第08 讲 构造函数比较大小
目 录
思维导图................................................................................................................................................................2
高考分析................................................................................................................................................................2
学习目标................................................................................................................................................................3
知识要点................................................................................................................................................................4
解题策略..............................................................................................................................................................12
题型归纳..............................................................................................................................................................12
题型01：构造ln x
x 型函数比大小..................................................................................................................12
题型02：构造xlnx 型函数比大小................................................................................................................16
题型03：放缩比大小....................................................................................................................................17
题型04：取对数后比大小.............................................................................................................................21
题型05：构造其它函数比大小......................................................................................................................22
题型06：泰勒展开公式麦克劳林展开比大小.................................................................................................30
题型07：帕德逼近....................................................................................................................................... 32
题型08：一题多解....................................................................................................................................... 33
巩固提升..............................................................................................................................................................37
构造函数比较大小是高考导数模块的核心常考题型，多以选择题、填空题压轴形式出现，偶尔融入解答题小问，
侧重考查函数思想、导数工具应用和代数变形能力，是区分中档与高分段的关键考点。
1. 考查频次与分值
①全国卷/新高考卷：年均考查1 道，分值5 分，近5 年新高考Ⅰ/Ⅱ卷、全国甲/乙卷均有涉及，属于高频
必考点。
②题型定位：多为选择题11/12 题、填空题15/16 题，难度中等偏上，极少作为解答题单独考查，常与导
数单调性、极值、放缩法结合。
2. 考查内容分布
考查类型 占比 核心载体
单变量同构型比较 40% 、、等基础结构
变量分离型比较 35% 指数、对数、幂函数混合式，需移项统一结构
放缩辅助型比较 15% 结合、等常用放缩
双变量关联型比较 10% 依托函数对称性，比较等量（新高考创新方向）
3. 考场时间分配
①该类题型解题时间控制在3~5 分钟，若1 分钟内无法识别构造结构，可先标记跳过，避免挤占解答题时
间；
②双变量问题若思路不清，可利用特殊值法（如取满足条件的x1、x2 代入）快速排除错误选项，提高正
确率。
结合高考考情与题型特征，从知识、能力、素养三个维度制定分层学习目标，兼顾基础掌握与应试提分，实现
从“会做”到“快做、做对”的进阶。
一、基础层级目标（全员必达）
1. 知识掌握
① 熟记构造函数比较大小的核心原理：利用函数单调性，将代数式大小比较转化为同一函数不同自变量
的函数值比较。
②掌握5 类高频基础构造模型的定义域、导数、单调性与极值特征。
③牢记2 个核心放缩公式及适用条件。
2. 能力达成
①能识别单变量同构型题型，直接提取统一结构构造函数，完成基础的代数式大小比较。
② 掌握基本代数变形技巧：指对互化、移项整理、恒等变形，将简单的异结构式子转化为同结构形式。
③规范完成构造函数→求导→判单调性→比大小的标准化解题步骤，无逻辑疏漏。
3. 应试要求
能独立解决高考中基础难度的构造比较大小题（选择题11 题前、填空题15 题前），正确率≥95%，耗时
≤2 分钟。
二、提升层级目标（中档提分）
1. 知识深化
①拓展掌握复合型构造模型：能分析含参数构造函数的单调性。
②理解放缩法的进阶应用：知道基础放缩公式的反向应用与精度边界，能判断何时需放弃纯放缩、改用构
造函数。
③掌握变量分离型题型的构造逻辑，明确“指对分边、幂函结合”的变形原则。
2. 能力突破
①能处理变量分离型和放缩辅助型题型，通过移项、拆分、放缩预处理，将复杂式子转化为可构造的同结
构形式。
②具备导数分析纠错能力：能排查求导错误、定义域遗漏、单调性区间误判等常见问题。
③学会特殊值验证法：对不确定的结论，通过取特殊值快速检验，规避解题失误。
3. 应试要求
①能独立解决高考中等难度的构造比较大小压轴小题（选择题12 题、填空题16 题基础问），正确率
≥90%，耗时≤3 分钟。
②能应对含参数、含复合函数的构造比较问题，做到思路清晰、步骤完整。
三、拔高层级目标（高分冲刺）
1. 知识综合
①掌握双变量关联型题型的核心知识：结合函数极值点偏移、对称性，理解对称构造、换元转化的底层逻
辑。
②积累精细放缩技巧：能根据题型构造专属放缩辅助函数，突破基础放缩精度不足的问题。
③融合跨模块知识：结合函数奇偶性、周期性、不等式性质，实现多维度构造解题。
2. 能力升华
①具备题型快速识别能力：扫读题干即可判断题型类型（单变量/双变量/放缩辅助），并锁定最优构造方
案，形成条件反射。
② 拥有构造创新能力：面对陌生结构的代数式，能通过逆向思维、类比迁移，自主构造合适的函数，而
非依赖套路。
③ 掌握双变量转化技巧：熟练运用“换元”“对称化构造”，将双变量问题转化为单变量问题求解。
3. 应试要求
① 能攻克高考压轴难度的双变量构造比较大小题，正确率≥85%，耗时≤5 分钟。
②能将构造函数思想迁移到导数解答题中，解决与不等式证明、参数范围结合的综合问题。
四、素养层级目标（长期提升）
1. 培养函数与方程思想：学会用函数视角看待代数式的大小关系，建立“式子→函数→性质”的转化思维。
2. 提升逻辑推理素养：通过严谨的导数分析、单调性判断，形成步步有据的推理习惯，规避主观臆断。
3. 强化数学运算素养：熟练掌握导数运算、代数变形的技巧，提升运算的准确性与速度。
知识点一：指、对、幂数比较大小的一般方法
方法1 单调性法：
当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函
数的单调性比较，具体情况如下：
①底数相同，指数不同时，如a
x1和a
x2，利用指数函数y =a
x的单调性；
②指数相同，底数不同时，如
和
，利用幂函数y = x
a单调性比较大小；
③底数相同，真数不同时，如loga x1和loga x2，利用指数函数loga x单调性比较大小.
方法2 中间值法：
当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1 或者其它能判断大小关
系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．
方法3 作差法、作商法：
(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.
方法4 估算法：
(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.
方法5 构造函数法：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”
规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.
方法6 放缩法：
(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
(2)指数和幂函数结合来放缩；
(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.
知识点二：比较大小的其它方法
方法7.利用函数与方程的思想构造函数
结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c 的大小．
方法8.转化为两函数图象交点的横坐标
方法9.特殊值法
方法10.基本不等式法
方法11.平方法
知识点三：常用放缩表达式
1、常见的指数放缩：e
x≥x +1( x =0)；e
x≤
1
1−x , x∈(−∞，1)；e
x≥ex( x =1)
证明1：设
1
x
e
x
f
x
，所以
1
xe
x
f
，所以当
0,
x
时，
0
x
f
，所以
x
f
为减函数，
当当
,0
x
时，
0
x
f
，所以
x
f
为增函数，所以当
0
x
时，
x
f
取得最小值为
0
0
f
，所以
0
x
f
，即
1
x
ex
证明2：对于
1
xe
x
，该不等式在R 上恒成立，若令x
x
，则有
1
1
1
x
x
e
x
x
e
，当
1
x
时，不等式两边同乘1
xe
x
，则有
1
1
x
e
x
，
最后得出
1
1
,
1
1
x
x
e
x
x
，
2.常见的对数放缩：
)
(
ln
);
1
(1
ln
1
1
e
x
e
x
x
x
x
x
x
证明3：
1
ln
x
x
x
对于
1
ln
x
x
，令
1
x
x
，则有
1
1
1
1
ln
ln
x
x
x
x
x
，可得
1
ln
x
x
x
.
3.常见三角函数的放缩：
x
x
x
x
tan
sin
,
2
,0
4.其他放缩
ln x<❑√x−1
❑√x ( x>1)，ln x>❑√x−1
❑√x (0< x<1)，
ln x< 1
2 ( x−1
x )( x>1)，ln x> 1
2 ( x−1
x )(0< x<1)，
ln x>−1
2 x
2+2 x−3
2 ( x>1)，ln x<−1
2 x
2+2 x−3
2 (0< x<1)
ln x> 2( x−1)
x +1
( x>1)，ln x< 2( x−1)
x +1
(0< x<1)
5.放缩程度综合
1−1
x < 1
2 ( x−1
x )<❑√x−1
❑√x <ln x< 2( x−1)
x +1
<−1
2 x
2+2 x−3
2 < x−1(0< x<1)
1−1
x <−1
2 x
2+2 x−3
2 < 2( x−1)
x +1
<ln x<❑√x−1
❑√x < 1
2 ( x−1
x )< x−1(1< x<2)
−1
2 x
2+2 x−3
2 <1−1
x < 2( x−1)
x +1
<ln x<❑√x−1
❑√x < 1
2 ( x−1
x )< x−1( x>2)
6.常见函数的麦克劳林展开式：
（1）e
x =1+ x + x
2
2! +⋯+ x
n
n! +
e
θx
(n+1)! x
n+1
（2）sin x = x−x
3
3! + x
5
5! −⋯+(−1)
n
x
2n+1
(2n+1)! +o( x
2n+2)
（3）cos x =1−x
2
2! + x
4
4! −x
6
6! +⋯+(−1)
n
x
2n
(2n)! +o( x
2n)
（4）ln(1+ x)= x−x
2
2 + x
3
3 −⋯+(−1)
n x
n+1
n+1 +o( x
n+1)
（5）
1
1−x =1+ x + x
2+⋯+ x
n+o( x
n)
（6）(1+ x)
n=1+nx + n(n−1)
2!
