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专题6 利用算术平方根√a(a≥0）的双重非负性解题技巧（解析版）
第一部分 典例剖析+变式训练
类型一 运用a≥0求字母的取值范围
√3x+1
典例1（2022春•九龙坡区校级月考）在函数y= 中自变量x的取值范围是（ ）
4
1 1 1 3
A．x＞− B．x≥− C．x≠− D．x≥−
3 3 3 4
思路引领：根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得：3x+1≥0，
1
解得：x≥− ，
3
故选：B．
总结提升：本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关
键．
变式训练
1．（2022春•海珠区期末）式子√x−3有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3 D．x≤3
思路引领：根据负数没有平方根进行解答即可．
解：∵√x−3有意义，
∴x﹣3≥0，
即x≥3，
故选：C．
总结提升：本题考查算术平方根，理解负数没有平方根是解决问题的关键．
2．（2022秋•南江县月考）若√31−a+√a−1有意义，则a的取值范围是 ．
思路引领：因为任何实数都有立方根，负数没有平方根，列不等式，可得结论．
解：由题意知：a﹣1≥0，
a≥1，
∴a的取值范围是：a≥1．
故答案为：a≥1．
总结提升：此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，掌握立方根、算术平方根成立的条件是解题关键．
类型二 利用的 、 、 非负性求值
典例2 （2021秋•永定区期末）已知|x﹣1|+√x−2y+5=0．
（1）求x与y的值；
（2）求x+y的算术平方根．
思路引领：（1）直接利用算术平方根以及绝对值的性质分析得出答案；
（2）结合（1）中所求，结合算术平方根的定义分析得出答案．
解：（1）∵|x﹣1|+√x−2y+5=0，而|x﹣1|≥0，√x−2y+5≥0，
{ x−1=0
∴ ，
x−2y+5=0
{x=1
解得： ；
y=3
（2）x+y＝1+3＝4．
∵4的平方根为±2，
∴x+y的算术平方根为2．
总结提升：此题主要考查了算术平方根以及绝对值，正确得出x，y的值是解题关键．
变式训练
1．（2020秋•青白江区校级月考）已知x、y满足 |y﹣3x﹣1|＝0，求y2﹣5x的算术平方根．
√(x+1) 2+
思路引领：根据绝对值的性质以及算术平方根即可求出答案．
解：由题意可知：x+1＝0，y﹣3x﹣1＝0，
∴x＝﹣1，y＝3x+1＝﹣3+1＝﹣2，
∴y2﹣5x＝4+5＝9，
∴9的算术平方根是3，
即y2﹣5x的算术平方根是3．
总结提升：本题考查算术平方根和绝对值的非负性，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
2．（2020秋•龙泉驿区校级月考）若√a+8与（b﹣27）2互为相反数，求√3 a−√3 b．
思路引领：由于√a+8与（b﹣27）2互为相反数，那么它们的和为0，然后根据非负数的性质即可得到
它们每一个等于0，由此即可得到关于a、b的方程，解方程即可求解．
解：∵√a+8与（b﹣27）2互为相反数，∴√a+8+（b﹣27）2＝0，
而√a+8≥0，（b﹣27）2≥0，
∴√a+8=0，（b﹣27）2＝0，
∴a＝﹣8，b＝27，
∴√3 a−√3 b=−2﹣3＝﹣5．
总结提升：此题主要考查了立方根的定义和非负数的性质，解题的关键是非负数的性质：如果几个非负
数的和为0，那么每一个非负数都为0．
3．（2022•红塔区一模）已知a，b都是实数，若√a−3+|b+2|＝0，写出一个比（a﹣b）的值小的正整数：
．
思路引领：根据非负数的定义求出a、b的值，再求出（a﹣b）的值即可．
解：∵√a−3+|b+2|＝0，
∴a﹣3＝0，b+2＝0，
即a＝3，b＝﹣2，
∴a﹣b＝3﹣（﹣2）＝5，
比5小的正整数有4、3、2、1，
故答案为：1或2或3或4．
总结提升：本题考查非负数的性质，理解绝对值，算术平方根的非负性是正确解答的关键．
类型三 利用 （a≥0求值）
典例3 已知a，b为实数，且√a−3−2√3−a=b+4．
（1）求a，b的值；
（2）求a﹣b的算术平方根．
思路引领：（1）直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而得出b的值；
