第07 讲 数列与不等式
目 录
思维导图.......................................................................................................................................................... 2
高考分析.......................................................................................................................................................... 2
学习目标.......................................................................................................................................................... 3
知识要点.......................................................................................................................................................... 4
解题策略.......................................................................................................................................................... 5
题型归纳.......................................................................................................................................................... 6
题型01：比较大小....................................................................................................................................6
题型02：判断数列不等式是否成立或由数列不等式求n 的范围.................................................................7
题型03: 根据不等式恒成立求参数范围...................................................................................................10
题型04: 数列不等式存在求参数取值范围...............................................................................................20
题型05: 证明与通项有关的不等式..........................................................................................................22
题型06: 直接求和证明不等式.................................................................................................................24
题型07: 先求和再放缩,证明与前n 项和有关的不等式.............................................................................28
题型08: 先放缩,再求和,证明与前n 项和有关的不等式............................................................................30
题型09: 与导数有关的数列不等式..........................................................................................................37
题型10: 数学归纳法证明数列不等式......................................................................................................41
题型11: 数列不等式与三角函数综合......................................................................................................43
题型12: 数列不等式与概率统计.............................................................................................................46
题型13：新定义数列.............................................................................................................................. 48
巩固提升........................................................................................................................................................ 51
一、 分值占比与题型分布
数列不等式是高考数学的核心交汇考点，分值占比约10-15 分，常融合在数列解答题中，部分试卷会以选
择/填空的压轴题形式出现。
1. 基础题型：选择/填空考查数列项的大小比较、简单的放缩判断、基本不等式求数列最值，难度中等偏易。
2.综合题型：解答题多为数列与不等式的交汇题，常作为次压轴题，以“求通项→求和→证明不等式”的
三段式结构命题，部分新高考卷会结合新定义、实际情境（如数列模型的最优解问题）命题。
二、 核心考点与命题趋势
1. 核心考点
◦ 基础层：等差/等比数列的通项与求和公式结合不等式的基本运算；利用数列单调性求最值；基本不
等式的应用。
◦ 进阶层：放缩法证明数列不等式（裂项放缩、等比放缩是高频考点）；数列不等式恒成立问题（转
化为数列最值求解参数范围）；S_n 与a_n 互化后的不等式分析。
◦ 拔高层：数学归纳法证明数列不等式；构造函数法结合导数处理复杂数列不等式；柯西不等式在数
列最值中的应用（新高考卷偶有涉及）。
2. 命题趋势
◦ 难度分层明显：基础题保分，综合题拉分，区分度高。
◦ 注重方法迁移：强调放缩的“适度性”、函数与数列的转化思想，淡化复杂技巧，强化通性通法。
◦ 情境化创新：结合实际问题（如增长率、产量优化）设置数列模型，考查不等式的实际应用。
一、 基础目标（全体学生必达）
1. 能结合等差数列、等比数列的通项与求和公式，解决简单的数列项或前n 项和的不等式判断、求解问题。
2. 掌握基本不等式的使用条件，会用其求数列相关的最值，能通过作差、作商比较数列中两项的大小关系。
3. 理解数列单调性与不等式的关联，能通过作差法判断数列单调性，进而求解数列的最大、最小值。
二、 进阶目标（多数学生突破）
1. 熟练运用裂项放缩、等比放缩的基本技巧，证明形如Sn < k（k 为常数）的数列不等式，把握放缩的
“适度性”。
2. 能将数列不等式恒成立问题转化为数列最值问题，通过分析数列单调性或结合函数工具，求解参数的取
值范围。
3. 掌握Sn 与an 的互化方法，能处理含Sn 与an 的不等式问题，且不遗漏n=1 的检验步骤。
三、 拔高目标（尖子生冲刺）
1. 会用数学归纳法证明与自然数n 相关的复杂数列不等式，能结合导数工具构造函数，利用函数单调性推
导数列不等式。
2. 理解柯西不等式等拓展不等式的应用场景，能运用其优化数列不等式的证明过程，提升解题效率。
3. 具备解决新情境、新定义下数列不等式综合题的能力，能实现跨模块知识迁移，同时形成规范的解题书
写逻辑。
数列中的不等式问题
一：比较大小
比较
的大小,通常作差,转化为判断
与0 的大小,若
,也可以转化为判断
与1 的大小.
二：判断数列不等式是否成立或由数列不等式求
的范围
此类问题,一般先把所给数列不等式转化为关于n 的不等式,通过解不等式或利用函数、数列性质求解.
三：根据不等式恒成立求参数范围
不等式恒成立问题,通常通过分离参数,把问题转化为
或
的形式,再利用数列单调性或函数单调性,
求
的最值,然后确定
的范围.
四：数列的能成立问题
五：证明与通项有关的不等式
求解此类问题,一般是先确定通项,再通过放缩或数列单调性证明.
六：直接求和证明不等式
七：先求和再放缩,证明与前n 项和有关的不等式
证明与前n 项有关的不等式,若所给数列可以转化为等差（比）数列求和,或可以裂项求和,通常是先求和,再
放缩.
八：先放缩,再求和,证明与前n 项和有关的不等式
此类问题,通常是所给数列无法求和,要先把所给数列放缩成等差（比）数列或可以裂项求和、错位相减法求
和的数列,再求和,放缩时要观察待证结论,防止放缩过度或不足.
关于放缩：
①考虑放缩的方向；
②放缩后的常见形式：裂项形，等比形，等差形；
③若放缩后超过所证数，则考虑前几项不放缩。
九：借助导数证明与前n 项和有关的不等式.
求解此类问题,通常先利用导数证明一个不等式,再把不等式中的自变量用
代换,通过累加或累乘法
证明所给不等式.
十：数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：
归纳奠基→（1）证明当n 取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立
归纳递推→（2）以当“n=k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件，
推出“当n=k+1 时命题也成立”
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0 开始的所有正整数n 都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
一、 通项与求和类不等式解题策略
1. 基本量运算：针对等差、等比数列，利用通项公式an 和前n 项和公式Sn列方程，求解a1,d,q 等基本量，
代入不等式直接判断或求解范围。
2. Sn 与an互化：务必检验n=1 时是否与n≥2 的通项一致，再结合不等式分析。
3. 求和技巧结合不等式：
◦ 错位相减、分组求和、裂项相消求出Sn后，直接代入不等式求解参数范围或证明结论。
◦ 若无法直接求和，可先对通项放缩，转化为可求和的数列（如等比数列），再通过求和结果推导不
等式。
二、 不等式证明类解题策略
1. 放缩法（核心方法）
◦ 裂项放缩：适用于分式型通项，将an拆成bn - bn−1的形式，放缩后可裂项求和，注意放缩的“度”，
避免过度放缩导致证明失败。
◦ 等比放缩：将非等比数列通项放缩为等比数列通项，利用等比数列求和公式放缩求和，常用于证明
Sn<k（k 为常数）。
◦ 单调性放缩：通过作差或作商判断数列{an}的单调性，再结合不等式证明。
2. 数学归纳法：适用于与自然数n 相关的数列不等式，步骤为：验证n=1时成立→假设n=k 时成立→推导
n=k+1 时成立，注意推导过程中需用到n=k 的假设条件。
3. 构造函数法：将数列的通项公式转化为函数f(x)，利用导数判断函数单调性，得到f(x)的最值，进而推导
数列不等式。
三、 恒成立与参数范围类解题策略
1. 分离参数法：转化为求数列哈函数f(n)的最大值或最小值。
2. 直接求最值法：若无法分离参数，通过分析数列的单调性（作差、作商或结合函数单调性），求出数列
的最值，再根据恒成立条件列不等式求解参数范围。
3. 分类讨论法：当参数影响数列的单调性或通项形式时，按参数的不同取值范围分类讨论，分别求解后取
并集。
四、 易错防范策略
1. 放缩法证明时，牢记“适度性”原则，可先尝试“紧放缩”，若无法证明再调整放缩幅度。
2. 处理S_n 与a_n 的关系时，不要忽略n=1 的检验，避免分段通项的遗漏。
3. 求解参数范围时，注意数列的特殊性（n 为正整数），函数的最值点若不是正整数，需比较最值点附近
的正整数项的大小。
题型01： 比较大小
比较
的大小,通常作差,转化为判断
与0 的大小,若
,也可以转化为判断
与1 的大小.