x
2+o( x
2)
7.常见函数的泰勒展开式
（1）e
x =1+ x
1! + x
2
2! + x
3
3! +⋯+ x
n
n! +
x
n+1
(n+1)! e
θx，其中(0<θ<1)；
（2）ln (1+ x)= x−x
2
2! + x
3
3! −⋯+(−1)
n−1 x
n
n! + Rn，其中Rn=(−1)
n
x
n+1
(n+1)!(
1
1+θx)
n+1
；
（3）sin x = x−x
3
3! + x
5
5! −⋯+(−1)
k −1
x
2k −1
(2k −1)! + Rn，其中Rn=(−1)
k
x
2k +1
(2k +1)! cosθ x；
（4）cos x =1−x
2
2! + x
4
4! −⋯+(−1)
k −1
x
2k −2
(2k −2)! + Rn，其中Rn=(−1)
k x
2k
(2k )! cosθ x；
（5）
1
1−x =1+ x + x
2+⋯+ x
n+o( x
n)；
（6）(1+ x)
n=1+nx + n(n−1)
2!
x
2+o( x
2)；
（7）tan x = x + x
3
3 + 2
15 x
5+⋅⋅⋅+o(x
2n)；
（8）
❑√1+ x =1+ 1
2 x−1
8 x
2+ 1
16 x
3+⋅⋅⋅+o(x
n)．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
结论1 ln(1+ x)≤x ( x>−1)．
结论2 ln x ≤x−1( x>0)．
结论3 1−1
x ≤ln x（x>0）．
结论4
x
1+ x <ln
1
1−
x
1+ x
⇒
x
1+ x <ln (1+ x)
．
结论5 1+ x ≤e
x；e
x≤
1
1−x
(x<1)；x
1+ x ≤ln (1+ x)≤x (x>−1)．
结论6 e
x≥1+ x ( x ∈R)；
结论7 e
−x≥1−x ( x ∈R)
结论8
．
结论9
．
8.帕德逼近：
e
x≈x
2+6 x +12
x
2−6 x +12
,(−2≤x ≤2)
ln(1+ x)≈3 x
2+6 x
x
2+6 x +6
,(−1< x<1)
ln( x)≈
3 x
2−3
x
2+ 4 x +1
,(0< x<2)
❑√1+ x ≈1+ 1
2 x−1
8 x
2,(−1
2 ≤x ≤1
2 )
知识点四：构造函数
构造函数是数学的一种重要思想方法，它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想．分析近
些年的高考，发现构造函数的思想越来越重要，而且很多都用在压轴题(无论是主观题还是客观题)的解答上．
构造函数的主要步骤：
(1)分析：分析已知条件，联想函数模型；
(2)构造：构造辅助函数，转化问题本质；
(3)回归：解析所构函数，回归所求问题．
注意*ln x
x 型函数
函数极值点：
1
,e e
此函数定义域为
,0
，求导
2
ln
1
x
x
x
f
，当
e
x
,0
时，
0
x
f
，故
x
f
为增函数，当
,e
x
时，
0
x
f
，故
x
f
为减函数，当
e
x
时，
x
f
取得极大值为
e
e
f
1
，且
2
2
2
ln
4
2
ln
2
4
4
ln
4
f
f
，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较
1.构造函数的重要依据
2. 常见构造类型
（1）对于f
'( x)> g
'( x)，构造h( x)= f ( x)−g( x)
（2）对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x)．
（3）对于f
'( x)g( x)+ f ( x)g
'( x)>0，构造h( x)= f ( x)g( x)
（4）对于f
'( x)g( x)−f ( x)g
'( x)>0，构造h( x)= f ( x)
g( x)
（5）对于不等式
(k ≠0)，构造函数g(x)= f (x)−kx +b.
（6）对于不等式f
' (x)+ f (x)>0，构造函数g(x)=e
x f ( x)
拓展：对于不等式f
' (x)+nf (x)>0，构造函数g(x)=e
nx f ( x)
（7）对于不等式f
' (x)−f (x)>0，构造函数g(x)= f ( x)
e
x
拓展：对于不等式f
' (x)−nf (x)>0，构造函数g(x)= f ( x)
e
nx
对于f
'( x)+ f ( x)>k ，
g
构造(x)=e
x[f (x)−k ]
（8）对于不等式x f
' (x)+ f (x)>0，构造函数g(x)= xf (x)
拓展：对于不等式x f
' (x)+nf (x)>0，构造函数g(x)= x
n f ( x)
（9）对于不等式x f
' (x)−f (x)>0，构造函数
(x≠0)
拓展：对于不等式x f
' (x)−nf (x)>0，构造函数g(x)= f ( x)
x
n
（10）对于f
'( x)
f ( x) >0，分类讨论：
①若f ( x)>0，则构造h( x)= ln f ( x);
②若f ( x)<0，则构造h( x)= ln[−f ( x)]
（11）对于f
'( x)+ ln a f ( x)>0，构造h( x)=a
x f ( x).
（12）对于f
'( x)ln x + f ( x)
x
>0，构造h( x)= f ( x)ln x.
（13）对于f
'( x)>f ( x)tan x(或f
'( x)<f ( x)tan x)，即f
'( x)cos x−f ( x)sin x>0，
构造h( x)= f ( x)cos x．
（14）对于f
'( x)cos x + f ( x)sin x>0，构造h( x)= f ( x)
cos x
．
（15）对于f
'( x)sin x + f ( x)cos x>0，构造h( x)= f ( x)sin x．
（16）对于f
'( x)sin x−f ( x)cos x>0，构造h( x)= f ( x)
sin x
．
3.
x +1<e
x<
1
1−x ( x<1)，
1
1−x < x +1<e
x( x>1)
方法技巧
1 构造相同函数，比较不同函数值
2 构造不同函数，比较相同函数值
3.构造不同函数，比较不同函数值
这个时候，不等式放缩就是首选之道了!
4.先同构，再构造，再比较
当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可能现需要同构(变形)
出一个函数之后再来比较大小.
知识点五：常用同构模型
一、与e
x和ln x相关的常见同构模型
①ae
a≤b ln b⇔e
aln e
a≤b ln b，构造函数f (x)= x ln x或g(x)= x e
x；
②e
a
a < b
ln b ⇔e
a
ln e
a < b
ln b ，构造函数f (x)= x
ln x 或g(x)= e
x
x
；
③e
a±a>b± ln b⇔e
a± ln e
a>b± ln b，构造函数f (x)= x ± ln x或g(x)=e
x± x.
二、六大超越函数图像
表达式
图像
表达式
图像
y = x ln x
y = ln x
x
y = x
e
x
三、添项同构
乘法同构：ln a⋅e
x ln a>ln x⇔x ln a⋅e
x ln a>ln x⋅e
ln x，对变形要求低，找亲戚函数x e
x与x ln x易实现，但
构造的函数x e
x与x ln x均不是单调函数
加法同构：a
x>loga x⇔a
x+ x>loga x + x =a
loga x+ loga x，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单
调函数，可直接由函数不等式求参数范围.
常见结构
①a
x>loga x⇒e
x ln a> ln x
ln a ⇒x ln a⋅e
x ln a> x ln x = ln x⋅e
ln x⇒x ln a>ln x⇒a>e
1
e；
②e
λx> ln x
λ ⇒λ e
λx>ln x⇒λx ⋅e
λx> x ln x⇒λx ⋅e
λx>ln x⋅e
ln x⇒λx >ln x⇒λ> 1
e ；
③e
ax+ax>ln (x +1)+ x +1=eln (x +1)+ ln (x +1)⇒ax>ln (x +1)
④
；
1. 考场快速破题原则
①优先识别高频结构：看到指数与一次式结合，优先尝试f(x)=e
x±kx；看到对数与一次式结合，优先尝试
f(x)=lnx±kx；看到指对混合，优先统一为指数或对数形式；
②先简后繁：先尝试直接构造，若单调性不明确，再考虑移项变形或放缩辅助，不盲目构造复杂函数；
③定义域先行：构造函数后第一步明确定义域，再求导分析单调性，避免后续无效推导。
2. 高频题型考场应对技巧
①单变量同构型直接提取结构构造函数，快速求导判单调性，比自变量大小即可
②变量分离型移项时遵循“指对分边、幂函结合”原则，如直接构造
③放缩辅助型先试基础放缩公式，若失效则构造放缩辅助函数（如证明，构造）
④双变量型先分析核心函数的极值点，再利用“对称化构造”或“换元”化为单变量，减少变量个数
题型01 构造ln x
x 型函数比大小
【典型例题1】已知
ln 2
2
a
，
1
e
b
，
ln5
5
c
，则以下不等式正确的是（ ）
A．c
b
a
B．a
b
c
C．b
a
c
D．b
c
a
【答案】C
【分析】由于
1
ln e
e
e
b
，所以构造函数
ln
( )
(
0)
x
f x
x
x
，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较
大小即可
【详解】
ln 2
2
a
，
1
ln e
e
e
b
，
ln5
5
c
，
令
ln
( )
(
0)
x
f x
x
x
，则
2
1 ln
( )
x
f
x
x
，
当0
e
x
时，
( )
0
f
x
，当
e
x
时，
( )
0
f
x
，
所以
( )
f x
在
(0,e)
上递增，在
(e
)
，
上递减，
因为2
e
5
，
所以
(2)
(e)
f
f
，
(e)
(5)
f
f
，
因为
ln 2
ln5
5ln 2
2ln5
ln32
ln 25
(2)
(5)
0
2
5
10
10
f
f
，
所以
(2)
(5)
f
f
，所以b
a
c
【典型例题2】设
2
2(2
ln 2)
a
e
，
ln 2
2
b
，
1
c
e
，则（ ）
A．a
b
c
B．b
a
c
C．a
c
b
D．b
c
a
【答案】A
【分析】b 是函数
ln x
f
x
x
的结构，而c 可以变为
1
ln
( )
e
c
f e
e
e
，易知
ln 2
ln 4
(4)
2
4
b
f
，故
b
c
，而
2
2
2
2
2(2
ln 2)
ln
ln 2
2
2
e
e
a
f
e
e
，则故选A
【典型例题3】
2
3(2
ln3)
1
ln3
,
,
3
a
b
c
e
e
，则a，b，c 的大小顺序为（ ）
A．a
c
b
B．c
a
b
C．a
b
c
D．b
a
c
【答案】A
【分析】构造函数
ln
( )
x
f x
x
，应用导数研究其单调性，进而比较
2
(
)
3
e
a
f
，
( )
b
f e
，
(3)
c
f
的大小，若
ln x
t
x
有两个解
1
2
,
x x ，则
1
2
1
x
e
x
，
1
(0, )
t
e
，构造
2(
1)
( )
ln
(
1)
1
x
g x
x
x
x
，利用导数确定( )
0
g x
，进
而得到
2
1
2
1
2
1
ln
ln
2
x
x
x
x
x
x
，即可判断a、c 的大小，即可知正确选项.
