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第52 讲 电磁感应单杆、双杆和线框模型
目录
01 课标达标练
题型01 电磁感应中的单杆问题
题型02 电磁感应中的双杆问题
题型03 电磁感应中的导线框问题
02 核心突破练
03 真题溯源练
01 电磁感应中的单杆问题
1．（2025·辽宁·一模）（多选）电动汽车通过能量回收装置增加电池续航。在行驶过程中，踩下驱动踏板
时电池给电动机供电，松开驱动踏板或踩下刹车时发电机工作回收能量。某兴趣小组为研究其原理，设
计了如图所示的模型：两个半径不同的同轴圆柱体间存在由内至外的辐向磁场，磁场方向沿半径方向，
有一根质量为m、长度为L、电阻为R 的金属棒MN 通过导电轻杆与中心轴相连，可绕轴无摩擦转动，
金属棒所在之处的磁感应强度大小均为B，整个装置竖直方向放置。中心轴右侧接一单刀双掷开关：踩
下驱动踏板，开关接通1，电池给金属棒供电，金属棒相当于电动机，所用电池的电动势为E，内阻为
r；松开驱动踏板或踩下刹车，开关自动切换接通2，金属棒相当于发电机，给电容器充电，所接电容器
电容为C。初始时电容器不带电、金属棒MN 静止，电路其余部分的电阻不计，下列说法正确的是（
）
1
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A．踩下驱动踏板瞬间，金属棒的加速度为
B．踩下驱动踏板后，从上往下看金属棒MN 顺时针转动
C．踩下驱动踏板后，一段时间后金属棒匀速转动，此时金属棒两端的电压大小为
D．踩下驱动踏板后，当金属棒达到最大转动速度时松开驱动踏板，一段时间后金属棒匀速转动，此时
电容器C 上的带电量
2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）两根相距为L 的足够长金属直角导轨
如图放置，
与
水平，
与
竖直，转角
、
处用阻值为R 的金属杆连接。整个装置处于水平向
右、磁感应强度为
的匀强磁场中。质量均为
、电阻均为
的两金属杆
、
垂直导轨放置且与导
轨接触良好，
、
与直角导轨间的动摩擦因数均为
，不计导轨电阻，重力加速度为g。由静止释放
杆的同时，对
杆施加一水平向左的外力
，使其一直向左做匀速运动。当
杆也匀速运动时，外
力
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强
磁场中，金属杆处在水平导轨间的长度为L，电阻为2R，金属杆在平行金属导轨上以速度v 向右匀速滑
2
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动。金属导轨电阻不计，金属杆与导轨的夹角为
，ab 间电阻为3R，M、N 两点电势分别为
、
，
M、N 两点间电势差为U，下列说法正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
4．（2024·辽宁沈阳·一模）如图所示，用金属制成的平行导轨由水平和弧形两部分组成，水平导轨窄轨部
分间距为
，有竖直向上的匀强磁场，宽轨部分间距为
，有竖直向下的匀强磁场；窄轨和宽轨部分磁
场的磁感应强度大小分别为
和
，质量均为
金属棒
垂直于导轨静止放置。现将金属棒
自弧
形导轨上距水平导轨高度处静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，
两棒接入电路中的电阻均为
，其余电阻不计，宽轨和窄轨都足够长，
棒始终在窄轨磁场中运动，
棒始终在宽轨磁场中运动，重力加速度为
，不计一切摩擦。下列说法不正确的是（ ）
A．
棒刚进入磁场时，
棒的加速度方向水平向左
B．从
棒进入磁场到两棒达到稳定过程，
棒和
棒组成的系统动量守恒
C．从
棒进入磁场到两棒达到稳定过程，通过
棒的电量为
D．从
棒进入磁场到两棒达到稳定过程，
棒上产生的焦耳热为
3
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5．（2024·辽宁锦州·一模）如图，水平放置的光滑导轨，左侧接有电阻R，宽度为L，电阻不计，导轨处
于磁感应强度为B 的竖直向上的匀强磁场中，一质量为m 电阻不计的金属棒
