第 13 讲 构造函数在导数中的应用
目录
高考分析..................................................................................................................................................................................2
学习目标..................................................................................................................................................................................2
知识要点..................................................................................................................................................................................4
解题策略..................................................................................................................................................................................4
题型归纳..................................................................................................................................................................................6
题型01：构造
型......................................................................................................................................6
题型2：构造
型.................................................................................................................................................7
题型3：构造f（x）/x
.................................................................................................................................................8
题型4：构造
型..............................................................................................................................................11
题型05：构造f（x）/e
型........................................................................................................................................13
题型06：构造
型........................................................................................................................................15
题型07：构造sinx 与f（x）型....................................................................................................................................16
题型08：构造cosx 与f（x）型...................................................................................................................................19
题型09： 构造
型..........................................................................................................................20
题型10：构造en
与af (x)+bf (x)型........................................................................................................................22
题型11：（kx+b）与f（x）等构造............................................................................................................................25
题型12 ：与ln（kx+b）结合型..................................................................................................................................27
题型13：添加因式型....................................................................................................................................................29
题型14：二次构造........................................................................................................................................................29
题型15：综合构造........................................................................................................................................................31
题型16：技巧计算型构造.............................................................................................................................................32
题型17：导数解答题之构造新函数类...........................................................................................................................34
巩固提升................................................................................................................................................................................38
同构、构造函数选择填空压轴题............................................................................................................................................40
构造函数是导数模块的核心解题思想与方法，贯穿导数所有综合题型，本质是通过构造新函数将未知问题转化
为“单调性、极值、零点”等已知可解问题，是高考导数压轴题的解题关键，侧重考查转化与化归、逻辑推理、数
形结合核心素养，区分度极高。
一、考纲定位与命题趋势
1. 考纲要求：掌握导数研究函数单调性、极值的基本方法，能根据问题特征构造合适的新函数，解决不等式证
明、恒成立、零点关系、极值点偏移等综合问题，考查函数与方程思想的灵活应用。
2. 命题趋势：近5 年新高考/全国卷考查频率100%，无构造不压轴，常融合在导数解答题第2-3 小问；构造形式
从“基础型”向“复合型、变式型”升级，如由单一f(x)+g(x)向e^x·f(x)、f(x)/x 等同构/异构构造发展，新高考更
侧重“构造的合理性与技巧性”，而非简单公式化构造。
3. 命题特点：不直接要求“构造函数”，需考生根据问题条件（如不等式形式、零点关系、导数特征）自主判断
构造方向，核心考查“为什么构造、构造什么、怎么构造”，而非单纯的求导计算。
二、高考考情分布
1. 题型与分值
①解答题为主：占导数模块分值的60%-80%，多在压轴解答题（21/22 题）第2 小问，分值4-6 分；选填题中
为中档题，侧重基础构造，分值5 分。
②融合性极强：无单独命题，常与不等式证明（含恒成立）、零点关系证明、极值点偏移、隐零点、导数恒
正/恒负判定融合考查，是解决这些题型的“必经步骤”。
2. 考查难度梯度
①基础构造（选填/解答第1 小问）：和差型、简单分离型，占比30%，全员可掌握；
②中档构造（解答第2 小问）：积商型、对称型，占比50%，重点突破得分；
③高阶构造（压轴解答）：同构型、放缩型、多步构造，占比20%，冲刺满分核心。
构造函数是导数模块的核心解题思想，学习目标按基础掌握、能力提升、压轴突破、素养落地分层，适配高考
导数从基础到压轴的考查梯度，兼顾构造方法、逻辑应用、应试规范，最终实现“见题定构造、构造能解题”的核
心能力。
一．基础目标（全员掌握，保底得分）
1. 理解构造函数的核心本质：将未知问题（不等式、恒成立等）转化为可研究的函数单调性、极值/最值问
题，明确“为什么构造”的底层逻辑。
2. 掌握2 类基础构造方法，能精准构造并解决简单导数问题：
①和差型构造：
②基础积商型构造：
3. 完成基础解题闭环：对构造的新函数，能规范完成“求导→判单调性→求最值→推导结论”的步骤，无求导
计算、单调性判定错误。
4. 能识别高考基础构造场景：直接不等式证明（如e
x>x+1）、简单导数符号判断、无参恒成立问题，做到快
速构造、快速求解。
二．提升目标（重点掌握，突破中档）
1. 精通4 类专项构造方法，适配高考中档导数题型，能根据场景灵活选择构造方式：
①参变分离构造：恒成立求参数范围时，能分离参数构造g(x)，转化为求g(x)的最值；
②对称型构造：极值点偏移问题中，能围绕极值点x0构造F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)；
③ 放缩型基础构造：能利用常见放缩式（e
x≥x+1、ln x≤x-1）构造辅助函数，简化证明；
④ 变式积商型构造：能匹配系数构造，解决复杂导数组合问题。
2. 具备构造合理性判断能力：能快速排除错误构造方式，避免“构造后无法求导、无法判单调”的无效操作。
3. 解决高考中档融合题型：能独立解决“构造函数+隐零点”“构造函数+含参不等式证明”“构造函数+简单极
值点偏移”的综合问题，步骤规范，踩准阅卷得分点。
4. 掌握构造简化技巧：构造后能对F’(x)快速因式分解、化简，精准判断导数符号，提升解题效率。
三．压轴目标（拔高掌握，冲刺满分）
1. 攻克3 类高阶构造方法，解决高考导数压轴题，实现构造的灵活性与技巧性：
①同构型构造：能识别含e^x、\ln x 的超越式同构特征，构造单调函数F(t)，将问题转化为自变量的大小比
较；
②多步构造：一次构造无法解决时，能通过“二次构造辅助函数→放缩→再构造核心函数”逐步简化问题；
③多元构造：双零点、多参数问题中，能通过换元、消参构造单变量函数，实现“多元转一元”。
2. 具备自主构造能力：面对无固定模板的创新压轴题，能根据问题条件、解析式特征、待证结论自主分析构造方
向，完成“构造什么→怎么构造”的逻辑推导。
3. 解决高考高阶融合题型：能攻克“构造函数+双隐零点+极值点偏移”“构造函数+超越不等式放缩+多参数范
围”“同构构造+恒成立”的压轴难题，逻辑链完整无跳跃。
4. 实现构造优化与提速：能快速判断最优构造路径，避免复杂构造导致的计算量过大；对高考高频压轴模型，形
成“条件反射式”构造，适配高考应试节奏。
导数中的构造函数常在高考题中以选择题或填空题的形式考查。重点考查函数与方程思想、转化与化归思想。
构造函数法是一种创造性思维的过程，具有较大的灵活性和技巧性，但一直受出题老师的青睐。考生在训练过程中，
要有目的、有意识的进行构造，始终“盯住”要解决的目标。
知识点一 ：导数的构造法
1、加-乘不等号型
（1）f
'( x)g( x)+f ( x)g
'( x) 构造[ f ( x)g( x)]
'=f
'( x)g( x)+f ( x)g
'( x)
（2）
构造
（3）
构造
（4）
构造
[ f (x)eλx]
'=f
'(x)eλx+λf (x)eλx=eλx[ f
'(x)+λf (x)]（注意对
的符号进行讨论）
（5）f
'( x)+λf ( x) 构造
2、减-除不等号型
（6）f
'( x)g( x)−f ( x)g
'( x) 构造
[ f ( x)
g( x) ]
'= f
'( x)g( x)−f ( x)g
'( x)
[ g( x)]2
（7）
构造
（8）
构造
（9）
构造
（注意对
的符号进行讨论）
（10）f
'( x)−λf ( x) 构造
[ f ( x)
eλx ]
'= f
'( x)eλx−λf ( x)eλx
[eλx ]2
= f
'( x)−λf ( x)
eλx
构造函数的核心逻辑是“循特征、定类型、转问题、巧推导”，即根据题干的解析式形式、待证结论、导数组
合特征，选择适配的构造类型，将原问题转化为“研究新函数的单调性、极值/最值、零点”的可解问题，最终回扣
原结论。以下按高考考频排序梳理构造类型、适用场景、解题步骤及技巧，附避错要点，适配所有导数构造题型。
一、核心构造原则（先判原则，再选方法）
1. 简单优先：能和差构造不选积商，能单步构造不做多步，避免过度构造增加计算量；
2. 特征匹配：导数组合形式定积商构造，极值点偏移定对称构造，超越式定同构构造；
