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训练二十四 电磁感应中的动力学和能量问题
题型一 电磁感应中的动力学问题
知识梳理
1．导体的两种运动状态
(1)导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态．
处理方法：根据平衡条件列式分析．
(2)导体的非平衡状态——加速度不为零．
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．
2．用动力学观点解答电磁感应问题的一般步骤
3．导体常见运动情况的动态分析
v
↓
E＝Blv
↓
I＝
↓
F 安＝BIl
↓
F 合
若F 合＝0
匀速直线运动
若F 合≠0
↓
F 合＝ma
a、v 同向
v 增大，若a 恒定，拉力F 增大
v 增大，F 安增大，F 合减小，a 减小，做加
速度减小的加速运动，减小到a＝0，匀速
直线运动
a、v 反向
v 减小，F 安减小，a 减小，当a＝0，静止
或匀速直线运动
考向1 “单棒＋电阻”模型
例1 (2023·陕西咸阳市模拟)如图，矩形闭合导体线框在匀强磁场上方，由不同高度静止释放，用t1、
t2分别表示线框ab 边和cd 边刚进入磁场的时刻．线框下落过程形状不变，ab 边始终保持与磁场水平边界
线OO′平行，线框平面与磁场方向垂直．设OO′下方磁场区域足够大，不计空气阻力影响，则下列图像不
可能反映线框下落过程中速度v 随时间t 变化的规律的是( )
1
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变式训练1 (多选)如图所示，U 形光滑金属导轨与水平面成37°角倾斜放置，现将一金属杆垂直放置在
导轨上且与两导轨接触良好，在与金属杆垂直且沿着导轨向上的外力F 的作用下，金属杆从静止开始做匀
加速直线运动．整个装置处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，外力F 的最小值为8 N，经过2 s 金属杆
运动到导轨最上端并离开导轨．已知U 形金属导轨两轨道之间的距离为1 m，导轨电阻可忽略不计，金属
杆的质量为1 kg、电阻为1 Ω，磁感应强度大小为1 T，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos
37°＝0.8.下列说法正确的是( )
A．拉力F 是恒力
B．拉力F 随时间t 均匀增加
C．金属杆运动到导轨最上端时拉力F 为12 N
D．金属杆运动的加速度大小为2 m/s2
考向2 “单棒＋电容器”模型
知识梳理
棒的初速度为零，拉力F 恒定(棒和水平导轨电阻忽略不计，摩擦力不计)
如图，运动过程分析：棒做加速运动，持续对电容器充电，则存在充电电流
由F－BIl＝ma，I＝，ΔQ＝CΔU，ΔU＝ΔE＝BlΔv，
联立可得F－＝ma，其中＝a，
则可得a＝
所以棒做加速度恒定的匀加速直线运动．
功能关系：WF＝mv2＋E 电
例2 如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L.导轨上端接有一平行板电容器，
电容为C.导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面．在导轨上放置一质量为m 的
金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中始终保持与导轨垂直并接触良好．已知金属棒与导轨之间的动
摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.忽略所有电阻．让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：
2
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(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系．
题型二 电磁感应中的能量问题
知识梳理
1．电磁感应中的能量转化
―――――――→―――→
2．求解焦耳热Q 的三种方法
3．解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中哪些力做功，以及哪些形式的能量相互转化；
(3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解．
考向1 应用功能关系解决电磁感应中的能量问题
例3 (多选)如图，MN 和PQ 是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗
糙，两部分平滑连接，平直部分右端接一个阻值为R 的定值电阻．平直部分导轨左边区域有宽度为d、方
向竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场．质量为m、电阻也为R 的金属棒从高度为h 处由静止释放，