垂直导轨放置，在恒力F
作用下，从静止开始运动，达到最大速度后撤去拉力，最终停止，已知从静止到达到最大速度过程，R
上产生的焦耳热等于最大动能，则下列说法正确的是（ ）
A．
运动过程中的最大速度
B．
加速运动过程中运动的最大位移
C．撤去F 后，通过R 的电量
D．
减速过程中运动的最大位移
6．（2025·辽宁盘锦·三模）（多选）如图所示，水平放置的平行光滑导轨间接有电阻R、电容为C 的电容
器和一个单刀双掷开关。两导轨间距为L，匀强磁场垂直于导轨平面向下，磁感应强度大小为B。一质
量为m、接入电路中的电阻为R 的金属棒ab 垂直于导轨放置。现将开关拨至位置1，金属棒ab 在水平
恒力F 的作用下由静止开始向右运动，当金属棒ab 的速度达到最大时，开关拨至位置2，并撤去外力
F，金属棒ab 继续运动直至达到稳定状态。不计导轨电阻，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒的最大速度是
B．开关拨至位置2 后，金属棒稳定后的速度
C．电容器中储存的电荷量
4
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D．开关拨至位置2 后，导体棒运动的距离
7．（2024·辽宁朝阳·三模）（多选）如图所示，有两根足够长、间距为L 的光滑竖直金属导轨，导轨上端
接有开关、电阻、电容器，其中电阻的阻值为R，电容器（不会被击穿）的电容为C，质量为m 的金属
棒MN 水平放置，整个装置放在垂直导轨平面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，不计金属棒和
导轨的电阻。闭合某一开关，让MN 沿导轨由静止开始释放，金属棒MN 和导轨始终接触良好，重力加
速度大小为g。在金属棒MN 沿导轨下滑的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．只闭合开关
，金属棒MN 先做匀加速运动，后做匀速运动
B．只闭合开关
，通过金属棒MN 的电流为
C．只闭合开关
，金属棒MN 先做加速运动，后做匀速运动
D．若只闭合开关
，金属棒MN 下降的高度为h 时速度大小为v，则所用的时间为
8．（2025·辽宁大连·三模）（多选）如图，水平导轨间距为
，按如图甲建立
坐标系，在
区
域内有垂直纸面向里、大小为
的匀强磁场，在
的区域内有垂直纸面向里、大小按
规律变化的磁场。一个质量为
的导体棒，在外力
的作用下从
处开始向
右运动，
时恰好通过
处，此过程中监测系统显示回路中的电流变化如图乙所示（前
呈
正弦规律变化，
时恰好达到电流的峰值，之后稳定于
）。已知导体棒接入电路的阻值为
，闭合回路中的其他电阻忽略不计，且导体棒与导轨接触良好。下列说法正确的是（ ）
5
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A．导体棒通过
时的速度大小为
B．在0 至
内电阻产生的焦耳热为
C．
后，磁场每秒钟对导体棒的冲量大小为
D．导体棒在
区域向右做匀速直线运动
02 电磁感应中的双杆问题
9．（2025·辽宁沈阳·二模）（多选）如图所示，两光滑平行的金属导轨底部固定在绝缘水平桌面上，其两
端是竖直平面内的圆弧与底部平滑连接，导轨电阻不计，右端接一定值电阻R，底部水平部分所在空间
内存在竖直向上的匀强磁场。现将一导体棒垂直于导轨从左侧圆弧上距桌面
高处的M 点由静止释放，
导体棒到达右侧圆弧的最高点为距桌面
高处的N 点，此过程中电阻R 产生的热量为
，然后返回，再
次到达左侧圆弧的最高点为距桌面
高处的P 点，此过程中电阻R 产生的热量为
，运动过程中导体棒
与导轨始终垂直且接触良好，导体棒电阻不计，下列说法正确的是（ ）
A．
一定等于
B．
一定小于
C．
一定大于
D．
一定等于
6
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10．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）（多选）如图所示，M、N 是两根固定在绝缘水平台面上的光滑平
