文档文本内容
第11讲 放缩法与数列
目 录
思维导图....................................................................................................................................................2
高考分析....................................................................................................................................................2
学习目标....................................................................................................................................................3
知识要点....................................................................................................................................................4
解题策略....................................................................................................................................................6
题型归纳....................................................................................................................................................8
题型01：先求和后放缩..................................................................................................................8
题型02：放缩通项再裂项相消再求和...........................................................................................24
题型03：放缩成等比数列再求和..................................................................................................43
题型04: 先放缩后求积.................................................................................................................55
题型05: 根式的放缩....................................................................................................................63
题型06: 跳过第一项再放缩求和...................................................................................................65
题型07: 利用重要不等式放缩......................................................................................................66
题型08: 通过糖水不等式进行放缩...............................................................................................67
题型09: 放缩后错位相减求和......................................................................................................67
题型10：利用递推关系进行放缩..................................................................................................67
题型11：数列恒成立问题.............................................................................................................74
题型12：∑
i=1
n
ai<()f (n)型不等式的证明.....................................................................................80
题型13：∏
i=1
n
ai<()f (n)型不等式的证明.....................................................................................88
题型14：∑
i=1
n
ai<()b型不等式的证明...........................................................................................96
题型15：∏
i=1
n
ai<(>)b型不等式的证明......................................................................................103
放缩法在数列中的应用是高考数学核心难点，多以解答题中后段（数列/导数压轴第二问）呈现，分值8-12
分，区分度高、得分率常低于40%。以下从命题定位、考情数据、核心题型、命题趋势四方面展开分析，为教学
与备考提供精准参考。
一、命题定位与核心价值
1. 能力导向：重点考查逻辑推理（放缩合理性）、数学运算（求和与不等式变形）、直观想象（通项结构
与放缩方向预判）三大核心素养，突出化归与转化思想。
2. 模块融合：打破数列、不等式、导数、函数的边界，常见“数列+导数”“数列+不等式”的综合题，要
求知识迁移与方法跨界应用。
3. 选拔功能：作为压轴题常见载体，通过放缩的“度”与“方向”设置门槛，筛选高水平思维与探究能力
的考生。
二、近五年高考考情数据（新高考卷为主）
年份 试卷 题号 题型 分值 核心放缩类型
2021 乙卷 19 解答题 12 裂项放缩、先求和后放缩
2022 新高考I 卷 17 解答题 10 等比放缩、通项放缩
2023 新高考II 卷 18 解答题 12 裂项放缩、函数放缩（导数辅助）
2024 新高考I 卷 20 解答题 12 裂项+等比混合放缩、糖水不等式
2025 新高考II 卷 19 解答题 12 导数与数列结合的函数放缩
• 难度与分值：稳定在中等偏难，多为解答题第2 问或压轴，占分8-12 分，整体得分率低于40%。
• 考查形式：以证明不等式为主，偶见与数列求和、通项求参结合的探索题。
三、命题趋势与备考建议
1. 趋势预判（2026 年）
◦ 综合深化：“数列+导数”结合更紧密，用导数证明不等式后迁移到数列放缩，思维难度提升。
◦ 反套路化：减少单一放缩模型，增加“多步放缩”“混合放缩”（如裂项+等比），强调“适度放缩”的
精准性。
◦ 情境化：结合实际背景（如数列求和的最值、恒成立问题），考查放缩的实际应用价值。
2. 教学与备考重点
◦ 模型化积累：整理“裂项、等比、函数、糖水”四大放缩模型，配典型例题与变式，形成“放缩工具箱”。
◦ 分步突破：先练“放缩方向”，再练“放缩尺度”（避免放缩过度或不足），最后练“多步放缩”的逻辑
链。
◦ 真题驱动：复盘近五年真题，归纳放缩“触发条件”（如通项为分式优先裂项，含指数优先等比），培养
题感。
◦ 易错警示：明确放缩的等价性与传递性，标注“从第k 项开始放缩”的关键节点，避免逻辑漏洞。
一、 知识目标
1. 掌握数列放缩的核心模型：熟练识别裂项放缩、等比放缩、函数放缩、糖水放缩的适用通项结构，牢记对
应放缩公式与不等式。
2. 理解放缩法的本质逻辑：明确放缩的方向、尺度（避免过度放缩导致证明失效），厘清放缩与数列求和、
不等式证明的关联。
3. 构建知识网络：掌握放缩法与数列通项求解、前n 项和计算、导数证明不等式、恒成立问题的交汇点，形
成跨模块知识迁移能力。
二、 能力目标
1. 精准识别能力：能根据数列通项的形式（分式型、指数型、含对数型）快速判断应采用的放缩策略，提炼
题目中的放缩触发条件。
2. 逻辑推理能力：能规范书写放缩的步骤，明确每一步放缩的依据，保证放缩过程的合理性与严谨性；能处
理“多步放缩”“混合放缩”的复杂题型，形成完整的逻辑链。
3. 运算求解能力：能结合放缩后的通项完成裂项相消、等比数列求和等运算，准确计算放缩后的和式范围，
解决数列不等式证明、最值求解、参数范围问题。
4. 纠错反思能力：能识别放缩过度、方向错误等常见误区，掌握“调整放缩起点（如从第2 项开始放缩）”
“优化放缩公式”等修正方法。
三、 素养目标
1. 渗透化归与转化思想：将未知的数列不等式证明问题，转化为已知的放缩模型与求和问题，提升化繁为简
的思维能力。
2. 培养数学抽象与直观想象素养：能从具体数列通项中抽象出放缩模型，通过预判放缩方向与尺度，建立
“通项结构—放缩策略—和式范围”的直观关联。
3. 强化数学运算与逻辑推理素养：在放缩与求和的过程中，锤炼运算的准确性与推理的严谨性，形成严谨的
数学思维习惯。
数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳
定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形；在放缩时，对通
项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠拢．
常见放缩公式：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
；
（9）
；
（10）
；
（11）
；
（12）
；
（13）
．
（14）
．
（15）二项式定理
①由于
，
于是
②
，
；
，
（16）糖水不等式
若
，则
；若
，则
．
（17）指数恒等式：
次方差公式
这样的话，可得：an−bn>(a−b)an−1
，就放缩出一个等比数列.
（18）利用导数产生数列放缩：由不等式ln x≤x−1可得：
1
n+1<ln( 1
n +1)< 1
n ,n∈N+
.
一、 解题核心流程（四步法）
1. 判结构，定方向
观察数列通项的形式，确定放缩方向：
◦ 若证明S_n < M（常数），需放大通项，使放缩后的数列易于求和；
◦ 若证明S_n > m（常数），需缩小通项，保证放缩后的和式下界符合要求；
◦ 常见结构对应策略：分式型优先裂项放缩、指数型优先等比放缩、含对数/指数型优先函数放缩。
2. 选模型，找依据
匹配核心放缩模型，明确放缩的理论依据：
◦ 裂项放缩：
◦ 等比放缩：适用于递推数列或通项含2
n,3
n，依据等比数列求和公式，构造公比小于1 的等比数列求上
界；
◦ 函数放缩：适用于含ln n、e
n的通项，依据切线不等式、导数证明的函数不等式，将通项转化为可求和
形式；
◦ 糖水放缩：适用于分式递推数列，依据糖水不等式，调整分子分母完成放缩。
3. 控尺度，防过度
这是放缩法的关键，避免因放缩幅度过大导致证明失效：
◦ 调整放缩起点：若从第1 项放缩过度，可尝试从第2 项或第3 项开始放缩，前几项单独计算；
◦ 优化放缩公式：
◦ 多步渐进放缩：复杂题型需分步放缩，每一步控制幅度，逐步逼近目标不等式。
4. 求其和，证结论
对放缩后的数列进行求和（裂项相消、等比求和等），结合求和结果推导目标不等式，完成证明；若涉及参数范
围问题，需结合恒成立条件求解参数。
二、 常见题型解题技巧
1. 数列不等式证明（主流题型）
◦ 单模型放缩：直接匹配模型放缩通项，求和后证不等式；
◦ 混合放缩：结合两种及以上模型，如先裂项再等比放缩，或先函数放缩再裂项；
◦ 数学归纳法+放缩：先归纳奠基，再在归纳递推步骤中用放缩突破难点。
2. 数列最值与参数范围问题
◦ 先通过放缩确定Sn 的上下界，再结合最值条件求参数的取值范围；
◦ 若放缩后范围过大，需优化放缩方式，或结合导数工具精准刻画数列的单调性。
三、 易错点规避
1. 忽视放缩的严谨性：每一步放缩必须有明确的不等式依据，禁止无理由放大/缩小；
2. 放缩过度：牢记“能证出结论的放缩才是有效放缩”，若放缩后无法得到目标，及时调整模型或起点；
3. 求和失误：放缩后数列的求和方法需对应，裂项后注意消项的完整性，等比求和注意公比与项数。
题型01：先求和后放缩
先求和后放缩方法是一种处理数列不等式问题的有效策略。其核心思路在于，首先通过求和将数列的项合并，
简化问题形式；接着，在求和的基础上进行适当的放缩，即利用不等式的性质对求和结果进行放大或缩小，从而
更便于进行后续的比较和推导。
【典型例题1】已知
，设
，
为数列
的前
项和.证明：
【答案】见解析
【解析】
，则
，
故
，又
，
所以
，即
，又
是单调递增数列，则
综上，
.