【典型例题】已知数列
的前n 项和
,且满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)数列
的前n 项和为
,比较
和
的大小.
【答案】见解析
【解析】（1）因为
当
时,
又因为
时,
也满足上式
所以当
时,
,
（2）由
,得
当
时,
当
时,
,
.
综上所述：当
时,
,当
时,
.
【变式训练1-1】已知函数f (x)= ln x−k (x−2)
x
+2.
(1)若函数f (x)在点(1,f (1))处的切线在两坐标轴上截距相等，求k的值；
(2)（i）当x>1时，f (x)>0恒成立，求正整数k的最大值；
（ii）记an=(1+1×2)(1+2×3)⋯[1+(n−1)n]，bn=e
2(n−2)
2
n
，n∈N +且n≥2.试比较an与bn的大小并说明
理由.
题型02：判断数列不等式是否成立或由数列不等式求n 的范围
此类问题,一般先把所给数列不等式转化为关于n 的不等式,通过解不等式或利用函数、数列性质求解.
【典型例题1】已知数列
满足
,且
．
(1)设
,证明：
是等比数列；
(2)设数列
的前n 项和为
,求使得不等式
成立的n 的最小值．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵
,
,
,
,
,
又
,
,
,
,
,
又
,
,
,
,即
,
,
又
,
,
,
∴数列
是以2 为首项,2 为公比的等比数列．
（2）由（1）可知数列
是以2 为首项,2 为公比的等比数列,
,即
,
,
,
,又
,
,
即
,
,
,
,
在
是一个增数列,
,
,
∴满足题意的n 的最小值是20．
【典型例题2】已知数列
满足
记数列
的前
项和为
,
(1)求证：数列
为等比数列,并求其通项
；
(2)求
；
(3)问是否存在正整数
,使得
成立？说明理由.
【答案】见解析
【解析】（1）
,
即
,
所以
,
（2）
,所以
,
当
为奇数时,可令
,
则
,
当
为偶数时,可令
则
；
（3）假设存在正整数
,使得
成立,
因为
,
,
所以只要
即只要满足①：
,和②：
,
对于①只要
就可以；
对于②,当
为奇数时,满足
,显然不成立,
当
为偶数时,满足
,即
令
,
因为
由于
的对称轴为
,故
在
且
为偶数,单调递减,
当
时,
,故
即
,且当
时,
最大,且最大值为
,
因此,
,
所以当
为偶数时,②式成立,即当
为偶数时,
成立 .
【变式训练2-1】已知数列{an}是递增的等比数列．设其公比为q，前n项和为Sn，并且满足a1+a5=34，8是a2
与a4的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=n⋅an，T n是bn的前n项和，求使T n−n⋅2
n+1>−100成立的最大正整数n的值．
【变式训练2-2】已知{an}为等差数列，公差为d，{bn}是公比为2 的等比数列，且a2=b2，a3+a5=b4．
(1)证明：a1=d；
(2)求集合{k |bk =a2m,1≤m≤100}的子集个数．
【变式训练2-3】已知公差不为0 的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1,a2,a5成等比数列，a2a3=a8.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若n≥2，
1
S2−1 +
1
S3−1 +⋯+
1
Sn−1 ≥21
40，求满足条件的n的最小值.
【变式训练2-4】已知数列{an}满足a1=3，且an+1=¿
(1)设bn=a2n+a2n−1，求数列{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n 项和为Sn，求使得不等式Sn>2023成立的n 的最小值．
【变式训练2-5】已知Sn 为等差数列{an}的前n 项和，S3＝21，S5＝55．
(1)求an、Sn；
(2)若数列
的前n 项和Tn，求满足
的最小正整数n．
【变式训练2-6】已知数列
的前
项和
(
为常数)，且
构成等比数列.
（1）求数列
的通项公式；
（2）设数列
的前
项和为
，求使不等式
成立的
的最大值.
题型03: 根据不等式恒成立求参数范围
不等式恒成立问题,通常通过分离参数,把问题转化为
或
的形式,再利用数列单调性或函数单调性,
求
的最值,然后确定
的范围.
【典型例题1】已知
为等差数列,且
,
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
恒成立,求实数λ 的取值范围．
【答案】间解析
【解析】（1）设数列
的公差为d,则根据题意可得
,
解得
,则
．
（2）由（1）可知运用等差数列求和公式,得到
,
又
恒成立,则
恒成立,
设
,则
,
当
时,
,即
；
当
时,
,则
,则
；
则
,故
,
故实数λ 的取值范围为
．
【典型例题2】已知数列
，
，
，
为数列
的前
项和，且
.
(1)令
.
（i） 求证: 数列
为等差数列，并求数列
的通项公式；
（ii） 求数列
的前
项和
；
(2)设数列
的前
项和
，对
，
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)（i）证明见解析，
；（ii）
;(2)
【解析】（1）（i）利用等差数列的定义可证得数列
为等差数列，确定该数列的首项和公比，求出数列
的通项公式，进而可求得数列
的通项公式；
（ii）利用
与
的关系求出数列
的通项公式，然后利用错位相减法可求得
；
（2）利用分组求和法求出
，由变量分离法可得出
，令
，求出数列
中最大项的
值，即可得出实数
的取值范围.
（1）（i）
时，
，
所以，数列
为等差数列，且首项为
，公差为，
故
，故
；
（ii）当
时，
，可得
，
当
时，由
可得
，
上述两个等式作差可得
，即
，
所以，数列
为等比数列，且其首项为，公比为
，则
.
所以，
，
，①
，②
①
②得
，
因此，
.
（2）因为
，
所以，
，
，
恒成立，即
，
所以，
，
令
，则
，
由
，即
，解得
，
因为
，所以，
，
故数列
中，
最大，所以，
，
因此，实数
的取值范围是
.
【典型例题3】设数列
的前
项和为
，若对任意的
，都有
（
为非零常数），则称数列
为“和等比数列”，其中
为和公比.若
是首项为1，公差不为0 的等差数列，且
是“和等比数
列”，令
，数列
的前
项和为
.
(1)求
的和公比;
(2)求
;
(3)若不等式
对任意的
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)4；(2)
；(3)
.
【解析】（1）设等差数列
的公差为
，前
项和为
，由题意
，化简可得
值；
（2）由（1）得
，用错位相减法求和；
（3）设
，
，按
的奇偶性分类求解可得参数范围．
（1）设等差数列
的公差为
，前
项和为
，则
，
所以
，
因为
是“和等比数列”，所以
，即
，对任意
恒成立，
所以
，解得
，
所以
的和公比为4；
（2）由（1）知
，
，
所以
，
所以
，
相减得
，
所以
；
（3）设
，
，
，
是递增数列，
不等式
对任意的
恒成立，即不等式
对任意的
恒成立，
当
为奇数时，
，则
，
当
为偶数时，
，则
，
综上，
的取值范围是
．
【典型例题4】记关于
的不等式
（
）的整数解的个数为
，数列
的前
项和为
，
满足
．
(1)求数列
的通项公式：
(2)设
，若对任意的
，都有
成立，试求实数
的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）由
，得
，结合
，可以求出
的通项公式，再根据
，计算数列
的通项公式即可；
（2）结合（1）知，
，通过
，得到
，将
分正偶数和正奇数两种情况
分析讨论即可．
（1）由
，得
，
因为
，故
，于是
.