行金属导轨，导轨足够长且电阻忽略不计，导轨间存在垂直于台面向下的匀强磁场。阻值相等的两金属
棒
、
的质量分别为
、
，两棒置于导轨上，最初两棒间存在一定的距离。
时刻，
棒获
得一水平向右、大小为
（可调）的初速度，此后运动过程中两棒始终与导轨垂直且接触良好。设
、
的间距为x，通过
棒的电荷量为q，安培力对
棒冲量的大小为I，从
时刻至两棒运动稳定，
棒上产生的焦耳热为Q。下列图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·江西吉安·模拟预测）（多选）如图，光滑的水平导轨由间距为
的宽导轨和间距为L 的窄导
轨组成，宽导轨处在竖直向上、磁感应强度大小为
的匀强磁场
中，窄导轨处在竖直向上、磁感应
强度大小为B 的匀强磁场
中，由同一粗细均匀的直导棒截成的a、b 两段导棒分别垂直宽、窄导轨放
置，a、b 两段导棒的质量分别为
、m，接入电路的电阻分别为
、R，给导棒a 一个向右的初速度
，当a 刚要滑离宽导轨时加速度恰好为零，此后导棒a 滑上窄导轨，不计导轨电阻，窄导轨足够长，
两导棒在导轨上运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，下列说法正确的是（ ）
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A．导棒a 开始运动时的加速度大小为
B．导棒a 刚要滑离宽导轨时速度大小为
C．导棒b 最终的速度大小为
D．整个过程回路中产生的焦耳热为
12．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选）如图，两根足够长且电阻不计的光滑平行金属导轨MNPQ
和
，固定在水平面上，MN 与
距离为2L，PQ 与
距离为L。金属棒a 和b 的质量分别
为2m 和m，长度分别为2L 与L，金属棒a、b 分别垂直放在导轨
和
上，保持静止。整个装置处
于竖直向下的、磁感应强度为B 的匀强磁场中。现a 棒获得水平向右初速度
，a 始终在
上运
动，b 始终在
上运动，经过足够长时间后，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒a 做加速度减小的减速运动，b 做加速度增大的加速运动
B．金属棒a 和b 运动稳定时回路感应电动势为零
C．金属棒a 和b 运动稳定时均做匀速运动，且速度大小满足
D．在整个运动过程中，流过金属棒a 的电荷量是
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03 电磁感应中的导线框问题
13．（2025·河北·模拟预测）（多选）如图所示，光滑水平面上分布着垂直于水平面向下的平行边界匀强
磁场Ⅰ和Ⅱ，磁场Ⅰ的磁感应强度大小为
，磁场Ⅱ的磁感应强度大小未知，磁场宽度均为
，磁场Ⅰ
和磁场Ⅱ的相近边界距离为
。距磁场Ⅰ左边界
处有一边长为
、电阻为
、质量为
的单匝金属线
框abcd，受到恒力
的作用从静止开始运动，线框穿过磁场Ⅰ、Ⅱ过程中均匀速。不计一切摩擦阻力，
运动过程中bc 边始终平行于磁场边界，下列说法正确的是（ ）
A．磁场Ⅱ的磁感应强度大小为
B．线框穿过磁场Ⅰ产生的焦耳热与线框穿过磁场Ⅱ产生的焦耳热相等，都为
C．线框完全经过磁场Ⅰ、Ⅱ产生的总焦耳热为
D．线框从开始运动到bc 边与磁场Ⅰ右边界重合时，通过线框横截面的电荷量为
14．（24-25 高二上·吉林·期末）（多选）如图所示，有方向垂直于光滑绝缘水平桌面的两匀强磁场，磁磁
感应强度的大小分别为
，
，PQ 为两磁场的边界，磁场范围足够大，一个水平放置的桌面
上的边长为a，质量为m，电阻为R 的单匝正方形金属线框，以初速度v 垂直磁场方向从图示位置开始
向右运动，当线框恰有一半进入右侧磁场时的速度为
，则下列判断正确的是（ ）
A．此时感应电流为顺时针方向
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B．此时线框的加速度大小为
C．此过程中通过线框截面的电量为
D．此时线框的电功率为
15．（2025·河北廊坊·模拟预测）（多选）如图所示，水平虚线M、N 间存在垂直于纸面向里、沿水平方