【典型例题2】已知
为，证明：
．
【答案】见解析
【解析】
，
所以
，
随着
的变大，
变大，故当
时，
取得最小值，
最小值为
，且
，
故
.
【典型例题3】已知
的前n 项和为
，
，且满足______，现有以下条件：
①
；②
；③
请在三个条件中任选一个，补充到上述题目中的横线处，并求解下面的问题：
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求
的前n 项和
，并证明：
．
【答案】见解析
【解析】（1）若选择条件①：因为
，
当
时，
，
两式相减得
，
所以当
时
，当n＝1 时符合，
∴
；
若选择条件②：因为
，
当
时
，
两式相减得
，
，
∴
是首项为2，公比为2 的等比数列，
∴
；
若选择条件③：∵
，
∴
时，
，
两式相减得
，
当n＝1 时，
，可得
，
，
∴
时
成立，
∴
是首项为2，公比为2 的等比数列，
∴
；
（2）由（1）可知
，
则
，
所以
，
因为
，
所以
各项均为正数，
所以
，
又因为
，
所以
．
【典型例题4】在各项均为正数的数列
中，
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，数列
的前n 项和为
，证明：
．
【答案】（1）
. （2）证明略
【解析】（1）因为
各项为正数，
，
所以上式两边同时除以
，得
，
令
，则
，即
，解得
（负值舍去），
所以
，
又
，所以
是以
，
的等比数列，故
.
（2）由（1）得
，
所以
，
因为
，则
，所以
.
【典型例题5】记
为数列
的前
项和，已知
，
．
(1)证明：当
时，数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：因为
，
，
为数列
的前
项和，
当
时，
，
当
时，由
①，可得
②，
①
②可得
，即
，所以，
，
又因为
，则当
时，数列
是等比数列，其公比为
，
即当
时，
，则
，
不满足
，所以，
.
（2）证明：
，
则
.
综上，对任意的
，
.
【变式训练1-1】已知
，设
，记
，证明：
.
c 见解析
【解析】
，
，
，
两式相减得
，
所以
.
【变式训练1-2】已知数列
中，
，
，数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；(2)设数列
的前
项和为
，证明
.
【答案】见解析
【解析】(1)当
时，
，
当
时，
，
所以数列
是首项为
，公差为的等差数列，
所以数列
通项公式为
.
(2)因为
，
所以
，
因为
，
所以
.
【变式训练1-3】记
为数列
的前n 项和，已知
是公差为
的等差数列．
(1)求
的通项公式；(2)证明：
．
【答案】 （1）
； （2）证明略
【解析】（1）∵
，∴
,∴
,
又∵
是公差为
的等差数列，∴
,∴
,
∴当
时，
，∴
,
整理得：
,即
,
∴
，
显然对于
也成立，
∴
的通项公式
；
（2）
∴
【变式训练1-4】己知
为等比数列
的前n 项和，若
，
，
成等差数列，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，且数列
的前n 项和为
，证明：
.
【答案】见解析
【解析】（1）设数列
的公比为q，
由
，
，
成等差数列可得
，故
，解得
，
由
可得
，
解得
，故
，即数列
的通项公式为
.
（2）由（1）可得
，
故
.
当
时，
取得最大值
，当
时，
， 故
.
【变式训练1-5】在各项均为正数的等比数列
中，
为其前n 项和，
，
，
，
成等差数列．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，数列
的前n 项和为
，证明：
．
【答案】（1）
. （2）证明略
【解析】（1）设数列
的公比为q，由题意知
，
即
，
因为
，
，所以
，所以
，所以
．
（2）证明：由（1）得
，所以
，
所以
，
所以
．
显然
单调递增，所以
，
因为
，所以
，所以
．
【变式训练1-6】已知数列
的前
项和为
，若
，
(1)求数列
的通项公式；(2)证明：
.
【答案】（1）
. （2）证明略
【解析】（1）当
时，
相减得
当
时，
符合上式所以
.
当
时，
当
时，
符合上式.
故
（2）由（1）知：
所以
【变式训练1-7】设
是首项为1 的等比数列，数列
满足
．已知
，
，
成等差数列．
（1）求
和
的通项公式；
（2）记
和
分别为
和
的前n 项和．证明：
．
【答案】见解析
【解析】（1）因为
是首项为1 的等比数列且
，
，
成等差数列，
所以
，所以
，
即
，解得
，所以
，
所以
.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设
， ⑧
则
． ⑨
由⑧-⑨得
．
所以
．
因此
．
故
．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得
，
，①
，②
①
②得
，
所以
，
所以
，
所以
.
【变式训练1-8】已知数列
满足：
是公差为6 的等差数列，
是公差为9 的等差数
列，且
.
(1)证明：
是等差数列；
(2)设
是方程
的根，数列
的前
项和为
，证明：
.
【答案】见解析
【解析】（1）因为
是公差为6 的等差数列，则
，
设
，可得
，
，
又因为
是公差为9 的等差数列，
则
，
可得
，即
，
且
，解得
，
即
，
，可得
，
综上所述：
，所以
是等差数列.
（2）构建
，则
是函数
的零点
因为
，则
在
上单调递增，
且
，可知
有且仅有一个零点
，
又因为
，
可知数列
是以首项
，公比为
的等比数列，
则
，
又因为
，可得
，
所以
.
【变式训练1-9】已知数列
满足
.记
.
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)若
，数列
的前
项和为
，求证：
.
【答案】见解析
【解析】（1）由
，得
，而
，则
，
又
，因此
，
所以数列
是以1 为首项，2 为公比的等比数列.
（2）由（1）得，
，则
，
令数列
的前
项和为
，则
，
，
两式相减得
，则
，
所以
.
（3）由（2）知
，
，
而
，所以
.
【变式训练1-10】设数列
的前
项和为
．若对任意的正整数
，总存在正整数
，使得
，则称
是“
数列”．
(1)若
，判断数列
是否是“
数列”；
(2)设
是等差数列，其首项
，公差
，且
是“
数列”，
①求
的值；
②设
为数列
的前
项和，证明：
【答案】见解析
【解析】（1）因为
，
当
时，
，
当
时，
，
又
，即
也满足
，
综上可得
，
当
时存在
或
使得
（即
或
），
对于任意的正整数
，总存在正整数
，此时
，
综上可得对于任意的正整数
，总存在正整数
，此时
，
故
是“
数列”；
（2）①因为
是等差数列，其首项
，公差
，设
的前
项和为
，
故
，
，
对任意的正整数
，总存在正整数
，使得
，
即
，
当
时，
，此时只需
，
当
时，
，解得
，
又
，故
,又
为正整数，故
,此时
；
当
时，
，
下面证明
恒为正偶数，
当
时，
，满足要求，
假设当
时，
为正偶数，
则当
时，
，
由于
和
均为正偶数，故
为正偶数，满足要求，
所以
恒为正偶数，证毕，
所以
.
②由①可得
，所以
，
所以
，
因为
，
所以
单调递减且
，所以
，
所以
.
【变式训练1-11】已知
是数列
的前
项和，
，且
成等比数列．
(1)求数列
的通项公式．
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
．
【答案】见解析
【解析】（1）由
成等比数列，
得
，
所以
．
整理，得
，则
．
又
，
所以
是以2 为首项，3 为公差的等差数列，
所以
，即
．
当
时，
，
所以
．
当
时，
不符合上式．
故
.