3. 目标导向：证明不等式→构造函数求最值，判断导数符号→构造积商型函数，零点关系→构造对称/放缩函
数；
4. 定义域同步：构造的新函数定义域与原函数一致，含ln x、分式时必标注，避免临界点分析错误。
二、高考高频构造类型及精准解题策略（按考频/难度排序）
类型1：和差型构造（基础万能型，高考占比30%）
适用场景
①直接证明函数不等式：f(x)≥g(x)/f(x)>g(x)+C（C 为常数）；
②简单恒成立问题：f(x)≥a 恒成立，求a 的范围；
③判断函数单调性/求最值：原函数形式复杂，拆分后更易分析。
核心策略
作差转化，求最值定符号，将不等式/恒成立问题转化为“新函数的最值与0 的关系”。
解题步骤
1. 构造新函数：F(x)=f(x)-g(x)（证f(x)>g(x)）或F(x)=f(x)-a（恒成立问题）；
2. 求导化简：求F '(x)，因式分解/合并同类项，精准找临界点（F '(x)=0 的解）；
3. 判定单调：由F '(x)的符号划分F(x)的单调区间；
4. 求最值：求F(x)的极小/大值（或端点趋势），确定F( x)min/F( x)max；
5. 回扣结论：若F( x)min≥0，则f(x)≥g(x)；若F( x)max≤0，则f(x)≤g(x)。
类型2：积商型构造（进阶核心型，高考占比25%）
适用场景
① 已知导数线性组合形式：如f '(x)+kf(x)、xf '(x)-kf(x)（k 为常数），判断f(x)单调性/证明不等式；
②原函数导数无法直接判断符号，需通过积商变形简化。
核心策略
逆用导数四则运算法则，将“f '(x)与f(x)的组合式”转化为“单一新函数的导数”，通过新函数单调性反推原组
合式的符号。
解题步骤
1. 匹配构造模板：根据导数组合形式，直接套用高频模板（系数需精准匹配）；
2. 求导验证：对新函数求导，确认导数为原组合式（或组合式×正系数，不改变符号）；
3. 判定新函数单调性：由导数符号确定F(x)的单调区间；
4. 结合条件推结论：利用F(x)的单调性/最值，反推原函数f(x)的性质或证明不等式。
类型3：对称型构造（压轴专属型，高考占比20%）
适用场景
极值点偏移问题：已知f(x)有两个零点x1,x2，极值点为x0，证明x1+x2>2x0 或x1 x2>x0
2/x1+x2<2x0。
核心策略
围绕极值点对称构造，将双零点问题转化为“单变量函数的单调性判定”，利用f(x1)=f(x2)结合新函数单调性推
导零点关系。
解题步骤（固定模板，高考直接套用）
1. 求原函数极值点：求f '(x)，确定f(x)的极值点x0（唯一极值点，偏移问题必备）；
2. 构造对称新函数：和型偏移（证x1+x2>2x0）→F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)；积型偏移（证x1 x2>x0
2）→F(x)=f(
x0·x)-f(x0/x)（x>0）；
3. 研究新函数单调性：求f '(x)，判定F(x)在(0,+∞)上的单调性（通常为单调递增/递减）；
4. 利用特殊点定符号：由F(0)=0（和型）/F(1)=0（积型），得x>0 时F(x)>0 或F(x)<0；
5. 结合零点条件推导：设x1<x0<x2，由f(x1)=f(x2)结合F(x)的符号，推得f(x2)>f(2x0-x1)（或反向），再由
f(x)的单调性得x2>2x0-x1，即x1+x2>2x0。
类型4：参变分离型构造（中档实用型，高考占比15%）
适用场景
含参恒成立/存在性问题：f(x,a)≥0 恒成立;存在x 使f(x,a)≤0，求参数a 的取值范围（可分离参数，无漏根/增根）。
核心策略
分离参数，构造单变量函数，将含参问题转化为“求新函数的最值”，避免复杂的分类讨论。
解题步骤
1. 等价分离参数：将原式变形为a≥g(x)（恒成立）或a≤g(x)（恒成立）/a≥g( x)min（存在性），确保变
形等价（乘除式子需讨论符号，避免漏根）；
2. 构造单变量函数：令g(x)为分离
题型01：构造
型
【典型例题1】已知定义在R 上的函数
的导函数为
，若
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则
，
因为
，所以
，即
，
所以
在R 上单调递减.
不等式
等价于不等式
，
即
.因为
，
所以
，
所以
.因为
在R 上单调递减，
所以
，解得
.故选:B
【典型例题2】已知定义在实数集
上的函数
满足
，且
的导数
在
上恒有
，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】构造函数
，则
，
所以函数
在定义域
上为减函数，且
，
所以
的解集为
，即
的解集为
，选A.
【变式训练1-1】已知函数f（x）为定义在R 上的偶函数，当
时，
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】定义在
上的函数
满足
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型2：构造
型
1.
，
2.
【典型例题1】设函数
在R 上可导，其导函数为
，且
．则下列不等式在R 上恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据给定不等式构造函数
，利用导数探讨
的性质即可判断作答.
依题意，令函数
，则
，
因
，于是得
时
，
时
，
从而有
在
上单调递减，在
上单调递增，
因此得：
，而
，即f(x)不恒为0，
所以
恒成立.故选：A
【典型例题2】已知定义在
上的奇函数
的导函数为
，当
时，
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可知，当
时，
，
构造函数
，其中
，
则
，所以，函数
为偶函数，
且当
时，
，所以，函数
在
上单调递减，
因为
，
由
可得
，即
，
所以，
，故
，
即
或
，解得
或
.故选：C.
【变式训练2-1】已知定义域为
的奇函数
的导函数为
，当
时，
，若
，则
的大小关系正确的是
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2】函数
是定义在区间
上的可导函数，其导函数为
，且满足
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-3】已知
是定义在
上的奇函数，
是
的导函数，当
时，
．若
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-4】已知奇函数
的定义域为
，导函数为
，若对任意
，都有
恒成立，
，则不等式
的解集是__________.
【变式训练2-5】已知定义在
上的函数
满足
，
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型3：构造f（x）/x
1.
，
2.
【典型例题1】函数
在定义域
内恒满足：①
，②
，其中
为
的导函数，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，
，
，
∵
，
，∴
，g
'( x)>0
∴函数
在
上单调递增，∴
，即
，
，
令
，
，
，
∵
，
，
，
∴函数
在
上单调递减，∴
，即
，
，故选D.
【典型例题2】已知定义在
上的偶函数
，其导函数为
，若
，
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题目中信息其导函数为
，若
可知，需构造函数
，
利用导函数判断函数
的单调性，利用函数
的单调性、奇偶性来解题，当
时，即
，
，当
时，即
，
.