向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边长为L 的正方形导体框abcd 由虚线M 上方无初速度释放，在释
放瞬间ab 边与虚线M 平行且相距为L．已知导体框的质量为m，电阻为R，线框cd 边刚要进磁场时，
线框的加速度为零，线框ab 边刚进磁场时和刚出磁场时速度相同，重力加速度为g，导体框在运动过程
中始终在垂直于磁场的竖直面内，ab 边始终水平，忽略空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．线框进磁场的过程可能是加速运动
B．线框进磁场过程通过线框截面的电量为
C．通过整个磁场，线框中产生的焦耳热为
D．M、N 间的距离为
16．（2025·广西·一模）（多选）在轨稳定运行的天和核心舱内，我国航天员进行的某次科研实验如图所
示：一个正方形闭合线圈以速度v1垂直磁场边界进入矩形匀强磁场区域，此后线圈穿过该磁场，若线圈
恰好离开磁场时的速度大小为v2，则下列关于线圈的说法正确的是（ ）
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A．进入磁场的过程中，感应电流的方向为逆时针方向
B．离开磁场的过程中，感应电流的方向为逆时针方向
C．完全进入磁场时的速度等于
D．完全进入磁场时的速度小于
17．（24-25 高三下·河南·阶段练习）（多选）如图所示，间距为
的足够长光滑平行金属导轨固定在
绝缘水平面上，导轨左端接有阻值为
的定值电阻，质量为
的金属导体棒垂直放置在导轨上，
金属棒接入电路的电阻为
，整个装置处在垂直于导轨平面向下的匀强磁场中，用大小为
的水
平恒力
作用在导体棒上，金属棒运动
速度达到最大，最大为
，金属棒运动过程中始终与导轨
垂直且接触良好，则下列判断正确的是（ ）
A．当金属棒速度为
时，金属棒的加速度为
B．金属棒加速运动的距离为
C．金属棒加速运动过程中，通过电阻
的平均电流为
D．金属棒加速运动过程中，电阻
中产生的焦耳热为
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18．（2025·辽宁·三模）（多选）如图所示，光滑的水平金属导轨宽为
且足够长，电阻不计，匀强磁场
垂直导轨平面向上，磁感应强度为
；导轨左端接有电容为
的电容器，击穿电压足够大；质量为
、
电阻为
的金属棒与导轨垂直且在运动过程中接触良好。若电容器开始不带电，给金属棒水平向右的初
速度
，闭合开关后，导体棒最终匀速运动速度为
；若电容器开始带电量为
，金属棒初速度为
，
闭合开关后，导体棒最终匀速运动速度为
；则（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（24-25 高三上·辽宁丹东·期末）（多选）如图，足够长的光滑平行导轨固定在绝缘水平面上，左、右
两侧导轨间距分别为2L 和L，图中
左侧是电阻不计的金属导轨，
右侧是绝缘轨道。金属导轨部
分处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为
；
右侧以O 为原点，沿导轨方向建立x 轴，
右侧存在分布规律为
的竖直向下的磁场（图中未标出）。一质量为m、阻值为R、
三边长度均为L 的U 形金属框，左端紧靠
平放在绝缘轨道上（与金属导轨不接触）处于静止状态。
长为2L，质量为2m，接入电路中的阻值为R 的导体棒a 处在间距为2L 的金属导轨上，长为L、质量为
m、接入电路中的阻值为R 的导体棒b 处在间距为L 的金属导轨上。现同时给导体棒a、b 大小相同的水
平向右的初速度
，当导体棒b 运动至
时，导体棒a 中已无电流。导体棒b 与U 形金属框碰撞后连
接在一起构成回路，导体棒a、b、金属框与导轨始终接触良好，导体棒a 被立柱挡住没有进入右侧轨道。
下列说法正确的是（ ）
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A．导体棒a、b 获得相同的水平向右的初速度
后，导体棒a 做匀减速运动
B．导体棒b 运动至
时的速度大小为