（2）由（1）可知，
，
所以
，
所以
，
故
．
【变式训练1-12】已知正项数列
的前n 项和为
，且满足
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)若
，数列
的前n 项和为
，证明：
．
【答案】见解析
【解析】（1）由
得
，则当
时，有
，
两式相减得
，
整理得
，即
，
因此数列
是以
为公比的等比数列．
（2）由（1）及
可得
，
因此
．
于是
，
所以
，
由于
，所以
，
故
．
【变式训练1-13】已知
为数列
的前
项和，
，
，记
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知
，记数列
的前
项和为
，求证：
.
【答案】见解析
【解析】（1）由
，得
，
，
则
，
，
，
数列
是以为首项，
为公比的等比数列，
，
，
.
（2）
，
，
，
当
为奇数时，
，
当
为偶数时，
，由
，可知
是递增数列，
，
综上，
.
题型02： 放缩通项再裂项相消再求和
【典型例题1】已知
，若数列
的前n 项和为
，求证：
.
【答案】见解析
【解析】证明：由（1）得
，
所以
，
所
以
【典型例题2】已知数列
前n 项积为
，且
，设
，求证：
．
【答案】见解析
【解析】
．
所以
．
又因为
，
所以
．
【典型例题3】已知正项数列
的前n 项和为
，且满足
.(1)证明：数列
是等差数列；
(2)设数列
的前n 项和为
，证明：
【答案】（1）证明略 （2）证明略
【解析】（1）当
时，由
，
所以数列
是等差数列；
（2）
，由（1）可知数列
是等差数列，且公差为，
所以
，又因为数列
是正项数列，
所以
，即
，
.
【典型例题4】已知
为等差数列，前n 项和为
是首项为2 的等比数列，且公比大于0，
．
(1)
和
的通项公式；(2)求数列
的前8 项和
；
(3)证明：
．
【答案】（1）
．
．（2）
． （3）证明略
【解析】(1)解：设等差数列
的公差为d，等比数列
的公比为q．
由已知
，得
，而
，所以
．又因为
，解得
．所以
．
由
，可得
①．由
，得
②，联立①②，解得
，由此可得
．
所以，
的通项公式为
的通项公式为
．
(2)解：设数列
的前n 项和为
，由
，得
，所以
，
，
上述两式相减，得
．
得
．
所以，数列
的前n 项和为
当
时，
．
(3)解：由（1）得
，所以：
当
时，
，不等式成立；
当
时，
，所以
，不等式成立；
当
时，
，
所以，
，
所以
，得证．
【典型例题5】已知函数
．
(1)证明：对
恒成立；
(2)是否存在
，使得
成立？请说明理由．
【答案】（1）证明略 （2）证明略
【解析】（1）证明：由
，得
，
令
，得
，
令
，得
，
，且当且仅当
，
所以
在
上单调递增，故
，且当且仅当
，
所以
在
上也单调递增，故
，且当且仅当
，
所以
在
上仍单调递增，故
；
（2）对于右侧：由（1）可知，当
时，
，即
，
故
，
所以
，
所以该侧不等号始终成立；
对于左侧：由（1）可知当
时，
．
设
，
，则
．
在
上有
，所以
在
上单调递增，故当
时，
．
此时
，
令
，
可知
，
所以当
时，
，
令
，注意到
，所以可得到一个充分条件，
即
，
所以任取
，则该侧不等式成立，（
表示
整数部分），
因此，对于任意
，原不等式都成立．即所求的n 是存在的．
【典型例题6】已知正项数列
中，
，前
项和为
，且__________.请在①②中任选一个条件填
在题目横线上，再作答：①
，②
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
.
【答案】见解析
【解析】（1）若选①: 由
，得
，
即
，
因为
为正项数列，所以
，
是公差为2 的等差数列，
由
，得
；
若选②：
，当
时，
，
两式作差得：
，则
，
两式作差得
，
即
，所以数列
为等差数列，
时，
，可得
，
公差
，则
；
（2）由（1）知，
，
又
，
【变式训练2-1】设an=1+ 1
2a + 1
3a +⋯+ 1
na ,a≥2.
求证：an<2.
【答案】见解析
【解析】 an=1+ 1
2a + 1
3a +⋯+ 1
na≤1+ 1
22 + 1
32 +⋯+ 1
n2 . 又k2=k⋅k>k(k−1),k≥2（只将其中一个k
变成k−1，进行部分放缩），∴1
k2 <
1
k(k−1)=
1
k−1−1
k ，
于是an≤1+ 1
22 + 1
32 +⋯+ 1
n2 <1+(1−1
2 )+( 1
2−1
3 )+⋯+(
1
n−1−1
n )=2−1
n <2.
【变式训练2-2】已知
，设
，数列
的前
项和为
，求证：
【答案】见解析
【解析】
，
可知当
时，
，不等式得证
【变式训练2-3】已知
，记
，
，
．证明：当
时，
．
【答案】见解析
【解析】
，
，
，
所以，当
时，
．
【变式训练2-4】已知
，若
，
为
的前n 项和，证明：
．
【答案】见解析
【解析】
,
,
,
，
，
.
【变式训练2-5】已知数列
，设
，求证：
【答案】见解析
【解析】解：思路：
，无法直接求和，所以考虑放缩成为可求和的通项公式（不等号：
），
若要放缩为裂项相消的形式，那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有
，故分子分母通乘以
，再进行放缩调整为裂项相消形式。
解：
而
所以
【变式训练2-6】已知
，
的前
项和为
，
，
，数列
的前
项和为
，证
明：
.
【答案】见解析
【解析】
，则
，
.
，则
.
∴
.
∴
【变式训练2-7】设各项均为正数的数列
的前
项和为
，满足
.
(1)求
的值：(2)求数列
的通项公式：
(3)证明：对一切正整数
，有
.
【答案】 （1）
. （2）an=2n （3）证明略
【解析】(1)令
，
，则
舍去，所以
.
(2)
，
因为数列
各项均为正数，
舍去，
，当
时，
，
(3)令
，
所以
【变式训练2-8】已知数列
的前n 项和为
，
.
(1)证明：数列
为等比数列，并求数列
的前n 项和为
；
(2)设
，证明：
.
【答案】（1）证明略 （2）证明略
【解析】(1)当
时，
，即
由
，则
两式相减可得
，即
所以
，即
数列
为等比数列 则
，所以
则
(2)
所以
【变式训练2-9】已知等差数列
的首项为
，且
，数列
满足
．
(1)求
和
；
(2)设
，记
，证明：当
时，
．
【答案】（1）
．
．（2）证明略
【解析】(1)因为
是等差数列，设其公差为d.
因为
，所以
．
因为
，所以等差数列
的公差
，
所以
．
因为
，所以
，所以
．
当
时，
，
结合
可知
．
经检验：
也适合上式. 所以
．
(2)由（1）可知：
．
所以要证明原不等式成立，只需证明：
成立．
易得：
，所以
当
时，左边
，右边
，左边=右边．
当
时，
，此时
．
所以
所以
于是，当
时，
成立．
综上所述：当
时，
．
【变式训练2-10】设数列
的前
项和为
，且
，数列
满足
，其中
.
(1)证明
为等差数列，求数列
的通项公式；
(2)求使不等式
对任意正整数
都成立的最大实数
的值；
(3)当
时，求证：
.
【答案】（1）
； （2）
的最大值为
；（3）证明略
【解析】(1)当
时，
，所以
，
当
时，
，即
，则有
，
，
所以
是以1 为公差2 为首项的等差数列，
是以
，是以
；
(2)
，
则
，
即为
，
即为
对于任意的正整数
都成立，
令
，
则
，
故
，
是以
单调递增，所以
，
所以
，所以
的最大值为
；
(3)证明：要证
，
只需证
，
因为
，
所以
，
所以
.
【变式训练2-11】已知数列
的首项为1，其前
项和为
，等比数列
是首项为1 的递增数列，若
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)证明：
；
(3)求使得
成立的最大整数
．
【答案】见解析
【解析】（1）因为
，
所以当
时，
，
作差得
，
两边同时除以
得
，
又
，所以
，得
，
所以
，故对
，
所以数列
是首项为1，公差为1 的等差数列，
所以
，则
．
设等比数列
的公比为
，
因为
，所以由
，或
又因以数列
是递增数列，所以
．
（2）因为
，
所以
．
（3）由（1）知，
即
，令
，则
，
，
所以当
时，
，当
时，
，当
时，
，
即有
，
，
又
，
故当
时，
，所以
，
，
又
，
所以
，当
时，
，故使得
成立的最大整数为6．
【变式训练2-12】数列
中，
，
，（
）.