构造函数
,
,
当
时，
，故
，
在
上单调递增，
又
为偶函数，
为偶函数，所以
为偶函数，在
单调递减.
,则
，
;
，
当
时，即
，
，所以
；
当
时，即
，
，所以
.
综上所述，
.故选：A
【变式训练3-1】已知定义在
上的函数
的导函数为
，若
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】已知定义在
上的函数
的导函数为f
'( x)，若
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-3】设函数
是奇函数
的导函数，
，当
时，
，则使
得
成立的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-4】已知
，
，
则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-5】设函数
是奇函数
的导函数，
，当
时，
，则使得
成立的x 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-6】已知定义在
上的连续函数
，其导函数
，当
时，恒有
成立．设
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-7】已知定义域为
的偶函数
，其导函数为
，对任意正实数
满足
且
，则不等式
的解集是（ ）
A．（－∞,1） B．（－1,1） C．（－∞,0）∪（0,1） D．（－1,0）∪（0,1）
题型4：构造
型
1.
，
2.
【典型例题1】已知函数
在
上 可导，其导函数为
，若
满足：当
时，
>0，
，则下列判断一定正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】构造函数
,结合导函数,判定
的单调性,
得
对称轴,对选项判断即
可.构造函数
,计算导函数得到
=
，由
>0,得当
,
>0 当
时,
<0.所以
在
单调递增,在
单调递减,而
,所以
关于
对称,故
,得到
,故选:D.
【典型例题2】已知
是
上可导的图象不间断的偶函数，导函数为
，且当
时，满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】构造函数
，根据
，结合题意可知函数
是偶函数，且在
上是
增函数，由此根据结论，构造出
的不等式即可．
由题意：不等式
可化为：
，
两边同乘以
得：
，令
，易知该函数为偶函数，
因为
，
，所以
所以
在
上是单调增函数，又因为
为偶函数，
故
，解得：
．故选：B．
【典型例题3】已知奇函数
的定义域为R，其函数图象连续不断，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，根据导数可知其在
上单调递增，由
可知AB 错误，同时
得到
，
，
，结合奇偶性知C 错误，D 正确.
对于AB，令
，则
，
，
当
时，
，
在
上单调递增，
，即
，
，
，AB 错误；
对于C，由A 的推理过程知：当
时，
，
则当
时，
，
，
，
又
为奇函数，
，
，C 错误．
对于D，由A 的推理过程知：
，又
，
，
，则
，D 正确．
故选：D.
【变式训练4-1】设函数
的定义域为
，
是其导函数，若
，
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2】已知定义在
上的函数
的导函数为
，若
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-3】若
在
上可导且
，其导函数
满足
，则
的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-4】已知定义在R 上的偶函数
满足
，
，若
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-5】已知函数
的导函数为
，且
若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-6】定义在R 上的函数
满足
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-7】已知函数
，若
且
，则有（ ）
A．
可能是奇函数，也可能是偶函数
B．
C．
时，
D．
【变式训练4-8】
是定义在
上的函数，满足
，
，则下列说法错误的是
（ ）
A．
在
上有极大值
B．
在
上有极小值
C．
在
上既有极大值又有极小值
D．
在
上没有极值
题型05：构造f（x）/e
型
1.
，
2.
【典型例题1】已知定义在
上的可导函数
的导函数为
，满足
，且
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
的图像关于直线
对称，所以
，
设
，则
，
因为
，所以
，所以
在
上为减函数，
又
，因为
，所以
，所以
.故选：
.
【典型例题2】已知
是定义在
上的偶函数，当
时，
（其中f '( x)为
的导函数），
若
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，结合已知条件有偶函数
在
上单调减，
上单调增，再由
即可求解集.
由
，而
知：
在
上单调减，
而
，即
，又
知：
，
∴在
上有
，又
是定义在
上的偶函数，则
在
上为偶函数，
∴
在
上单调增，即
，可得
，
综上，有
，故选：A
【典型例题3】已知定义在
上的函数
满足
，且有
，则
的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则
，
∴
在
上单调递减.
又
，则
.
∵
等价于
，即
，
∴
，即所求不等式的解集为
.故选：B．
【变式训练5-2】设
是函数
的导函数，且
，
（e 为自然对数的底数），
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-2】已知定义在
上的函数
的导函数
，且
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式训练5-3】
是定义在
上的函数，
是
的导函数，已知
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-4】已知定义域为
的函数
的导函数为
，且
，
，则以下错误
的有（ ）
A．
有唯一的极值点
B．
在
上单调递增
C．当关于
的方程
有三个实数根时，实数
的取值范围为
D．
的最小值为
【变式训练5-5】（多选）已知定义在
上的函数
的导数为
，对任意的
满足
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-6】已知定义在
上的可导函数
满足：
，则
与
的大小关系是
A．
B．
C．
D．不确定
【变式训练5-7】已知定义在
上的函数
满足
，且
是
的导函数，当
时，
，则不等式
的解集为________．
题型06：构造
型
【典型例题1】设
是定义在R 上的连续奇函数
的导函数，当
时，
，则使得
成立的x 的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
.
则
，所以
在
上单调递减.
