第10 讲 二次求导解决导数问题
目
录
思维导图..................................................................................................................................................................................1
高考分析..................................................................................................................................................................................1
学习目标..................................................................................................................................................................................2
知识要点..................................................................................................................................................................................2
解题策略..................................................................................................................................................................................3
题型归纳..................................................................................................................................................................................4
题型01： 利用二次求导求函数的极值或参数的范围...............................................................................................................4
题型02： 利用二次求导证明不等式........................................................................................................................................7
题型03： 利用二次求导求函数的单调性.................................................................................................................................9
题型04： 二次求导的综合应用.............................................................................................................................................10
巩固提升................................................................................................................................................................................15
1. 考查定位：高考导数解答题的核心进阶考点，多在压轴题（20/21 题） 第2 问出现，侧重考查函数单调性、极
值、最值、不等式恒成立/证明、零点问题，是区分高分段考生的关键题型。
2. 考查频率：全国卷（甲/乙）、新高考Ⅰ/Ⅱ卷年均考查，地方卷（浙江、江苏等）高频出现，近5 年考频超
80%，常与含参函数、指数/对数/三角函数结合考查。
3. 分值占比：单独考查占4-6 分，常与一次求导结合构成完整解答题，整体导数题分值约12 分，二次求导是解题
的核心突破口。
4. 命题特点：题干函数多为复合型函数，一次求导后f’(x)仍含超越函数/无法直接判断符号，需通过二次求导
f''(x)分析f’(x)的单调性，进而反推原函数f(x)的性质。
1. 逻辑推理：能通过二次求导建立“f''(x)符号→f’(x)单调性→f’(x)零点/符号→f(x)单调性”的推理链，体现层层
递进的逻辑思维。
2. 运算求解：掌握复合函数、乘积/商的求导法则，能准确计算一次、二次导数，处理含参二次导数的符号判断
（分类讨论/参变分离）。
3. 数形结合：能通过f''(x)分析f’(x)的图像特征（单调增/减、极值点），结合f’(x)的零点划分原函数的单调区
间。
4. 分类讨论：针对含参二次导数，能根据参数范围（如a>0/a=0/a<0、参数临界值）讨论f’(x)的单调性和符号，
避免漏解。
构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标
函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了。而在有些函数问题中，
如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数
的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才
能解决问题. 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。
解决这类题的常规解题思路
求函数的导数f '( x)
，无法判断导函数正负；设
，再求
，求出
的解，
即得到函数
的单调性，得到函数
的最值，即可得到
的正负情况，即可得到函数
的单调性.
当一次求导后满足以下任一条件，需用二次求导：
1. f’(x)中含超越函数（e
x、lnx、sin x、cos x），无法直接解f’(x)=0 或判断f’(x)符号；
2. f’(x)为抽象/复杂代数式，单调性不明确，求导后可简化符号判断；
3. 题目要求证明高阶单调性（如f(x)在区间上单调递增且增速越来越快/慢）。
典型示例：f(x)=e
x - x - ln x，f’(x)=e
x - 1 -1
x ，无法直接判断符号，需二次求导f''(x)=e
x + 1
x
2> 0，分析f’(x)
的单调性。
核心解题策略（四步核心法）
步骤1：求导定基，判断是否需二次求导
求原函数f(x)的定义域→计算一次导数f’(x)→分析f’(x)的结构，若无法直接判断符号/求零点，立即求二次导数
f''(x)。
步骤2：分析二次导数，确定一次导数的单调性
1. 计算f''(x)，化简后判断其恒正/恒负或零点；
2. 若f''(x) > 0（或<0）在定义域内恒成立，则f’(x)在定义域上单调递增/递减；
3. 若f''(x)有零点x0，则以x0为界划分f’(x)的单调区间。
步骤3：找一次导数的零点，划分原函数单调区间
1. 零点存在性定理：结合f’(x)的单调性，找两个点x1<x2，使得f’(x1)f’(x2) < 0，确定f’(x)有唯一零点x0；
2. 临界值分析：若f’(x)在区间端点处的极限/函数值可求，结合单调性确定f’(x)的符号分布；
3. 根据f’(x) > 0 或f’(x) < 0，划分原函数f(x)的单调增/减区间。
步骤4：结合原函数单调性，解决最终问题
1. 极值/最值：根据单调区间确定f(x)的极值点，计算极值/端点值，比较得最值；
2. 不等式恒成立：将问题转化为f(x)min≤k（或f(x)max≥ k），代入极值/最值求解参数范围；
3. 零点问题：结合f(x)的单调性+端点函数值符号，判断零点个数；
4. 不等式证明：构造辅助函数g(x)=f(x)-h(x)，通过二次求导分析g(x)的单调性，证明g(x)≥ 0（或≤0）。
高频易错点规避
1. 定义域遗漏：求导前未确定f(x)的定义域，导致后续分析区间错误（如含\ln x 时x>0，含分式时分母≠0）；
2. 求导错误：复合函数、乘积求导法则用错（如(e
xlnx)’=e
xlnx +e
x
x
，避免漏项）；
3. 零点判断失误：未验证f’(x)的单调性，直接断言f’(x)无零点，或未用零点存在性定理，主观猜测零点；
4. 含参讨论混乱：未找到参数的临界值（如f''(x)=0 的参数解），讨论维度混乱，漏解/重复解；
5. 逻辑断层：二次求导后未明确“f''(x)→f’(x)→f(x)”的推理关系，直接跳过f’(x)分析原函数性质。
题型01： 利用二次求导求函数的极值或参数的范围
【典型例题1】若不等式
对任意的
都恒成立，则整数
的最大值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】因为
变形
令
求导：
，令
求导
在
上
为增函数；
令
=0，零点
满足
即
，
所以在
时，
是单减，
在
时，
是单增的
，再令
，
,
所以，
，
取整数，那么
的最大值是4
【典型例题2】已知实数
，设函数
（1）当
时，求函数
的单调区间；
（2）对任意
均有
求
的取值范围.（e=2.71828…为自然对数的底数）
【答案】见解析
【解析】：（Ⅰ）当
时，
．
，
所以，函数
的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+
）．
（Ⅱ）由
，得
．当
时，
等价于
．
令
，则
．设
，则
．
（i）当
时，
，则
．
记
，则
.
