第10 讲 二次求导解决导数问题
目
录
思维导图..................................................................................................................................................................................1
高考分析..................................................................................................................................................................................1
学习目标..................................................................................................................................................................................2
知识要点..................................................................................................................................................................................2
解题策略..................................................................................................................................................................................3
题型归纳..................................................................................................................................................................................4
题型01： 利用二次求导求函数的极值或参数的范围...............................................................................................................4
题型02： 利用二次求导证明不等式......................................................................................................................................10
题型03： 利用二次求导求函数的单调性...............................................................................................................................16
题型04： 二次求导的综合应用.............................................................................................................................................19
巩固提升................................................................................................................................................................................28
1. 考查定位：高考导数解答题的核心进阶考点，多在压轴题（20/21 题） 第2 问出现，侧重考查函数单调性、极
值、最值、不等式恒成立/证明、零点问题，是区分高分段考生的关键题型。
2. 考查频率：全国卷（甲/乙）、新高考Ⅰ/Ⅱ卷年均考查，地方卷（浙江、江苏等）高频出现，近5 年考频超
80%，常与含参函数、指数/对数/三角函数结合考查。
3. 分值占比：单独考查占4-6 分，常与一次求导结合构成完整解答题，整体导数题分值约12 分，二次求导是解题
的核心突破口。
4. 命题特点：题干函数多为复合型函数，一次求导后f’(x)仍含超越函数/无法直接判断符号，需通过二次求导
f''(x)分析f’(x)的单调性，进而反推原函数f(x)的性质。
1. 逻辑推理：能通过二次求导建立“f''(x)符号→f’(x)单调性→f’(x)零点/符号→f(x)单调性”的推理链，体现层层
递进的逻辑思维。
2. 运算求解：掌握复合函数、乘积/商的求导法则，能准确计算一次、二次导数，处理含参二次导数的符号判断
（分类讨论/参变分离）。
3. 数形结合：能通过f''(x)分析f’(x)的图像特征（单调增/减、极值点），结合f’(x)的零点划分原函数的单调区
间。
4. 分类讨论：针对含参二次导数，能根据参数范围（如a>0/a=0/a<0、参数临界值）讨论f’(x)的单调性和符号，
避免漏解。
构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标
函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了。而在有些函数问题中，
如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数
的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才
能解决问题. 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。
解决这类题的常规解题思路
求函数的导数f '( x)
，无法判断导函数正负；设
，再求
，求出
的解，
即得到函数
的单调性，得到函数
的最值，即可得到
的正负情况，即可得到函数
的单调性.
当一次求导后满足以下任一条件，需用二次求导：
1. f’(x)中含超越函数（e
x、lnx、sin x、cos x），无法直接解f’(x)=0 或判断f’(x)符号；
2. f’(x)为抽象/复杂代数式，单调性不明确，求导后可简化符号判断；
3. 题目要求证明高阶单调性（如f(x)在区间上单调递增且增速越来越快/慢）。
典型示例：f(x)=e
x - x - ln x，f’(x)=e
x - 1 -1
x ，无法直接判断符号，需二次求导f''(x)=e
x + 1
x
2> 0，分析f’(x)
的单调性。
核心解题策略（四步核心法）
步骤1：求导定基，判断是否需二次求导
求原函数f(x)的定义域→计算一次导数f’(x)→分析f’(x)的结构，若无法直接判断符号/求零点，立即求二次导数
f''(x)。
步骤2：分析二次导数，确定一次导数的单调性
1. 计算f''(x)，化简后判断其恒正/恒负或零点；
2. 若f''(x) > 0（或<0）在定义域内恒成立，则f’(x)在定义域上单调递增/递减；
3. 若f''(x)有零点x0，则以x0为界划分f’(x)的单调区间。
步骤3：找一次导数的零点，划分原函数单调区间
1. 零点存在性定理：结合f’(x)的单调性，找两个点x1<x2，使得f’(x1)f’(x2) < 0，确定f’(x)有唯一零点x0；
2. 临界值分析：若f’(x)在区间端点处的极限/函数值可求，结合单调性确定f’(x)的符号分布；
3. 根据f’(x) > 0 或f’(x) < 0，划分原函数f(x)的单调增/减区间。
步骤4：结合原函数单调性，解决最终问题
1. 极值/最值：根据单调区间确定f(x)的极值点，计算极值/端点值，比较得最值；
2. 不等式恒成立：将问题转化为f(x)min≤k（或f(x)max≥ k），代入极值/最值求解参数范围；
3. 零点问题：结合f(x)的单调性+端点函数值符号，判断零点个数；
4. 不等式证明：构造辅助函数g(x)=f(x)-h(x)，通过二次求导分析g(x)的单调性，证明g(x)≥ 0（或≤0）。
高频易错点规避
1. 定义域遗漏：求导前未确定f(x)的定义域，导致后续分析区间错误（如含\ln x 时x>0，含分式时分母≠0）；
2. 求导错误：复合函数、乘积求导法则用错（如(e
xlnx)’=e
xlnx +e
x
x
，避免漏项）；
3. 零点判断失误：未验证f’(x)的单调性，直接断言f’(x)无零点，或未用零点存在性定理，主观猜测零点；
4. 含参讨论混乱：未找到参数的临界值（如f''(x)=0 的参数解），讨论维度混乱，漏解/重复解；
5. 逻辑断层：二次求导后未明确“f''(x)→f’(x)→f(x)”的推理关系，直接跳过f’(x)分析原函数性质。
题型01： 利用二次求导求函数的极值或参数的范围
【典型例题1】若不等式
对任意的
都恒成立，则整数
的最大值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】因为
变形
令
求导：
，令
求导
在
上
为增函数；
令
=0，零点
满足
即
，
所以在
时，
是单减，
在
时，
是单增的
，再令
，
,
所以，
，
取整数，那么
的最大值是4
【典型例题2】已知实数
，设函数
（1）当
时，求函数
的单调区间；
（2）对任意
均有
求
的取值范围.（e=2.71828…为自然对数的底数）
【答案】见解析
【解析】：（Ⅰ）当
时，
．
，
所以，函数
的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+
）．
（Ⅱ）由
，得
．当
时，
等价于
．
令
，则
．设
，则
．
（i）当
时，
，则
．
记
，则
.
所以，
．
因此，
．
（ii）当
时，
．
令
，则
，
故
在
上单调递增，所以
．
由（i）得
．所以，
．
因此
．
由（i）（ii）得对任意
，
，
1
0
+
单调递减
极小值
单调递增
即对任意
，均有
．
综上所述，所求a 的取值范围是
【变式训练1-1】已知关于
的不等式
在
上恒成立，则整数
的最小值为（ ）
（最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B．
【解析】【第一种解法（排除法）（秒杀）】：令
时，
化简：
；
令
时，
，化简
你还可以在算出3,4，选择题排除法。B 为最佳选项。
【第二种解法（二次求导）】：
构造
求导
，令
，即
，
再令
，
在
，
，
在
上是单调递减，
设点
，
在
递减；
在
递增，
所以
=
，
，
，
所以m 的最大值是2.