(1)试求
、
的值，使得数列
为等比数列；
(2)设数列
满足：
，
为数列
的前n 项和，证明：
时，
.
【答案】见解析
【解析】（1）若
为等比数列，
则存在
，使
对
成立.
由已知
，代入上式，
整理得
①
∵①式对
成立，∴
，解得
，
∴当
，
时，数列
是公比为2 的等比数列；
（2）由（1）得：
，
，所以
，
所以
，因为
，
所以
，
，（1）
现证：
（
），
当
时，
，∴
，（2）
根据（1）（2）可知
对于
，
都成立.
【变式训练2-13】已知正项数列
满足
，
，且对于任意
，满足
．
(1)求出数列
的通项公式；
(2)设
，证明：数列
的前n 项和
；
(3)设
，证明：
．
【答案】见解析
【解析】（1）因为
，
，
，
当
时，
，计算得
，·
由
，可得
，
两相减可知
，
整理可得
，·
所以
为定值，定值为
，
所以
所以
为等差数列，故
．
（2）证明:由（1）得
，所以
，·
，
故
因为
·，所以
，所以
，即
（3）证明：
，·
因为
，·
所以
．·
另
．
【变式训练2-14】已知数列
的前
项和为
，
，且
．
(1)求
；
(2)若从数列
中删除
中的项，余下的数组成数列
．
①求数列
的前
项和
；
②若
成等比数列，记数列
的前
项和为
，证明：
．
【答案】见解析
【解析】（1）∵
，∴当
时，
，
两式相减得，
，整理得
，即
，
∴当
时，
，
满足此式，
∴
.
（2）①由（1）得，
，∴
，
，
∴数列
是首项为
，公差为
的等差数列.
当
为奇数时，
为偶数，
为
的整数倍，
是数列
中的项，
当
为偶数时，
为奇数，
不是数列
中的项，
∴数列
中的项为数列
的偶数项，且
，
∴数列
是首项为
，公差为
的等差数列，
∴
，
∴
，
，
∴
.
②由①得，
，∴
，
∵
成等比数列，∴
，即
，
∴
，∴
，
∴
.
【变式训练2-15】已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)证明：
.
【答案】见解析
【解析】（1）由
，①
当
时，
，所以
，
当
时，
，②
由①
②得
，
所以
，
当
时，上式也成立，
所以
；
（2）
，·
因为
，
所以
，
当
时，
，
当
时，
，
综上所述，
.
【变式训练2-16】已知数列
满足
，数列
的首项为2，且满足
(1)求
和
的通项公式
(2)记集合
，若集合
的元素个数为2，求实数
的取值范围．
(3)设
，证明：
．
【答案】见解析
【解析】（1）由
可得：
时，
，
相减可得
，故
，
当
时，
也符合上式，故
，
由
可得
，所以数列
为公差为0 的等差数列，且首项为2，
所以
，则
.
（2）由
和
可得
，
记
，则
，
所以
，
当
时，
，当
时，
，此时
单调递减，
而
,
由于集合M 的元素个数为2，所以
，故
.
（3）由
得
，
，
由于
，
因此
.
【变式训练2-17】已知数列
满足
，
，且
．
(1)令
，求
；
(2)记
的前n 和为
，求证：
．
【答案】见解析
【解析】（1）因为
，所以
，
因为
，所以
，
因为
，所以
时，
，
也适合，
所以
．
（2）因为
，故
，
又因为
，则
，可知
，
所以
，
而
，所以
，
所以
，
所以
，
所以
．
题型03：放缩成等比数列再求和
等比放缩方法是一种处理数列不等式问题的有效技巧。其核心思想在于，通过观察数列的项与项之间的关系，
发现其等比规律，并利用这一规律对数列的项进行适当的放大或缩小。
在具体应用时，我们可以根据数列的等比性质，选择一个合适的等比数列作为放缩的基准，然后对原数列的
每一项都按照这个等比数列进行放缩。这种方法的关键在于准确把握等比数列的性质，以及合理确定放缩的倍数，
从而确保放缩后的不等式仍然成立。
【典型例题1】记
，证明：
．
【答案】见解析
【解析】
，
，
，
．
【典型例题2】已知
，求证：对任意的
，
．
【答案】见解析
【
解
析
】
，
故
，
所以
．
【典型例题3】记
为数列
的前
项和，已知
，
是公差为
的等差数列.
(1)求
的通项公式；(2)证明：
.
【答案】（1）
. （2）证明略
【解析】（1）
，
，即
；
当
且
时，
，
即
，
，又
，
数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
，则
.
（2）由（1）得：
，
，
，
.
【典型例题4】已知数列
的首项为1，
为数列
的前n 项和，
，其中
．
(1)若
成等差数列，求
的通项公式；
(2)设数列
满足
，且
，数列
的前n 项和为
，证明：
．
【答案】（1）
．（2）证明略
【解析】（1）由
得
，两式相减得
，
由
可得
，故
对所有
都成立，
所以数列
是首项为1，公比为q 的等比数列，从而
，
由
成等差数列可得
，化简得
，
又
，解得
（舍去），
所以
．
（2）由题意可知
，
由
可得
，解得
（舍去），
又
，则
，即
，
则
，
即
．
【典型例题5】已知数列
满足
,
（
）.
(1)记
（
），证明：数列
为等比数列，并求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)设
（
），且数列
的前
项和为
，求证：
（
）.
【答案】见解析
【解析】（1）
，
又
，
所以，数列
为以
为首项，
为公比的等比数列.
由等比数列的通项公式知
.
（2）由（1）可知
，又
，
.
设
，则
，
设
，
，
，
，
故
.
（3）
，
，
所以欲证
，只需证
，
即证
.
设
，
，故
在
上单调递减，
，
时，
.
，
得证.
【变式训练3-1】已知
，记
，求证：
．
【答案】见解析
【解析】当
时，
；
当
时，
，
所以
．
【变式训练3-2】已知
，证明：
.
【答案】见解析
【解析】
，因为当
时，
，所以
于是.
所以
.
注：此处
便是利用了重要的恒等式：
次方差公式：
当然，利用糖水不等式亦可放缩：
2
3n−1
< 3
3n= 1
3n−1 ，请读者自行尝试.
【变式训练3-3】已知
，证明：
【答案】见解析
【解析】
，
所以
【变式训练3-4】已知
，数列
，证明：
.
【答案】见解析
【解析】当
时，验证所证不等式成立，当
时，由放缩法可得出
，再结合等比数列求和公式
可证得原不等式成立，综合可得出结论.
解：由
，所以，
，
所以，
，
当
时，
，
当
时，
.
综上所述，对任意的
，
.
【变式训练3-5 】已知数列
，
，求证：对任意的
且
，有
【答案】见解析
【解析】
【变式训练3-6】已知数列
的首项为1，
为数列
的前n 项和，
，其中
．
(1)若
成等差数列，求
的通项公式；
(2)设数列
满足
，且
，数列
的前n 项和为
，证明：
．
【答案】（1）
．（2）证明略
【解析】（1）由
得
，两式相减得
，
由
可得
，故
对所有
都成立，
所以数列
是首项为1，公比为q 的等比数列，从而
，
由
成等差数列可得
，化简得
，
又
，解得
（舍去），
所以
．
（2）由题意可知
，
由
可得
，解得
（舍去），
又
，则
，即
，
则
，
即
．
【变式训练3-7】已知数列
是等差数列，其前n 项和为
，
，
；数列
的前n 项和为
，
.
(1)求数列
，
的通项公式；(2)求数列
的前n 项和
；
(3)求证：
.
【答案】（1）
，
（2）证明略
【解析】(1)数列
是等差数列，设公差为d，
，化简得
，
解得
，
，∴
，
.
由已知
，
当
时，
，解得
，
当
时，
，
∴
，
，
即
，∴数列
构成首项为3，公比为3 的等比数列，∴
，
.