（2）直接利用算术平方根的定义得出答案．
解：（1）∵√a−3与√3−a都有意义，
{a−3≥0
∴ ，
3−a≥0
解得：a＝3，
∴b＝﹣4；
（2）由（1）得：a﹣b＝3﹣（﹣4）＝7，
∴a﹣b的算术平方根是：√7．总结提升：此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出a，b的值是解题关键．
变式训练
1．（2019春•蜀山区期末）若x−√y+√−y=1，则x﹣y的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
思路引领：直接利用二次根式的性质得出y的值，进而得出答案．
解：∵√y与√−y都有意义，
∴y＝0，
∴x＝1，
故选x﹣y＝1﹣0＝1．
故选：B．
总结提升：此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
2．（2020秋•崇川区校级月考）已知a，b为实数，且√1+a−(b−1)√1−b=0，求a2020﹣b2021的值．
思路引领：由已知条件得到√1+a+（1﹣b）√1−b=0，利用二次根式有意义的条件得到1﹣b≥0，再
根据几个非负数和的性质得到1+a＝0，1﹣b＝0，解得a＝﹣1，b＝1，然后根据乘方的意义计算a2020﹣
b2021的值．
解：∵√1+a−(b−1)√1−b=0，
∴√1+a+（1﹣b）√1−b=0，
∵1﹣b≥0，1+a≥0，
∴1+a＝0，1﹣b＝0，
解得a＝﹣1，b＝1，
∴a2020﹣b2021＝（﹣1）2020﹣12021＝1﹣1＝0．
总结提升：本题考查了非负数的性质：算术平方根具有非负性．非负数之和等于 0时，各项都等于0，
利用此性质列方程解决求值问题．
3．（2022春•重庆月考）求值
（1）已知a、b满足√2a+8+|b−√3|＝0，解关于x的方程（a+2）x2﹣b2＝a﹣1．
（2）已知x、y都是实数，且y=√x−3+√3−x+4，求yx的平方根．
思路引领：（1）直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出a，b的值，进而求出答案；
（2）直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，进而得出答案．
解：（1）∵a、b满足√2a+8+|b−√3|＝0，
∴2a+8＝0，b−√3=0，
解得：a＝﹣4，b=√3，则（a+2）x2﹣b2＝a﹣1，可以化为：﹣2x2﹣3＝﹣4﹣1，
故﹣2x2＝﹣2，
则x2＝1，
解得：x＝±1；
（2）∵y=√x−3+√3−x+4，
∴x＝3，y＝4，
∴yx＝64的平方根是：±8．
总结提升：此题主要考查了二次根式有意义的条件以及非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
的式子
类型四 化简形如
典例4（2022秋•九龙坡区期末）如图实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简 |c
√b2−√(a−c) 2−
﹣b| ．
+√3 c3=
思路引领：利用数轴得到a，b，c的取值范围，再利用绝对值的意义，二次根式的性质和立方根的意义
化简运算即可．
解：由题意得：a＜0，b＜0，c＞0，
∴a﹣c＜0，c﹣b＞0．
∴原式＝|b|﹣|a﹣c|﹣（c﹣b）+c
＝﹣b+a﹣c﹣c+b+c
＝a﹣c．
故答案为：a﹣c．
总结提升：本题主要考查了实数的运算，实数与数轴，绝对值的意义，二次根式的性质和立方根的意义，
利用数轴得到a，b，c的取值范围是解题的关键．
变式训练
1．（2022春•金乡县期中）如图，实数a，b在数轴上的位置，化简 ．
√a2−√(a−b) 2=思路引领：直接利用数轴得出：﹣1＜a＜0，0＜b＜1，则a﹣b＜0，再利用二次根式的性质化简得出答
案．
解：由数轴可得：﹣1＜a＜0，0＜b＜1，则a﹣b＜0，
故原式＝﹣a﹣（b﹣a）
＝﹣a﹣b+a
＝﹣b．
故答案为：﹣b．
总结提升：此题主要考查了实数运算，正确化简各式是解题关键．
2．（2021秋•仓山区校级期末）若1≤x≤4，则：|1﹣x| 化简的结果为 ．
−√(x−4) 2
思路引领：先把 |x﹣4|，根据1≤x≤4，利用绝对值的性质进行化简，然后计算．
√(x−4) 2=
解：∵1≤x≤4，
∴|1﹣x|