【变式训练1-2】已知实数
，设函数
．（
为自然对数的底数）
（1）求函数
的单调区间；
（2）当
时，若对任意的
，均有
，求
的取值范围．
【答案】见解析
【解析】（I）由
( )
(
1)=0
ax
ax
f
x
a e
a
a e
，解得
0
x
．
①若
0
a
，则当
(0,
)
x
时，
( )
0
f
x
，故
( )
f x
在(0,
)
内单调递增；
当
(
,0)
x
时，
( )
0
f
x
，故
( )
f x
在(
,0)
内单调递减．
②若
0
a
，则当
(0,
)
x
时，
( )
0
f
x
，故
( )
f x
在(0,
)
内单调递增；
当
(
,0)
x
时，
( )
0
f
x
，故
( )
f x
在(
,0)
内单调递减．
综上所述，
( )
f x
在(
,0)
内单调递减，在(0,
)
内单调递增．
（II）
2
( )
(
1)
2
a
f x
x
≥
，即
2
(
1)
2
ax
a
e
x
≥
（﹡）．
令
0
x
，得1
2
a
≥
，则
1
2
2
a
≤
．
当
1
x
时，不等式（﹡）显然成立，
当
( 1,
)
x时，两边取对数，即
2ln(
1)
ln 2
a
ax
x
≥
恒成立．
令函数
( )
2ln(
1)
ln 2
a
F x
x
ax
，即
( )
0
F x ≤
在( 1,
)
内恒成立．
由
2
2
(
1)
( )
=0
1
1
a x
F x
a
x
x
，得
2
1
1
x
a
．
故当
2
( 1,
1)
x
a
时，
( )
0
F x
，
( )
F x 单调递增；当
2
(
1 + )
x
a
，
时，
( )
0
F x
，
( )
F x
单调递减.
因此
2
2
( )
(
1)
2ln
2
ln
2
ln
2
2
a
a
F x
F
a
a
a
a
≤
．
令函数( )
2
ln 2
a
g a
a
，其中
1
2
2
a
≤
，
则
1
1
( )
1
0
a
g a
a
a
，得
1
a
，
故当
1
( ,1)
2
a
时，
( )
0
g a
，( )
g a 单调递减；当
(1,2]
a
时，
( )
0
g a
，( )
g a 单调
递增．
又
1
3
( )
ln 4
0
2
2
g
，(2)
0
g
，
故当
1
2
2
a
≤
时，( )
0
g a ≤
恒成立，因此
( )
0
F x ≤
恒成立，
即当
1
2
2
a
≤
时，对任意的
[ 1,
)
x，均有
2
( )
(
1)
2
a
f x
x
成立
【变式训练1-3】已知函数
.
（1）若
在
上有两个不同的实根，求实数
的取值范围；
（2）若
，证明：
存在唯一的极大值点
，且
.
【答案】见解析
【解析】（1）由
，得
，即
.
令
，求导
，令
，得
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，
所以
.易知当
时，
，当
时，
，
故可作出函数
的大致图象，如图所示：
由图象可知，当
时，直线
与
的图象有两个不同的交点，
故当
在
上有两个不同的实根，实数
的取值范围为
.
（2）证明：由题知
，求导
，
令
，求导
，令
，得
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
又
，
，
，
，由零点存在性定理及
的单调性知，方程
在
上有唯一的根，
设为
，则
，从而
有两个零点
和，
当
和
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
所以
存在唯一的极大值点
，
，且
，即
.
，
当且仅当
，即
，故等号不成立，所以
.
【变式训练1-4】已知函数
.
（1）若函数
在区间
上为增函数，求
的取值范围；
（2）当
且
时，不等式
在
上恒成立，求
的最大值.
【答案】见解析
【解析】（1）∵
，又函数
在区间
上为增函数
∴当
时，
恒成立.∴
.
∴
的取值范围为
.
（2）当
时，
.故不等式
，∴
即
对任意
恒成立，令
，则
，
令
，（
）则
，∴
在
上单增.
又
，
，
∴存在
，使
，即当
时
即
.当
时，
，即
∴
在
上单减，在
上单增.令
，即
.
∴
，
∴
且
，即
.
题型02： 利用二次求导证明不等式
【典型例题】已知函数f ( x)=( x+1)ln x−x+1
.
（1）若xf '( x)≤x2+ax +1，求a 的取值范围；
（2）证明：( x−1)f ( x)≥0 .
【答案】见解析
【解析】（1）函数的定义域为（0，+∞），
f '( x)=ln x+ 1
x
，xf '( x)≤x2+ax +1⇔xln x+1≤x2+ax +1
， ⇔a≥ln x−x⇔a≥(ln x−x)max .
令
g( x)=ln x−x
g
则'( x)=1
x −1,
当0<x<1时，g'(x)>0,g(x)递增；
x
当>1时，g'(x)<0,g(x)递减，
从而当x=1 时，g(x)max=g(1)=−1
，
故所求a 的范围是[-1,+∞﹚.
(2)由(1)知,ln x−x+1≤0
,则
①0<x<1
时，f ( x)=xln x+(ln x−x+1)≤0
；
②
x≥1时，f ( x)=ln x+( xln x−x+1)=ln x−x(ln 1
x −1
x +1)≥0
.
综上可知，不等式成立.
我们也可以运用二阶导数的方法加以证明：
【二次求导的巧妙运用】:令
F(x)=(x−1)f (x),要证明F（x ）≥0,只需证F（x)min≥0
.
因
F'（x）=f (x)+(x−1)f '(x)
=( x+1)ln x−x+1+( x−1)(ln x+ 1
x )
=2 xln x−( x+ 1
x )+2
，
显然当x=1
时，
F '( x)=0
，
当0<x<1
时，
x+ 1
x >2,ln x<0, F '( x)<0
，
F( x)
在（0,1﹚递减；
当x>1
时，
x+ 1
x >2,ln x>0
，
F '(x)
的符号仍不能判定，求二阶导数得：
[ F '( x)]'=2ln x+1+ 1
x2 >0
，
从而F '(x)
在x>1
时递增，F '( x)>F '(1)=0
，F( x)
在[ 1,+∞﹚递增，
所以当x=1
时，
F( x)min=F(1)=0
，故F( x)≥0
成立，原不等式成立.