(2)由（1）可得
，
，
∴
，
∴
(3)由（1）可得
，
，
则
，
方法一：
∵
，
∴
，
令
，
，
两式相减可得
，
∴
，
∴
方法二：
∵
时，
，
根据“若
，
，则
”，可得
，
∴
，
令
，
，
两式相减可得
，
∴
∴
，
∴
方法三：
令
，下一步用分析法证明“
”
要证
，即证
， 即证
，
即证
，
当
，显然成立， ∴
，
∴
【变式训练3-8】已知数列
和
满足
，
，
．
(1)证明：
是等比数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
；
(3)证明：
．
【答案】见解析
【解析】（1）由题意知
，
，
所以
，
即
，又
，
所以
是首项为
，公比为
的等比数列．
（2）由（1）知
，所以
，
所以
．
（3）由（1）知
，所以
．
当
为
偶
数
时
，
．
所以
．
当
为奇数时，
，
而
，所以
．
综上可知原命题成立．
【变式训练3-9】数列
是等差数列，数列
是等比数列，满足：
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)数列
和
的公共项组成的数列记为
，求
的通项公式；
(3)记数列
的前
项和为
，证明：
【答案】见解析
【解析】（1）设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
，
由
可得
，易知
，所以
，解得
；
又
可得
，可得
；
由
可得
，即
；
因此可得
，
；
所以数列
和
的通项公式为
.
（2）数列
和
的公共项需满足
，
可得
，即
是4 的整数倍，
可知
，由二项式定理可知
若是4 的倍数，则
为正数，即
；
所以可得
，
即
的通项公式为
（3）易知
，显然
对于
都成立，
所以
对于
都成立，
即
，
即可得
.
【变式训练3-10】已知数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求
；
(2)若
，记数列
的前n 项和为
，求证：
．
【答案】见解析
【解析】（1）当
时，
，解得
；
当
时，
，
，则
，
因为
，所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，即
；
（2）由（1）知，
依题意
，
因为
，
，则
，即
；
因为
，
所以
，
而
，
故
，即
．
综上所述，
．
题型04:先放缩后求积
【典型例题1】已知数列
，
满足
，
，且
，
.
（1）求
及
；
（2）猜想
，
的通项公式，并证明你的结论；
（3）证明：对所有的
，
.
【答案】（1）
；
，
；
，
；
，
；
【解析】（1）因为
，
，且
，
令
，得到
，解得
，
；
令
，得到
，解得
，
；
令
，得到
，解得
，
；
（2）证明：猜测
，
，
用数学归纳法证明：①当
时，由上可得结论成立.
②假设当
时，结论成立，即
，
，
那么当
时，
，
，
，
所以当
时，结论也成立.
由①②，可知
，
对一切正整数都成立.
（3）由（2）知，
，
于是所证明的不等式即为
（ⅰ）先证明：
因为
，所以
，从而
，
即
，所以
（ⅱ）再证明
，令
，
则
，设函数
，
，
则
，
.
因为在区间
上
为增函数，
所以当
时，
，
从而
在区间
上为单调递减函数，
因此
对于一切
都成立，
所以
综上所述，对所有的
，均有
成立.
【典型例题2】已知函数
．
(1)求函数
的最大值；
(2)证明：
【答案】（1）
取最大值1． （2）证明略
【解析】（1）因为
定义域为
，所以
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，即当
时，
取最大值1．
（2）证明：由（1）知
，当且仅当
时取等号，因此当
时，
，
即当
时，
，
所以
，
所以
．
【变式训练4-1】已知函数
．
(1)求函数
的最大值；
(2)若关于x 的方程
有实数根，求实数k 的取值范围；
(3)证明：
．
【答案】（1）
取最大值1．（2）证明略
【解析】（1）
，当
时，
，当
时，
，
在
上单调递增，
在
上单调递减
所以
，即当
时，
取最大值1．
（
2
）
依
题
意
，
，
令
，
，
当
时，
，当
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
即
，因此
的值域是
，方程
有解，有
，
所以实数k 的取值范围是
.
（3）由（1）知
，当且仅当
时取等号，因此当
时，
，
即当
时，
，
，
所以
．
【变式训练4-2】已知数列
和
满足
，且对任意
都有
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)证明：
．
【答案】（1）
；
（2）略
【解析】（1）
对任意
都有
，
，
．
，即
．
数列
是首项为
，公差为1 的等差数列．
，且
，
．
．
，
，
（2）
，
，
．
所证不等式
，即
．①先证右边不等式：
．令
，则
．当
时，
，所以函数
在
上单调递减．
当
时
，
，
即
．
分
别
取
．
得
．即
．也
即
．即
．②再证左边不等式：
．令
，则
．当
时，
，
所以函数
在
上单调递增．
当
时，
，即
．分别取
．
得
．即
．也
即
．
即
．
．
【变式训练4-3】已知函数
.
（1）判断函数
的单调性；
（2）已知数列
，
，求证：
.
【答案】（1）
在定义域
上是减函数. （2）证明略
【解析】（1）
的定义域为
，
.
设
.
∵
，∴当
时，
；当
时，
，
∴
在
上单调递增，在
上单调递减，
∴
在
处取得最大值.
又∵
，∴对任意的
，
恒成立，即对任意的
，都有
恒成立，故
在定义域
上是减函数.
（2）由
是减函数，且
可得，当
时，
，
∴
，即
，
两边同除以
得
，即
，
从而
，
所以
. ①
下面证
.
记
，
，
∴
.
∵
在
上单调递减，而
，
∴当
时，
恒成立，
∴
在
上单调递减，即
，
，
∴当
时，
.
∵
，
∴当
时，
，即
. ②
综合①②可得，
.
【变式训练4-4】已知数列
为数列
的前n 项和，且
．
(1)求数列
的通项公式； (2)求证：
；
(3)证明：
．
【答案】（1）
. （2）证明略 （3）证明略
【解析】（1）
当
时
，
得：
，
，即
，
变形为
，
，经检验
时也适合．
.
（2）构造函数
，
，
在
上递减，
，
时
．
∵
，
∴令
，则有
（3）
，
，原不等式等价于证明：
，
令
，
，
则
，
所以
在
上单调递减，
所以
，
所以
，
令
，然后累加得：
．原不等式得证．
【变式训练4-5】已知数列
，
，
为数列
的前n 项和，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知当
时，不等式
恒成立，证明：
．
【答案】（1）
． （2）证明略
【解析】（1）
，即
，
当
时，
，
两式相减，
，
即
，也即
，
变形为
，
所以
，经检验
时
也适合．
．
（2）证明：因为
时，
，
，所以
，
令
，则有
．
，
，
将
两边同时取对数，
得到原不等式等价于证明：
，
令
，
，
则
，
所以
在
上单调递减，
所以
，
所以
，
，
令
，2，
，然后累加得：
，
则
，原不等式得证．
题型05:根式的放缩
【典型例题】
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
99
100
的整数部分是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】注意到
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
，
1
1
2
2
2
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
，
据此可得答案.
因
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
，
则
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
99
100
1
10
0
2
0
4
2
6
4
100
98
5
2
2
.
又
1
1
2
2
2
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
，则
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
99
100
1
101
1
3
1
5
3
7
5
101
99
2
2
100
1
9
2
2
.故
9
1
1
1
1
5
2
1
2
3
4
5
6
99
100
，即整数部分为4.
【变式训练5-1】已知数列
的前
项和
，设数列
的前
项和
，且满足
，求证：
【答案】见解析
【解析】：
，
【变式训练5-2】已知数列
满足
.记数列
的前n 项和为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】见解析
【解析】由
，即
根据累加法可得，
，当
且仅当
时取等号，
.
一方面：an>
4
(n+1)2 > 1
n+1−1
n+2 ⇒S100> 5
2 . 另一方面
，由累乘法可得
，
当且仅当
时取等号，由裂项求和法得：所以
，即
．故选：A．
【变式训练5-3】已知正项数列
的前n 项和为
，且满足
.
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)设数列
的前n 项和为
，证明：
【答案】见解析
【解析】（1）当
时，由
，
所以数列
是等差数列；
（2）
，由（1）可知数列
是等差数列，且公差为，
所以
，又因为数列
是正项数列，
所以
，即
，
.
题型06:跳过第一项再放缩求和
【典型例题】已知
，若
，数列
的前n 项和为
，证明：
.
【答案】见解析
【解析】
，则
.
先证
：当
时，
，
，满足
；
当
时，
，
所以
.故
得证.
再证
：因为
，
所以
.
故不等式
成立.
【变式训练6-1】已知
，设数列
，证明：
．
【答案】见解析
【解析】
，
则当
时，
，
．
从而得证．
【变式训练6-2】已知数列
满足
且
，求证：
．
【答案】见解析
【解析】数列
满足
且，所以当
时，
，故
，
所以
．
【变式训练6-3】已知
，证明：
．
【答案】见解析
【解析】当
时，
，不等式成立；
当
时，
，所以
，不等式成立；
当
时，
，
所以，
，所以
，得证．
题型07:利用重要不等式放缩
【变式训练7-1】设Sn=√1⋅2+√2⋅3+⋯+√n(n+1).求证n(n+1)
2
<Sn<(n+1)2
2
.