所以
，易知
，即
.
当
时，
，
故
，
，当
时，上式也成立，
所以
，
.
（2）
，
所以
，
所以
，
由
，可得
，
由于
，若
为偶数时，则
，
由于
，所以
，
若
为奇数时，则
，
因为
，所以
，
所以
．
故
的取值范围为
．
【典型例题5】已知数列
是等差数列，
是等比数列，且
，
，
，
．
(1)求数列
、
的通项公式；
(2)设
，数列
的前n 项和为
，若不等式
对任意的
恒成立，求实数
的
取值范围．
【答案】(1)
，
；(2)
【解析】（1）利用等差数列
，等比数列
代入计算；
（2）利用错位相减法可得
，讨论n 的奇偶结合恒成立问题运算处理．
(1)因为数列
是等比数列，则可得
，解得
所以
．
因为数列
是等差数列，且
，
，则公差
，
所以
．
故
，
(2)由（1）得：
，
数列
的前n 项和为
①
所以
②
由①-②得：
，
所以
．
不等式
恒成立，化为
成立，
令
且
为递增数列，即转化为
当
时，
恒成立，取
，所以
．
当
时，
恒成立，取
，
，所以
．
综上可得：实数
的取值范围是
．
【变式训练3-1】已知数列
的前
项和为
，且满足
．设
，数列
的前
项和为
．
（1）证明：数列
是等比数列；
（2）设
，若
对任意的
恒成立，求实数的取值范围．
【变式训练3-2】已知等差数列
中，
，前12 项和
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）若数列
满足
，记数列
的前
项和为
，若不等式
，对所有
恒成立，求实
数
的取值范围.
【变式训练3-3】设数列
的前
项和为
，
，
．
（1）求数列
的通项公式．
（2）设
，
是数列
的前
项和，求使
对所有的
都成立的最大正整
数
的值．
【变式训练3-4】已知数列
的前n 项和为
，且
．
（1）求出数列
的通项公式；
（2）设数列
满足
，若
对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围．
【变式训练3-5】已知等差数列
前
项和为
，数列
是等比数列，
，
.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)对任意的正整数
，设
记数列
的前
项和为
，求
.
(3)设
，若对任意的
，都有
.成立，求实数
的取值范围.
【变式训练3-6】已知数列
中,
,设
为
前
项和,
,已知数列
,设
的前
项
和
．
(1)求
；
(2)若
对任意
恒成立,求实数
的取值范围．
【变式训练3-7】设Sn为正项数列{an}的前n项和，满足2Sn=an
2+an−2.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若不等式(1+
2
an+t)
an
≥4对任意正整数n都成立，求实数t的取值范围；
（3）设bn=e
3
4 anln(n+1)（其中e是自然对数的底数），求证：b1
b3
+ b2
b4
+…+ bn
bn+2
<
❑√6
6 .
【变式训练3-8】已知数列{bn}是首项b1=1,b4=10的等差数列，设bn+2=3log 1
4
an(n∈N
∗).
(1)求证：{an}是等比数列；
(2)记cn=
1
bnbn+1
，求数列{cn}的前n项和Sn；
(3)在（2）的条件下，记dn=(3n+1)⋅Sn，若对任意正整数n，不等式
1
n+d1
+
1
n+d2
+⋯+
1
n+dn
> m
24 恒成立，
求整数m的最大值.
【变式训练3-9】已知数列{an}的前n 项和为Sn，满足：2Sn
n =an+1(n∈N
∗)
(1)求证：数列{an}为等差数列；
(2)若a2=5，令bn= 1
an
，数列{bn}的前n 项和为T n，若不等式45(T 2n+1−T n)≤m
2−5m对任意n∈N
∗恒成立，
求实数m 的取值范围．
【变式训练3-10】已知等差数列{an}满足a3= S2+1,S3=a4+2,其中Sn为{an}的前n项和，递增的等比数列{bn}
满足：b1=1，且b1，b2，b3−4成等差数列．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）设{an⋅bn}的前n项和为T n，求T n
（3）设Cn=
(an+ 4)
(Sn+n)⋅bn+1
，{Cn}的前n 项和为An，若An≥
λ
n+1恒成立，求实数λ的最大值．
【变式训练3-11】已知数列{an}的前n 项和为Sn，2Sn+n
2+2n+3=an．
(1)求an；
(2)若bn=|a2n|，对任意的1≤n≤10，n∈N
∗，bn+ 16
bn
≥t，求t 的取值范围．
【变式训练3-12】已知等差数列{an} 满足：a3= 4，a5+a7=14，{an}的前n 项和为Sn ．
(1)求an及Sn ；
(2)令bn=
1
an
2−1，若对于任意n∈N
∗ ，数列{bn}的前n 项和T n<m 恒成立，求实数m 的取值范围．
【变式训练3-13】已知数列{an}的前n 项和为Sn，a1=−2
3
，且2Sn+an+2=0．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足2bn+(n−3)an=0(n∈N
∗)，记数列{bn}的前n 项和为T n，若T n+ 3
4 ≤t bn，对任意
n∈N
∗恒成立，求实数t 的取值范围．
【变式训练3-14】已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S6
S3
=28，数列{bn}满足bn=3 log3(an)+1．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若对任意的n∈N
∗，λbn<3an恒成立，求实数λ的取值范围．
【变式训练3-15】设等差数列{an}的前n 项和为Sn，数列{bn}是首项为1 公比为q(q∈N
∗)的等比数列，其
前n 项和为T n，且n
2(T n+1)=2
n Sn，对任意n∈N恒成立.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn=an⋅bn，记{cn}的前n 项和为Rn，若an
2⋅bn≥λ( Rn−3)对任意n∈N
∗恒成立，求实数λ的取值范围.
【变式训练3-16】已知数列{an}、{bn}满足a1=2，an+1=2an+2
n+1，b1=1，bn+1= 2n+1
2n−1 bn﹒
(1)求证：{
an
2
n}为等差数列，并求{an}通项公式；
(2)若cn= nbn
an
，记{cn}前n 项和为T n，对任意的正自然数n，不等式Tn< λ恒成立，求实数λ的范围．
【变式训练317】已知正项数列{an}的首项a1=1，前n 项和Sn满足an= ❑√Sn+ ❑√Sn−1(n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列{
1
anan+1}的前n 项和为T n，若对任意的n∈N
∗，不等式4T n<a
2−a恒成立，求实数a 的取值范围.
【变式训练3-18】函数f (x)=a x
2+bx +c满足f (0)=0，f (x)= f (−1−x)，且与直线y =−2 x−2相切.
(1)求实数a，b，c的值；
(2)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且点(an,4 Sn)在函数f (x)的图象上，若不等式
Sn+8>(−1)
n⋅λ an对于任意n∈N
*恒成立，求实数λ的取值范围.
【变式训练3-19】已知{an}为等差数列，{bn}为公比q≠1的等比数列，且a1=b1=1，a2=b2，a5=b3．
(1)求{an}与{bn}的通项公式；
(2)设cn=bn+
1
anan+1
，求数列{cn}的前n项和T n；
(3)在（2）的条件下，若对任意的n≥1，n∈N，2T n>(4 n−3)t −
1
2n+1
恒成立，求实数t的取值范围．
【变式训练3-20】已知数列{an}的前n项和为Sn，满足：2Sn
n =an+1(n∈N
*).