【变式训练2-1】已知函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
（Ⅰ）求
，
的值；
（Ⅱ）证明：当
，且
时，
．
【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）
由于直线
的斜率为
，且过点
，故
即
，解得
，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，所以
考虑函数
，则
所以当
时，
当
时，
当
时，
从而当
【变式训练2-2】已知函数
，且
．
(1)求
；
(2)证明：
存在唯一的极大值点
，且
．
【答案】见解析
【解析】（1）
的定义域为
．
设
，则
，
等价于
．
因为
，
，故
，而
，
，得
．
若
，则
．
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增．
所以
是
的极小值点，故
．综上，
．
（2）由（1）知
，
．
设
，则
．
当
时，
；当
时，
．
所以
在
单调递减，在
单调递增．
又
，
，
，所以
在
有唯一零点
，在
有唯一零点1，且当
时，
；当
时，
；当
时，
．
因此
，所以
是
的唯一极大值点．
由
得
，故
．
由
得，
．
因为
是
在
的最大值点，由
，
得
．
所以
．
【变式训练2-3】已知函数
.
（1）证明：曲线
在点
处的切线恒过定点；
（2）若
有两个零点
，
，且
，证明：
.
【答案】见解析
【解析】（1）函数
的定义域为
，由
，得
，则
，
又
，则曲线
在点
处的切线的方程为
，即
，
显然恒过定点
.
（2）若
有两个零点
，
，则
，
，得
.
因为
，令
，则
，
得
，则
，
所以
.
令
，则
，
令
，则
，
则
在
上单调递增，所以
.
所以
，则
在
上单调递增，
所以
，即
，故
.
【变式训练2-4】已知函数
．
（1）若
对
恒成立：求实数a 的取值范围；
（2）当
时，证明：
．
【答案】见解析
【解析】（1）因为
，所以
，
.
当
时，显然
，则
在
上单调递增，所以
，不合题意；
当
时，由
得
，则
在
上单调递增，所以存在
，
使
，不合题意；
当
时，因为
，所以
，则
在
上单调递减，所以
.
综上可知，实数
的取值范围是
.
（2）当
时，
，要证
，
只需证
，即证
（*）.
令
（
），则
，
令
（
），则
，
则
在
上单调递减，所以
，即
，
所以
在
上单调递减.由（*）可知，只需证
（
）.
令
（
），则
，所以
在
上单调递增，
所以对任意
，
，即
.故原不等式成立.
【变式训练2-5】函数
，
，
为常数．
（1）当
时，若
，求
的值；
（2）当
时，证明：对任意
，
．
【答案】见解析
【解析】（1）因为
，所以
，
，解得：
．
（2）因为
，所以
，则
要证
，只需证
．设
则
，
设
，
，故
单调递增．
又因为
，
，所以存在
，使得
，
即
，所以
，当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增．所以当
时，
取得最小值．
由
知
，所以
，
所以
，故
，从而
．
题型03：利用二次求导求函数的单调性
【典型例题】已知函数
（
k
为常数，
71828
.2
e
是自然对数的底数），曲线
在点
处的切线与x
轴平行．
（Ⅰ）求
k
的值；
（Ⅱ）求
的单调区间；
（Ⅲ）设
，其中
是
的导数．
【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）由
=
x
e
k
x
ln
可得
)
(x
f
x
e
x
k
x
ln
1
，而
0
)1(
f
，
即
0
1
e
k
，解得
1
k
；
（Ⅱ）
)
(x
f
x
e
x
x
ln
1
1
，令
0
)
(
x
f
可得
1
x
，
当
1
0
x
时，
0
ln
1
1
)
(
x
x
x
f
；当
1
x
时，
0
ln
1
1
)
(
x
x
x
f
．
于是
)
(x
f
在区间
)1,0
(
内为增函数；在
)
,1(
内为减函数。
（Ⅲ）
x
x
e
x
x
x
x
e
x
x
x
x
x
g
ln
)
(
1
ln
1
1
)
(
)
(
2
2
2
=
因此对任意的
0
x
，
2
1
e
x
g
等价于
设
所以
因此
时，
，
时，
所以
，故
。
设
，
则
，
∵
，∴
，
，∴
，即
∴
，对任意的
0
x
，
2
1
e
x
g
证明：对任意的
，
．
【变式训练3-1】
（1）已知
，证明：当
时，
；
（2）证明：当
时，
有最小值，记
最小值为
，求
的值域.
【答案】见解析
【解析】（1）证明：
在
上单调递增，
时，
即
，
时，
成立 .
（2）
由
在
上单增且
知存在唯一的实数
，使得
，即
单减；
单增
，
满足
记
，则
在
上单
所以
的值域为
【变式训练3-2】已知函数
.
（1）若
，讨论函数
的单调性；
（2）已知
，若
在
内有两个零点，求
的取值范围.
【答案】见解析
【解析】（1）
的定义域为(0,+∞)，
.
①当
时，令
，得到
；令
，得到
，此时
在(0,1)上为减函数，
在(1,+∞)上为增函数；
②当
时，令
，得到
；令
，得到
或
，此时
在(a,1)上为减函数，
在(0,a)和
上为增函数；
③当a=1 时,显然
恒成立，此时
在0,+∞)上为增函数；
④当a>1 时,令
，得到
；令
，得到
或
.此时
在(1,a)上为减函数,在(0,1)和
(a,+∞)上为增函数.
综上：①当
时，
在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数；
②当
时，
在(a,1)上为减函数，在(0,a)和
上为增函数；
③当a=1 时，
在0,+∞)上为增函数；
④当a>1 时，
在(1,a)上为减函数,在(0,1)和(a,+∞)上为增函数.
（2）
在
内有两个零点，即关于x 方程
在
上有两个不相等的实数根.
令
则
，
令
，则
，
显然
在
上恒成立,故
在
上单调递增.
因为p(1)=0，所以当
，有
，即
所以
单调递减；
当
，有
，即
所以
单调递增；
因为
，所以a 的取值范围
题型04：二次求导的综合应用
【典型例题1】已知
存在
，使得
，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】作出函数
的图象，如图所示，
因为存在
当
时，
，所以
，
因为
在
上的最小值为
在
上的最小值为
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，
令
（
），所以
为开口向上，对称轴为
上抛物线，
所以
在区间
上递增，
所以当
时，
，当
时，
，即
的取值范围是
，
故选A．
【典型例题2】已知函数
，其中ｅ是自然数的底数，
。
（１）当
时，解不等式
；
（２）若
在［－１，１］上是单调增函数，求
的取值范围；
（３）当
时，求整数ｋ的所有值，使方程
在［ｋ，ｋ＋１］上有解。
【答案】见解析
【解析】⑴因为
，所以不等式
即为
，
又因为
，所以不等式可化为
，
所以不等式
的解集为
．
⑵
，
①当
时，
，
在
上恒成立，当且仅当
时
取等号，故
符合要求；
②当
时，令
，因为
，
所以
有两个不相等的实数根
，
，不妨设
，
因此
有极大值又有极小值．
若
，因为
，所以
在
内有极值点，
故
在
上不单调．
若
，可知
，
因为
的图象开口向下，要使
在
上单调，因为
，
必须满足
即
所以
.