【答案】见解析
【解析】】此数列的通项为ak=√k(k+1),k=1,2,⋯,n.
∵k<√k(k+1)< k+k+1
2
=k+ 1
2 ，∴∑
k=1
n
k<Sn<∑
k=1
n
(k+ 1
2 )，
即n(n+1)
2
<Sn< n(n+1)
2
+ n
2 <(n+1)2
2
.
注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式√ab ≤a+b
2
，若放成
√k(k+1)<k+1则得Sn<∑
k=1
n
(k+1)=(n+1)(n+3)
2
>(n+1)2
2
，就放过“度”了！
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里
n
1
a1
+⋯+ 1
an
≤n√a1⋯an≤a1+⋯+an
n
≤√
a1
2+⋯+an
2
n
其中，n=2,3 等的各式及其变式公式均可供选
题型08:通过糖水不等式进行放缩
【变式训练8-1】求证(1+1)(1+ 1
3 )(1+ 1
5 )⋯(1+
1
2n−1 )>√2n+1.
【答案】见解析
【解析】利用假分数的一个性质b
a > b+m
a+m (b>a>0,m>0)可得
2
1⋅4
3⋅6
5 ⋯2n
2n−1>¿ ¿3
2⋅5
4⋅7
6 ⋯2n+1
2n = 1
2⋅3
4⋅5
6 ⋯2n−1
2n ⋅(2n+1)
⇒( 2
1⋅4
3⋅6
5 ⋯2n
2n−1 )2>2n+1即(1+1)(1+ 1
3 )(1+ 1
5 )⋯(1+
1
2n−1 )>√2n+1.
题型09:放缩后错位相减求和
【变式训练9-1】已知
na
是公差为2 的等差数列，其前8 项和为
64.
nb
是公比大于0 的等比数列，
1
4
b
，
3
2
48.
b
b
(1)求
na
和
nb
的通项公式：
(2)记
*
2
1 ,
N
n
n
n
c
b
n
b
，证明：
*
1
1
2
2
2 2
N
n
k
k
k
k
k
a
n
c
c
a
【答案】(1)
2
1
na
n
，
4n
nb =
；(2)证明见解析
【解析】（1）由等差数列与等比数列的性质求解，
（2）由放缩法与错位相减法求和证明．
（1）对于等差数列{
}
na
，
8
1
8 7
8
64
2
S
a
d
，而
2
d
，解得
1
1
a ，故
2
1
na
n
，
对于等比数列
nb
，
1
4
b
，则
2
3
2
)
48
4(
b
q
b
q
，而公比
0
q
，解得
4
q
，故
4n
nb =
（2）
2
1
4
4
n
n
n
c
，则
2
1
4
4
2
2
2
2
4
1
2
1
1
2 4
2
4
2 4
(4
)
4
4
(2
1)(2
1)
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
a
k
c
a
k
k
c
令
2
1
2
2
2
2n
n
S
，则
2
3
1
1
1
2
2
2
2
2n
n
S
，
两式相减得
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
S
，
得
1
1
2
2
2
2
n
n
n
S
，故
1
1
2
2
2
2 2
n
k
k
k
k
k
a
S
c
c
a
，原式得证
题型10：利用递推关系进行放缩
利用递推关系进行放缩时，我们首先要明确数列的递推公式，然后根据这个公式对数列的项进行适当的放大
或缩小。关键在于保持放缩后的不等式方向不变，同时确保放缩后的数列更容易处理。这种方法能够帮助我们揭
示数列的深层结构，从而更有效地解决数列不等式问题。
【典型例题1】定义数列
为“阶梯数列”：
．
(1)求“阶梯数列”中，
与
的递推关系；
(2)证明：对
，数列
为递减数列；
(3)证明：
．
【答案】见解析
【解析】（1）由阶梯数列的形式结构可知
.
（2）由
，
，所以
，
，
∴
，
同理
，
累乘得
，
即
，
由
，
，
∴
故对
为递减数列.
（3）
，
，
又对
，
由（2）知
，
故
，
又
，
，
所以
，
故对
，
∴
，
∴
，
∴
，
当
时，
，
综上，
．
【典型例题2】已知数列{an}满足：
，
（
）．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）证明：
；
（Ⅲ）求证：
．
【答案】见解析
【解析】（I）
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：
（Ⅲ）
，所以
，累加得右侧；另一
方面由
可得
，累加得左侧.
由（Ⅱ）得：
，
所以
，
累加得：
另一方面由
可得：原式变形为
所以：
累加得
【变式训练10-1】已知数列
满足
，
，
．
(1)猜想数列
的单调性，并证明你的结论；
(2)证明：
．
【答案】见解析
【解析】（1）由
及
得
由
猜想：数列
是递减数列
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1 时，已证命题成立；
（2）假设当n=k 时命题成立，即
易知
，那么
=
，即
，也就是说，当n=k+1 时命题也成立，结合（1）
和（2）知，命题成立．
（2）当n=1 时，
，结论成立，
当
时，易知
，
，
．
即
.
【变式训练10-2】已知正项数列
满足：
（1）求
的范围，使得
恒成立；
（2）若
，证明：
（3）若
，证明：
【答案】见解析
【解析】（1）由
，得
由
，即
所以
或
（舍）
所以
时，
（2）证：若
，得
现假设
（
）
构造函数
，易知
在
上单调增
所以
即
由以上归纳可知
5 分
（3）由
得
所以
构造函数
，
在
上单调递增
所以
【变式训练10-3】已知数列
满足
，
.证明：对这一切
，有
（1）
；
（2）
.
【答案】见解析
【解析】（1）显然，
，
.
故
·
·
.
所以，
.
又
，故对一切
，有
.
（2）显然，
.
由
，知
·
·
.
故
.
题型11：数列恒成立问题
【典型例题1】设
是数列
的前
项和，
，若不等式
对任意
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】利用
，得到
，
，变形后得到
是等差数列，首项为6，
公差为4，从而求出
，故代入
整理得
，利用作差法得到
单调递减，最
小值为
，列出不等式求出答案.
当
时，
，解得：
，
当
时，
，
整理得
，
方程两边同除以
，得
，
又
，故
是等差数列，首项为6，公差为4，
所以
，
故
，经验证，满足要求，
所以
为
，
故
，对任意
恒成立，
，当
时，
，
故
，
单调递减，当
时，
取得最大值
，
故
，解得：
，
则
的最小值为
【典型例题2】已知等差数列
的前n 项和记为
（
），满足
,数列
为单调递减
数列，求
的取值范围.
【答案】
【解析】设等差数列
的公差为
，由已知可得
，求得
，由数列的单调性列不等式即可得
的取值
范围；设等差数列
的公差为
，由于
，
所以
，解得
，
所以
，
若数列
为单调递减数列，则
对于
恒成立，
所以
在
上恒成立，
则
，所以
，又数列
为递增数列，所以
，即
，
故
的取值范围为
【变式训练11-1】已知数列
满足：
，
.设
，若对于任意的
，
恒成立，则实数
的取值范围为
【答案】
【解析】由
，
可得
，进而得到
，结合
，分
和
分类讨论，确定数列
的单调性，求出
最大值，进而得解.
由数列
满足
、
得：
是首项为，公比为
的等比数列，
∴
，∴
，
∴
，
当
时，
，∴
，当且仅当
时取等号，
，
当
时，
，∴
，
当
时，数列
单调递增，当
时，数列
单调递减，
则当
或
时，
，
而任意的
，
恒成立，则
，
∴实数
的取值范围为
.
【变式训练11-2】数列
满足
，若对任意
，所有的正整数
n 都有
成立，则实数k 的取值范围是 .
【答案】
【解析】先由题设求得
，然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意
，所有的正整数n 都有
成立转化为
对任意
恒成立，再利用基本不等式求得
的最小值，即可得到
答案.由
，
当
时，
，
两式相减可得：
，
∴
，由
，显然成立，
设
，
∴当
时，
，当
时，
，
因此，
，数列
单调递增，当
时，数列
单调递减，
由
，
，故当
或
时，数列
取最大值，且最大值为
，
对任意
，所有的正整数n 都有
成立，可得
，
因此，
，即
对任意
恒成立，
由
，当且仅当
，即
时取最小值，则
，
∴实数k 的取值范围是
.