(1)求证：数列{an}为等差数列；
(2)若a2=3，数列{bn}满足b1=a1,b3=a3−1,lgbn+lgbn+2=2lgbn+1(n∈N
*)，记T n为{bn}的前n项和，求
证：T n⋅T n+2<T n+1
2
；
(3)在（2）的前提下，记cn=¿，数列{cn}的前2n项和为K 2n，若不等式(−1)
n λ+
4
n
4 n+1 < K 2n对一切n∈N
*
恒成立，求λ的取值范围.
【变式训练3-21】已知数列{an}的前n 项和为Sn，且a1=1，a2=2，an+2−3an+1+2an=0．
(1)求证：数列{an+1−an}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)若λ(1+ Sn)≥2n−11(n∈N
∗)，求实数λ的取值范围．
【变式训练3-22】已知函数f (x)满足f (x)+ f (1−x)=2，若数列{an}满足：
an= f (0)+ f(
1
n)+⋯+ f(
n−1
n )+ f (1).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1= 2
3
，bn=
1
an⋅an+1
（n≥2），数列{bn}的前n 项和为Sn，若Sn< λ an+1对一切n∈N
∗恒
成立，求实数λ的取值范围.
【变式训练3-23】若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b1=1，a5=5(a4−a3)，b5= 4(b4−b3)．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)对任意的正整数n，设cn=¿求数列{cn}的前2n项和．
(3)记{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn−an+1≤m[(n+1)bn+1−an−1]对于n∈N
*恒成立，求实数m的取值范
围．
【变式训练3-24】已知各项均为正数的数列{an}的前n 项和为Sn，且an,Sn,an
2为等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)已知bn=(
2
3)
n
(n∈N
∗)，是否存在m∈N
*，使得∀n∈N
∗,anbn≤ambm恒成立?若存在，求出m 的值；
若不存在，说明理由．
【变式训练3-25】已知数列{an}的前n 项和为Sn，a1=1，Sn=an+1−2
n
(1)证明：数列{Sn
2
n }为等差数列；
(2)∀n∈N ∗，(n−6)an≥λ2
n，求λ 的最大值．
【变式训练3-26】27．已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=2Sn+2
n+1
(1)证明数列{
Sn
2
n}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设bn= Sn
3
n ，若对任意正整数n，不等式bn< m
2−m+18
27
恒成立，求实数m的取值范围.
【变式训练3-27】已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列（公比不为1），{bn}的前n 项和T n，且a1=b1=3，
a4=b2,a1a5=T 3
(1)求数列：{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn= an+1−an
bn+1−bn
,{cn}的前n项和为M n.对于任意正整数n，当M n<m恒成立时，求m的最小值.
37．已知数列{an}满足2a1+3a2+ 4 a3+⋯+(n+1)an=n
2．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若不等式t an−n+2≤0对n∈N
*恒成立，求实数t的取值范围．
【变式训练3-28】图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实
数q ,a1,1>0,a1.3=5,a2,2=−6,a4,2
2 =a7,5.
(1)设bn=an,n，求数列{bn}的通项公式；
(2)设Sn=a1,1+a2,1+⋯+an,1，是否存在实数λ，使an,1≤λ Sn恒成立，若存在，求出λ的所有值，若不存在，请
说明理由.
题型04:数列不等式存在求参数取值范围
【典型例题1】已知数列
中，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）根据
，利用累加法求解；
（2）根据存在
，
成立，由
求解.
(1)因为
，
当
时，
，
又
满足上式，
∴
；
(2)由（1）知
，∴
，
∵存在
，使得
成立，
∴
，即
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
【典型例题2】已知数列
满足
．
（1）求数列
的前n 项和
；
（2）若存在
,使不等式
成立，求实数t 的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
或
.
【解析】（1）由
知
是等差数列，写出通项公式，再应用裂项相消法求
；
（2）将问题化为
，结合
单调性，求t 的范围.
（1）由题设有
，即
是等差数列，
又
，得
，故
，则
，
所以
．
（2）若存在
,使不等式
成立，只要
．
，
所以
是递增的，对于
，
，
于是只需
， 解得
或
．
故满足条件的实数t 为
或
.
【变式训练4-1】已知各项均不相等的等差数列
的前五项和
，且
成等比数列.
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
为数列
的前
项和，且存在
，使得
成立，求实数
的取值范围.
【变式训练4-2】设{an}是公差不为零的等差数列，满足a1=1，a6+a7=a13，设正项数列{bn}的前n 项和为Sn，
且4 Sn+2bn=3．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)在b1和b2之间插入1 个数x11，使b1、x11、b2成等差数列；在b2和b3之间插入2 个数x21、x22，使b2、x21、
x22、b3成等差数列；…，在bn和bn+1之间插入n 个数xn1、xn2、…、xnn，使bn、xn1、xn2、…、xnn、bn+1成等
差数列，求T n= x11+ x21+ x22+⋯+ xn1+ xn2+⋯xnn；
(3)对于（2）中求得的T n，是否存在正整数m、n，使得T n= am+1
2am
成立？若存在，求出所有的正整数对(m,n)；
若不存在，请说明理由．
【变式训练4-3】设对任意n∈N
*，数列{an}满足0<an<1，an+1<❑√anan+2，数列{cn}满足cn= an+1
an
．
(1)证明：{cn}单调递增，且cn<1；
(2)记bn= anan+2
an+1
2
−an+1
2
anan+2
，证明：存在常数t，使得∑
k =1
n
bk<t．
【变式训练4-4】设函数f n(x)=−1+ x + x
2
2
2 + x
3
3
2 +⋯+ x
n
n
2 .
(1)求函数f 3(x)在点(1,f 3(1))处的切线方程;
(2)证明:对每个n∈N
*，存在唯一的xn∈[
2
3 ,1]，满足f n(xn)=0；
(3)证明:对于任意p∈N
∗，由（2）中xn构成的数列{xn}满足0< xn−xn+ p< 1
n.
题型05: 证明与通项有关的不等式
求解此类问题,一般是先确定通项,再通过放缩或数列单调性证明.
【典型例题】已知复数数列
的通项公式为
（是虚数单位）,
为
的前
项和．
(1)求
的值；
(2)求证：
；
(3)求
的通项公式．
【答案】见解析
【解析】（1）因为
（是虚数单位）,
所以
（2）当
为奇数时,
；
当
为偶数时,
．
因此无论
为奇数还是偶数,
．
,当
时,上式大于0．
所以
,
即
（3）因为
（是虚数单位）,
所以
．
所以
,
,
所以
.
【变式训练5-1】在数列
的第
项与第
项之间插入
个1,称为变换
．数列
通过变换
所得数列
记为
,数列
通过变换
所得数列记为
,以此类推,数列
通过变换
所得数列记为
（其中
）．
(1)已知等比数列
的首项为1,项数为
,其前
项和为
,若
,求数列
的项数；
(2)若数列
的项数为3,
的项数记为
．
①当
时,试用
表示
；
②求证：
．
【变式训练5-2】已知
是等差数列，
．
(1)求
的通项公式和
．
(2)设
是等比数列，且对任意的
，当
时，则
，
（Ⅰ）当
时，求证：
；
（Ⅱ）求
的通项公式及前
项和．
题型06: 直接求和证明不等式
【典型例题1】已知数列
的首项
,且满足
（
）．
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)记
,求数列
的前
项和
,并证明
．
【答案】见解析
【解析】（1）由
得
,
又
,所以
是首项为2,公比为2 的等比数列．
（2）由（1）知,
,所以
所以
,
当
时,
单调递增,故
．
【典型例题2】设数列
的前
项和为
,且
．
(1)求数列
的通项公式
．
(2)设数列
满足
,且数列
的前
项和为
,求证：
．
【答案】见解析
【解析】（1）依题意,由
,可得
,
当
时,
,解得
,
当
时,
,
整理,得
,
,
∴数列
是以2 为首项,2 为公比的等比数列,
∴
；
（2）依题意及（1）,由
可得
,
则
,
,
两式相减,可得
,
∴
,故得证．
【典型例题3】已知等比数列
的各项都为正实数,
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
,数列
的前
项和为
,证明：
.