综上可知，
的取值范围是
⑶当
时, 方程即为
，由于
，所以
不是方程的解，
所以原方程等价于
，令
，
因为
对于
恒成立，
所以
在
和
内是单调增函数，
又
，
，
，
，
所以方程
有且只有两个实数根，且分别在区间
和
上，
所以整数
的所有值为
．
【典型例题3】已知函数
( )
, ( )
ln
x
x
f x
e
ax g x
e
x
（1）设曲线
( )
y
f x
在
1
x
处的切线与直线
(
1)
1
x
e
y
垂直，求a
的值
（2）若对任意实数
0,
( )
0
x
f x
恒成立，确定实数a
的取值范围
（3）当
1
a 时，是否存在实数
0
[1, ]
x
e
，使曲线C：
( )
( )
y
g x
f x
在点
0
x
x
处的切线与
y
轴垂直？若存在，
求出
0x
的值，若不存在，说明理由
【答案】见解析
【解析】（1）
( )
x
f
x
e
a
， 因此
( )
y
f x
在
1,
(1)
f
处的切线l 的斜率为e
a
，
又直线
(
1)
1
x
e
y
的斜率为
1
1 e
， ∴（e
a
）
1
1 e
＝－1，
∴ a ＝－1.
（2）∵当x
≥0 时，
( )
x
f x
e
ax
0
恒成立，
∴ 先考虑x
＝0，此时，
( )
x
f x
e
，a 可为任意实数；
又当x
＞0 时，
( )
x
f x
e
ax
0
恒成立，
则
xe
a
x
恒成立， 设
( )
h x
＝
xe
x
，则
( )
h x
＝
2
(1
)
x
x e
x
，
当x
∈(0,1)时，
( )
h x
＞0，
( )
h x
在(0,1)上单调递增，
当x
∈(1,＋∞)时，
( )
h x
＜0，
( )
h x
在(1,＋∞)上单调递减，
故当x
＝1 时，
( )
h x
取得极大值，
max
( )
(1)
h x
h
e
，
∴ 实数a 的取值范围为
,e
．
（3）依题意，曲线C 的方程为
ln
x
x
y
e
x
e
x
，
令
( )
u x
＝
ln
x
x
e
x
e
x
，则
( )
ln
1
x
x
x
e
u x
e
x
e
x
设
1
( )
ln
1
v x
x
x
，则
2
2
1
1
1
( )
x
v x
x
x
x
，
当
1,
x
e
，
( )
0
v x
，故( )
v x
在
1,e
上的最小值为(1)
0
v
，
所以
( )
v x
≥0，又
0
xe
，∴
1
( )
ln
1
1
x
u x
x
e
x
＞0，
而若曲线C：
( )
( )
y
g x
f x
在点
0
x
x
处的切线与
y
轴垂直，
则
0
(
)
u x
＝0，矛盾。
所以，不存在实数
0
1,
x
e
，使曲线C：
( )
( )
y
g x
f x
在点
0
x
x
处的切线与y
轴垂直.
【变式训练4-1】已知函数
，则
=（ ）
A. 0 B. 1 C.
D.
【答案】D.
【解析】：已知
，
，所以原式化为
故选D．
【变式训练4-2】已知函数
,若
，其中
，则
的取值范围
【答案】
【解析】由题意得：
，
从而得到
，所以
，
构造函数，求导：
，
，
+
0
_
单调递增
极大值
单调递减
的最大值为
，故此
的取值范围为
【变式训练4-3】设a∈R，函数
（
），其中
是自然对数的底数．
（Ⅰ） 判断函数
在R 上的单调性；
（Ⅱ） 当
时，求函数
f ( x)
在[1，2]上的最小值．
【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）
f
'( x)=−1
2 e−x(ax 2+a+1)+ 1
2 e−x⋅2ax =1
2 e−x(−ax 2+2ax −a−1)
．
由于
1
2 e−x>0
, 只需讨论函数g(x)=−ax 2+2ax −a−1的符号:
当a = 0 时, g( x)=−1<0
，即f '( x)<0 ，函数f ( x)
在R 上是减函数；
当a>0 时, 由于Δ=4 a2−4(a2+a)=−4 a<0，可知g(x)<0, 即f
'(x)<0，函数f ( x)在R 上是减函数；
当a<0 时, 解g( x)=0得x=1±√−a
a
，且1+ √−a
a
<1−√−a
a
．
在区间(−∞,1+√−a
a )和区间(1−√−a
a
,+∞)上，g( x)>0, 即f
'( x)>0，函数f ( x)是增函数；在区间
(1+√−a
a
,1−√−a
a )上，g( x)<0, 即f
'( x)<0，函数f ( x)是减函数
综上可知：当a≥0 时，函数f ( x)在R 上是减函数；当a<0 时, 函数f ( x)在区间(−∞,1+√−a
a )上是增函数；在区间
(1+ √−a
a
,1−√−a
a )上是减函数；在区间(1−√−a
a
,+∞)上是增函数．
（Ⅱ） 当−1<a<0 时，1+ √−a
a
<1, 1−√−a
a
>2,
所以, 函数f ( x)在区间[1，2]上是减函数，其最小值是
f (2)=5a+1
2e2 ．
【变式训练4-4】设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).
（1）若x=0 是F(x)的极值点,求a 的值；（2）当 a=1 时,设P(x1,f(x1)), Q(x2, g(x 2))(x1≥0,x2≥0), 且PQ//x 轴,求P、Q 两
点间的最短距离；（3）若x≥>0 时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(－x)的图象上方,求实数a 的取值范围．
【答案】见解析
【解析】(Ⅰ)F(x)= ex+sinx－ax,
．
因为x=0 是F(x)的极值点,所以
．
又当a=2 时,若x<0,
;若 x>0,
．
∴x=0 是F(x)的极小值点, ∴a=2 符合题意．
(Ⅱ) ∵a=1, 且PQ//x 轴,由f(x1)=g(x2)得:
,所以
．
令
当x>0 时恒成立．
∴x∈[0,+∞
时,h(x)的最小值为h(0)=1．∴|PQ|min=1．
(Ⅲ)令
则
．
因为
当x≥0 时恒成立,
所以函数S(x)在
上单调递增,
∴S(x)≥S(0)=0 当x∈[0,+∞
时恒成立;
因此函数
在
上单调递增,
当x∈[0,+∞
时恒成立．
当a≤2 时,
,
在[0,+∞
单调递增,即
．
故a≤2 时F(x)≥F(－x)恒成立．
【变式训练4-5】已知三次函数
的最高次项系数为a，三个零点分别为
.