−√(x−4) 2
＝|1﹣x|﹣|x﹣4|
＝x﹣1﹣（4﹣x）
＝x﹣1﹣4+x
＝2x﹣5；
故答案为：2x﹣5．
总结提升：本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质的应用，其中绝对值的性质
的应用是解题关键
第二部分 专题提优训练
一．选择题（共3小题）
1．（2022•湘西州）要使二次根式√3x−6有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≤2 D．x≥2
思路引领：根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
解：∵3x﹣6≥0，
∴x≥2，
故选：D．
总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题
的关键．2．（2022•南京模拟）式子√x−3有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3 D．x≤3
思路引领：根据负数没有平方根进行解答即可．
解：∵√x−3有意义，
∴x﹣3≥0，
即x≥3，
故选：C．
总结提升：本题考查算术平方根，理解负数没有平方根是解决问题的关键．
3．（2020春•乳山市期末）若|2a+1−b|+√5+a+b=0，则ab＝（ ）
1 1
A． B．− C．8 D．﹣8
8 8
思路引领：根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性、负整数指数幂解决此题．
解：∵|2a+1﹣b|≥0，√5+a+b≥0，
∴当|2a+1−b|+√5+a+b=0，则2a+1﹣b＝0，5+a+b＝0．
∴a＝﹣2，b＝﹣3．
1
∴ab=(−2) −3=− ．
8
故选：B．
总结提升：本题主要考查绝对值、算术平方根、负整数指数幂，熟练掌握绝对值的非负性、算术平方根
的非负性、负整数指数幂是解决本题的关键．
二．填空题（共4小题）
4．（2021•东莞市校级二模）若√3+a+|b﹣2|＝0，则（a+b）2020的值为 1 ．
思路引领：首先根据非负数的性质可求出a、b的值，进而可求出a、b的和．
解：∵√3+a+|b﹣2|＝0，
∴a+3＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣3，b＝2；
因此a+b＝﹣3+2＝﹣1．
则（a+b）2020＝（﹣1）2020＝1．
故答案为：1．
总结提升：此题主要考查了非负数的性质，关键是掌握初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；
（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为 0时，必须满足其中的每一项都等于
0．根据这个结论可以求解这类题目．5．（2021春•无为市月考）实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|b| 的结果为 0
+√(a+b) 2+√3 a3
．
思路引领：先根据数轴上点的坐标特点确定a，b的符号，再去绝对值符号和开立方根，化简即可．
解：由图可得，a＜0＜b，且|a|＞|b|，
所以a+b＜0，
则|b|
+√(a+b) 2+√3 a3
＝b﹣（a+b）+a
＝0．
故答案为：0．
总结提升：考查了数轴，解答此题时可以发现借助数轴化简含有绝对值的式子，比较有关数的大小有直
观、简捷，举重若轻的优势．
6．（2019春•越秀区校级期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：
√a2−√b2−√(b−1) 2=
．
思路引领：直接利用数轴结合二次根式的性质化简得出答案．
解：由数轴可得：a＜0，0＜b＜1，则b﹣1＜0，
故原式＝﹣a﹣b﹣（1﹣b）
＝﹣a﹣b﹣a+b﹣1
＝﹣2a﹣1．
故答案为：﹣2a﹣1．
总结提升：此题主要考查了实数与数轴，正确化简各式是解题关键．
7．（2020春•赣州期中）已知|a|＝4，（√b）2＝3，且|a+b|＝﹣a﹣b，则a﹣b的值为 ．
思路引领：先利用二次根式的被开方数的非负性及平方运算，得出 b的值；再利用绝对值的含义得出a
的可能值；然后利用关系式|a+b|＝﹣a﹣b得出a+b＜0，从而可确定a的值，进而可求得a﹣b的值．
解：∵（√b）2＝3，