【答案】见解析
【解析】（1）设等比数列
的公比为
,
因为
,所以
,
化简得
,解得
或
（舍去）,所以
；
（2）证明：由（1）得
,
所以
,
所以
,
所以
,
所以
,
因为
,所以
.
【典型例题4】已知各项为正数的数列{an}的前n项和为Sn，若4 Sn=an
2+2an+1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=
2
anan+1
，且数列{bn}的前n项和为T n，求证：2
3 ≤T n<1．
【答案】(1)an=2n−1；(2)证明见解析
【解析】（1）利用公式a1= S1，n≥2时，an= Sn−Sn−1，代入化简得到数列{an}的递推公式，即可求解通项公
式；
（2）由（1）的结果，利用裂项相消法求和，再结合数列的单调性证明不等式.
（1）当n=1时，4 a1=a1
2+2a1+1，解得a1=1；
当n≥2时，由4 Sn=an
2+2an+1，得4 Sn−1=an−1
2
+2an−1+1，
两式相减可得4 an=an
2−an−1
2
+2an−2an−1，an
2−an−1
2
=2(an+an−1)，又an>0，
∴an−an−1=2，即{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
因此，{an}的通项公式为an=2n−1；
（2）证明：由(1)可知an=2n−1，所以bn=
2
(2n−1)(2n+1) =
1
2n−1 −
1
2n+1，
T n=b1+b2+⋯+bn=1−1
3 + 1
3 −1
5 +⋯+
1
2n−1 −
1
2n+1 =1−
1
2n+1，
因为
1
2n+1 >0恒成立，所以T n<1，
又因为T n+1−T n=bn+1=
2
(2n+1)(2n+3) >0，所以{T n}单调递增，所以T n≥T 1=b1= 2
3，
综上可得2
3 ≤T n<1．
【变式训练6-1】已知数列{an}满足a1=1，(2n−1)an+1=(2n+1)an．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=(
1
2)
an
，设数列{anbn}的前n 项和Sn，证明：Sn< 10
9 ．
【变式训练6-2】已知数列
的前
项和为
，满足
，且
为
，
的等比中项.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
为数列
的前
项和，证明：
.
【变式训练6-3】已知
是数列
的前
项和，
，且
成等比数列．
(1)求数列
的通项公式．
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
．
【变式训练6-4】记数列
的前n 项和为
，且满足
（
）.
（1）求
的通项公式；
（2）求证：数列
的前n 项和
.
【变式训练6-5】已知
为公比大于0 的等比数列，其前
项和为
，且
．
(1)求
的通项公式及
；
(2)设数列
满足
，其中
．
（ⅰ）求证：当
时，求证：
；
（ⅱ）求
．
【变式训练6-6】已知
为数列
的前
项和，
，
，记
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知
，记数列
的前
项和为
，求证：
.
【变式训练6-7】已知数列{an}中，a1=1，点 P(an,an+1)，n∈N
∗在直线x−y +1=0上.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn= 1
an
，Sn为数列{bn}的前 n 项和，试问：是否存在关于n 的整式g(n)，使得
S1+ S2+⋯Sn−1=(Sn−1)⋅g(n)(n≥2,n∈N
∗)恒成立，若存在，写出 g(n)的表达式，并加以证明，若
不存在，说明理由.
【变式训练6-8】记Sn为数列{an}的前n项和，已知na1+(n−1)a2+⋅⋅⋅+an=2Sn−1．证明：
(1){Sn}为等比数列；
(2) 1
a1
+ 2
a2
+⋅⋅⋅+ n
an
<7．
【变式训练6-9】已知正项数列{an}的前n项和Sn满足关系式6 S1
a1+3 + 6 S2
a2+3 +⋯+ 6 Sn
an+3 = Sn,n∈N
*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设T n=(−1)
s1a1+(−1)
s2a2+⋯+(−1)
snan,n∈N
∗，证明|T n|<4 n,n≥3.
【变式训练6-10】设各项均为正数的数列
的前
项和为
，满足
，已知等比数列
，
，
，
．
（1）求数列
，
的通项公式；
（2）记
，数列
的前
项和
．证明：对一切正整数
，
．
【变式训练6-11】已知数列
满足
，且
.
（1）证明：数列
为等比数列；
（2）记
，
是数列
前n 项的和，求证：
.
题型07: 先求和再放缩,证明与前n 项和有关的不等式
证明与前n 项有关的不等式,若所给数列可以转化为等差（比）数列求和,或可以裂项求和,通常是先求和,再放缩.
【典型例题1】已知等比数列
和等差数列
,满足
,
,
,
．
(1)求数列
,
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和为
,数列
的前
项和为
．证明：
．
【答案】见解析
【解析】（1）等比数列
满足
,
,所以
单调递增,
设
的公比为
,等差数列
的公差为
,依题意可得
,
解得
或
（舍去）,
所以
,
．
（2）由（1）可得
,
所以
所以
,
故
,
又
,
,
即
,
所以
．
【典型例题2】已知等差数列
公差为d，
，且
，
，
，
成等比数列．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前n 项和为
，求
，并求证：
.
【答案】(1)
；(2)
，证明见解析
【解析】（1）由已知列方程组求出数列
的首项和公差，可得通项公式；
（2）利用列项相消求数列
的前n 项和为
，再结合单调性即可求证；
（1）等差数列
公差为d，
，且
，
，
，
成等比数列，
则有
，解得
，
所以
（2）
，
，
所以数列
的前n 项和
.
所以
，
易知
单调递增，同时
，
所以当
时取得最小值
，同时
，
所以
【变式训练7-1】设数列
的前
项和为
，若对任意的
，都有
（
为非零常数），则称数
列
为“和等比数列”，其中
为和公比.若
，且
为“和等比数列”.
(1)求的值，并求出
的和公比
；
(2)若
，求数列
的前
项和
；
(3)在（2）的条件下，若不等式
对任意的
恒成立，求
的取值范围.
【变式训练7-2】已知数列
的前
项和
，
，且
．
(1)求
；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)设数列
的前
项和
，且满足
，求证：
．
题型08:先放缩,再求和,证明与前n 项和有关的不等式
此类问题,通常是所给数列无法求和,要先把所给数列放缩成等差（比）数列或可以裂项求和、错位相减法求和的数列,
再求和,放缩时要观察待证结论,防止放缩过度或不足.
【典型例题1】已知数列
满足
．
(1)证明
是等比数列,并求
的通项公式；
(2)证明：
【答案】见解析
【解析】（1）因为
,所以
,且
,则
,
即
,所以数列
是首项为
,公比为7 的等比数列,
所以
,则
；
（2）由（1）可知,
,
,即
,只有当
时,等号成立,
所以
,只有当
时,等号成立,
当
时,
,成立,
当
时,
,
综上可知,
.
【典型例题2】已知数列
的前
项和为
,且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求证：
．
【答案】见解析
【解析】（1）当
时,
.
当
时,
,
,两式相减得：
.