【详解】令
ln
( )
x
f x
x
，则
2
2
2
ln 3
(
)
3
3
e
e
a
f
e
，
ln
( )
e
b
f e
e
，
ln3
(3)
3
c
f
，
而
2
1 ln
( )
x
f
x
x
且
0
x
，即0
x
e
时
( )
f x 单调增，x
e
时
( )
f x 单调减，又
2
1
3
3
e
e
，∴b
c
，b
a
.
若
ln x
t
x
有两个解
1
2
,
x x ，则
1
2
1
x
e
x
，
1
(0, )
t
e
，即
2
1
2
1
ln
ln
x
x
t
x
x
，
1
2
1
2
ln x x
x
x
t
，
令
2(
1)
( )
ln
(
1)
1
x
g x
x
x
x
，则
2
2
(
1)
( )
0
(
1)
x
g x
x x
，即( )
g x 在(1,
)
上递增，
∴( )
(1)
0
g x
g
，即在(1,
)
上，
2(
1)
ln
1
x
x
x
，若
2
1
x
x
x
即
2
1
2
1
2
1
ln
ln
2
x
x
x
x
x
x
，故
1
2
2
ln
t
t
x x
，有
2
1
2
x x
e
，
∴当
2
3
x
时，
2
1
3
e
e
x
，故
2
1
(
)
( )
(3)
3
e
f
f x
f
【典型例题4】设
1
2
a
e
，
ln
2
b
，
2
4
ln 4
c
e
，则(
)
A. a
b
c
B. a
c
b
C. a
c
b
D.b
c
a
【答案】A
【解析】
法一：观察到b= ln ❑√2= 1
2 ln2= ln2
2 ，则考虑构造函数
ln
( )
x
f x
x
，
则a=
1
2❑√e = ln e
2❑√e =
1
2 ln e
❑√e = ln ❑√e
❑√e = f (❑√e)，c = 4−ln 4
e
2
= ln e
4−ln 4
e
2
= 2ln e
2−2ln 2
e
2
=
ln e
2
2
e
2
2
= f ( e
2
2 )
故a
b
c
法二：令
ln
( )
2
x
f x
x
，则
( )
a
f e
，
(4)
b
f
，
4
4
e
c
f
，故
4
4
4
e
e
1
1
1
2
ln
2
ln
'( )
4
4
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
，故
( )
f x 在
2
0,e
上递增，即
a
b
，
而
(4)
(16)
b
f
f
，故
4
4
e
c
f
b
【变式训练1-1】设
ln 2
8
a
，
2
1
e
b
，
ln 6
12
c
，则（ ）
A．a
c
b
B．a
b
c
C．b
a
c
D．c
a
b
【变式训练1-2】若
ln2
1
2ln3
,
,
2
9
e
a
b
c
，则（ ）
A．b
a
c
B．b
c
a
C．a
b
c
D．a
c
b
【变式训练1-3】已知
4
4ln5 ,
5ln4 ,
5ln
a
b
c
，则, ,
a b c 的大小关系是（ ）
A．c
a
b
B．a
b
c
C．a
c
b
D．c
b
a
【变式训练1-4】已知1
e
a
b
，有以下结论：①
b
a
a
b
；②
e
e
ab
a
b
；③
e
e
ab
a
a
；
④
e
e
b
b
a
a
，则其中正确的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式训练1-5】在给出的（1）
e ln3
3
（2）
4
3
ln
3
4
e
（3）
e
e
.三个不等式中，正确的个数为
（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【变式训练1-6】实数
e
π
3
π
π ,3 ,π ,e 中值最大的是 .
【变式训练1-7】已知
ln 3
2
a
，
1
e 1
b
，
ln 4
3
c
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．b
a
c
B．b
c
a
C．c
a
b
D．c
b
a
【变式训练1-8】若a= 1
e ,b= ln 2
2 ,c = ln3
3 ，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a>c>b
B．b>c>a
C．c>b>a
D．a>b>c
【变式训练1-9】设a= 4−ln 4
e
2
，b= ln 2
2 ，
，则（ ）
A．a<c<b
B．a<b<c
C．
D．b<c<a
【变式训练1-10】下列命题为真命题的个数是（ ）
①ln3<❑√3 ln 2；②ln π <❑√
π
e
；③2
❑√15<15；④3eln2>4 ❑√2．
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练1-11】已知a，b，c 均为区间(0,e)内的实数，且a ln5=5 ln a，b ln6=6 ln b，c ln7 =7 ln c，则
a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a>c>b
B．a>b>c
C．c>a>b
D．c>b>a
【变式训练1-12】设a= ln 2
8 ，b= 1
e
2，c = ln 6
12 ，则（ ）
A．a<c<b
B．a<b<c
C．
D．
【变式训练1-13】若a=ln2
2 ,b= 1
e ,c = 2ln3
9
，则（ ）
A．b>a>c
B．b>c>a
C．a>b>c
D．a>c>b
【变式训练1-14】设a= 4−ln 4
e
2
，b= ln 2
2 ，c = ln
3√3，则（ ）
A．a<b<c
B．
C．a<c<b
D．b<c<a
【变式训练1-15】在给出的（1）❑√e⋅ln3>❑√3（2）e
4
3 ln3<4（3）e
π>π
e.三个不等式中，正确的个数为
（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【变式训练1-16】若a= ln3
3 ，b= 1
e ，c = 3ln 2
8
，则（ ）
A．b>a>c
B．b>c>a
C．c>b>a
D．c>a>b
【变式训练1-17】设a= 4−ln 4
e
2
,b= 1
e ,c =ln ❑√2，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．
C．a<c<b
D．
【变式训练1-18】已知实数a，b，c满足ln a
e
a = ln b
b =−ln c
c <0，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b<c<a
B．
C．a<b<c
D．
题型02： 构造xlnx 型函数比大小
【典型例题1】设
15ln13
a
，
14ln14
b
，
13ln15
c
，则（ ）
A．a
c
b
B．c
b
a
C．b
a
c
D．a
b
c
【答案】D
【分析】构造函数
14
ln 14
f x
x
x
，利用函数
f
x 的导数讨论函数
f
x 的单调性.
【详解】令
14
ln 14
f x
x
x
，
11
x，，
则
14
13
=ln 14
ln15
0
14
15
x
f
x
x
x
，
所以
14
ln 14
f x
x
x
在
11
，上单调递增 ，
所以
1
0
1
f
f
f
，即13ln15
14ln14
15ln13
，
所以，a
b
c
故选：D
【变式训练2-1】已知
1
, ,
,
e
a b c
，且
ln5
5ln a
a
，
ln3
3lnb
b
，
ln2
2lnc
c
，则（ ）
A．b
c
a
B．c
b
a
C．a
c
b
D．a
b
c
【变式训练2-2】已知
1
, ,
,
e
a b c
，且
ln5
5ln a
a
，
ln3
3lnb
b
，
ln2
2lnc
c
，则（ ）
A．b
c
a
B．c
b
a
C．a
c
b
D．a
b
c
题型03：放缩比大小
构造函数比较大小问题，常用的放缩不等式有
（1）sin x ≤x ≤tan x ,(0≤x< π
2)；
（2）e
x≥x +1（x∈R），当x =0时取等号；变式：e
x≥ex,当x =1时取等号；
（3）ln x ≤x−1（x>0），当x =1时取等号；变式：ln (x +1)≤x；
（4）ln x ≥1
x −1（x ≥1），当x =1时取等号；
（5）ln x ≤x
e （x>0），当x =e时取等号.
【典型例题1】已知a=e
0.2−1,b= ln1.2,c = tan 0.2，其中e =2.71828⋯为自然对数的底数，则（ ）
A. c>a>b
B. a>c>b
C. b>a>c
D. a>b>c
【答案】B
结合不等式e
x−1>tan x> x>ln (x +1)，x∈(0,1)
观察a=e
0.2−1,b= ln1.2,c = tan 0.2，发现都含有0.2，把0.2换成x，
自变量在(0,1)内，可以得出a,b,c的大小，故a>c>b.
【典型例题2】已知a= 6
5 ln1.2，b=0.2e❑
0.2，c = 1
3
，则（ ）
A. a<b<c
B.
C.
D. a<c<b
【答案】A
a= 6
5 ln1.2< 6
5 × 1
5 = 6
25 ，b=0.2e❑
0.2> 1
5 × 6
5 = 6
25
【典型例题3】已知a=e
0.05
，
，c = ❑√1.1
则(
)
A . a >b>c
B. c>b>a
C . b>a >c
D . a >c >b
【答案】D
b= ln1.1
2
+1= 1
2 ln1.1+1<1.05，a=e
0.05>+1+0.05=1.05，故a >b
a
2=e
0.1>1.1，c
2=1.1，故a >c >b
观察a=e
0.2−1,b= ln1.2,c = tan 0.2，发现都含有0.2，把0.2换成x，
自变量在(0,1)内，可以得出a,b,c的大小，故a>c>b.
【典型例题4】设a= 1
5
，b=2ln(sin 1
10 +cos 1
10)，c = 6
5 ln 6
5
则a，b，c 的大小关系是_________.