【变式训练11-3】已知
，若
对于任意
恒成立，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】先分离参数将问题转化为
对于任意
恒成立，进而转化为
，构造
，再作差判定单调性求出数列
的最值，进而求出
的取值范围.
因为
，且
对于任意
恒成立，
所以
对于任意
恒成立，即
，
令
，则
，
因为
，
，
，
且
对于任意
恒成立，
所以
，即
，
所以实数
的取值范围是
【变式训练11-4】已知数列
的前n 项和为
，满足：
，且
，
为方程
的两根，且
.若对于任意
，不等式
恒成立，则实数
的取值
范围为 .
【答案】
【解析】先利用等差数列通项公式求解
，再利用数列的单调性求解数列
的最大值，进而解决
不等式恒成立问题即可.
由
可知数列
是等差数列，设其公差为
，
解方程
得
或
，又
，
，
，
.
由
得
，
，设
，
则
，
由
对于任意
恒成立，所以只考虑
的符号，
设
，
，
令
解得
，即
在
上单调递增，
令
解得
，即
在
上单调递减，
，
，
，
当
，
，
当
，
时，
，即
，
，
当
，
，即
，
即从
，
开始单调递减，
即
，
，即
，
的取值范围为
.
【变式训练11-5】已知
，
，设数列
前
项和
，求使得不等式
成立的
的最小值.
【答案】5.
【解析】解：
，
则
，
则
，
两式相减得：
于是得
，
由
得：
，即
，令
，
，
显然，
，
，
，
，
，
由
，解得
，即数列
在
时是递增的，
于是得当
时，即
，
，则
，
所以不等式
成立的n 的最小值是5.
【变式训练11-6】已知数列
中，
，满足
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）设
为数列
的前
项和，若不等式
对任意正整数
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】见解析
【解析】：(1)
，
所以
是以
为首项，公比为
的等比数列，
所以
，所以
.
(2)
，
若
对于
恒成立，即
，
可得
即
对于任意正整数
恒成立，
所以
，令
，则
，
所以
，可得
，所以
，
所以
的取值范围为
题型12：∑
i=1
n
ai<()f (n)型不等式的证明
【典型例题1】已知函数
在点
处的切线与
轴重合．
(1)求函数
的单调区间与极值；
(2)已知正项数列
满足
，
，
，记数列
的前
项和为
，求证：
．
【答案】见解析
【解析】（1）因为
，且
，
由题意可得
，即
，可得
，
可知
的定义域为
，且
，
令
，解得
；令
，解得
；
可知
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以
有极大值
，无极小值．
（2）由（1）可得
，当且仅当
时取等号，
可得
，当且仅当
时取等号，
等价变形为
，即
，当且仅当
时取等号，
代入题干中可得
，
则
，即
，
当
时，
，即
，
且
符合上式，所以
，
，则
，
由
，令
得
，即
，
所以
.
【典型例题2】已知函数
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若对任意
，都有
恒成立，求
的最大整数值；
(3)对于任意的
，证明：
．
【答案】见解析
【解析】（1）当
时，
，
所以函数定义域为
，
，
令
，则
，
所以当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，又
即
，
所以
即
在
上恒成立，当且仅当
时，
，
所以
在
上单调递增，即
的单调递增区间为
，无单调递减区间.
（2）因为对任意
，都有
恒成立，
所以对任意
，
恒成立，
即对任意
，
恒成立，
所以
，
所以
，
因为
在
上恒成立，所以
在
上单调递增，
又
，
所以存在
，使得
即
，
所以当
时，
即
，当
时，
即
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以
，令
，
则
在
上恒成立，所以函数
在
上单调递增，
又
，
所以
的最大整数值为3，即
的最大整数值为2.
（3）证明：由（1）知
在
上单调递增，
则函数
，所以
，
故
，
所以
，
累加得
，
所以
.
【变式训练12-1】已知函数
．
(1)若
，证明：
；
(2)记数列
的前
项和为
．
（i）若
，证明：
．
（ii）已知函数
，若
，
，
，证明：
.
【答案】见解析
【解析】（1）设
，当
时，
，
所以
在
上为增函数，故当
时，
，
所以当
时，
设
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，故当
时，
，
所以当
时，
故当
时，
因为
，当
时，
，
所以
在
上为增函数，
因为当
时，
，且由
，
可得
，所以
，即
，
所以
（2）（i）因为
，
所以
，
则
，
所以
，
即
，
所以
（ii）函数
，
因为当
时，
，
所以当
时，
，
所以当
时，
，
因此
，
故
，即
因为
，
所以当
时，
，
综上，
，所以
，
所以
，即
.
【变式训练12-2】柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，其形式为：
，等号成立条件为
或
至少有一方全为0．柯西不等式用处很广，高中阶段常用来计算或证明表达式的最值问题．
已知数列
满足
．
(1)证明：数列
为等差数列，并求数列
的通项公式；
(2)证明：
．
【答案】见解析
【解析】（1）因为
，
所以
为常数，
又
，得到
，
所以数列
为首项为
，公差为
的等差数列，
由
，得到
.
（2）要证
，
即证
，
即证
，
由柯西不等式知
，
当且仅当
时取等号，
即
，
所以只需证明
，
由（1）知
，
所以只需证明
，
即证明
，
下面用数学归纳法证明，
（1）当
时，不等式左边
，不等式右边
，所以
时，不等式成立，
（2）假设
时，不等式成立，即
成立，
则
时，
，
令
，则
在区间
上恒成立，
即
在区间
上单调递增，所以
，
得到
，取
，得到
，
整理得到
，即
，
所以
，
即
，不等式仍成立，
由（1）（2）知，对一切
，
，
所以
.
题型13：∏
i=1
n
ai<()f (n)型不等式的证明
【典型例题1】设数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)证明：数列
是等比数列，并求
的通项公式；
(2)设
，证明：
．
【答案】见解析
【解析】（1）因为
，
当
时
，解得
，
当
时
，
相减得
，所以
，·
所以
是以首项为6，公比为3 的等比数列，
即
，所以
.
（2）由（1）可得
，
即证：
·
方法一：令
．
则
，·
因为
，所以
，
所以
单调递增，即
，
即
．
方法二：放缩法：
，
所以
，
，
，
，
相乘得
即
【典型例题2】已知函数
，
.
（1）判断函数
在(0,+∞)上的单调性；
（2）若
在(0,+∞)上恒成立，求整数m 的最大值.
（3）求证：
(其中e 为自然对数的底数).
【答案】见解析
【解析】（1）因为
，所以
，
又因为
，所以
，
，
所以
，
即函数
在(0,+∞)上为减函数.
（2）由
在(0,+∞)上恒成立，即
在(0,+∞)上恒成立，
即
，
设
，
所以
，
，令
，
则
，即
在(0,+ ∞)为增函数，
又
，
，
即存在唯一的实数根a，满足
，且
，
，
当
时，
，
，当
时，
，
，
即函数
在
为减函数，在
为增函数，
则
，
故整数m 的最大值为3.
（3）由（2）知，
，
，
令
，则
，
，
故
.
【变式训练13-1】已知函数
.
(1)若函数
在点
处的切线在两坐标轴上截距相等，求
的值；
(2)（i）当
时，
恒成立，求正整数
的最大值；
（ii）记
，
，
且
.试比较
与
的大小并说明理由.
【答案】见解析
【解析】（1）由已知，
定义域为
，
∵
，
∴
，∴切点
即
，
又∵
，
∴由导数的几何意义，函数
在点
处的切线斜率为
，
∴函数
在点
处的切线方程为
，
整理得，
.
若切线在两坐标轴上截距相等，则
①当切线过原点时，
，解得
，切线方程为
，
②当切线不过原点时，斜线斜率
，解得
，切线方程为
.
∴
的值为
或.
（2）（i）由（1）知，
，令
，解得，
，
若
为正整数，则
，
∴当
时，
，
在区间
上单调递减，
当
时，
，
在区间
上单调递增，
∴当
时，
的极小值，也是最小值为
，
若当
时，
恒成立，则
的最小值
，
设
，则
，
当
时，
，
在区间
上单调递减，
∴当
时，
单调递减，
又∵
，
，
∴使
的正整数
的最大值为
，
∴当
时，使
恒成立的正整数
的最大值为
.
（ii）
，理由证明如下：
∵当
且
时，
∴
（
），
又∵
，∴
，
①当
时，
，
②当
时，
由（i）知，
，
恒成立，
，
∴当
时，
，
，即
恒成立，
∴
，
∴
，
综上所述，当
且
时，
，即有
.