所以
是以
为首项,以
为公比的等比数列.
所以
.
（2）由（1）知：
所以
.
当
时,
,
当
时,
,故
,
所以
.
【典型例题3】已知数列{an}中，a1=1，Sn为数列{an}的前n项和，且Sn+1= an+2
an
⋅Sn．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1+2
2⋅b2+3
2⋅b3+⋯+n
2⋅bn=an(n∈N
∗)，T n为数列{bn}的前n项和，求证：T n<2．
【答案】(1)an=n；(2)证明见解析
【解析】（1）利用Sn、an的关系结合递推式可得an+1(an+2−an−2)=0，分奇偶项计算即可；
（2）结合（1）的结论利用递推关系可得bn= 1
n
2，再利用1
n
2 <
1
n(n−1) =
1
n−1 −1
n，放缩求证不等式即可.
（1）由题意得an⋅Sn+1=(an+2)⋅Sn，所以an⋅Sn+1=an⋅Sn+2Sn，
所以an⋅(Sn+1−Sn)=2Sn，所以an⋅an+1=2Sn，①
因此an+1⋅an+2=2Sn+1．②
由②-①，得an+1(an+2−an)=2an+1，即an+1(an+2−an−2)=0，
因此an+1=0或an+2−an−2=0．
因为an≠0，所以an+1≠0，所以an+2−an=2，
所以数列{an}的奇偶项分别成等差数列，且公差为2．
又因为a1=1,a1⋅a2=2S1=2a1，得a2=2，
所以a2n−1=a1+(n−1)⋅2=2n−1，a2n=a2+(n−1)⋅2=2n．所以an=n．
（2）证明：由（1）知b1+2
2b2+3
2b3+⋯+n
2⋅bn=an=n，
可得b1+2
2b2+3
2b3+⋯+(n−1)
2⋅bn−1=an−1=n−1，两式相减，得n
2⋅bn=n−(n−1)，即
bn= 1
n
2 (n≥2)．
又b1=a1=1，所以bn= 1
n
2．又1
n
2 <
1
n(n−1) =
1
n−1 −1
n，
所以T n= 1
1 + 1
2
2 +⋯+ 1
n
2 <1+
1
1×2 +⋯+
1
(n−1)×n，=1+1−1
2 +⋯+
1
n−1 −1
n =2−1
n <2所以T n<2．
【典型例题4】已知数列
满足：
.
(1)求证：数列
和
均为等比数列；
(2)设
，数列
的前
项和为
，求证：
.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【解析】（1）由
，
，两式相减结合累加法得
，
，再由等比数列定义证明即可；
（2）先求出
的通项公式，进而证明
，从而得出
，最后结合裂项
相消求和法证明即可.
（1）由
，①
，②
将②-①得
，
故当
时，
，
，
，…，
，
累加得
，
故
，
当
时，
，符合题意，
故
，
即
，
，
因此
为以3 为首项，9 为公比的等比数列.
将
代入①得
，故
为以9 为首项，9 为公比的等比数列.
（2）由（1）知
，
，故
，
当
为奇数时，
；
当
为偶数时，
，
因此对任意
，均有
，
则
.
当
时，
；
当
时，
.
【典型例题5】已知数列
的前
项和为
，若
，且
．
(1)求证：数列
是等差数列，并求出
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，求证：
．
【答案】(1)证明见解析，
；(2)证明见解析
【解析】（1）由题意，利用求和公式的定义整理可得数列递推公式，结合累乘法，并检验，可得答案；
（2）根据等差数列的求和公式整理可得新数列的通项公式，利用裂项相消，可得答案.
（1）
，∴
，
∴
，
即
，
∴
，
，…，
，
∴
，
即
，∴
．
由
，令
可得
，
∴
，验证
符合上式，∴
．
（2）由（1）得
，
，
，
显然
；
可知当
时，
，
∴
，
符合上式，
∴不等式得证．
【变式训练8-1】已知
是等差数列,其前
项和为
是等比数列,已知
,
是
和
的等比中项.
(1)求
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)记
,求证：
.
【变式训练8-2】如图,已知点列
在曲线
上,点列
在x 轴上,
,
,
为等腰直角三角形．
(1)求
,
,
；（直接写出结果）
(2)求数列
的通项公式；
(3)设
,证明：
．
【变式训练8-3】已知数列
对于任意
都有
．
(1)求数列
的通项公式．
(2)设数列
前n 项和为
，求
．
(3)证明：
，
．
【变式训练8-4】记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=2,an+1= Sn+n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设单调递增的等差数列{bn}满足b1=2，且a1+b1,a2+b2,a3+ 1
2 b3成等比数列.
（i）求{bn}的通项公式；
（ii）设T n= 1
b1
2 + 1
b2
2 +⋯+ 1
bn
2 ，证明：T n< 3
4 .
【变式训练8-5】
表示正整数a,b 的最大公约数.若
,且
,则将k 的最大值记为
,例如：
(1)求
;
(2)设
,数列
的前n 项和为
证明：
【变式训练8-6】自然常数,符号,为数学中的一个常数,是一个无限不循环小数,且为超越数,其值约为2.71828.它
是自然对数的底数.有时称它为欧拉数（Euler number）,以瑞士数学家欧拉命名；也有个较为少见的名字“纳皮
尔常数”,以纪念苏格兰数学家约翰・纳皮尔（John Napier）引进对数.它就像圆周率
和虚数单位,是数学中最
重要的常数之一,它的其中一个定义是
.设数列
的通项公式为
,
,
(1)写出数列
的前三项
,
,
．
(2)证明：
．
【变式训练8-7】已知数列
的前
项和为
，若
，且
．
(1)求证：数列
是等差数列，并求出
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，求证：
．
【变式训练8-8】记
是等差数列
的前
项和，数列
是等比数列，且满足
，
，
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和；
(3)求证：对于
且
，
．
【变式训练8-9】已知数列
满足：
.
(1)求证：数列
和
均为等比数列；
(2)设
，数列
的前
项和为
，求证：
.
【变式训练8-10】已知数列
中，
，数列
的前n 项和为
，且
.
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）求证：
.
【变式训练8-11】已知数列
的前
项和为
，当
时，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）证明:当
时，
【变式训练8-12】已知数列
的前
项和为
，且满足
，
(1)求
和
(2)求证：
．
【变式训练8-13】已知数列
，
，
，
，
，
为数列
的前n 项和，
为数列
的前n 项和．
（1）求数列
的通项公式；
（2）求数列
的前n 项和
；
（3）求证：
．
【变式训练8-14】已知数列
前n 项积为
，且
．
(1)求证：数列
为等差数列；
(2)设
，求证：
．
【变式训练8-15】已知数列
中，
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求
的通项公式；
(3)令
，证明:
．
题型09: 与导数有关的数列不等式.
求解此类问题,通常先利用导数证明一个不等式,再把不等式中的自变量用
代换,通过累加或累乘法证明
所给不等式.
【典型例题1】已知函数
(1)若函数在
内点
处的切线斜率为
,求点
的坐标；
(2)①当
时,求
在
上的最小值；
②证明：
．
【答案】见解析
【解析】（1）设点
.
由于
,则
,得
,
则
,且
,所以点
的坐标为
.
（2）①
,
则
,记
,
则
易知
在
上单调递减,且
,
,即
,
所以,当
时,
,
在
上单调递增；
当
时,
,
在
上单调递减.
因为
,
所以
时,
,
在
单调递增,
所以,当
时,
取得最小值
.
②由①可知
,时
恒成立,即
恒成立.
设
,则
,
当
时,
,
在
上单调递增,
所以
,所以
,
又
,所以
,
取
,则
,
,得证.