【答案】b<a<c
思路一：放缩
由ln( x +1)≥
x
x +1 ⇒c = 6
5 ln 6
5 ≥6
5(
1
5 ÷ 6
5)= 1
5 ，故a<c，
对于b<a
法一：∵sin x +cos x<sin x +1< x +1<e
x
∴b=2ln(sin 1
10 +cos 1
10)<2ln e
1
10 = 1
5
法二：b=2ln(sin 1
10 +cos 1
10)= ln(sin 1
10 +cos 1
10)
2
= ln(1+sin 1
5)<ln(1+ 1
5)< 1
5
【变式训练3-1】设a= ln1.1，b=e
0.1−1，c = tan 0.1，d = 0.4
π
，则(
)
A．a＜b＜c＜d
B．a＜c＜b＜d
C．a＜b＜d＜c
D．a＜c＜d＜b
【变式训练3-2】已知a=2ln(sin
1
2024 +cos
1
2024),b=
1
1012 ,c = 1013
1012 ln 1013
1012，则下列正确的是（ ）
A．a>b>c
B．c>a>b
C．c>b>a
D．b>a>c
【变式训练3-3】已知a=e
0.05，
，c = ❑√1.1则(
)
A . a >b>c
B. c>b>a
C . b>a >c
D . a >c >b
【变式训练3-4】已知a=e
sin1−1,b=sin1,c =cos1，则（ ）
A．a<c<b
B．a<b<c
C．
D．c<a<b
【变式训练3-5】设a= 4
104 ，b= ln1.04，c =e
0.04−1，则下列关系正确的是（ ）
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>a>b
D．c>b>a
【变式训练3-6】已知a= 9
10 ，b=e
−1
9，c =1+ ln 10
11 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．
C．
D．
【变式训练3-7】已知a=e
0.01，b=1.01，c =1−ln 100
101，则（ ）．
A．c>a>b
B．a>c>b
C．a>b>c
D．b>a>c
【变式训练3-8】若a= ln 8
7 ，b= 1
8 ,c = ln 7
6 ，则（ ）
A．a<c<b
B．
C．
D．
【变式训练3-9】已知a= 31
32 ,b=cos 1
4 ,c = 4 sin 1
4 ，则（ ）
A．c>b>a
B．b>a>c
C．a>b>c
D．a>c>b
【变式训练3-10】设a= ln1.01，
，c = 1
101，则（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．
D．
【变式训练3-11】已知a=cos 1
5 ，b= 49
50 ，c =5sin 1
5 ，则（ ）
A．b>a>c
B．c>b>a
C．b>c>a
D．c>a>b
【变式训练3-12】设a= 4
104 ，b= ln1.04，c =e
0.04−1，则下列关系正确的是（ ）
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>a>b
D．c>b>a
【变式训练3-13】已知a= ln (1+e)，b= ❑√e，c = 2e
3 ，则（ ）
A．b>a>c
B．a>c>b
C．b>c>a
D．c>b>a
【变式训练3-14】已知a= 1
3 ，
，
，则（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<a<b
D．b<c<a
【变式训练3-15】已知
，b= 2
3 ，c =e
−1
2，则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．c<a<b
D．a<c<b
【变式训练3-16】设a=0.1e
0.1,b= 1
9 ，c =−ln 0.9，则（ ）
A．a<b<c
B．
C．c<a<b
D．a<c<b
【变式训练3-17】已知a= 31
32 ,b=cos 1
4 ,c = 4 sin 1
4 ，则（ ）
A．c>b>a
B．b>a>c
C．a>b>c
D．a>c>b
【变式训练3-18】设a= 17
18 ，b=cos 1
3 ，c =3sin 1
3 ，则下列正确的是（ ）
A．b>a>c
B．b>c>a
C．c>a>b
D．c>b>a
【变式训练3-19】已知a=1.6，b=e
0.6，c =1+ ln1.6，则a，b，c 的大小关系正确的是（ ）
A．c>b>a
B．a>b>c
C．b>c>a
D．b>a>c
【变式训练3-20】设
，b=sin 1
10 ，c =ln 11
10 ，则下列正确的是（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．b<c<a
D．
【变式训练3-21】已知a= 31
32 ,b=cos 1
4 ,c = 4 sin 1
4 ，则（ ）
A．c>b>a
B．b>a>c
C．a>b>c
D．a>c>b
【变式训练3-22】设a=0.1e
0.1，b= 1
9 ，c =−ln 0.9则（ ）
A. a<b<c
B.
C.
D. a<c<b
A. 1
B. 3
2
C. 5
2
D. 3
【变式训练3-23】若实数a，b，c∈[0,1]，且满足ae =e
a，be
1.2=1.2e
b，c e
l.6=1.6e
c，则a，b，c的大小关
系是（ ）
A．c>b>a
B．b>a>c
C．a>b>c
D．b>c>a
【变式训练3-24】已知a= tan 2023
2022 ,b=e
1
2023 ,c = 2023
2022
，则a，b，c 大小关系是（ ）
A．
B．a<c<b
C．c<a<b
D．b<c<a
【变式训练3-25】已知a= 0.2
π ，b= 0.4
e
2 (e≈2.718)，c =sin 0.1，则（ ）
A．a<b<c
B．
C．
D．c<a<b
【变式训练3-26】已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（ ）
A．
B．ln3< 3
e
C．ln π > π
e
D．ln3
ln π < 3
π
【变式训练3-27】已知a= ln2
2 ，b= ln3
e ，c =
❑√2
e
❑√2，则（参考数据：
）（ ）
A．a>b>c
B．b>a>c
C．b>c>a
D．c>a>b
【变式训练3-28】已知
，且
，则（ ）
A．c>a>b
B．b>a>c
C．a>b>c
D．b>c>a
题型04： 取对数后比大小
【典型例题1】若
1
1
3
5
3
,
5
,
2
a
b
c
，则（ ）
A．c
b
a
B．c
a
b
C．b
c
a
D．a
b
c
【答案】C
【分析】对a、b、c 同时取自然对数可得
ln3
ln5
ln 4
ln
ln
ln
3
5
4
a
b
c
，
，
，构造函数
ln
( )
(
0)
x
f x
x
x
，利用导数
研究函数的单调性，结合对数函数
ln
y
x
的单调性即可求解.
【详解】对a、b、c 同时取自然对数，
得
1
1
1
3
5
4
ln
ln3
ln
ln5
ln
ln 2
ln 4
a
b
c
，
，
，
即
ln3
ln5
ln 4
ln
ln
ln
3
5
4
a
b
c
，
，
，
构造函数
ln
( )
(
0)
x
f x
x
x
，则
1
ln
1
2
ln
2
( )
2
x
x
x
f
x
x
x x
，
当
2
0
e
x
时，
( )
0
f
x
，则
( )
f x 在
2
0,e
上单调递增，
所以
(3)
(4)
(5)
f
f
f
，即
ln3
ln 4
ln5
3
4
5
，
所以ln
ln
ln
a
c
b
，又函数
ln
y
x
在(0,
)
上单调递增，
故a
c
b
【典型例题2】已知a=6
8,b=7
7,c =8
6，则a,b,c的大小关系为（ ）
A. b>c>a
B. c>b>a
C. a>c>b
D. a>b>c
【答案】D
【分析】根据式子结构构造函数f (x)=(14−x)ln x，利用导数判断出f (x)在(6,+∞)上单调递减，得到
8ln6>7ln7>6ln8，进而得到6
8>7
7>8
6，即可得到答案.
【详解】令f (x)=(14−x)ln x,则f
' (x)=−ln x + 14
x −1.
因为y =−ln x在(0,+∞)上单调递减，y = 14
x −1在(0,+∞)上单调递减，
所以f
' (x)=−ln x + 14
x −1在(0,+ ∞)上单调递减.
而f
' (5)=−ln5+ 14
5 −1>0,f
' (6)=−ln6+ 14
6 −1<0,
所以在(6,+∞)上有f
' (x)<0.
所以f (x)=(14−x)ln x在(6,+∞)上单调递减.
所以f (6)>f (7)> f (8)，即8ln6>7ln7>6ln8
故6
8>7
7>8
6.故a>b>c.
【典型例题3】已知实数
, ,
0,
a b c
e
，且
3
3a
a
，
4
4b
b
，
5
5c
c
，则（ ）
A．c
b
a
B．b
c
a
C．a
c
b
D．a
b
c
【答案】A
【分析】将已知的等式两边取对数可得
ln3
ln
3
a
a
，
ln 4
ln
4
b
b
，
ln5
ln
5
c
c
.设函数
ln x
f x
x
，求导，分析导函
数的正负，得出所令函数的单调性，由此可得选项．
【详解】由
3
3a
a
，
4
4b
b
，
5
5c
c
得ln3
3ln
a
a
，ln 4
4ln
b
b
，ln5
5ln
c
c
，因此
ln3
ln
3
a
a
，
ln 4
ln
4
b
b
，
ln5
ln
5
c
c
.
设函数
ln x
f x
x
，则
3
f
f a
，
4
f
f b
，
5
f
f c
，
2
1 ln x
f
x
x
，令
0
f
x
，得x
e
，所以
f x 在
0,e 上单调递增，在
,e 上单调递减，
所以
3
4
5
f
f
f
，即
f a
f b
f c
，又
, ,
0,
a b c
e
，
所以a
b
c
【变式训练4-1】已知
ln7
2
a
，
ln6
3
b
，
ln5
4
c
，则（ ）
A．b
c
a
B．a
b
c
C．b
a
c
D．a
c
b
【变式训练4-2】已知
10
11
9
10
9
11
a
b
c
，
，
，则
, ,
a b c
的大小关系为（ ）
A．c
a
b
B．b
a
c
C．a
b
c
D．c
b
a
【变式训练4-3】已知
10
8
a
，
99
b
，
8
10
c
，则
a
，
b
，
c
的大小关系为（ ）
A．b
c
a
B．b
a
c
C．a
c
b
D．a
b
c
题型05：构造其它函数比大小
【典型例题1】设正实数a，b，c，满足
2
ln
2
a
c
e
b
b
ce
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．c
a
b
D．b
a
c
【答案】B
【分析】
通过构造函数
( )
(
0)
x
f x
xe
x
，利用导数判断函数的单调性，并判断c 的范围，通过变形得
c
b
e
，得,b c 的大小
关系，再直接解方程求a 的范围，最后三个数比较大小.