⑴ 若方程
f ( x)
x
+2 x+7 a=0
有两个相等的实根，求a 的值；
⑵若函数
在区间
(−∞, a
3 )
内单调递减，求a 的取值范围.
【答案】见解析
【解析】（1）依题意，设
∵
f ( x)
x
+2 x+7 a=0 有两个相等实根，
即
有两个相等实根，∴Δ=(2a−2)2−4 a⋅4 a=0 ，
即a=1
3 或a=−1。
（2）
在(−∞, a
3 )
内单调递减，
在(−∞, a
3 )
恒成立，
【变式训练4-6】 对于三次函数
．
定义：（1）设
是函数
的导数
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”；
定义：（2）设
为常数，若定义在
上的函数
对于定义域内的一切实数
，都有
成立，则函数
的图象关于点
对称．
己知
，请回答下列问题：
（1）求函数
的“拐点”
的坐标
（2）检验函数
的图象是否关于“拐点”
对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证
明）
（3）写出一个三次函数
，使得它的“拐点”是
（不要过程）
【答案】见解析
【解析】（1）依题意，得：
，
。
由
，即
。∴
，又
，
∴
的“拐点”坐标是
。
（2）由(1)知“拐点”坐标是
。而
=
=
=
，
由定义(2)知：
关于点
对称。
一般地，三次函数
的“拐点”是
，它就是
的对称中心。
（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函
数………）都可以给分
（3）
或写出一个具体的函数,如
或
。
【变式训练4-7】已知函数
( )
ln
f x
x
x
．
（I）求函数
( )
f x
的单调递减区间；
（II）若
2
( )
6
f x
x
ax
在
(0,
)
上恒成立，求实数a 的取值范围；
（III）过点
2
(
,0)
A
e
作函数
( )
y
f x
图像的切线，求切线方程．
【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）
'( )
ln
1
f
x
x
'( )
0
f
x
得ln
1
x
1
0
x
e
函数
( )
f x 的单调递减区间是
1
(0, )
e ；
（Ⅱ）
2
( )
6
f x
x
ax
即
6
ln
a
x
x
x
设
6
( )
ln
g x
x
x
x
则
2
2
2
6
(
3)(
2)
'( )
x
x
x
x
g x
x
x
当
(0,2)
x
时
'( )
0
g x
，函数( )
g x
单调递减；
当
(2,
)
x
时
'( )
0
g x
，函数( )
g x
单调递增；
( )
g x
最小值(2)
5
ln 2
g
实数a 的取值范围是(
,5
ln 2]
；
（Ⅲ）设切点
0
0
(
,
)
T x
y
则
0
'(
)
AT
k
f
x
0
0
0
0
2
ln
ln
1
1
x
x
x
x
e
即
2
0
0
ln
1
0
e x
x
设
2
( )
ln
1
h x
e x
x
，当
0
x
时'( )
0
h x
( )
h x 是单调递增函数
( )
0
h x
最多只有一个根，又
2
2
2
2
1
1
1
(
)
ln
1
0
h
e
e
e
e
0
2
1
x
e
由
0
'(
)
1
f
x
得切线方程是
2
1
0
x
y
e
.
一、单选题
1．设函数
在区间
上的导函数为
，
在区间
上的导函数为
，若在区间
上
恒成立，则称函数
在区间
上为“凸函数”；已知
在
上为“凸函
数”，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
由题意
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
分离参数
，而
在
上的最大值为2，
所以实数
的取值范围是
.故选：D.
2．已知二次函数
的图象过点
，且当
时，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
知
，∴
，
∴
，令
，则
，
，令
，令
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
如图，若
图象在
图象上方，则
，
要使
图象在
图象上方，则
表示x 轴截距的相反数，
的最小值即为截距的最大值，而当截距最大时，直线
与
相切，
记切点为
，则
，又
，
所以
，
有
，设
，
则
，
故当
时，函数
，当
时，
，
故当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
此时
，综上，
的最小值为
.故选：D.
3．设实数
，那么
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，令
，
令
，
，
在
上是减函数，
，
在
上是减函数，
又
，
，即
，故选：C.
4．若关于x 的不等式
恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，
，
设函数
，则
，
令
，故
，
所以函数
在
上单调递减，而
，
故当
时，
，当
时，
，
故函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
，则
.故选：B．
5．若关于
的不等式
在
上有解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得
，又关于
的不等式
在
上有解，
所以
在
上有解，即
，
令
，
，则
，
设
，
，则
，
即
在
上单调递增，则
，
于是有
，从而得
在
上单调递增，
因此，
，则
，
所以
的取值范围是
.故选：D
6．已知函数
，若函数
与
有相同的最小值，则
的最大值为
（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】根据题意，求导可得，
，
∵
（
），∴
在
上单调递增，
又∵当
时，
，
∴当
时，
，即函数
在
上单调递减，
当
时，
，即函数
在
上单调递增，
故有
，即得
，
所以根据题意，若使
，需使
的值域中包含
，
即得
，故
的最大值为2.故选：B.
7．在关于
的不等式
（其中
为自然对数的底数）的解集中，有且仅有
两个大于2 的整数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，化简得：
，
设
，
，则原不等式即为
.
若
，则当
时，
，
，
原不等式的解集中有无数个大于2 的整数，∴
.
∵
，
，∴
.
当
，即
时，设
，
则
.
设
，则
在
单调递减，所以
，所以
在
单调递减，∴
，
∴当
时，
，∴
在
上为减函数，
即
，
∴当
时，不等式
恒成立，
原不等式的解集中没有大于2 的整数.
要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2 的整数，
则
，即
，解得
.则实数
的取值范围为
.故选：D
8．已知
，若
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，令
，则
，
易知
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，
所以
，又
的定义域为
，所以
在
和
上单调递减，
又
，
，
，
，所以
．故选：B．
9．若关于
的不等式
在
上有解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得
，又关于
的不等式
在
上有解，
所以
在
上有解，即
，
令
，
，则
，
设
，
，则
，
即
在
上单调递增，则
，
于是有
，从而得
在
上单调递增，
因此，
，则
，
所以
的取值范围是
.故选：D
10．已知函数
，若
，使得
在
恒成立，则
的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【解析】依题意，
，令
，则
．
令
，
，∴
时，
，即
单调递增，
∵
，
，设
并记其零点为
，
故
．且
，所以当
时，
，即
，
单调递减；当
时，
即
，
单调递增，所以
，因此
，由于
且
，即
，所以
，故选:C
二、多选题
1．已知函数
有两个极值点
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】由题意知，函数
的定义域为
，
，则
的两根为
，
由
，得
，设
，则
，
令
，令
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
，作出函数
与函数
的图像，如图，
由图可知
，解得
，故A 错误；
又
，令
，令
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
由
，得
，所以
，
又
，所以
，
故函数
在
和
上单调递减，在
上单调递增，
有
，故C 错误；
，故D 正确；
设
，
则
，即函数
关于点
对称，
，令
，
则
，
当
时，
，
，
所以在
上，
，函数
单调递减，且
，
则在
上
，即
，函数
单调递增，
又
关于点
对称，所以函数
在
单调递增，
所以
，有
，
又
，所以
，由
，
得
，又函数
在
单调递增，
所以
，即
，故B 正确.