【典型例题2】牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似解：如图设
是
的一个零点,任意
选取
作为
的初始近似值,过点
作曲线
的切线
,
与
轴的交点为横坐标为
,称
为
的
1 次近似值,过点
作曲线
的切线
,
与
轴的交点为横坐标为
,称
为
的2 次近似值．一
般地,过点
作曲线
的切线
,
与
轴的交点为横坐标为
,就称
为
的
次近似值,
称数列
为牛顿数列．
(1)若
的零点为
,
,请用牛顿切线法求
的2 次近似值；
(2)已知二次函数
有两个不相等的实数根
,数列
为
的牛顿数列,数列
满足
,且
．
（ⅰ）设
,求
的解析式；
（ⅱ）证明：
【答案】见解析
【解析】（1）
,所以
当
,所以
当
,
所以
的2 次近似值为
.
（2）（ⅰ）因为二次函数
有两个不等实根
,
所以不妨设
,
则
,
因为
所以
所以在横坐标为
的点处的切线方程为
令
则
即
,
所以
.
（ⅰⅰ）由（ⅰ）知,
所以
.
因为
所以
所以
.
令
则
,又
所以
,数列
是公比为2 的等比数列.
.
令
,则
当
时,
,所以
在
单调递减,
所以
,即
因为
所以
即
.
.
【变式训练9-1】已知函数
,
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)证明：对
,
恒成立（
为
的导数）；
(3)设
,证明：
（
）.
【变式训练9-2】帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m,n,函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
,且满足：
,
,
,…,
．注：
,
,
,
,…已知
在
处的
阶帕德近似为
．
(1)求实数a,b 的值；
(2)当
时,试比较
与
的大小,并证明；
(3)已知正项数列
满足：
,
,求证：
．
【变式训练9-3】已知函数
,数列
满足
正整数
(1)求
的最大值；
(2)求证：
；
(3)求证：
．
题型10:数学归纳法证明数列不等式
【典型例题1】设正项数列
的首项为4，满足
．
(1)求
，
，并根据前3 项的规律猜想该数列的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想．
【答案】(1)
，
；(2)见解析
【解析】（1）由首项及递推关系式逐次求得
，再根据前三项总结规律猜想出数列的通项公式；
（2）根据已知条件得到递推关系，利用递推关系按数学归纳法步骤证明即可.
(1)由
可得
，又
，则
，
，
则
，猜想
；
(2)由（1）得
，当
时，
，
①当
时，猜想显然成立；
②假设当
时成立，即
；
当
时，
，猜想成立，
由①②知猜想恒成立，即
.
【典型例题2】已知数列
满足
，前n 项和
．
(1)求
，
，
的值并猜想
的表达式；
(2)用数学归纳法证明（1）的猜想．
【答案】(1)
，
，
，
；(2)证明见解析.
【解析】（1）用赋值法即可求解，根据根据
，
，
，猜想可得
；
（2）利用数学归纳法的步骤证明即可.
(1)∵
，前n 项和
，
∴令
，得
，
∴
，
令
，得
，
∴
．
令
，得
，
∴
．
猜想
．
(2)用数学归纳法给出证明如下
①当
时，结论成立；
②假设当
(
，
)时，结论成立，
即
，
则当
时，
，
，
即
，
∴
，
∴
，
∴当
时结论成立．由①②可知，
对一切
都有
成立．
【变式训练10-1】设数列
满足
．
(1)求
的值并猜测通项公式
；
(2)证明上述猜想的通项公式．
【变式训练10-2】已知数列
的前
项和为
，其中
且
.
(1)试求：
，
的值，并猜想数列
的通项公式
；
(2)用数学归纳法加以证明.
【变式训练10-3】用数学归纳法证明
．
题型11: 数列不等式与三角函数综合
【典型例题1】已知函数
，记
的最小值为
，数列
的前n 项和为
，
下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若数列
满足
，则
【答案】见解析
【解析】A 选项，
，故
，
由基本不等式可得
，故
，当且仅当
时，等号成立，
故
，A 正确；
B 选项，由柯西不等式得
，
当且仅当
时，等号成立，
故
，
，故
，当且仅当
时，等号成立，
故
，
依次类推，可得
，当且仅当
等号成立，
故
，B 错误；
C 选项，设
，
，
则
在
上恒成立，
故
在
上单调递减，
所以
，故
在
上恒成立，
，C 正确；
D 选项，
，
，
故
，D 正确.
故选：ACD
【点睛】常见的裂项相消法求和类型：
分式型：
，
，
等；
指数型：
，
等，
根式型：
等，
对数型：
，
且
；
【典型例题2】设
,
.
(1)当
时,证明：
；
(2)证明：
.
【答案】见解析
【解析】（1）因为
定义域为
,
所以
,
所以
为定义在
上的偶函数,下取
,
可知
,令
则
在
内单调递增,可得
,
即
在
内恒成立,可知
在
内单调递增,
所以
在
内的最小值为
,结合偶函数性质可知：
.
（2）由（1）可得：
,当且仅当
时,等号成立,
即
,令
,则
,当
时,
,即
,
则有：
,
,
,
,
相加可得：
,
因为
,则
,所以
,
即
.
【变式训练11-1】已知首项为正数的等差数列
的公差为2，前
项和为
，满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)当
为偶数时，
，当
为奇数时，
.
【变式训练11-2】设正项数列
满足
，
，
．数列
满足
，其中
，
．已知如下结论：当
时，
．
(1)求
的通项公式．
(2)证明：
．
【变式训练11-3】同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，
，
且
．若
则称a 与b 关于模m 同余，记作
（modm）（“|”为整除符号）．
(1)解同余方程
（mod3）；
(2)设（1）中方程的所有正根构成数列
，其中
．
①若
（
），数列
的前n 项和为
，求
；
②若
（
），求数列
的前n 项和
．
【变式训练11-4】设f ( x)=sin x−x + 1
2 x
2．
（1）当x ≥0时，求证：f ( x)≥0；
（2）证明：对一切正整数n，都有sin1+sin 1
2
2 +sin 1
3
2 +sin 1
4
2 +⋯+sin 1
n
2 > 1
2 −
1
2(n+1)．
题型12: 数列不等式与概率统计
【典型例题】在足球比赛中,有时需通过点球决定胜负．
(1)扑点球的难度一般比较大,假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门,门将(也称
为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球,而且门将即使方向判断正确也有
的可能
性扑不到球．不考虑其它因素,在一次点球大战中,求门将在前三次扑到点球的个数
的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练,甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中,球从甲脚下开始,等可能
地随机传向另外
人中的
人,接球者接到球后再等可能地随机传向另外
人中的人,如此不停地传下去,假设传
出的球都能接住．记第
次传球之前球在甲脚下的概率为
,易知
．
① 试证明：
为等比数列；
② 设第
次传球之前球在乙脚下的概率为
,比较
与
的大小．
【答案】见解析
【解析】（1）解法一：依题意可得,门将每次可以扑到点球的概率为
,
门将在前三次扑到点球的个数
可能的取值为
易知
,所以
故
的分布列为：
0
1
2
3
所以
的数学期望
．
解法二：
的所有可能取值为
在一次扑球中,扑到点球的概率
,
所以
所以
的分布列如下：
0
1
2
3
所以的
数学期望：
（2）①第
次传球之前球在甲脚下的概率为
,
则当
时,第
次传球之前球在甲脚下的概率为
,
第
次传球之前球不在甲脚下的概率为
,
则
即
,又
,
所以
是以
为首项,公比为
的等比数列．
②由①可知
,所以
,
所以
,故
．
【变式训练12-1】不透明的袋子中装有大小相同的白球和彩球各1 个,将“连续两次从袋子中有放回地摸出1 个
小球”记为一次试验,若两次均摸到彩球,则试验成功并终止试验,否则在袋子中添加一个相同的白球,然后进行下
一次试验．
(1)若最多只能进行3 次试验,设试验终止时进行的次数为随机变量
,求
的分布列与数学期望；
(2)若试验可以一直进行下去,第次试验成功的概率记为
,求证：
．
【变式训练12-2】某射击运动员进行射击训练,已知其每次命中目标的概率均为
．
(1)若该运动员共射击6 次,求其在恰好命中3 次的条件下,第3 次没有命中的概率；
(2)该运动员射击训练不超过n（
）次,当他命中两次时停止射击（射击n 次后,若命中的次数不足两次也不
再继续）,设随机变量X 为该运动员的射击次数,试写出随机变量X 的分布列,并证明
．
题型13：新定义数列
【典型例题】已知有穷正项数列
,若将每个项依次围成一圈,满足每一项的平方等于相邻两项平方的
乘积,则称该数列可围成一个“HL-Circle”．例如：数列
都可围成“HL-Circle”．
(1)设
,当
时,是否存在
使该数列可围成“HL-Circle”,并说明理由：
(2)若
的各项不全相等,且可围成“HL-Circle”．
（i）求
的取值集合；
（ii）求证：
．
【答案】见解析
【解析】（1）由定义可得
,而
为正项数列,故
,
故
,
由最后两式可得
,故
,故
且
,
结合
可得
即
,故
,故
.