【详解】
设
( )
(
0)
x
f x
xe
x
，
0
x
时，
1
0
x
f
x
x
e
恒成立，
( )
f x 在(0,
)
单调递增，
1 ,1
2
x
时，
( )
,
2
e
f x
e
，而
2
2
e
，所以
1 ,1
2
c
，
ln
ln
ln
b
c
b
b
b e
ce
，故lnb
c
，即
(
, )
c
b
e
e e
，而
ln2
1
2
2
a
，所以a
c
b
．故选：B
【典型例题2】若2
a+ log2a= 4
b+2log4b，则（ ）
A．a>2b
B．a<2b
C．a>b
2D．a<b
2
【答案】B
【分析】设f ( x)=2
x+ log2 x，利用作差法结合f ( x)的单调性即可得到答案.
【详解】设f ( x)=2
x+ log2 x，则f ( x)为增函数，因为2
a+ log2a= 4
b+2log4b=2
2b+ log2b
所以f (a)−f (2b)=
2
2b+ log2b−(2
2b+ log22b)= log2
1
2 =−1<0，
所以f (a)<f (2b)，所以a<2b.
2
a+ log2a−(2
b
2+ log2b
2)=
2
2b−2
b
2
−log2b，
当b=1时，f (a)−f (b
2)=2>0，此时f (a)>f (b
2)，有a>b
2
当b=2时，f (a)−f (b
2)=−1<0，此时f (a)<f (b
2)，有a<b
2，所以C、D 错误.
【典型例题3】已知9
m=10,a=10
m−11,b=8
m−9，则（ ）
A．a>0>b
B．a>b>0
C．b>a>0
D．b>0>a
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m= log910>1，再利用基本不等式，换底公式可得
m>lg11，log89>m，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由9
m=10可得m= log910= lg10
lg9 >1，而lg9lg11<(
lg9+lg11
2
)
2
=(
lg99
2 )
2
<1=(lg10)
2，所以
lg10
lg9 > lg11
lg10，即m>lg11，所以a=10
m−11>10
lg11−11=0.
又lg8lg10<(
lg8+lg10
2
)
2
=(
lg80
2 )
2
<(lg9)
2，所以lg9
lg8 > lg10
lg9 ，即log89>m，
所以b=8
m−9<8
log89−9=0.综上，a>0>b.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由9
m=10，可得
．
根据a,b的形式构造函数
，则f
'( x)=m x
m−1−1，
令f
'( x)=0，解得x0=m
1
1−m ，由
知x0∈(0,1) .
f ( x) 在
上单调递增，所以f (10)>f (8) ，即
，
又因为f (9)=9
log910−10=0 ，所以a>0>b .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用a,b的形式构造函数
，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最
优解．
【典型例题4】设a=2ln1.01，b= ln1.02，c = ❑√1.04−1．则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．
D．c<a<b
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b 的大小作出判定，对于a 与c，b 与c 的大小关系，将0.01
换成x,分别构造函数f (x)=2ln (1+ x)−❑√1+ 4 x +1,g(x)= ln (1+2 x)−❑√1+ 4 x +1，利用导数分析其在0 的右侧
包括0.01 的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0 即可得出a 与c，b 与c 的大小关系.
【详解】[方法一]：
a=2ln1.01= ln1.01
2= ln (1+0.01)
2= ln(1+2×0.01+0.01
2)>ln1.02=b，
所以b<a；
下面比较c与a,b的大小关系.
记f (x)=2ln (1+ x)−❑√1+ 4 x +1，则f (0)=0，f
' (x)=
2
1+ x −
2
❑√1+ 4 x = 2(❑√1+ 4 x−1−x)
(1+ x)❑√1+ 4 x
，
由于1+ 4 x −(1+ x)
2=2 x −x
2= x (2−x)
所以当0<x<2 时，1+ 4 x −(1+ x)
2>0，即❑√1+ 4 x>(1+ x)，f
' (x)>0，
所以f (x)在[0,2]上单调递增，
所以f (0.01)>f (0)=0，即2ln1.01>❑√1.04−1，即a>c；
令g(x)= ln (1+2 x)−❑√1+ 4 x +1，则g(0)=0，g
' (x)=
2
1+2 x −
2
❑√1+ 4 x = 2(❑√1+ 4 x−1−2 x)
(1+ x)❑√1+ 4 x
，
由于1+ 4 x −(1+2 x)
2=−4 x
2，在x>0 时，1+ 4 x −(1+2 x)
2<0，
所以g
' (x)<0，即函数g(x)在[0，+∞)上单调递减，所以g(0.01)<g(0)=0，即ln1.02<❑√1.04−1，即b<c；
综上，b<c<a，
故选：B.
[方法二]：
令f (x)=ln(
x
2+1
2 )−x +1( x>1)
f
' (x)=−(x−1)
2
x
2+1
<0，即函数f ( x)在（1，+∞)上单调递减
f (❑√1+0.04)<f (1)=0,∴b<c
令g(x)=2ln(
x
2+3
4 )−x +1(1< x<3)
g
' (x)= (x−1)(3−x)
x
2+3
>0，即函数g( x)在（1，3)上单调递增
g(❑√1+0.04)< g(1)=0,∴a>c
综上，b<c<a
【典型例题5】已知a=e
−7
8，b= ln 9
8 ，c = 1
8 ，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．c<a<b
B．
C．
D．b<c<a
【答案】D
【分析】构造h(x)=e
x−(x +1)，x<0，求导得到其单调性，结合h(0)=0，得到a=e
−7
8 > 1
8 =c；构造
g(x)= ln x−(x−1)，x>1，求导得到其单调性，结合g(1)=0得到ln 9
8 < 1
8 ，即
，从而得到答案.
【详解】构造h(x)=e
x−(x +1)，x<0，则h
' (x)=e
x−1<0在(−∞,0)上恒成立，
故h(x)=e
x−(x +1)在(−∞,0)上单调递减，又h(0)=e
0−1=0，
故h(−7
8)=e
−7
8 −(−7
8 +1)>0，故a=e
−7
8 > 1
8 =c，
构造g(x)= ln x−(x−1)，x>1，
则
在(1,+∞)上恒成立，故g(x)= ln x−(x−1)在(1,+∞)单调递减，
又g(1)= ln1−0=0，g(
9
8)< g(0)=0，故ln 9
8 −1
8 <0，即ln 9
8 < 1
8 ，
故
，
综上：b<c<a
故选： D
【点睛】构造函数比较大小是常考内容，以下时常用的不等式放缩，e
x≥ex，e
x≥x +1，ln x ≤x−1(x>0)，
，1
1+ x <ln(
1
x +1)< 1
x 等，观察要比较的式子结构，选择合适的不等式.
【变式训练5-1】已知a=log23，b=log34，c =log45，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．
B．
C．c<a<b
D．
【变式训练5-2】已知2
a= π，(
1
2)
b
=e，b= log❑ac，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．b<c<a
B．
C．c<a<b
D．
【变式训练5-3】8.已知a=0.16，b=e
0.4−1，c =0.8−2ln1.4，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a>c>b
B．a>b>c
C．b>a>c
D．c>b>a
【变式训练5-4】设a= 1
50 ，b=2ln(sin 1
100 +cos 1
100)，c = 6
5 ln 51
50 ，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．b<c<a
D．b<a<c
【变式训练5-5】已知x∈(0,1)，令a= log3 x ,b=2
x ,c =sin x，那么a,b,c之间的大小关系为（ ）
A．
B．b<a<c
C．b<c<a
D．
【变式训练5-6】已知a=e
0.03−1，b= ln1.03，c = tan 0.03，其中e =2.71828⋯为自然对数的底数，则a，b，
c的大小关系是（ ）
A．c>a>b
B．a>c>b
C．b>c>a
D．a>b>c
【变式训练5-7】设a=ln 5
4 ,b=sin 1
4 ,c =0.2，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a>b>c
B．b>a>c
C．b>c>a
D．c>b>a
【变式训练5-8】现有a= ln 2025
2023，b=
1
1012，c =sin
1
1012 −cos
1
1012 +1，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a>c>b
B．c>b>a
C．c>a>b
D．a>b>c
【变式训练5-9】已知a−1
2 = ln 2a，b−1
3 = ln3b，c−e = ln c
e ，其中a≠1
2，b≠1
3 ，c≠e，则a，b，c 的大小
关系为（ ）．
A．
B．
C．a<b<c
D．a<c<b
【变式训练5-10】设a=e
1.01，b= 3
e ，c = ln3，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b>a>c
B．c>a>b
C．a>c>b
D．a>b>c
【变式训练5-11】已知a= ln3
2 ，b=
1
e−1，c = ln 4
3 ，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．b>a>c
B．b>c>a
C．c>a>b
D．c>b>a
【变式训练5-12】设a= 1
10 ，b= ln1.1，c =e
−9
10，则（ ）
A．a<b<c
B．
C．b<c<a
D．
【变式训练5-13】设a=0.01e
0.01，b= 1
99 ，c =−ln 0.99，则（ ）
A．
B．
C．a<b<c
D．a<c<b
【变式训练5-14】已知a= 0.3
π ，b= 0.9
π
2 ，c =sin 0.1，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．a>b>c
B．c>a>b
C．a>c>b
D．b>a>c
【变式训练5-15】已知a=8
10，b=9
9，c =10
8，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b>c>a
B．b>a>c
C．a>c>b
D．a>b>c
【变式训练5-16】若a=e
0.2，b= ❑√1.2，c = ln3.2，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>a>c
D．c>b>a
【变式训练5-17】设a=0.9，b= ❑√0.9，c = ln(
9
10 e)，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．b>c>a
B．b>a>c