故选：BD
2．已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．f（x）无最大值
B．f（x）有唯一零点
C．f（x）在（0，＋∞）单调递增
D．f（0）为f（x）的一个极小值
【答案】ACD
【解析】
，记
因为
，且
，
在区间
上显然递增，
所以记
为
的零点，则有
所以当
时，
，
在
上单调递增，
又因为
，所以当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
有极小值，D 正确；
由上可知，
在
上单调递增，且当x 趋近于正无穷时，
也趋于正无穷，故AC 正确；
易知
，故B 错误
故选：ACD
3．已知函数
，则（ ）
A．当
，
时，
B．当
时，
有最值
C．当
时，
为减函数
D．当
仅有一个整数解时，
【答案】ACD
【解析】对于A，当
时，
，令
因为
在
上单调递增，所以当
时，
所以
，即
，故A 正确；
对于B，当
时，
，
令
，则
所以当
时，
，
单调递增
当
时，
，
单调递减
所以
，即
，
所以
在
上单调递减，没有最值，故B 错误；
对于C，
，
令
，则
因为
，所以由
可得
，由
可得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
令
，则
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，所以
为减函数，故C 正确
对于D，由
可得
，令
，则
，
所以当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减
的图象如下：
表示的是过点
的直线，所以当
仅有一个整数解时，
，故D 正确.
故选：ACD
三、填空题
1．已知
是
上的偶函数，当
时，
，且
对
恒成立，则
实数
的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
，
故
为增函数，当
时，
，可得
为增函数.
又
为偶函数，故
，
恒成立.
因为
，
，
所以有
，故答案为：
2．已知函数
.若
是
的极大值点，则正实数a 的取值范围为
_________________.
【答案】
【解析】由题知
，且
，
令
，则
，
①若
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，所以
，所以
在
上单调递增；
所以
.因此
不可能是
的极大值点.
②若
，令
，
当
时，
，
所以
即
在
上单调递增.
又因为
，
，
因此存在
满足：
，所以当
时，
，
所以
在
上单调递减，
，
所以当
时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递增；在
上单调递减；
综上，当
是
的极大值点时，
.
故答案为：
3．已知
，若方程
在
上有唯一实根，则实数a 的取值范围为______．
【答案】
【解析】当
时，方程
可化为
，
，
设
，则
，
设
，则
，
设
，则
，
因为
，所以
，所以
在
上单调递增，
又
，
，所以存在
，使得
，
当
时，
，
，函数
单调递减，
当
时，
，
，函数
单调递增，
又
，
，所以存在
，使得
，
当
时，
，
，函数
单调递增，
当
时，
，
，函数
单调递减，
作函数
的图象如下，
又
，因为方程
在
上有唯一实根，
所以函数
与函数
的图象有且只有一个交点，
所以
，所以
，所以实数a 的取值范围为
，
4．若对任意正实数
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由
，
，得
，
设
，即
恒成立，
，
，
所以
在
上单调递减，且
，
所以当
时，
；当
时，
；
即函数
在
上单调递增，在
单调递减，
故当
时，
取最大值为
，即
，所以
，故答案为：
.
5．若对任意正实数
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由
，
，得
，
设
，即
恒成立，
，
，
所以
在
上单调递减，且
，
所以当
时，
；当
时，
；
即函数
在
上单调递增，在
单调递减，
故当
时，
取最大值为
，即
，所以
，故答案为：
.
6．已知函数
，若
，且
对任意的
恒成立，则
的最大值为______．
【答案】4
【解析】由
，则
对任意的
恒成立，即
对任意的
恒成立，令
，则
，令
，则
，
所以函数
在
单调递增，因为
，所以方程
在
上存在唯一
实根
，且满足
，当
时，
，即
，当
时，
，即
，所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，又
，
所以
，故
，所以
，所以实
数
的最大值为
．
四、解答题
1．已知函数
，
.
(1)若函数
在区间
上的最小值为3，求实数
的值；
(2)若不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】见解析
【解析】(1)因为
，
，
，
所以当
时，则
在
上单调递增，
的最小值为
不符合，舍去；
当
时，则
在
上单调递减，在
上单调递增，在
的最小值为
，则
不
符合，舍去；
当
时，
在
上单调递减，
的最小值为
，则
．
(2)
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
设
，
，
，设
，
在
上恒为
正，则
在
上单调递增，
，则
在
上单调递增，
.
所以
，即实数
的取值范围为
.
2．已知函数
，
.
(1)若函数
在区间
上的最大值为20，求实数a 的值；
【答案】见解析
【解析】(1)函数
的定义域为R，
，
①当
时，
，故函数
单调递增，
有
，解得
；
②当
时，令
，解得
或
，
令
，解得
，
所以函数
的增区间为
，
，减区间为
.
当
即
时，函数
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
得
或
.
解得
（舍去）或
舍去）；
当
即
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
得
，解得
（舍去）；
当
即
时，函数
在
上单调递减，
得
，解得
.
综上知
或
；
(2)
可化为
，整理，得
，
即
在
上恒成立，令
，
则
，
令
，则
，所以函数
在
上单调递增，且
，
所以当
时
；当
时
，故函数
的增区间为
，减区间为
，
所以
，得
，即实数a 的取值范围为
.
3．已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若不等式
在
上恒成立，求实数k 的取值范围．
【答案】见解析
【解析】(1)因为
，所以
，
所以
，因为
所以函数
为增函数，又
，
所以当
时
，当
时，
，
所以函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
(2)将
化为
，设
，
则
，
由（1）可知，
是
上的增函数，且
，
①当
时，
，函数
在区间
上单调递增，故
，符合题意；
②当
时，
，故存在
，使得
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上为减函数，在
上为增函数，
故
，不等式不恒成立．
综上，实数k 的取值范围为
．
4．已知函数
．
(1)判断函数
的单调性．
(2)证明：
．
【答案】见解析
【解析】(1)因为
，所以
．
令
，则
，可得
在
上单调递减，所以
．
因为当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减．
(2)证明：令
，
则
．
令
，则
，所以
在
上单调递增．
因为
，
，所以存在
，使得
，
所以当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，所以
．
因为
，且
，所以
，所以
．
令
，
，则
，所以
在
上单调递减，
所以
，所以
，所以
．
5．已知函数
.