故存在
,使得数列
可围成“HL-Circle”,此时数列
为：
.
（2）（i）若
的各项不全相等,且可围成“HL-Circle”．
则由
,
结合
为正项数列可得
,
诸式相乘后可得
,
又上述关系式即为
(若下标大于
,则取下标除以
的余数).
故
,
故
(若下标大于
,则取下标除以
的余数).
所以
(若下标大于
,则取下标除以
的余数).
设
,
若
,则
即为
,故
,从而
,
,
而
,故
,故
,故
,从而
,
此时
均为1,与题设矛盾.
若
,则
即为
,而
,
,故
,此时
均为1,与题设矛盾.
若
,则
即为
,而
,所以
,故
,
从而
,
而
,故
,故
,
此时
均为1,与题设矛盾.
若
,则
即为
,而
,所以
,
而
,故
,故
,故
,
故
,故
,故
,
此时
均为1,与题设矛盾.
若
,则
,故
,
故
,故
,故
,故
,故
,
此时
均为1,与题设矛盾.
综上,
.
（ii）由均值不等式得
,
由上面三组数内必有一组不相等,否则
,
从而
与题设矛盾,
故等号不成立,从而
,
又
,由④和⑥得
因此由⑤得：
．
故原式得证.
【变式训练13-1】设有穷数列
的项数为
,若正整数
满足：
,则称
为数
列
的“
点”．
(1)若
,求数列
的“
点”；
(2)已知有穷等比数列
的公比为
,前
项和为
．若数列
存在“
点”,求正数
的取值范围；
(3)若
,数列
的“
点”的个数为
,证明：
．
【变式训练13-2】定义：若对于任意
,数列
满足：①
；②
,其中
的
定义域为
,则称
关于
满足性质
.
(1)请写出一个定义域为
的函数
,使得
关于
满足性质
；
(2)设
,若
关于
满足性质
,证明：
；
(3)设
,若
关于
满足性质
,求数列
的前
项和.
一、单选题
1.已知
，数列
满足
，且对一切
，有
，则（ ）
A．
是等差数列
B．
是等比数列
C．
是等比数列
D．
是等比数列
2.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦
娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列
：
，
，
，
…，依此类推，其中
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
3.0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列
满足
，且存在正整数
，使得
成立，则称其为0-1 周期序列，并称满足
的最小正整数
为这个序列的周期.
对于周期为
的0-1 序列
，
是描述其性质的重要指标，下列周期为5
的0-1 序列中，满足
的序列是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.艾萨克牛顿英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的
方法求函数
零点时给出一个数列
：
，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数
有两个零点1，2，数列
为牛顿数列．设
，已知
，
，
的前n 项和为
，则
等于（ ）
A．2022
B．2023
C．
D．
5.设等比数列
的公比为
，其前
项和为
，前
项积为
，并满足条件
，
，
则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
是数列
中的最大值
C．
D．数列
无最大值
二、多选题
1.意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最
美的数列，斐波那契数列
满足：
，
，
.若将数列的每一项按照下图方法放
进格子里，每一小格子的边长为1，记前
项所占的格子的面积之和为
，每段螺旋线与其所在的正方形所围
成的扇形面积为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.已知a，b 为正实数，且
，则
的取值可以为（ ）
A．1
B．4
C．9
D．32
3.已知a，b 为正实数，且
，则
的取值可以为（ ）
A．1
B．4
C．9
D．32
4.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原
理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．数列
的前
项和为
5.在数列
中，对于任意的
都有
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．对于任意的
，都有
B．对于任意的
，数列
不可能为常数列
C．若
，则数列
为递增数列 D．若
，则当
时，
6.2022 年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球．有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个边长
为1 的正六边形进行线性分形．如图，图（n）中每个正六边形的边长是图
中每个正六边形的边长的
．
记图（n）中所有正六边形的边长之和为
，则下列说法正确的是（ ）
A．图（4）中共有294 个正六边形 B．
C．
是一个递增的等比数列 D．记
为数列
的前n 项和，则对任意的
且
，都有
7.在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1 的常数列，
在此数列的第
项与第
项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前
项，从而形成新的数列
，数列
的前
项和为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8.已知数列
满足
，
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
为等比数列
C．
D．
9.下列命题中真命题有（ ）
A．若
，则
是钝角
B．数列
的前n 项和为
，若
，则
C．若定义域为
的函数
是奇函数，函数
为偶函数，则
D．若
，
分别表示
的面积，则
10.已知等差数列
的前n 项和为
，且
若存在实数a，b，使得
，且
，当
时，
取得最大值，则
的值可能为（ ）
A．13
B．12
C．11
D．10
11.将
个数排成
行
列的数阵，如图所示：该数阵第一列的
个数从上到下构成以
为公差的等差数列，每
一行的
个数从左到右构成以
为公比的等比数列（其中
0）.已知
，记这
个数的和为
，下面叙述正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12.在数列
中，已知
是首项为1，公差为1 的等差数列，
是公差为
的等
差数列，其中
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
B．若
，则
C．若
，则
D．当
时，
三、填空题
1.已知数列
中，
，且满足
，若对于任意
，都有
成立，则
实数
的最小值是_________.
2.已知数列
满足
（
），设数列
的前
项和为
，若
，
，则
___________.
3.若数列
满足
，则称数列
为牛顿数列.如果
，数列
为牛顿数列，
设
，且
，则
__________；数列
的前
项和为
，则
__________.
4.意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列1，1，2，3，5，8，13，…，数列中的每一项被称
为斐波那契数，用符号
表示（
），已知
，
，
（
）.
（1）若
，则
___________；
（2）若
，则
___________.
5.著名的斐波那契数列
满足
，
，其通项公式为
，
则
是斐波那契数列中的第______项；又知高斯函数
也称为取整函数，其中
表
示不超过
的最大整数，如
，
，则
______.（
6.已知数列
的前
项和为
，
，
，则数列
_____________．
7.已知数列
满足
，
，
且
，则
______________.
8.已知数列
满足
，
，且
．则数列
的通项公式
为________．若
，则数列
的前
项和为________．