C．c>b>a
D．c>a>b
【变式训练5-18】已知a= ln π
3 ，b=2❑√
π
3 −2，c =sin 0.04−1
2(
❑√
π
3 −1)，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．c>b>a
B．a>b>c
C．b>a>c
D．a>c>b
【变式训练5-19】设a= 3
4 e
2
5，b= 2
5 e
3
4，c = 3
5 ，则（ ）
A．b<c<a
B．a<b<c
C．
D．
【变式训练5-20】已知a，b∈R，且2
a>2
b>1，则（ ）
A．e
a−e
b<ln a−ln b
B．b ln a<a ln b
C．b
a >e
a−b
D．sin a−sin b
a−b
<1
【变式训练5-21】设a=e
1.01，b= 3
e ，c = ln3，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．b>a>c
B．c>a>b
C．a>c>b
D．a>b>c
【变式训练5-22】已知a= 6
5 ln1.2，b=0.2e❑
0.2，c = 1
3 ，则（ ）
A．a<b<c
B．
C．
D．a<c<b
【变式训练5-23】已知a
2−1
4 =2ln 2a>0，
，c
2−1
3 = ln3c
2>0，则（ ）
A．c<b
B．b<a
C．c<a
D．b<c
【变式训练5-24】已知x、y 、z∈（0，1），且满足e
2 x =2e
x，e
3 y =3e
y，e
4 z = 4 e
z，则（ ）
A．x< y < z
B．x< z< y
C．z< y < x
D．z< x< y
【变式训练5-25】设a= 1
3 ，b=2ln(sin 1
6 +cos 1
6)，c = 1
2 ln 2，则（ ）
A．c>b>a
B．c>a>b
C．a>b>c
D．a>c>b
【变式训练5-26】已知a= ❑√3，b=6
log56，c = 4
log53，则下列判断正确的是（ ）
A．c<a<b
B．
C．a<c<b
D．a<b<c
【变式训练5-27】已知f (x)=|ln(❑√x
2+1−x)|，若a= f(ln 2
3)，b= f(
1
3)， c = f(tan 1
2)则（ ）
A．a<b<c
B．
C．c<a<b
D．b<c<a
【变式训练5-28】已知a ln a=1，m=e
1
2 +a，e
n=3
a，a
p=2
e，则（ ）
A．n< p<m
B．p<n<m
C．n<m< p
D．m< p<n
【变式训练5-29】设a= 1
3 ，b= ln 3
2，c = tan 1
2，则（ ）
A．a<b<c
B．
C．c<a<b
D．a<c<b
【变式训练5-30】已知a=e
−0.1，b= ln 10e
11 ，c =0.1
0.1，则（ ）
A．b<c<a
B．
C．c<a<b
D．a<c<b
【变式训练5-31】设a=ln 3
2，b=sin 40°+sin80°
5
，c =e
1
5 −1，则（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<a<b
D．
【变式训练5-32】若a= 2
7(e
2
7 −e
−2
7)，b= 7
12 ln 4
3 ，c =−5
6 ln 2
3，则（ ）
A．c>b>a
B．a>b>c
C．b>a>c
D．a>c>b
【变式训练5-33】．若2
a+ log2a= 4
b+2log4b，则（ ）
A．a>2b
B．a<2b
C．a>b
2
D．a<b
2
【变式训练5-34】若2
x−2
y<3
−x−3
−y，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-35】设a= log32，b= log53，c = 2
3 ，则（ ）
A．a<c<b
B．a<b<c
C．b<c<a
D．c<a<b
【变式训练5-36】已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．b<c<a
D．c<a<b
【变式训练5-37】已知a= tan 1
2，b=tan 2
π ，c =
❑√3
π
，则（）
A．a<c<b
B．c<a<b
C．a<b<c
D．b<c<a
【变式训练5-38】已知
，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<a<b
D．
23.若a=3
1
❑√3 ,b=5
1
❑√5 ,c =2，则（ ）
A．c>b>a
B．c>a>b
C．b>c>a
D．a>b>c
【变式训练5-39】已知a=
e
e−1 ,b= 3
e ,c =ln3，则（ ）
A．a<b<c
B．
C．b<c<a
D．
【变式训练5-40】已知
，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．c>a>b
B．a>c>b
C．b>c>a
D．a>b>c
【变式训练5-41】设a= 2
3 ，b=2−e
1
3 ，c =1−e
−2
3则（ ）
A．a<b<c
B．
C．b<c<a
D．a<c<b
【变式训练5-42】已知函数f (x)=|ln|x||,a= f(ln 1
2),b= f(ln e
2
2),c = f(ln 3
2)，则（ ）
A．a<b<c
B．
C．c<a<b
D．a<c<b
【变式训练5-43】设a=e
10
33，b= ln 11
10 ，c = ln 2.2
10
，则（ ）
A．a<b<c
B．
C．b<c<a
D．a<c<b
【变式训练5-44】若a=1.01+sin0.01,b=1+ln1.01,c =e
0.01，则（ ）
A．b>c>a
B．a>c>b
C．c>b>a
D．c>a>b
【变式训练5-45】已知a= ln(❑√2e),b= e+1
e
,c = ln5
5 +1，则a,b,c的大关系为（ ）
A．c>a>b
B．b>a>c
C．a>b>c
D．b>c>a
【变式训练5-41】已知实数a,b分别满足e
a=1.02，ln(b+1)=0.02，且c = 1
51，则（ ）
A．a<b<c
B．
C．b<c<a
D．c<a<b
【变式训练5-42】已知a= 3
2，3
b=5，5
c =8，则（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．
D．b<c<a
【变式训练5-431】设
a=
7√e
8
8√e
7 e
56
，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a<c<b
B．a<b<c
C．
D．c<a<b
【变式训练5-44】已知a=2ln(sin
1
2024 +cos
1
2024),b=
1
1012 ,c = 1013
1012 ln 1013
1012，则下列正确的是（ ）
A．a>b>c
B．c>a>b
C．c>b>a
D．b>a>c
【变式训练5-45】已知a=ln(1.2e),b=e
0.2,c = 1.2
e
0.2，则有（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<a<b
D．
【变式训练5-461】.设a=0.1e
0.1,b= 1
9 ，c =−ln 0.9，则（ ）
A．a<b<c
B．
C．c<a<b
D．a<c<b
【变式训练5-47】设a= ln102−ln100，b= 1
51，c = tan 0.02，则（ ）
A．a>c>b
B．b>c>a
C．c>b>a
D．c>a>b
【变式训练5-48】a= 1
11 ,b= ln1.1,c = tan 0.1，则（ ）
A．c<a<b
B．a<c<b
C．
D．a<b<c
【变式训练5-49】设a=2(e
1
4 −1),b=e
1
2 −1,c =sin 1
4 +tan 1
4
，则（ ）
A．b>a>c
B．b>c>a
C．a>b>c
D．a>c>b
题型06：泰勒展开公式麦克劳林展开比大小
常见函数的泰勒展开式：
（1）e
x =1+ x
1! + x
2
2! + x
3
3! +⋯+ x
n
n! +
x
n+1
(n+1)! e
θx，其中(0<θ<1)；
（2）ln (1+ x)= x−x
2
2! + x
3
3! −⋯+(−1)
n−1 x
n
n! + Rn，其中Rn=(−1)
n
x
n+1
(n+1)!(
1
1+θx)
n+1
；
（3）sin x = x−x
3
3! + x
5
5! −⋯+(−1)
k −1
x
2k −1
(2k −1)! + Rn，其中Rn=(−1)
k
x
2k +1
(2k +1)! cosθ x；
（4）cos x =1−x
2
2! + x
4
4! −⋯+(−1)
k −1
x
2k −2
(2k −2)! + Rn，其中Rn=(−1)
k x
2k
(2k )! cosθ x；
（5）
1
1−x =1+ x + x
2+⋯+ x
n+o( x
n)；
（6）(1+ x)
n=1+nx + n(n−1)
2!
x
2+o( x
2)；
（7）tan x = x + x
3
3 + 2
15 x
5+⋅⋅⋅+o(x
2n)；
（8）
❑√1+ x =1+ 1
2 x−1
8 x
2+ 1
16 x
3+⋅⋅⋅+o(x
n)．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
e
x≥1+ x，e
x≥1+ x + 1
2 x
2(x ≥0)，sin x ≥x−1
6 x
3(x ≥0)，
cos x ≥1−1
2 x
2，ln x ≤x−1，e
x−1≥x，
tan x ≥x + 1
3 x
3(x ≥0)，
❑√1+ x ≤1+ 1
2 x，ln (1+ x)≤x．
3．常见函数的泰勒展开式：
结论1 ln(1+ x)≤x( x>−1)．
结论2 ln x ≤x−1( x>0)．
结论3 1−1
x ≤ln x（x>0）．
结论4
x
1+ x <ln
1
1−
x
1+ x
⇒
x
1+ x <ln (1+ x)
．
结论5 1+ x ≤e
x；e
x≤
1
1−x
(x<1)；x
1+ x ≤ln (1+ x)≤x (x>−1)．
结论6 e
x≥1+ x( x ∈R)；
结论7 e
−x≥1−x( x ∈R)
结论8
．
结论9
．
【典型例题1】设a=0.1e
0.1,b= 1
9 ，c =−ln 0.9，则（ ）
A．a<b<c
B．
C．
D．a<c<b
【答案】C
【分析】利用泰勒展开来数值逼近比大小
设a=0.1e
0.1
f
对应( x)=xe
x，a= f (0.1).
f
泰勒展开( x)= x[1+x+ x
2
2! +σ ( x
2)]= x + x
2+ x
3
2 +σ ( x
2)
b
设= 1
9 ，g( x)= 10
1−x ，b= g(0.1),
g
泰勒展开( x)=10[1+ x + x
2+σ ( x
2)]=10+10 x +10 x
2+σ ( x
2)
c
设=−ln0.9，h（x ）=-ln(1-x),c=h（0.1）,泰勒展开得h（x ）=-[-x- x
2
2 +σ ( x
2)= x + x
2
2 +σ ( x
2)
当x=0.1 时，显然b= g(0.1)>a= f (0.1)>c =h(0.1),∴b>a>c
【典型例题2】设a=2ln1.01，b= ln1.02，c = ❑√1.04−1．则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．
D．
【答案】B
【分析】利用泰勒展开来数值逼近比大小
【详解】因为1.012>1.02，所以b<a，只比较a 与c 的大小关系。
f
设( x)=2ln（1+ x ），a= f (0.01)，g( x)= ❑√1+ 4 x−1，b= g(0.01)，
x
所以在=0 处展开泰勒
f ( x)=2[ x−x
2
2! +σ ( x
2)]=2 x−x
2+σ ( x
2),
g( x)=1+ 1
2 (4 x)+
1
2 ( 1
2 −1）（4 x ）
2
2!