(1)当
时，证明：
；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】见解析
【解析】(1)当
时，
，则
，
易知函数
，
都是R 上的减函数，所以
是R 上的减函数，
又
，所以当
时，
；当
时，
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，故
.
(2)由
，得
，
设
，则
，
设
，则
，
当
时，易知
，所以
在R 上是减函数，即
在R 上是减函数.
又
，
，所以存在
，使得
，
当
时，
，
单调递增，则
，不符合题意；
当
时，由（1）可知
，满足题意；
当
时，易知
在
上单调递减，又
，则
在
上单调递减，即
在
上单调递减.
又
，
，则存在
，使得
，
所以当
时，
，
单调递减，则
，不符合题意；
当
时，因为
，所以不符合题意.
综上可知，实数
的取值范围为
.
6．已知函数
.
（1）若函数
在
上单调递减，求
的取值范围；
（2）若
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】见解析
【解析】（1）因为函数
在
上单调递减，
所以
在
上恒成立，则
在
上恒成立；
令
，则
，
令
，得
，
单调递减；令
，得
，
单调递增；
则
的最小值为
，所以
.
（2）令
，当
时，
.
令
，
令
，
，所以
在
上单调递增.
因为
，所以
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增.故
，满足条件；
综上：
.
7．已知
，函数
，
．
（1）讨论函数
的极值；
（2）若
，当
时，求证：
．
【答案】见解析
【解析】（1）因为
，则
，
当
时，对
，
，则
在
是增函数，此时函数不存在极值；
当
时，
，令
，解得
，
若
，则
，若
，则
，当
时，
取得极小值
，
所以当
时，
没有极值点，当
时，
有一个极小值
；
（2）
时，设
，
，
求导得
，设
，
，
则
，当且仅当
时取“=”，
于是得
在
单调递增，
，即
，从而得
在
上单调递增，
因此有
，即
，
所以
在
上恒成立.
8．已知函数
.
（1）若
，讨论函数
的单调性；
（2）已知
，若
在
内有两个零点，求
的取值范围.
【答案】见解析
【解析】（1）
的定义域为(0,+∞)，
.
当
时，令
，得到
；令
，得到
，
此时
在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数；
②当
时，令
，得到
；令
，得到
或
，此时
在(a,1)上为减函数，在
(0,a)和
上为增函数；
③当a=1 时,显然
恒成立，此时
在0,+∞)上为增函数；
④当a>1 时,令
，得到
；令
，得到
或
.此时
在(1,a)上为减函数,在(0,1)和
(a,+∞)上为增函数.
综上：①当
时，
在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数；
②当
时，
在(a,1)上为减函数，在(0,a)和
上为增函数；
③当a=1 时，
在0,+∞)上为增函数；
④当a>1 时，
在(1,a)上为减函数,在(0,1)和(a,+∞)上为增函数.
（2）
在
内有两个零点，即关于x 方程
在
上有两个不相等的实数根.
令
则
，
令
，则
，
显然
在
上恒成立,故
在
上单调递增.
因为p(1)=0，所以当
，有
，即
所以
单调递减；
当
，有
，即
所以
单调递增；
因为
，所以a 的取值范围
9．已知函数
满足
，且曲线
在
处的切线方程为
．
（1）求
，
，的值；
（2）设函数
，若
在
上恒成立，求
的最大值．
【答案】见解析
【解析】（1）由已知得
，且函数
的图象过点
，
，
则
解得
，
，
．
（2）由（1）得
．若
在
上恒成立，
则
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
因为
，所以
，从而可得
在
上恒成立．
令
，则
，
令
，则
恒成立，
在
上为增函数．
又
，
，
所以存在
，使得
，得
，且当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增．则
．
又
，所以
，代入上式，得
．
又
，所以
．因为
，且
，所以
，故
的最大值为3．
10．已知函数
．
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若函数
有两个极值点，求实数
的取值范围．
【答案】见解析
【解析】（1）由题意得，
的定义域为
，
，
当
时，
，函数
在
上单调递增．
当
时，令
，解得
，
时，
，函数
在
上单调递减；
时，
，函数
在
上单调递增．
综上所述，当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）由题意得
，求导得
，
设
，求导可得
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，函数
至多有一个极值点，不合题意．
当
时，令
，解得
，
时，
，函数
在
上单调递增，
时，
，函数
在
上单调递减，
所以函数
在
处取得极大值，也是最大值，为
．
因为函数
有两个极值点等价于函数
有两个不同的零点，
所以
，即
，解得
．
当
时，
，
，
，
，
令
，则
，故
在
上单调递增，
，即
，所以
，
又
在
上单调递增，在
上单调递减，所以函数
有两个极值点，
所以实数
的取值范围是
．
11．已知函数
.
(1)若关于
的不等式
恒成立，求
的取值范围；
(2)若
，
是
的两个极值点，且
，证明：
.
【答案】见解析
【解析】(1)因为
恒成立，所以
，
即
.
令函数
，则
恒成立.
令函数
，则
，
当
时，
，当
时，
，
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
，
因为
，所以
在
上单调递增，
所以
等价于
，即
恒成立，
令函数
，则
，当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，
故
的取值范围是
；
(2)因为
是
的两个极值点，所以
是方程
的两个根，
令
，则
，有（1）的讨论可知，
若
存在两个零点，
，且
，
由
，即
，
因为
，
所以
，
即需证
恒成立，由
可得
，
令
，则
，
，
所以
等价于
，即
，
令函数
，
，则
，
所以
在
上单调递减，所以
，即
，
故
；
12．已知函数
，且0 是
的一个极值点．
(1)求
的单调区间；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】见解析
【解析】(1)函数
的定义域为
，
因为0 是
的一个极值点，所以
，
所以
，解得
，所以
，
且
，
令
，则
，
当
时，
，函数
单调递减，又
当
时，
，
，函数
单调递减，
当
时，
，
，函数
单调递增，
所以
为函数的极大值点，
所以
，且函数
的递增区间有
，递减区间有
；
(2)由(1)
，
所以
可化为
，
当
时，不等式
可化为
，可得
,
当
时，不等式
可化为
，
设
或
，则
，
设
，则
所以
单调递增，又
，
所以当
时，
，
，
当
，
，
，
所以函数
在
和
上都为增函数，
取
，
，
设
，则
当
时，
，
所以
单调递增，而
，
所以当
时，
，
所以当
时，
，
所以
或
的最小值为h(-1),即
，
所以当
时，
没有最小值，
但其取值能无限趋近
，
又
恒成立，所以
，所以
，
综上
13．已知
，函数
，
．
（1）讨论函数
的极值；
（2）若
，当
时，求证：
．
【答案】见解析
【解析】（1）因为
，则
，
当
时，对
，
，则
在
是增函数，此时函数不存在极值；
当
时，
，令
，解得
，
若
，则
，若
，则
，当
时，
取得极小值
，
所以当
时，
没有极值点，当
时，
有一个极小值
；
（2）
时，设
，
，
求导得
，设
，
，
则
，当且仅当
时取“=”，
于是得
在
单调递增，
，即
，从而得
在
上单调递增，
因此有
，即
，所以
在
上恒成立.