∴b＝3，∵|a|＝4，
∴a＝﹣4或a＝4；
∵|a+b|＝﹣a﹣b，
∴a+b＜0，
∵3+（﹣4）＜0，3+4＞0，
∴a＝﹣4，a＝4（舍）；
∴a﹣b＝﹣4﹣3＝﹣7．
故答案为：﹣7．
总结提升：本题考查了二次根式与绝对值的化简与求值，牢固掌握相关运算法则是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
8．（2021秋•和平县期中）已知|x−2|+√y+4=0，求yx的值．
思路引领：根据绝对值和偶次方的非负性求出x、y的值，再代入计算即可．
解：∵|x﹣2|+√y+4=0，
∴x﹣2＝0，y+4＝0，
∴x＝2，y＝﹣4，
∴yx＝（﹣4）2＝16．
总结提升：本题考查非负数的性质，平方根，掌握算术平方根、绝对值的非负性是正确解答的前提．
9．已知|a+1|+√3a−2b−1=0，求4a+5b2的算术平方根．
思路引领：根据平方与绝对值的和为零，可得平方与绝对值同时为零，可得 a、b的值；将a和b的值
代入待求式，求值，并求其算术平方根即可．
解：∵|a+1|+√3a−2b−1=0，
∴a+1＝0，3a﹣2b﹣1＝0，
∴a＝﹣1，b＝﹣2，
∴4a+5b2＝4×（﹣1）+5×4＝16，
∴4a+5b2的算术平方根为4．
总结提升：本题考查了算术平方根，利用了平方与绝对值的和为零，得出平方与绝对值同时为零是解题
关键．
10．（2019秋•浦东新区校级月考）已知实数x、y满足x2﹣12x+√y+4+36＝0，求√x−3 y的值．
思路引领：根据二次根式的性质和非负数的性质解答即可．
解：∵x2﹣12x+√y+4+36＝0，
∴x2﹣12x+36+√y+4=0，∴（x﹣6）2+√y+4=0，
∴x﹣6＝0，y+4＝0，
∴x＝6，y＝﹣4，
∴√x−3 y=√6−3×(−4)=√18=3√2，
即√x−3 y的值是3√2．
总结提升：本题考查了二次根式和非负数的性质．解决本题的关键是能够灵活运用二次根式的性质和非
负数的性质．
11．已知√x−4+|3﹣x|＝x，求x的值．
思路引领：先利用二次根式有意义的条件得到x≥4，再去绝对值得到√x−4=3，然后解无理方程即可．
解：根据题意得x﹣4≥0，解得x≥4，
所以√x−4+x﹣3＝x，
即√x−4=3，
所以x﹣4＝9，
解得x＝13，
经检验x＝13为方程的解，
所以x的值为13．
总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方
数是非负数．
12．若已知x，y，z为实数，并且 0，试求（x+y+z）2021的值．
√x+3+√(y−1) 2+√z2−2z+1=
思路引领：根据二次根式的性质进行化简，然后利用算术平方根和绝对值的非负性确定x，y，z的值，
从而代入求值．
解：∵ 0，
√x+3+√(y−1) 2+√z2−2z+1=
∴ 0，
√x+3+√(y−1) 2+√(z−1) 2=
∴√x+3+|y﹣1|+|z﹣1|＝0，
又∵√x+3≥0，|y﹣1|≥0，|z﹣1|≥0，
∴x+3＝0，y﹣1＝0，z﹣1＝0，
解得：x＝﹣3，y＝1，z＝1，
∴原式＝（﹣3+1+1）2021＝（﹣1）2021＝﹣1，
即（x+y+z）2021的值为﹣1．总结提升：本题考查完全平方公式及算术平方根和绝对值的非负性，理解二次根式的性质，掌握完全平
方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2的结构是解题关键．
13．已知实数a、b、c满足√b−4+|a+1|=√b−c+√c−b．
（1）求证：b＝c；
（2）求﹣a+b+c的平方根．
{b−c≥0
思路引领：（1）根据二次根式有意义的条件可知 ，可解得b＝c；
c−b≥0
（2）根据非负数的性质求出a，b，c的值，再根据平方根的定义求出﹣a+b+c的平方根．
解：（1）∵实数a、b、c满足√b−4+|a+1|=√b−c+√c−b，
{b−c≥0
∴根据二次根式有意义的条件可知 ，
c−b≥0
解得b＝c；
（2）∵实数a、b、c满足√b−4+|a+1|=√b−c+√c−b，b＝c，
∴√b−4+|a+1|＝0，
∴b﹣4＝0，a+1＝0，
∴b＝c＝4，a＝﹣1，
∴﹣a+b+c＝1+4+4＝9，
∴﹣a+b+c的平方根为±3．
总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件以及非负数的性质，解题的关键是掌握二次根式有意义的
条件是被开方数为非负数．