C．导体棒b 运动至
前，导体棒a 和导体棒b 构成的回路产生的热量为
D．导体棒b 与U 形金属框碰撞后至停止的过程中，通过导体棒b 截面的电荷量为
20．（25-26 高三上·黑龙江·开学考试）（多选）如图甲所示，光滑绝缘水平面上，虚线
的右侧存在磁
感应强度
的匀强磁场，
的左侧有一质量
的矩形线圈
，
边长
，线圈
电阻
。
时，用一恒定拉力
拉线圈，使其由静止开始向右做匀加速运动，经过时间
，线圈
的
边到达磁场边界
，此时立即将拉力
改为变力，又经过
，线圈恰好完全进入磁场，整个运动
过程中，线圈中感应电流随时间变化的图像如图乙所示。则下列说法正确的是（ ）
A．恒定拉力大小为
B．线圈在第
内的加速度大小为
C．线圈
边长
D．在第
内流过线圈的电荷量为
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21．（2025·辽宁·模拟预测）如图（a）所示，两根平行长直轨道水平固定，左端有一单刀双掷开关S 可在
电容器C 和定值电阻R 之间切换。光滑金属棒垂直于导轨放置，金属棒和导轨的电阻不计，导轨所在空
间存在竖直向上的匀强磁场。现将开关S 接a 端，
时刻，金属棒在水平恒力F 作用下由静止开始运
动，运动过程中金属棒与导轨始终接触良好；通过金属棒的电荷量q 随时间变化的图像如图（b）所示。
已知电容器的电容
，匀强磁场的磁感应强度大小B=0.1T，平行导轨间距
，金属棒
的质量
，定值电阻
。
(1)求前2s 内水平恒力F 做的功；
(2)若开关S 接b 端，保持水平恒力F 大小不变拉动金属棒由静止开始向右运动，求电阻R 的最大电功率；
（结果保留2 位有效数字）
(3)若不加水平恒力F，开关S 接b 端，给金属棒水平向右的初速度
，求金属棒向右移动的最大
距离。
22．（2025·辽宁·二模）如图甲所示，粗细均匀的无限长光滑平行导轨固定在倾角
的斜面上，在边
界EF 下方区域存在垂直导轨平面向下的匀强磁场B，有两根相同金属棒ab、cd 分别从磁场边界EF 上
方
位置和边界EF 位置同时由静止释放，cd 棒运动的
图像如图乙所示，其中OM、NP 段为
曲线，其它段为直线。已知磁感应强度
，导轨间距
，导体棒的质量均为
，导
体棒电阻均为
，导轨电阻不计，g 取
。求：
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(1)
的大小并直接写出ab 棒在整个运动过程中加速度的最大值；
(2)从
到
导体棒cd 位移大小
；
(3)导体棒ab 进入磁场后，通过导体棒ab 的电荷量
。
23．（2025·辽宁鞍山·三模）如图所示，一倾角
的光滑固定斜面的顶端放有质量
的电阻
不计的U 形导体框。一阻值
、质量
的金属棒CD 的两端置于导体框上，与导体框构成
矩形回路CDEF，EF 与斜面底边平行，长度
。初始时CD 与EF 相距
，金属棒与导体框
同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离
后进入一方向垂直于斜面向上的磁感应强度大小
的有界匀强磁场，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平行。金属棒在磁场中做匀速运动，直到离开磁场
区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的EF 边恰好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。
已知金属棒与导体框之间始终接触良好。重力加速度
，
，
。
(1)求金属棒在磁场中运动时所受的安培力；
(2)求金属棒与导体框之间的动摩擦因数；
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(3)求导体框在磁场中匀速运动过程中克服安培力做的功。
24．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示，圆弧导轨与水平导轨平滑相连，其末端GH 处通过绝缘物质与
倾斜金属导轨平滑连接，所有导轨间距均为
，倾斜导轨与水平方向夹角为θ，倾斜导轨足够远处连接