14．已知函数
（1）当
时，求
图象在点
处的切线方程；
（2）当
且
时，证明
有且仅有两个零点.
【答案】见解析
【解析】（1）当
时，
则
，
则
，又
，则
图象在点
处的切线方程为
；
（2）由
，
则
恒成立，
单调递增；
又
；
，
则必然存在一点
，使得
，且
，
，
单减，
，
，
单增，即
，则
，
故若
有且仅有两个零点，则
，只需最小值点不在
处取得即可，
即
，即
，故当
且
时，
有且仅有两个零点.
15．已知函数
，
.
（1）若
在
上为单调递减函数，求
的取值范围；
（2）设函数
有两个不等的零点
，且
，若不等式
恒成立，求正实数
的取值
范围．
【答案】见解析
【解析】（1）
，由
，令
，
，
当
时，
；当
时，
．
在
上为单调递增函数，
在
上为单调递减函数.
，
.
（2）
函数
有两个不等的零点
且
，
，两式相除得
，
若证不等式
恒成立，即证
，
即证
，令
，
，
.
①
时，
，
在
上为单调递减函数，
，
在
为单调递增函数，
，
满足条件.
②
时，当
时，
，
在
上为单调递增函数，
，
在
上为单调递减函数．
，
不满足条件，舍去.
综上，正实数
．
16．已知函数
满足
，且曲线
在
处的切线方程为
．
（1）求
，
，的值；
（2）设函数
，若
在
上恒成立，求
的最大值．
【答案】见解析
【解析】（1）由已知得
，且函数
的图象过点
，
，
则
解得
，
，
．
（2）由（1）得
．若
在
上恒成立，
则
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
因为
，所以
，从而可得
在
上恒成立．
令
，则
，
令
，则
恒成立，
在
上为增函数．
又
，
，
所以存在
，使得
，得
，且当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增．则
．
又
，所以
，代入上式，得
．又
，所以
．
因为
，且
，所以
，故
的最大值为3．
17．记
，
为
的导函数．若对
，
，则称函数
为
上的“凸函数”．
已知函数
，
．
（1）若函数
为
上的凸函数，求
的取值范围；
（2）若函数
在
上有极值，求
的取值范围．
【答案】见解析
【解析】（1）
，
若函数
为
上的凸函数，则
，即
，
令
，
，则当
时，
，
当
时，
；当
时，
；
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增，
，
，解得：
，
的取值范围为
.
（2）
，
，
在
上有极值，
在
有变号零点，
，令
，则
，
，
，
在
上单调递增，
；
①当
，即
时，
，
在
上单调递增，
．即
，
在
无零点，不合题意；
②当
，即
时，则
，使得
，
当
时，，
，
单调递减，
又
，当
时，
，
在
上无零点；
当
时，
，
单调递增，又
时，
，
在
上有零点，且在零点左右两侧
符号相反，即该零点为
的变号零点，
在
上有极值；
综上所述：
的取值范围为
.
18．已知函数
．
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若函数
有两个极值点，求实数
的取值范围．
【答案】见解析
【解析】（1）由题意得，
的定义域为
，
，
当
时，
，函数
在
上单调递增．当
时，令
，解得
，
时，
，函数
在
上单调递减；
时，
，函数
在
上单调递增．
综上所述，当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）由题意得
，求导得
，
设
，求导可得
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，函数
至多有一个极值点，不合题意．
当
时，令
，解得
，
时，
，函数
在
上单调递增，
时，
，函数
在
上单调递减，
所以函数
在
处取得极大值，也是最大值，为
．
因为函数
有两个极值点等价于函数
有两个不同的零点，
所以
，即
，解得
．
当
时，
，
，
，
，
令
，则
，故
在
上单调递增，
，即
，所以
，
又
在
上单调递增，在
上单调递减，所以函数
有两个极值点，
所以实数
的取值范围是
．
19．已知函数
，
．
（1）当
时，若
在点
，
切线垂直于
轴，求证：
；
（2）若
，求
的取值范围．
【答案】见解析
【解析】（1）由题意可知
，
则
，设切点为
，
，
则由
，解得
，则
，即
，故等式得证；
（2）解：因为
，其中
，
所以
对
恒成立，令
，
则
，即
，
令
，则
，其中
，
则
为
上的增函数，
又因为
（1）
，
，
所以存在
，使得
，
即
，即
，
又因为
在
上单调递增，故
，即
，
又当
时，
，所以
为减函数，当
时，
，所以
为增函数，
所以
，
所以
的取值范围为
，
．
20．已知函数
.
（1）当
时，求曲线
在
处的切线方程；
（2）若对任意的
，都有
，求
的取值范围.
【答案】见解析
【解析】（1）当
时，
，
，
所以切线的斜率
，
，切点为
，
所以切线方程为：
，即
（2）若对任意的
，都有
，
取
，则
可得：
，
由
可得：
，
，所以
在
单调递增，
，
，即
，因为
，
，
所以存在
，使得
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
若对任意的
，都有
，只需
解得：
，
所以
的取值范围是
.
21．已知函数
．
（1）若
，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若
，求证：函数
存在极小值；
（3）若对任意的实数
，
恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】见解析
【解析】（1）当
时，
，所以
．
所以
．曲线
在点
处的切线方程为
．
（2）由
，得
．
令
，则
．当
时，
，当
时，
，
所以
在区间
上是减函数，在区间
上是增函数．
所以
的最小值为
．
当
时，
，
．又
在
单调递增，
故存在
，使得
，在区间
上
，在区间
上
．
所以，在区间
上
，在区间
上
，
所以，在区间
上
单调递减，在区间
上
单调递增，故函数
存在极小值．
（3）对任意的实数
，
恒成立，等价于
的最小值大于或等于
．
①当
时，
，由（2）得
，所以
．
所以
在
上单调递增，所以
的最小值为
．
由
，得
，满足题意．
②当
时，由（2）知，
在
上单调递减，
所以在
上
，不满足题意．
综上所述，实数a 的取值范围是
．