又
，所以当
时，
，而
，所以
；
所以当
时，
，而
，所以
.
在
中，令x=1 可得：
.
所以当
时都要
又
是定义在R 上的连续奇函数，所以
，当
时，
.
所以
可化为：
或
或
，
解得：
或
或
.
综上所述：
.故选：B
【典型例题2】已知函数
的定义域是
，其导函数是
，且满足
，则下列
说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】设
，可得
，
单调递增，
又因为
，
，
，
且
，
，
得
，
，整理得
，AC 正确；故选：AC
【变式训练6-1】已知是自然对数的底数，函数
的定义域为
，
是
的导函数，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-2】已知
是定
的奇函数，
是
的导函数，
，且满足：
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-3】已知函数
的定义域为
，导函数为
，且满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型07：构造sinx 与f（x）型
1.
，
2.
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
【典型例题1】已知奇函数
的导函数为
，且
在
上恒有
成立，则下
列不等式成立的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】构造函数
，由已知可得出
在
上为增函数，再根据函数的奇偶性的定义得出
为偶函数，由此逐一判断选项可得答案.
构造函数
，由
在
上恒有
，
，
在
上为增函数，
又由
，
为偶函数，
，
，
，
，故A 错误.
偶函数
在
上为增函数，
在
上为减函数，
，
，
，
，故B 正确；
，
，
，
，故C 错
误；
，
，
，
，故D 错误.
故选：B.
【典型例题2】已知定义在
上的函数，
为其导函数，且
恒成立，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
,则
,所以
在
上单调递增,因此
,
,所以选C.
【变式训练7-1】已知偶函数
是定义在
上的可导函数，当
时，
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-2】设
是定义在
上的奇函数，其导函数为
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-3】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-4】已知函数
及其导函数
的定义域均为R，且
为偶函数，
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型08：构造cosx 与f（x）型
1.
，
2.
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
【典型例题1】已知函数
的定义域为
，其导函数是
.有
，则关于x 的不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，根据题设条件，求得
，得到函数
在
内的单调递减函数，
再把不等式化为
，结合单调性和定义域，即可求解.
由题意，函数
满足
，
令
，则
函数
是定义域
内的单调递减函数，由于
，关于
的不等式
可
化为
，即
，所以
且
，解得
，
不等式
的解集为
.故选：B
【典型例题2】已知可导函数
是定义在
上的奇函数．当
时，
，则不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
，则
则函数
在
上单调递增，又可导函数
是定义在
上的奇函数
则
是
上的偶函数，且在
单调递减，
由
，可得
，则
，
则
时，不等式
可化为
又由函数
在
上单调递增，且
，
，
则有
，解之得
，故选：D
【变式训练8-1】已知偶函数
的定义域为
，其导函数为
，当
时，有
成立，则关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-2】已知函数
的定义域为
，其导函数为
.若
，且
，则
下列结论正确的是
A．
是增函数
B．
是减函数
C．
有极大值
D．
有极小值
【变式训练8-3】已知
的定义域为
且满足
，
为
的导函数，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
有极大值无极小值
B．
无极值
C．
既有极大值也有极小值
D．
有极小值无极大值
题型09： 构造
型
【典型例题1】已知函数
，
是其导函数，
，
恒成立，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
，
所以
，即
，
所以
，故A 错误；
因为
，所以
，
又
，
所以
，故B 错误；
因为
，所以
，
，
即
，
，
因为
，
所以
，
，故C 错误，D 正确．故选：D
【典型例题2】已知奇函数
的导函数为
，且
在
上恒有
成立，则下列不等式成
立的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】构造函数
，由
在
上恒有
成立，
即
在
上为增函数，
又由
为偶函数
，故A 错误.
偶函数
在
上为增函数，
在
上为减函数，
，故B 正确；
，
，故C 错误；
，
，故D 错误.故选：B
【变式训练9-1】已知奇函数
的导函数为
，且
在
上恒有
成立，则下列不等式
成立的（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-2】奇函数
定义域为
，其导函数是
.当
时，有
，则关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．（
，π） B．
C．
D．
【变式训练9-3】已知可导函数
是定义在
上的奇函数．当
时，
，则不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型10：构造en
与
af (x)+bf (x)
型
【典型例题1】函数
是定义在
上的可导函数，
为其导函数，若
，且
，
则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则
，
，故
，即
，解不等式得到
答案.
设
，则
，
，故
，故
，即
，
，即
，
，故
.故选：
.
【典型例题2】已知函数
，其中为自然对数的底数，若
时，函数
有2 个零点，
则实数a 的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可知方程
有两个实数根，令
，则
的图象与直线
有两个交点，结合导数分析函数
的单调性与极值情况即可解决问题．
由题意可知方程
有两个实数根，
令
，则
的图象与直线
有两个交点，
．
（1）若
在
上恒成立，所以
在
上单调递减，
的图象与直线
至多只有一个交点，不合题意；
（2）若
，当
时，
，当
时，
，
所以
的单调递增区间是
，单调递减区间是
，
所以当
时，
取得极大值，也是最大值，为
．
当
时，
，当
时，
，
所以要使
的图象与直线
有两个交点，只需
．
，当
时，
，当
时，
，
所以
，
设
，则
，
所以
在
上单调递增，而
，
所以
的解为
，而
，
故选：D．
【典型例题3】函数
是定义在
上的可导函数，
为其导函数，若
且
，
则不等式
的解集为__________.
