的时间导体棒刚好匀速运动，匀速时的速度大小v =8m/ s，导体棒与导
轨间的动摩擦因数μ=0.5，整个过程导体棒始终保持与导轨良好接触且不发生转动，不计导轨与导线的电
阻，sin37
∘=0.6，重力加速度g取10m/ s
2。求：
(1)导体棒的质量m;
(2)导体棒的速度大小为v1= 4 m/ s时，导体棒的加速度大小．
(3)0∼0.8 s的时间内系统产生的总热量．
5.(2024·江苏省南通市·月考试卷)如图所示，固定在水平面上两根相距L=0.8m的光滑金属导轨，处于
竖直向下、磁感应强度大小B =0.5T的匀强磁场中，导轨电阻不计且足够长。金属棒a、b的质量均为
m=1kg、电阻均为R =0.1Ω，金属棒静置在导轨上且与导轨接触良好。现给金属棒a一个平行导轨向右的
瞬时冲量I = 4 N·s，最终两金属棒运动状态稳定且未发生碰撞，运动过程中金属棒始终与导轨垂直，忽略
感应电流对磁场的影响，求整个过程中：
(1)金属棒a产生的焦耳热；
(2)通过金属棒a的电荷量；
(3)金属棒a、b之间的距离减少多少。
6.(2025·辽宁省·模拟题)如图所示，两光滑平行金属导轨间距d =1m，左侧部分弯曲成四分之一圆弧，
中间部分固定在高h=3.2m的水平绝缘桌面上，右侧部分弯曲成半径R1=3m、圆心角θ =37°的圆弧，左、
右两段圆弧导轨的最低点均恰好与桌面左、右边缘平齐。质量m1=1.0kg、接入电路的电阻r1=1.0Ω的导
体棒a垂直于导轨静置于桌面左边缘导轨上。水平桌面所在区域存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大
小B =2.0T。将质量m2=2.0kg接入电路的电阻r2=2.0Ω的导体棒b从左侧圆弧导轨的最高点静止释放，
随后导体棒b与导体棒a发生弹性碰撞，最终a、b先后从右侧圆弧导轨飞出并落至水平地面上的同一位置(
图中未画出)，落点到桌面右边缘的水平距离x0=3.4 m。已知重力加速度g=10m/ s
2，sin37° =0.6，
cos37° =0.8，桌面足够长，导轨电阻和空气阻力忽略不计，右侧圆弧导轨绝缘。求：
(1)导体棒a运动到右侧圆弧导轨最低点时的速度大小；
(2)左侧圆弧导轨的半径R2；
(3)导体棒a运动至右侧圆弧导轨最低点时，a、b两导体棒的间距x1。
7.(2025·北京市市辖区·模拟题)如图1所示，MN、PQ为两根水平放置相距L=1.0m平行且光滑的金属
导轨，PM两点间接阻值R =2.0Ω的定值电阻，一导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好。t =0时
刻给导体棒施加F =2.0 N水平向右的恒力，导体棒从静止开始运动，t =2.0 s时导体棒的速度v =2.0m/ s。
已知匀强磁场的磁感应强度B =1.0T，方向竖直向上，导体棒的质量m=0.2kg，不计导轨、导体棒的电阻，
重力加速度g取10m/ s
2。则在导体棒向右运动的过程中，求：
(1)t =2.0 s时导体棒切割磁感线产生的感应电动势的大小E；
(2)t =2.0 s时导体棒的加速度大小a，并在图2中定性画出导体棒运动过程的速度v随时间t变化的图像；
(3)0至2.0 s时间内导体棒通过的位移大小x。
8.(2025·云南省·联考题)如图所示，在足够长的光滑平行导轨上有两根由同种材料做成的导体棒a、b，
ma=2mb=2m，两棒长度均为L，相距为d0，垂直导轨放置，棒a的电阻为R，刚开始棒b静止，棒a以初
速度v0水平向右运动，空间存在垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场，求：
(1)棒a加速度的最大值;
(2)棒b产生的焦耳热Qb;
(3)两棒间的最小距离d。
9.(2025·天津市·期中考试)如图所示，匝数N =200、横截面积S =100c m
2、电阻r =0.3Ω的线圈处于
竖直向上的变化磁场中，磁感应强度B1随时间变化规律B1=(0.5+0.4t )T。倾角θ =30°，间距d =0.5m、
长度L=1.2m的光滑平行导轨处在磁感应强度为B2的匀强磁场中倾斜放置，B2方向垂直导轨平面，开关S
闭合时，一质量m=200 g、电阻R1=0.2Ω的导体棒ab恰好能静止在倾斜导轨的上端处，定值电阻
R2=0.2Ω，导轨电阻忽略不计，空气阻力忽略不计，取g=10m/ s
2。则：
(1)求线圈中的感应电动势大小；
(2)求磁感应强度B2的大小和方向；
(3)断开S后导体棒开始沿导轨下滑，到达底端前速度已达到最大值，求导体棒滑到导轨底端所需的时
间，及下滑过程中导体棒上产生的焦耳热。
10.如图甲所示，在水平面上固定有长L=2m、宽d =0.5m的光滑金属“U”形导轨，在导轨右侧
s=1m范围内存在垂直纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示。在t =0时刻，
质量m=0.2kg、电阻R =0.5Ω的导体棒ab以v0=1m/ s的初速度从导轨的左端开始向右运动，导轨的电
阻忽略不计，取重力加速度大小g=10m/ s
2。求：
(1)导体棒刚进入磁场时的加速度大小和方向；
(2)导体棒在磁场内运动的距离；
(3)导体棒在运动过程中产生的焦耳热。
综合提升练
1．（多选）（2023·辽宁·高考真题）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧
导轨间距分别为d 和2d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为2B 和B。已知导体棒MN 的电阻
为R、长度为d，导体棒PQ 的电阻为2R、长度为2d，PQ 的质量是MN 的2 倍。初始时刻两棒静止，两棒
中点之间连接一压缩量为L 的轻质绝缘弹簧。释放弹簧，两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹
性限度内。整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是（
）
A．弹簧伸展过程中，回路中产生顺时针方向的电流
B．PQ 速率为v 时，MN 所受安培力大小为4 B
2d
2v
3 R
C．整个运动过程中，MN 与PQ 的路程之比为2：1
D．整个运动过程中，通过MN 的电荷量为
2．（多选）（2025·重庆·高考真题）如图1 所示，小明设计的一种玩具小车由边长为d 的正方形金属
框efgh 做成，小车沿平直绝缘轨道向右运动，轨道内交替分布有边长均为d 的正方形匀强磁场和无磁场区
域，磁场区域的磁感应强度大小为B，方向竖直向上。gh 段在磁场区域运动时，受到水平向右的拉力
F=kv＋b（k>0，b>0），且gh 两端的电压随时间均匀增加；当gh 在无磁场区域运动时，F=0。gh 段速度
大小v 与运动路程s 的关系如图2 所示，图中v0(v0< b
k )为gh 每次经过磁场区域左边界时速度大小，忽略
摩擦力。则（）
A．gh 在任一磁场区域的运动时间为
kd
b-k v0
B．金属框的总电阻为B
2d
2
k
C．小车质量为
k
2d
2(b-k v0)
D．小车的最大速率为2b
k + v0
3．（2024·江西·高考真题）如图（a）所示，轨道左侧斜面倾斜角满足sinθ1=0.6，摩擦因数μ1= 3
20，
足够长的光滑水平导轨处于磁感应强度为B=0.5T 的匀强磁场中，磁场方向竖直向上，右侧斜面导轨倾角
满足sinθ2=0.8，摩擦因数μ2= 44
183。现将质量为m 甲=6kg 的导体杆甲从斜面上高h=4m 处由静止释放，质
量为m 乙=2kg 的导体杆乙静止在水平导轨上，与水平轨道左端的距离为d。已知导轨间距为l=2m，两杆电
阻均为R=1Ω，其余电阻不计，不计导体杆通过水平导轨与斜面导轨连接处的能量损失，且若两杆发生碰
撞，则为完全非弹性碰撞，取g=10m/s2，求：
（1）甲杆刚进入磁场，乙杆的加速度？
（2）乙杆第一次滑上斜面前两杆未相碰，距离d 满足的条件？
（3）若乙前两次在右侧倾斜导轨上相对于水平导轨的竖直高度y 随时间t 的变化如图（b）所示（t1、
t2、t3、t4、b 均为未知量），乙第二次进入右侧倾斜导轨之前与甲发生碰撞，甲在0~t3时间内未进入右侧倾
斜导轨，求d 的取值范围。
4．（2025·甘肃·高考真题）在自动化装配车间，常采用电磁驱动的机械臂系统，如图，ab、cd 为两条
足够长的光滑平行金属导轨，间距为L，电阻忽略不计。导轨置于磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向
里的匀强磁场中，导轨上有与之垂直并接触良好的金属机械臂1 和2，质量均为m，电阻均为R。导轨左侧
接有电容为C 的电容器。初始时刻，机械臂1 以初速度v0向右运动，机械臂2 静止，运动过程中两机械臂
不发生碰撞。系统达到稳定状态后，电流为零，两机械臂速度相同。
(1)求初始时刻机械臂1 的感应电动势大小和感应电流方向；
(2)系统达到稳定状态前，若机械臂1 和2 中的电流分别为I 1和I 2，写出两机械臂各自所受安培力的大
小；若电容器两端电压为U，写出电容器电荷量的表达式；
(3)求系统达到稳定状态后两机械臂的速度。若要两机械臂不相撞，二者在初始时刻的间距至少为多少？
5．（2025·海南·高考真题）间距为L 的金属导轨倾斜部分光滑，水平部分粗糙并平滑相接，导轨上端
有电源和开关，倾斜导轨与水平面夹角θ =30°，处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，水平导轨处于竖
直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B。两相同导体棒ab、cd 与水平导轨的动摩擦因数μ=0.25，
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两棒的质量均为m，接入电路的电阻均为R。cd 棒仅在水平导轨上运动，
两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，且不会碰撞。忽略金属导轨的电阻，重力加速度为g。
(1)锁定水平导轨上的cd 棒，闭合开关，ab棒静止在倾斜导轨上，求通过ab棒的电流；断开开关，同
时解除cd 棒的锁定，当ab棒下滑距离为x0时，cd 棒开始运动，求cd 棒从解除锁定到开始运动过程中产生
的焦耳热；
(2)此后ab棒在下滑过程中电流达到稳定，求此时ab棒与cd 棒速度大小之差；
(3)ab棒中电流稳定之后继续下滑，从ab棒运动到水平导轨开始计时，t1时刻cd 棒速度为0，加速度不
为0；此后某时刻cd 棒的加速度为0，速度不为0，求从t1时刻到某时刻，ab棒与cd棒的路程之差。