到达磁场右边界处恰好停止．已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，金
属棒与导轨间接触良好，则金属棒穿过磁场区域的过程中( )
A．流过金属棒的最大电流为
B．通过金属棒的电荷量为
C．克服安培力所做的功为mgh
D．金属棒内产生的焦耳热为mg(h－μd)
考向2 应用能量守恒定律解决电磁感应中的能量问题
3
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例4 (2023·北京市模拟)如图所示，AB、CD 为两个平行的、不计电阻的水平光滑金属导轨，置于方向垂
直导轨平面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场中．AB、CD 的间距为L，左右两端均接有阻值为R 的电阻．
质量为m、长为L 且电阻不计的导体棒MN 放在导轨上，与导轨接触良好，并与轻质弹簧组成弹簧振动系
统．开始时，弹簧处于自然长度，导体棒MN 具有水平向左的初速度v0，经过一段时间，导体棒MN 第一次
运动到最右端，这一过程中AC 间的电阻R 上产生的焦耳热为Q，则( )
A．导体棒水平方向做简谐运动
B．初始时刻导体棒所受的安培力大小为
C．当导体棒第一次到达最右端时，弹簧具有的弹性势能为mv0
2－Q
D．当导体棒再次回到初始位置时，AC 间的电阻R 的热功率小于
变式训练2 如图所示，粗细均匀的正方形导线框abcd 放在倾角为θ＝30°的绝缘光滑斜面上，通过轻
质细线绕过光滑的定滑轮与木块相连，细线和线框共面、与斜面平行．距线框cd 边为L0的MNQP 区域存在
着垂直于斜面、大小相等、方向相反的两个匀强磁场，EF 为两个磁场的分界线，ME＝EP＝L2.现将木块由
静止释放后，木块下降，线框沿斜面上滑，恰好匀速进入和离开匀强磁场．已知线框边长为L1(L1<L2)、质
量为m、电阻大小为R，木块质量也为m，重力加速度为g，试求：
(1)匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
(2)导线框通过匀强磁场过程中线框中产生的焦耳热Q.
强基固本练
1.如图所示，在一匀强磁场中有一U 形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R 为一电
阻，ef 为垂直于ab 的一根导体杆，它可在ab、cd 上无摩擦地滑动．杆ef 及线框的电阻不计，开始时，给
ef 一个向右的初速度，则( )
A．ef 将减速向右运动，但不是匀减速运动
B．ef 将匀减速向右运动，最后停止
4
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C．ef 将匀速向右运动
D．ef 将往返运动
2.两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，顶端接阻值为R 的电阻．质量为m、电阻为r 的金属棒在距
磁场上边界某处由静止释放，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度大小为B、方向垂直纸
面向里的匀强磁场垂直，如图所示．不计导轨的电阻，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．金属棒在磁场中运动时，流过电阻R 的电流方向为a→b
B．金属棒刚进磁场时一定做加速运动
C．金属棒的速度为v 时，金属棒所受的安培力大小为
D．金属棒以稳定的速度下滑时，电阻R 的热功率为2R
3．(多选)(2023·黑龙江大庆市质检)如图所示，在两光滑水平金属导轨上静止放置a、b 两根导体棒，整
个装置处于竖直向下的匀强磁场中，用水平恒力F 拉动a 棒，在运动过程中，a、b 棒始终与导轨接触良
好，若不计导轨电阻，下列说法正确的是( )
A．拉力F 做的功等于a、b 棒增加的动能与a、b 棒中产生的焦耳热之和
B．安培力对b 做的功等于b 棒增加的动能与b 棒中产生的焦耳热之和
C．安培力对a、b 棒做功的代数和的绝对值等于a、b 棒中产生的焦耳热之和
D．a 棒克服安培力做的功等于b 棒增加的动能与b 棒中产生的焦耳热之和
4．(多选)如图甲所示，两间距为L 的平行光滑金属导轨固定在水平面内，左端用导线连接，导轨处在竖直
向上的匀强磁场中，一根长度也为L、电阻为R 的金属棒放在导轨上，在平行于导轨向右、大小为F 的恒
力作用下向右运动，金属棒运动过程中，始终与导轨垂直并接触良好，金属棒运动的加速度与速度关系如
图乙所示，不计金属导轨及左边导线电阻，金属导轨足够长，若图乙中的a0、v0均为已知量，则下列说法
正确的是( )
A．金属棒的质量为
B．匀强磁场的磁感应强度大小为
C．当拉力F 做功为W 时，通过金属棒横截面的电荷量为
D．某时刻撤去拉力，此后金属棒运动过程中加速度大小与速度大小成正比
5.(多选)如图所示，两根间距为d 的足够长光滑金属导轨，平行放置在倾角为θ＝30°的斜面上，导轨的
右端接有电阻R，整个装置放在磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直．导轨上有