【答案】
【解析】构造函数
，由题知
得到
在
的最小值为0，得到
在
单增，在
上，
等价于
，利用
单调性可解.
构造函数
，在
上，
等价于
，
,
,
得
，
在
上单增，在
上单减，
在
上，
恒成立，又
，则
又在
上，
等价于
，即
，则
不等式
的解集为
故答案为：
【变式训练10-1】设定义在
上的函数
的导函数为
，若
，f (0)=2025，则不等式
e
x f ( x)>2e
x+2027（其中为自然对数的底数）的解集为
A．
B．(2027 ,+∞)
C．(2025,+∞)
D．(−∞,0)∪(2027,+∞)
【变式训练10-2】已知定义在
上的函数
的导函数
，且
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式训练10-3】已知定义在
上的偶函数
的导函数为
，当
时，
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-4】已知函数
，其中是自然对数的底数，若
，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型11：（kx+b）与f（x）等构造
【典型例题1】已知定义在
上的函数
的导函数为
，若
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据所求不等式
的形式，构造函数
，利用题目中的条件判断出
在
上单调递减，进而将所求转化为
，再利用单调性求出解集．
设
，则
．
因为
，所以
，即
，所以
在
上单调递减．
不等式
等价于不等式
，即
．
因为
，所以
，所以
．
因为
在
上单调递减，所以
，解得
．
故选：C．
【典型例题2】已知奇函数
的定义域为R，其函数图象连续不断，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，根据导数可知其在
上单调递增，由
可知AB 错误，同时
得到
，
，
，结合奇偶性知C 错误，D 正确.
对于AB，令
，则
，
，
当
时，
，
在
上单调递增，
，即
，
，
，AB 错误；
对于C，由A 的推理过程知：当
时，
，
则当
时，
，
，
，
又
为奇函数，
，
，C 错误．
对于D，由A 的推理过程知：
，又
，
，
，则
，D 正确．
故选：D.
【变式训练11-1】已知函数
的定义域为
，其图象关于点
中心对称，其导函数
，当
时，
，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
【变式训练11-2】设函数
在
上存在导函数
，对任意实数
，都有
，当
时，
，若
，则实数
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练11-3】已知定义域为
的函数
满足
，其中
为
的导函数，则
当
时，不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练11-4】已知
是奇函数
的导函数，当
时，
，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
题型12 ：与ln（kx+b）结合型
1.
2.授课时，可以让学生写出y=ln（kx+b）与y=f(x)的加、减、乘、除各种结果
【典型例题1】已知
是定义在
上的奇函数，
是
的导函数，
且满足:
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据给定含导数的不等式构造函数
，由此探求出
在
上恒负，在
上恒正，
再解给定不等式即可.
令
，
，则
，
在
上单调递减，而
，
因此，由
得
，而
，则
，由
得
，而
，则
，又
，
于是得在
上，
，而
是
上的奇函数，则在
上，
，
由
得：
或
，即
或
，解得
或
，
所以不等式
的解集为
.
故选：D
【典型例题2】设定义在
上的函数
恒成立，其导函数为
，若
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题设构造
，易知
上
，即
单调递减，进而可比较
、
的大小.
由题意，在
上的函数
恒成立，
若
，则
，
∵
上
，即
，
∴
在
上单调递减，而
，故
∴
，可得
.
故选：B
【变式训练12-1】已知定义在
上的连续奇函数
的导函数为
，已知
，且当
时有
成立，则使
成立的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练12-2】设函数
是定义在
上的连续函数，且在
处存在导数，若函数
及其导函数
满足
，则函数
A．既有极大值又有极小值
B．有极大值 ，无极小值
C．有极小值，无极大值
D．既无极大值也无极小值
【变式训练12-3】定义在
上的函数
满足
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练12-4】设
，
，
，则a，b，c 之间的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a
B．c＜a＜b
C．b＜c＜a
D．a＜c＜b
【变式训练12-5】已知命题p：在
中，若
，则
，命题
，
.下列复合命
题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型13：添加因式型
【典型例题1】已知函数
的导函数为
，对任意的实数
都有
，
，则不
等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知条件构造函数
，再根据
，求
，不等式转化为
，结
合函数的单调性和奇偶性，解抽象不等式.
解：由题意得
，则
，
由
，解得：
，故
，
（2），
当
时，
，
，
，
在
上恒成立，
即
在
上单调递增，又
，故
为
上的偶函数，
其图象关于
轴对称，
在
上单调递减，故
，故
，故选：C．
【变式训练13-1】定义在(0,+∞)上的函数
的导函数
满足
，则下列不等式中，一定成立的
是
A．
B．
C．
D．
题型14：二次构造
二次构造：
【典型例题1】已知
是函数
的导函数，且对于任意实数
都有
，
，则不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】本题解题关键在于根据已知构造出合适的函数，
，再通过逆用求导公式得到
，根据已知条件求得m 的值，从而将抽象不等式转化为一元二次不等式，进而得解．
因为
，所以
，即
，亦即
，又
，所以
，即有
．
原不等式
可等价于
，
即
，解得
的取值范围是
．故选：A．
【典型例题2】已知定义域为
的函数
满足
（
为函数
的导函数），则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】构造函数
，由题意可知
在
上单调递增，再对
分情况讨论，利用函数
的单调性
即可求出不等式的解集.