【变式训练13-2】伯努利不等式又称贝努力不等式，由著名数学家伯努利发现并提出.·伯努利不等式在证明数列
极限、函数的单调性以及在其他不等式的证明等方面都有着极其广泛的应用.·伯努利不等式的一种常见形式为：
当
，
时，
，当且仅当
或
时取等号.
(1)假设某地区现有人口100 万，且人口的年平均增长率为
，以此增长率为依据，试判断6 年后该地区人口
的估计值是否能超过107 万？
(2)数学上常用
表示
，
，
，
的乘积，
，
.
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）已知直线
与函数
的图象在坐标原点处相切，数列
满足：
，
，证明：
.
【答案】见解析
【解析】（1）依题意，
年后该地区人口的估计值为
万人，
由伯努利不等式可得
，
所以
年后该地区人口的估计值能超过
万.
（2）（ⅰ）根据伯努利不等式可知
，
所以
，
所以
.
（ⅱ）由
，则
，所以
，
又直线y = f (x)与函数
的图象在坐标原点处相切，
所以直线y = f (x)的斜率为，且过点
，
所以直线y = f (x)的方程为
，
所以
，则
，
所以
，
由（ⅰ）可知
，所以
，
又因为
，
即
，
所以
，
所以
.
【变式训练13-3】已知数列
满足
，且
，
．
(1)计算
，
；
(2)求猜测
的通项公式，并证明；
(3)设
，问是否存在使不等式
对一切
且
均成立的最
大整数
，若存在请求出，若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）由题意得：
；
.
（2）猜想：
；
证明：当
时，
，满足
；
假设当
时，
成立，
那么当
时，
，
即当
时，
成立；
综上所述：对于任意
，
成立.
（3）由（2）得：
，
；
若
恒成立，则
；
令
，
则
，
；
，
，
即
递增，
，
，
又
为整数，
最大整数
.
题型14：∑
i=1
n
ai<()b型不等式的证明
【典型例题1】已知数列
是公比大于0 的等比数列，
，
.数列
满足：
（
）.
(1)求数列
的通项公式；
(2)证明：
是等比数列；
(3)证明：
.
【答案】见解析
【解析】（1）设等比数列
的公比为
，则
，
则
，所以
，
又
.
（2）所以
，
所以
，且
，
所以数列
是首项为8，公比为
的等比数列；
（3）由题意知，
，
所以
，
所以
，
设
，
则
，
两式相减得
，
所以
，
所以
.
【典型例题2】已知数列
，
为数列
的前
项和，且满足
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
【答案】见解析
【解析】（1）对任意的
，
当
时，
，两式相减
．
整理得
，
当
时，
，
也满足
，从而
．
（2）证明：证法一：因为
，
所以，
．
从而
；
证法二：因为
，
所以，
，证毕.
【变式训练14-1】在各项均为正数的数列
中，
，
，
．
(1)证明数列
为等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)若
，记数列
的前n 项和为
．
（i）求
；（ii）证明：
．
【答案】见解析
【解析】（1）由题意知
，
因此数列
是以
为首项，以4 为公比的等比数列，
于是
，
．
．
又
适合上式，所以
．
（2）（i）因为
，
所以
．
（ii）因为数列
的前n 项和为
，
所以只需证明：
，
也就是
，
令
，只需证明
，
设函数
，
，
．
所以
，即
成立，得证．
【变式训练14-2】已知函数
的最小值为0，其中
．
(1)求
的值；
(2)若对任意的
，有
成立，求实数
的最小值；
(3)证明：
．
【答案】见解析
【解析】（1）由函数
，则其定义域为
，且
.
由
，得:
，又由
，得:
，
在
单调递减，在
单调递增，
；
（2）设
，
则
在
恒成立等价于
，
注意到
，又
，
①当
时，由
得
.
在
单减，
单增，这与
式矛盾；
②当
时，
在
恒成立，
符合
，
的最小值为
；
（3）由（2）知：令
得：
，
令
得：
当
时，
(1)；
当
时，
，
，
，
将(1)(2)(3),......,(n)式相加得：
不等式左边：
；
不等式右边：
；
所以
.
【变式训练14-3】已知函数
．
(1)证明：对
恒成立；
(2)是否存在
，使得
成立？请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：由
，得
，
，
令
，得
，
令
，得
，
，且当且仅当
，
所以
在
上单调递增，故
，且当且仅当
，
所以
在
上也单调递增，故
，且当且仅当
，
所以
在
上仍单调递增，故
；
（2）对于右侧：由（1）可知，当
时，
，即
，
故
，
所以
，
所以该侧不等号始终成立；
对于左侧：由（1）可知当
时，
．
设
，
，则
．
在
上有
，所以
在
上单调递增，故当
时，
．
此时
，
令
，
可知
，
所以当
时，
，
令
，注意到
，所以可得到一个充分条件，
即
，
所以任取
，则该侧不等式成立，（
表示
整数部分），
因此，对于任意
，原不等式都成立．即所求的n 是存在的．
题型15：∏
i=1
n
ai<(>)b型不等式的证明
【典型例题1】已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
(3)求证：
（
，是自然对数的底数）．
【答案】见解析
【解析】（1）当
时，
，
，
由
解得
，由
解得
，
故函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
（2）因当
时，不等式
恒成立，即
恒成立，
设
，只需
即可，
由
，
（i）当
时，
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
故
成立；
（ii）当
时，由
，因
，所以
，
，
①若
，即
时，在区间
上，
，则函数
在
上单调递增，
在
上无最大值，不满足条件；
②若
，即
时，函数
在
上单调递减，在区间
上单调递增，同样
在
上无最大值，不满足条件；
（iii）当
时，由
，
，
，
，故函数
在
上单调递减，故
成立，
综上所述，实数
的取值范围是
；
（3）据（2）知当
时，
在
上恒成立，
令
，
则
，
当
时，
，
.
【典型例题2】已知函数
.
(1)若
在
上单调递增，求
的值；
(2)证明：
（
且
）.
【答案】见解析
【解析】（1）函数
，求导得
，
由于函数
在R 上单调递增，则
恒成立，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，不满足条件；
当
时，
，
在R 上单调递增，
又
，即
，不满足条件；
当
时，令
，得
，
则当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
于是当
时，
取得最小值
，
于是
，即
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减，
则
，由于
恒成立，因此
，则有
，
所以
单调递增时，
的值为1.
（2）由（1）知，当
时，
，即有
，当且仅当
时取等号，即当
时，
，
因此当
且
时，
，
而当
时，
，
所以
，
则
，所以，
.
【变式训练15-1】已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
，求k 的值；
(3)设m 为整数，且对于任意正整数n，
，求m 的最小值.
【答案】见解析
【解析】（1）当
时，
，
，
所以
，所以切线的斜率为
，
又因为
，
所以曲线
在
处的切线方程为
，即
.
（2）因为
，
当
时，
，
所以
在
上单调递增，
又因为
，与
不符；
当
时，由
得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
，所以
，
设
，
则
，
由
，可得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
所以
有唯一解，且
.
（3）由（2）知当
时，
，
当且仅当
时，
.
所以当
且
时，
，
则
.
取
（
），所以
，
所以
，
，
，
所以
.
所以
所以
于是对于任意正整数n，
，
只需
，又因为
，所以
，
则m 的最小值为
.
【变式训练15-2】已知函数
．
（1）求
的最大值；
（2）设
，是曲线
的一条切线，证明：曲线
上的任意一点都不可能在
直线的上方；
（3）求证：
（其中为自然对数的底数，
）．
【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）
的定义域为
，
，令
，得
．
当
时，
，∴
在
上是增函数，
当
时，
，∴
在
上是减函数，
故
在
处取得最大值
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，
设
是曲线
上的一点，
则
在点
处的切线方程为
，
即
，
令
则
，
∵
，
在
上是减函数，
∴
在
处取得最大值
，即
恒成立，
故曲线
上的任意一点不可能在直线的上方．
（3）由（1）知
在
上恒成立，当且仅当
时，等号成立，
故当
且
时，有
，
又因为
，所以
所以
【变式训练15-3】已知函数
，
，
．令
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)证明：
．
【答案】见解析
【解析】（1）由
，
得
，∴
，
因此
，即
，
∴
为等比数列，公比为
，首项为
．
故
，即
；
（2）由（1）知
，
要证
，即证
，
也即证
，这只需证
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上递增，在
上递减，
所以
，
即
，当且仅当
时等号成立，
令
，得
，
∴
，
即
．