5
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一质量为m、电阻也为R 的金属棒与两导轨垂直且接触良好，金属棒以一定的初速度v0在沿着导轨上滑一
段距离L 后返回，不计导轨电阻及感应电流间的相互作用，重力加速度为g.下列说法正确的是( )
A．导体棒返回时先做加速运动，最后做匀速直线运动
B．导体棒沿着导轨上滑过程中通过R 的电荷量q＝
C．导体棒沿着导轨上滑过程中克服安培力做的功W＝(mv0
2－mgL)
D．导体棒沿着导轨上滑过程中电阻R 上产生的热量Q＝(mv0
2－mgL)
6.(多选)(2021·全国甲卷·21)由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的
质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2 倍．现两线圈在竖直平面内从同一高度同
时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示．
不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平．在线圈下边进入磁场后且上边
进入磁场前，可能出现的是( )
A．甲和乙都加速运动 B．甲和乙都减速运动
C．甲加速运动，乙减速运动 D．甲减速运动，乙加速运动
7.(2022·全国乙卷·24)如图，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为l＝0.40 m 的正方形金属
框的一个顶点上．金属框的一条对角线水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面的匀强磁场．已知构成
金属框的导线单位长度的阻值为λ＝5.0×10－3 Ω/m；在t＝0 到t＝3.0 s 时间内，磁感应强度大小随时
间t 的变化关系为B(t)＝0.3－0.1t(SI)．求：
(1)t＝2.0 s 时金属框所受安培力的大小；
(2)在t＝0 到t＝2.0 s 时间内金属框产生的焦耳热．
8.(2023·湖北省模拟)如图，质量为M 的U 形光滑金属框abcd 置于水平绝缘平台上，间距L 的ab 和dc 边
平行，都与bc 边垂直．ab、dc 足够长，整个金属框电阻可忽略．一根电阻为R、质量为m 的导体棒MN 置
于金属框上，用水平恒力F 向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应
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强度大小为B，MN 与金属框保持良好接触，且与bc 边保持平行．
(1)若导体棒MN 在外力作用下保持静止，求最终稳定状态时金属框的速度大小；
(2)若导体棒不受外力作用，求最终稳定状态时电路中的电动势．
9．如图甲所示，相距L＝1 m 的两根足够长的光滑平行金属导轨倾斜放置，与水平面夹角θ＝37°，导轨
电阻不计，质量m＝1 kg、接入电路电阻为r＝0.5 Ω 的导体棒ab 垂直于导轨放置，导轨的PM 两端接在外
电路上，定值电阻阻值R＝1.5 Ω，电容器的电容C＝0.5 F，电容器的耐压值足够大，导轨所在平面内有
垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场．在开关S1闭合、S2断开的状态下将导体棒ab 由静止释放，导体棒的v
－t 图像如图乙所示，sin 37°＝0.6，取重力加速度g＝10 m/s2.
(1)求磁场的磁感应强度大小B；
(2)在开关S1闭合、S2断开的状态下，当导体棒下滑的距离x＝5 m 时，定值电阻产生的焦耳热为21 J，此
时导体棒的速度与加速度分别是多大？
(3)现在开关S1断开、S2闭合的状态下，由静止释放导体棒，求经过t＝2 s 时导体棒的速度大小．
10．(2022·湖北卷·15)如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左右边界竖直，磁场方向垂直
于纸面向里．正方形单匝线框abcd 的边长L＝0.2 m、回路电阻R＝1.6×10－3 Ω、质量m＝0.2 kg.线框平
面与磁场方向垂直，线框的ad 边与磁场左边界平齐，ab 边与磁场下边界的距离也为L.现对线框施加与水
平向右方向成θ＝45°角、大小为4 N 的恒力F，使其在图示竖直平面内由静止开始运动．从ab 边进入磁
场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc 边进入磁场时，bc 边恰好到达磁场右边界．重力加速度大小取g
＝10 m/s2，求：
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(1)ab 边进入磁场前，线框在水平方向和竖直方向的加速度大小；
(2)磁场的磁感应强度大小和线框进入磁场的整个过程中回路产生的焦耳热；
(3)磁场区域的水平宽度．
8