有电感为L 的电感线圈。CD 与EF 间的导轨粗糙，宽度为d，其他导轨均可视为光滑。矩形ABCD 区域、
EFGH 区域与倾斜导轨区域均存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为
。金属棒b
静止在EFGH 区域，金属棒a 在圆弧导轨上与水平导轨间高度差为h 的位置由静止释放，最终恰好停在
EF 边界处，此时金属棒b 恰能从GH 处滑入倾斜导轨。金属棒a 与CD、EF 间的粗糙导轨的动摩擦因数
为μ，金属棒a 的电阻为R，金属导轨与金属棒b 的电阻均不计，金属棒a、b 的质量均为m，长度均为
，重力加速度取g。求：
(1)在金属棒a 刚进入磁场瞬间，金属棒a 的速度大小与金属棒b 的加速度大小；
(2)金属棒a 在离开ABCD 区域后产生的焦耳热Q；
(3)金属棒b 能沿倾斜导轨向下滑行的最大距离
。（已知自感线圈的自感电动势
，其自身的电
阻为零）
1．（2023·北京·高考真题）如图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向下的匀强
磁场并最终完全穿出。线框的边长小于磁场宽度。下列说法正确的是（ ）
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A．线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向
B．线框出磁场的过程中做匀减速直线运动
C．线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等
D．线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等
2．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）如图，光滑水平面上存在竖直向上、宽度d 大于
的匀强磁场，其磁感
应强度大小为B。甲、乙两个合金导线框的质量均为m，长均为
，宽均为L，电阻分别为R 和
。
两线框在光滑水平面上以相同初速度
并排进入磁场，忽略两线框之间的相互作用。则（ ）
A．甲线框进磁场和出磁场的过程中电流方向相同
B．甲、乙线框刚进磁场区域时，所受合力大小之比为
C．乙线框恰好完全出磁场区域时，速度大小为0
D．甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热之比为
3．（2022·上海·高考真题）如图，一个正方形导线框以初速v0向右穿过一个有界的匀强磁场。线框两次速
度发生变化所用时间分别为t1和t2，以及这两段时间内克服安培力做的功分别为W1和W2，则（ ）
A．t1＜t2，W1＜W2
B．t1＜t2，W1>W2
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C．t1>t2，W1＜W2
D．t1>t2，W1>W2
4．（江苏·高考真题）如图所示，电阻为
的正方形单匝线圈
的边长为
，
边与匀强磁场边
缘重合。磁场的宽度等于线圈的边长，磁感应强度大小为
。在水平拉力作用下，线圈以
的速
度向右穿过磁场区域。求线圈在上述过程中：
(1)感应电动势的大小E；
(2)所受拉力的大小F；
(3)感应电流产生的热量Q。
5．（2025·福建·高考真题）如图所示，光滑斜面倾角为θ=30°，Ⅰ号区域与Ⅱ号区域均存在垂直斜面向外
的匀强磁场。正方形线框abcd 质量为m，总电阻为R，粗细均匀，Ⅰ号区域长为L1，Ⅱ号区域长为L2，
两区域间无磁场的区域长度大于线框长度。线框从某一位置释放，cd 边进入Ⅰ号区域时速度为v，且直
到ab 边离开Ⅰ号区域时，速度始终为v，当cd 边进入Ⅱ号区域时的速度和ab 边离开Ⅱ号区域时的速度
一致，已知重力加速度为
。则：
(1)求线框释放时，cd 边与Ⅰ区域上边缘的距离
；
(2)求cd 边进入Ⅰ号区域时，cd 边两端的电势差；
(3)求线框进入Ⅱ号区域到完全离开过程中克服安培力做功的功率。
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