+σ ( x
2)−1=2 x−2 x
2+σ ( x
2)
f ( x)>g( x),∴f (0.01)>g(0.01),a>c
【变式训练6-1】设a= π
6 ，b=cos1，c =sin 1
3 ，这三个数的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-2】a=ln2，b=sin 4
5 ，c =e
−0.4，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．c>b>a
B．b>c>a
C．b>a>c
D．a>b>c
【变式训练6-3】设a=0.1e
0.1，b= 1
9 ，c =−ln 0.9则（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．c<a<b
D．a<c<b
【变式训练6-4】已知a= 31
32 ,b=cos 1
4 ,c = 4 sin 1
4 ，则（ ）
A．c>b>a
B．b>a>c
C．a>b>c
D．a>c>b
【变式训练6-5】设a=2ln1.01，b= ln1.02，c = ❑√1.04−1．则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．
D．c<a<b
【变式训练6-6】设a=0.1e
0.1，b= 1
9 ，c =−ln 0.9则（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．c<a<b
D．a<c<b
【变式训练6-7】已知a= 31
32 ,b=cos 1
4 ,c = 4 sin 1
4 ，则（ ）
A．c>b>a
B．b>a>c
C．a>b>c
D．a>c>b
【变式训练6-8】设a=2ln1.01，b= ln1.02，c = ❑√1.04−1．则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．
D．c<a<b
【变式训练6-9】已知a= ❑√e−1，b=ln 3
2，c =sin 1
2，则（ ）
A．
B．b<c<a
C．a<c<b
D．
题型07：帕德逼近
【典型例题1】设a=0.1e
0.1,b= 1
9 ，c =−ln 0.9，则（ ）
A．a<b<c
B．
C．
D．a<c<b
【答案】C
【分析】利用帕德逼近来近似计算.
【详解】a=0.1e
0.1=0.1× 00.1
2+6×0.1+12
0.1
2−6×0.1+12
=0.1105
c =−ln 0.9=−
3×0.9
2−3
0.9
2−4×0.9+1
≈0.1.53..b= 1
9 =0.1111所以c<a<b
已知a=e
1.3−2❑√7,b= 4 ❑√1.1−4 ,c =2ln1.1,则
A．a<b<c
B．
C．
D．a<c<b
【答案】D
【分析】利用帕德逼近来近似计算.
【详解】
a=e
1.3−2❑√7 = 1.3
2+6∗1.3+12
1.3
2−6∗1.3+12
−2❑√7≈3.6486−2❑√7<0
b= 4 ❑√1.1−4 = 4(❑√1+0.1−1)≈4(1+ 1
2 ∗0.1−1
2 ∗0.1
2−1)=0.195
c =2ln1.1≈2
3∗1.1
2−3
1.1
2+ 4∗1.1+1
=2∗0.63
6.61 ≈0.1906∴a<c<b
【变式训练7-1】设a＝1
1.01
，b＝ln1.01，c＝e
0.01−1，则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．b<a<c
D．c<a<b
【变式训练7-2】设a=2ln1.01，b= ln1.02，c = ❑√1.04−1．则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．
D．
题型08：一题多解
【典型例题1】已知
7
5
8
log
5
a
，
3
7
8ln 5
b
，
6
5
7
log
5
c
，则, ,
a b c 的大小关系为（ ）
A. b
c
a
B. b
a
c
C. a
c
b
D. a
b
c
【答案】B
【分析】法一：a，c 结构为loga(a+m)，对于这样的结构，可以用减1 后再比大小
a−1= log 7
5
8
5 −log 7
5
7
5 = log 7
5
8
7 ，c−1= log 6
5
7
5 −log 6
5
6
5 = log 6
5
7
6
结合图像可得a<c
3
2
1
4
3
2
1
1
O
x
y
y = log 7
5x
y = log 6
5x
比较b 的大小时，结合换底公式：a= log 7
5
8
5 =
ln 8
5
ln 7
5
，b=
3
8
ln 7
5
，c =
ln 7
5
ln 6
5
考虑到a，b 分母相同，所以优先比较a，b 的大小
∵ln x ≤x−1⇒ln x 8
5 < 8
5 −1= 3
5
∴a>b
接下来证明ln 8
5 > 3
8 ，
法一：构造函数
令f ( x)= ln x−(1−1
x)，f (1)=0，f '( x)= 1
x −1
x
2 = x−1
x
2 ，
故f ( x)在(1,+∞)↑，则f ( 8
5 )>f (1)=0
法二：放缩
当x>1时，由ln x< x−1⇒ln 1
x < 1
x −1⇒−ln x< 1
x −1⇒ln x<1−1
x
故ln 8
5 >1−5
8 = 3
8
【典型例题2】已知a= 31
32 ,b=cos 1
4 ,c = 4 sin 1
4
，则（ ）
A．c>b>a
B．b>a>c
C．a>b>c
D．a>c>b
【答案】A
【分析】由c
b = 4tan 1
4 结合三角函数的性质可得c>b;构造函数f (x)=cos x + 1
2 x
2−1, x∈(0,+ ∞),利用导数可
得b>a,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当x∈(0, π
2), x<tan x
故c
b = 4 tan 1
4 >1，故c
b >1，所以c>b；
设
，
f
'( x)=−sin x + x >0，所以f ( x)在(0,+∞)单调递增，
故f(
1
4)>f (0)=0，所以
，
所以b>a，所以c>b>a，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当x∈(0, π
2),sin x< x，
取x = 1
8得：cos 1
4 =1−2sin
2 1
8 >1−2(
1
8)
2
= 31
32，故b>a
4 sin 1
4 +cos 1
4 = ❑√17sin(
1
4 +φ)，其中φ∈(0, π
2)，且sin φ =
1
❑√17 ,cosφ =
4
❑√17
当4 sin 1
4 +cos 1
4 = ❑√17时，1
4 +φ = π
2 ，及φ = π
2 −1
4
此时sin 1
4 =cosφ =
4
❑√17
，cos 1
4 =sin φ =
1
❑√17
故cos 1
4 =
1
❑√17 <
4
❑√17 =sin 1
4 <4 sin 1
4 ，故b<c
所以b>a，所以c>b>a，故选A
[方法三]：泰勒展开
设x =0.25，则a= 31
32 =1−0.25
2
2
，b=cos 1
4 ≈1−0.25
2
2
+ 0.25
4
4!
，
c = 4sin 1
4 =
sin 1
4
1
4
≈1−0.25
2
3!
+ 0.25
4
5!
，计算得c>b>a，故选A.
[方法四]：构造函数
因为
，因为当x∈(0, π
2),sin x< x<tan x，所以
,即c
b >1，所以c>b；设
，f
'( x)=−sin x + x >0，所以f ( x)在(0,+∞)单调递增，则f(
1
4)>f (0)=0,所
以
，所以b>a,所以c>b>a，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为
，因为当x∈(0, π
2),sin x< x<tan x，所以
,即c
b >1，所以c>b；因为当
x∈(0, π
2),sin x< x，取x = 1
8得cos 1
4 =1−2sin
2 1
8 >1−2(
1
8)
2
= 31
32，故b>a，所以c>b>a．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式x∈(0, π
2),sin x< x<tan x放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
【典型例题3】设a=0.1e
0.1,b= 1
9 ，c =−ln 0.9，则（ ）
A．a<b<c
B．
C．c<a<b
D．a<c<b
【答案】C
【分析】构造函数
， 导数判断其单调性，由此确定a,b,c的大小.
【详解】方法一：构造法
设f ( x)= ln(1+ x)−x( x>−1)，因为
，
当x∈(−1,0)时，f
'( x)>0，当x∈(0,+∞)时f
'( x)<0，
所以函数
在(0,+∞)单调递减，在(−1,0)上单调递增，
所以f ( 1
9 )<f (0)=0，所以ln 10
9 −1
9 <0，故1
9 >ln 10
9 =−ln 0.9，即b>c，
所以f (−1
10 )<f (0)=0，所以ln 9
10 + 1
10 <0，故9
10 <e
−1
10，所以1
10 e
1
10 < 1
9
，
故a<b，
设g( x)= x e
x+ ln(1−x)(0< x <1)，则g
'( x)=(x +1)e
x+
1
x−1 = (x
2−1)e
x+1
x−1
,
令h( x)=e
x( x
2−1)+1，h
'( x)=e
x( x
2+2 x −1)，
当0< x<❑√2−1时，
，函数h( x)=e
x( x
2−1)+1单调递减，
当❑√2−1< x<1时，h
'( x)>0，函数h( x)=e
x( x
2−1)+1单调递增，
又
，
所以当0< x<❑√2−1时，h( x)<0，
所以当0< x<❑√2−1时，g
'( x)>0，函数g( x)= x e
x+ ln(1−x)单调递增，
所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e
0.1>−ln 0.9，所以a>c
故选：C.
方法二：比较法
解：
，
，
，
①
，
令
则
，
故 f ( x) 在
上单调递减，
可得
，即 ln a−ln b<0 ，所以 a<b ；
②
，
令
则 g' (x)= x e
x+e
x−
1
1−x = (1+ x)(1−x)e
x−1
1−x
，
令
，所以
，
所以 k( x) 在
上单调递增，可得
，即 g'( x)>0 ，
所以 g( x) 在
上单调递增，可得 g(0.1)> g(0)=0 ，即 a−c>0 ，所以 a>c .