解：由
，
当
时，可得
，
即
，
即
，
构造函数
，所以函数
递增，
则
，此时
，即
满足；
当
时，可得
，
由函数
递增，则
，此时
或
，即
满足；
当
时，
，即
满足
.
综上，
.故选：C.
【变式训练14-1】已知函数
的导函数为
，且对任意的实数
都有
( 是自然对
数的底数)，且
，若关于
的不等式
的解集中恰有两个整数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练14-2】已知定义域为
的函数
的导函数为
，且
，若
，
则函数
的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
题型15：综合构造
【典型例题1】定义在
上的连续函数
的导函数为
，且
成立，则下列各式
一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，由条件可得
，即
在
上单调递减，且
，由此卡判断选项
A，B， C， 将
代入条件可得
，可判断选项D.
由题可得
，所以
，
设
则
，
所以
在
上单调递减，且
由
可得
，
所以
，
，所以选项A､B 错误，选项C 正确.
把
代入
，可得
，所以选项D 错误，
故选：C.
【典型例题2】已知函数
的导函数为
，对任意的实数
都有
，
，
则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】先求出
的解析式，然后再探究其奇偶性和单调性，最后将原不等式转化，进而求出结果.
由
可得
，
即
，所以
（其中
为常数），
因此，
，由
可得
，故
.显然，
是
上的偶函数.
当
时，
，所以，
在
上是增函数. 故
故选：C.
【变式训练15-1】定义在
上的函数
的导函数为
，当
时，
且
，
.则下列说法一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练15-2】已知函数
的定义域为
，且
是偶函数，
（
为
的导
函数）.若对任意的
，不等式
恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型16：技巧计算型构造
【典型例题1】定义在
上的函数
的导函数为
，若
，且
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
得
，构造函数：
，求导判单调性得
，进而
得
则可求
因为
，所以
.构造函数：
，所以
.所以函数
在
上单调递增，所以
，
即
，即
.故选C
【典型例题2】已知
是定义在
上的奇函数,记
的导函数为
,当
时,满足
.若
使不等式
成立,则实数
的最小值为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意构造函数
，借助单调性问题转化为ex（x3﹣3x+3）﹣aex﹣x≤0 在
上有解，
变量分离求最值即可．
由
是定义在
上的奇函数, 当
时,满足
.可设
故
为
上的增函数，
又
∴ex（x3﹣3x+3）﹣aex﹣x≤0 在
上有解，∴a≥x3﹣3x+3﹣
，
令g（x）=x3﹣3x+3﹣
，g′（x）=3x2﹣3+
=（x﹣1）（3x+3+
），故当x∈（﹣2，1）时，g′（x）＜
0，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，
故g（x）在（﹣2，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
故gmin（x）=g（1）=1﹣3+3﹣
=1﹣
；故选D．
【变式训练16-1】定义在
上的函数
满足:
是
的导函数, 则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
【变式训练16-2】已知函数
在
上处处可导，若
，则（ ）
A．
一定小于
B．
一定大于
C．
可能大于
D．
可能等于
题型17：导数解答题之构造新函数类
【典型例题1】已知函数
，
，其中
，
均为实数．
（1）求
的极值；
（2）设
，
，若对任意的
，
，
，
恒成立，求
的最小
值；
（3）设
，若对任意给定的
，
，在区间
，
上总存在
、
，使得
成
立，求
的取值范围．
【答案】见解析
【解析】解：（1）
，令
，解得
，
，
时，
；
时，
，根据极大值的定义知：
极大值是
（1）
，无极小值．
（2）当
，
时，
，所以在
，
上
，所以
在
，
上是增函数．
设
，所以在
，
上
，所以
在
，
上为增函数．
设
，则
恒成立，变成
恒成立，即：
恒成立，即：
．设
，
则
在
，
上为减函数．
在
，
上恒成立．
恒成立．设
，所以
，因为
，
，所以
，所以
，所以
为减函数．
在
，
上的最大值为
（3）
．
，
的最小值为：
．
（3）由（1）知
在
，
上单调递增，在
，
单调单调递减，又
，
（e）
，所以
的值
域是
，
．
；
当
时，
，在
，
为减函数，由题意知，
在
，
不是单调函数；故
不合题意；
当
时，
，由于
在
，
上不单调，所以
，即
；①
此时
在
递减，在
，
递增；
（e）
，即
，解得
；②
所以由①②，得
；
，
，
（1）
满足条件．
下证存在
，
使得
；
取
，先证
，即证
；③
设
，则
在
，
时恒成立；
在
，
上递增，
，所以③成立；
再证
；
，
时，命题成立．
所以
的取值范围是：
，
．
【典型例题2】已知函数
．
（Ⅰ）当
时，求
的单调区间；
（Ⅱ）设
，且
有两个极值点
，
，其中
，若
恒成立，求的
取值范围．
【答案】见解析
【解析】解：（Ⅰ）易求
的定义域
，
，
，
，
，解得：
或
，
解得：
，
所以函数
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
，
．
（Ⅱ）由题意知
，
，
令
，则
，由
有两个极值点
，
，
得
，
又因为
，
所以
，
所以
，
令
，
，
，
因为
，
，
所以
在
，1 单调递减，故
（1）
，
综上所述
．
【典型例题3】已知函数
为常数）有两个极值点．
（1）求实数
的取值范围；
（2）设
的两个极值点分别为
，
，若不等式
恒成立，求
的最小值．
【答案】见解析
【解析】解：（1）由题设知，函数
的定义域为
，
且
有两个不同的正根，即
两个不同的正根
，
，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是
的两个极值点，符合题意，
；
（2）
，
，
令
，则
，
，
，
在
上单调递减，
，
不等式
恒成立，
，
是
的最小值
．
【变式训练17-1】记