故 c<a<b.
【变式训练8-1】设a=0.1e
0.1,b= 1
9 ，c =−ln 0.9，则（ ）
A．a<b<c
B．
C．c<a<b
D．a<c<b
【变式训练8-2】已知a= 31
32 ,b=cos 1
4 ,c = 4 sin 1
4 ，则（ ）
A．c>b>a
B．b>a>c
C．a>b>c
D．a>c>b
【变式训练8-3】已知9
m=10,a=10
m−11,b=8
m−9，则（ ）
A．a>0>b
B．a>b>0
C．b>a>0
D．b>0>a
【变式训练8-4】设a=2ln1.01，b= ln1.02，c = ❑√1.04−1．则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．
D．c<a<b
1．已知a＝ln 1.4，b＝0.4，c = log32，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a＞c＞b
B．c＞a＞b
C．b＞c＞a
D．c＞b＞a
2．设a= ln ❑√2，b= ln3
3 ，c = 2
e
2，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．a<b<c
C．b<c<a
D．
3．已知函数f
' (x)为函数f ( x)的导函数，满足tan x ⋅f
' (x)>f ( x)，a= ❑√6 f(
π
6)，b= ❑√3 f(
π
4)，c = ❑√2f(
π
3)，
则下面大小关系正确的是（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．
D．
4．已知函数
是定义在
上的奇函数，且当x∈(−∞,0)时，不等式f (x)+ x f
' (x)>0恒成立，若
a=2
0.3 f (2
0.3)，b=(logπ 2)f (logπ 2)，
，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．a>b>c
B．c>b>a
C．b>a>c
D．a>c>b
5．若a=sin1+ tan1，b=2，c = ln 4+ 1
2，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．a<b<c
D．b<c<
6．以下大小关系不正确的是（ ）
A．2
π <π
2
B．
C．e
π>π
e
D．e
4>4
e
7．已知a=2ln3−4，b=2ln5−❑√17−1，c = 4 ln 2−❑√13−1，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．
D．b<c<a
8．已知正实数a，b，c 满足：a= 4−ln 4
e
2
，b+2
b=2，
则a，b，c 大小满足（ ）
A．
B．
C．b<c<a
D．a<c<b
9．已知a= ln
3√3,b=e
−1,c =(9−3 ln3)e
−3，则a，b，c的大小为（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．
D．b<c<a
10．下列两数的大小关系中正确的是（ ）
A．π
3>3
π
B．3√3>
4√4
C．2ln3<3 ln2
D．tan1<1
11．已知a= 4 ln5
π，b=5 ln 4
π，c =5 ln π
4，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．
D．
12．下列大小比较中，错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．已知0<α < β < π
4 ，则下列大小关系中正确的是（ ）
A．(sinα )
cosα>(sinα )
cos β
B．logsinαcosα >logsinαcos β
C．(cosα )
sinα>(cos β )
sin β
D．(cosα )
sin β<(sinα )
cos β
14．已知a= ln 2
2 ，b= 1
e ，c = 2ln3
9
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>a>c
D．b>c>a
15．设a=2e
−0.2，b=e
0.2，c =1.2，则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．
D．
16．已知：a=e❑
0.42，b=2
0.5，c = log45，则a、b、c大小关系为（ ）
A．b>a>c
B．a>b>c
C．c>a>b
D．b>c>a
17．已知e≈2.71828是自然对数的底数，设a= 2022
2021，b= 2023
2022，c = 4045
4043，d =e
1
2022，下列说法正确的是
（ ）
A．
B．c<b<d <a
C．b<d <c<a
D．b<a<d <c
19．已知x = ❑√2, y =e❑
1
e
1
π，则x , y , z的大小关系为（ ）
A．x> y > z
B．x> z> y
C．
D．y > z> x
20．设a= 3
103 ，b= ln1.03，c =e
0.03−1，则下列关系正确的是（ ）
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>b>a
D．c>a>b
21．已知a= ln ❑√2，b=e
−1，c =(4−ln 4)e
−2，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a<c<b
B．
C．a<b<c
D．
22．已知a= ln 2
2 ，b= 1
e ，c = ln5
5 ，则以下不等式正确的是（ ）
A．c>b>a
B．a>b>c
C．b>a>c
D．b>c>a
24．已知实数a，b，c 满足ac =b
2，且a+b+c = ln (a+b)，则（ ）
A．
B．
C．a<c<b
D．b<c<a
25．已知a= 0.3
π ，b= 0.9
π
2 ，c =sin 0.1，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．a>b>c
B．c>a>b
C．a>c>b
D．b>a>c
26．已知a= ❑√6 ln π ,b= ❑√2π ln3,c = ❑√3 π ln 2，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．b<c<a
C．
D．
27．设a=0.1e
0.1,b= 1
9 ，c =−ln 0.9，则（ ）
A．a<b<c
B．
C．
D．a<c<b
28．已知实数a，b∈(1，+∞)，且2(a+b)=e
2a+2ln b+1，e为自然对数的底数，则（ ）
A．1<b<a
B．a<b<2a
C．2a<b<e
a
D．e
a<b<e
2a
29．已知a= 4+ 2
5 ln 2，b=2+2
1.2，c =2
2.1，则（ ）
A．a<b<c
B．
C．
D．a<c<b
30．已知a=2ln3−4，b=2ln 7
2 −❑√11−1，c = 4 ln 2−❑√13−1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．
D．b<c<a
高考模拟
1．下列不等关系中，正确的是（e是自然对数的底数）（ ）
A．π
e<e
π
B．2
❑√10<10
C．log❑20232022< 2022
2023
D．3e ln 2<4 ❑√2
2．已知a=ln2
2 ,b=ln3
3 ,c =ln5
5 ，则（ ）
A．c>b>a
B．b>a>c
C．b>c>a
D．a>b>c
3．已知a= ln 2
2 ，b= 1
e ，c = ln5
5 ，则a，b，c的大小关系为（ ）.
A．c<b<a
B．c<a<b
C．a<c<b
D．a<b<c
4．已知a=3，b=e
❑√2，c = ln 4，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．b<a<c
D．c<a<b
5．设a= ln ❑√2，b= ln3
3 ，c = 2
e
2，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．a<b<c
C．b<c<a
D．
6．已知a= ln π
π ，b= 1
e ，c = π
e
π ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．a<c<b
D．
7．已知函数
是定义在
上的奇函数，且当x∈(−∞,0)时，不等式f (x)+ x f
' (x)>0恒成立，若
a=2
0.3 f (2
0.3)，b=(logπ 2)f (logπ 2)，
，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．a>b>c
B．c>b>a
C．b>a>c
D．a>c>b
8．已知a= ln
3√3,b=e
−1,c =(9−3 ln3)e
−3，则a，b，c的大小为（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．
D．b<c<a
9．已知a=2ln3−4，b=2ln5−❑√17−1，c = 4 ln 2−❑√13−1，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．
D．b<c<a
10．若a=sin1+ tan1，b=2，c = ln 4+ 1
2，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．a<b<c
D．b<c<a
11．已知a= 4 ln5
π，b=5 ln 4
π，c =5 ln π
4，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．
D．
12．已知0<α < β < π
4 ，则下列大小关系中正确的是（ ）
A．(sinα )
cosα>(sinα )
cos β
B．logsinαcosα >logsinαcos β
C．(cosα )
sinα>(cos β )
sin β
D．(cosα )
sin β<(sinα )
cos β
13．设a=2e
−0.2，b=e
0.2，c =1.2，则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．
D．
14．已知e≈2.71828是自然对数的底数，设a= 2022
2021，b= 2023
2022，c = 4045
4043，d =e
1
2022，下列说法正确的是
（ ）
A．
B．c<b<d <a
C．b<d <c<a
D．b<a<d <c
15．已知x = ❑√2, y =e❑
1
e
1
π，则x , y , z的大小关系为（ ）
A．x> y > z
B．x> z> y
C．
D．y > z> x
16．已知a= ln ❑√2，b=e
−1，c =(4−ln 4)e
−2，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a<c<b
B．
C．a<b<c
D．
17．定义在R上函数f ( x)的导函数为f
'( x)，满足
则下列正确的是（ ）
A．f (0)>0
B．
C．
D．
18．设a=3
e，b=e
π，c =π
3，则a、b、c 的大小关系为（ ）
A．a>b>c
B．b>c>a
C．b>a>c
D．c>b>a
19．下列大小关系正确的是（ ）．
A．1.9
2<2
1.9
B．2
2.9<2.9
2
C．log74<log127
D．log74 +log127<❑√2
20．已知a=(e−0.1)
e+0.1，b=e
e，c =(e+0.1)
e−0.1，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c<a<b
B．a<c<b
C．a<b<c
D．c<b<a
21．已知α，β ∈(0, π
2)，且3
α−2sin β =9
β−α，则（ ）
A．α <2 β
B．α >2 β
C．α > β
2
D．α < β
2
22．已知a，b，c∈(e ,+ ∞)，a
c>c
a，c ln b<b ln c，则（ ）
A．e
a+c ln b>e
b+c ln a>e
a+bln c
B．e
a+bln c>e
a+c ln b>e
b+c ln a
C．e
a+c ln b>e
a+b ln c>e
b+c ln a
D．e
b+c ln a>e
a+bln c>e
a+c ln b
23．已知实数a，b∈(1，+∞)，且2(a+b)=e
2a+2ln b+1，e为自然对数的底数，则（ ）
A．1<b<a
B．a<b<2a
C．2a<b<e
a
D．e
a<b<e
2a
24．已知a= ❑√6 ln π ,b= ❑√2π ln3,c = ❑√3 π ln 2，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．b<c<a
C．
D．
25．已知a=2ln3−4，b=2ln 7
2 −❑√11−1，c = 4 ln 2−❑√13−1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．
D．b<c<a