，
表示
，
中的最大值．如
，
．已知函数
，
，
，
．
（1）求函数
在
，
上的值域；
（2）试探讨是否存在实数
，使得
对
恒成立？若存在，求
的取值范围；若不存在，说
明理由．
【变式训练17-2】已知函数
，
．
（1）若曲线
在
处的切线的方程为
，求实数
的值；
（2）设
，若对任意两个不等的正数
，
，都有
恒成立，求实数
的取值范围．
【变式训练17-3】已知
．
（1）当
时，
①求
的图象在点
处的切线方程；
②当
时，求证：
．
（2）若存在
，
，使得
成立，求实数
的取值范围．
【变式训练17-4】已知函数
．
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）证明当
时，关于
的不等式
恒成立；
（Ⅲ）若正实数
，
满足
，证明
．
【变式训练17-5】设
，已知定义在
上的函数
在区间
内有一个零点
，
为
的导函数．
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）设
，
，
，函数
，求证：
；
（Ⅲ）求证：存在大于0 的常数
，使得对于任意的正整数
，
，且
，
，
，满足
．
1.已知定义在
上的函数
的导函数为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2.定义在
上的函数
有不等式
恒成立，其中
为函数
的导
函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3.已知函数
的定义域为
，其导函数为
，
对
恒成立，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.若函数
满足：
，
，其中
为
的导函数，则函数
在区间
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.若定义域为
的函数
的导函数为
，并且满足
，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6.已知
是定义在
上的函数，
是
的导函数，且满足
，
，则
的解集
为
A．
B．
C．
D．
7.设函数
是函数
的导函数，若
，且当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
8.设
是定义在
上的函数，其导函数为
，若
，
，则不等式
（其
中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
9.已知偶函数
的定义域为
，其导函数为
，当
时，有
成立，则
关于
的不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
10.设函数
是偶函数
的导函数，当
时，
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
11.已知定义在R 上的函数
，其导函数为
，若
，且当
时，
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
12.已知函数
的导函数为
，且对任意的实数
都有
（是自然对数的底数），
且
，若关于
的不等式
的解集中恰有唯一一个整数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
13.已知定义在
上的奇函数
，导函数为
，且当
时，
，若关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
14.设函数f(x)的导函数为
，f(0)=1，且
,则
的解集是
A．
B．
C．
D．
15.已知
是定义在区间
上的函数，
是
的导函数，且
，
，
则不等式
的解集是__________．
16.函数
是定义在
上的可导函数，
为其导函数，若
，且
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．已知定义在
上的函数
的导函数为
、
的图象关于点
对称，且对于任意的实数
，均有
成立，若
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
同构、构造函数选择填空压轴题
一、单选题
1.若对
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．对任意
，
恒成立，则实数
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知对任意的
，不等式
恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．设实数
，对任意的
，不等式
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
，若对任意两个不等的正实数
，
，都有
，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
是定义在
上的函数
的导函数，且
，则
的大小
关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若函数
有两个不同的零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
，且满足
，若不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数
，若
在定义域上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数
，若
，则
可取（ ）
A．
B．
C．1
D．
一、填空题
1．设实数
，若对
不等式
恒成立，则m 的取值范围为 ．
2．已知函数
，若
对
恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
3．已知
，若对于任意的
，不等式
恒成立，则
的最小值为 .
4．若不等式
对任意
成立，则实数
的最小值为 ．
5．已知函数
，若对任意两个不相等的正实数
，都有
，则实数
的取值范围
是
6．已知函数
，当
，对任意
，不等式
恒成立，
则
的取值范围为 ．
7．已知实数
，
满足
，则
的取值范围为 .
8．已知
是方程
的一个根，则
.
9．已知函数
，若
恒成立，则实数
的取值范围为 .
10．若
，则实数a 的取值范围为 ．
11．已知
，不等式
对
恒成立，则实数
的最小值为 .
12．关于
的不等式
在
上恒成立，则
的最小值是 .