所以，
．
因此，
．
（ii）当
时，
．
令
，则
，
故
在
上单调递增，所以
．
由（i）得
．所以，
．
因此
．
由（i）（ii）得对任意
，
，
1
0
+
单调递减
极小值
单调递增
即对任意
，均有
．
综上所述，所求a 的取值范围是
【变式训练1-1】已知关于
的不等式
在
上恒成立，则整数
的最小值为（ ）
（最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化）
A.1 B.2 C.3 D.4
【变式训练1-2】已知实数
，设函数
．（
为自然对数的底数）
（1）求函数
的单调区间；
（2）当
时，若对任意的
，均有
，求
的取值范围．
【变式训练1-3】已知函数
.
（1）若
在
上有两个不同的实根，求实数
的取值范围；
（2）若
，证明：
存在唯一的极大值点
，且
.
【变式训练1-4】已知函数
.
（1）若函数
在区间
上为增函数，求
的取值范围；
（2）当
且
时，不等式
在
上恒成立，求
的最大值.
题型02： 利用二次求导证明不等式
【典型例题】已知函数f ( x)=( x+1)ln x−x+1.
（1）若xf '( x)≤x2+ax +1，求a 的取值范围；
（2）证明：( x−1)f ( x)≥0 .
【答案】见解析
【解析】（1）函数的定义域为（0，+∞），
f '( x)=ln x+ 1
x ，xf '( x)≤x2+ax +1⇔xln x+1≤x2+ax +1
， ⇔a≥ln x−x⇔a≥(ln x−x)max .
令
g( x)=ln x−x
g
则'( x)=1
x −1,
当0<x<1时，g'(x)>0,g(x)递增；
x
当>1时，g'(x)<0,g(x)递减，
从而当x=1 时，g(x)max=g(1)=−1，
故所求a 的范围是[-1,+∞﹚.
(2)由(1)知,ln x−x+1≤0 ,则
①0<x<1 时，f ( x)=xln x+(ln x−x+1)≤0 ；
②
x≥1时，f ( x)=ln x+( xln x−x+1)=ln x−x(ln 1
x −1
x +1)≥0
.
综上可知，不等式成立.
我们也可以运用二阶导数的方法加以证明：
【二次求导的巧妙运用】:令F(x)=(x−1)f (x),要证明F（x ）≥0,只需证F（x)min≥0.
因F'（x）=f (x)+(x−1)f '(x)
=( x+1)ln x−x+1+( x−1)(ln x+ 1
x )
=2 xln x−( x+ 1
x )+2
，
显然当x=1时，F '( x)=0，
当0<x<1 时，
x+ 1
x >2,ln x<0, F '( x)<0
，F( x)在（0,1﹚递减；
当x>1 时，
x+ 1
x >2,ln x>0
，F '(x)的符号仍不能判定，求二阶导数得：
[ F '( x)]'=2ln x+1+ 1
x2 >0
，
从而F '(x)在x>1 时递增，F '( x)>F '(1)=0 ，F( x)在[ 1,+∞﹚递增，
所以当x=1时，F( x)min=F(1)=0 ，故F( x)≥0 成立，原不等式成立.
【变式训练2-1】已知函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
（Ⅰ）求
，
的值；
（Ⅱ）证明：当
，且
时，
．
【变式训练2-2】已知函数
，且
．
(1)求
；
(2)证明：
存在唯一的极大值点
，且
．
【变式训练2-3】已知函数
.
（1）证明：曲线
在点
处的切线恒过定点；
（2）若
有两个零点
，
，且
，证明：
.
【变式训练2-4】已知函数
．
（1）若
对
恒成立：求实数a 的取值范围；
（2）当
时，证明：
．
【变式训练2-5】函数
，
，
为常数．
（1）当
时，若
，求
的值；
（2）当
时，证明：对任意
，
．
题型03：利用二次求导求函数的单调性
【典型例题】已知函数
（k 为常数，
71828
.2
e
是自然对数的底数），曲线
在点
处的切线与x 轴平行．
（Ⅰ）求k 的值；
（Ⅱ）求
的单调区间；
（Ⅲ）设
，其中
是
的导数．
【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）由
=
x
e
k
x
ln
可得
)
(x
f
x
e
x
k
x
ln
1
，而
0
)1(
f
，
即
0
1
e
k
，解得
1
k
；
（Ⅱ）
)
(x
f
x
e
x
x
ln
1
1
，令
0
)
(
x
f
可得
1
x
，
当
1
0
x
时，
0
ln
1
1
)
(
x
x
x
f
；当
1
x
时，
0
ln
1
1
)
(
x
x
x
f
．
于是
)
(x
f
在区间
)1,0
(
内为增函数；在
)
,1( 内为减函数。
（Ⅲ）
x
x
e
x
x
x
x
e
x
x
x
x
x
g
ln
)
(
1
ln
1
1
)
(
)
(
2
2
2
=
因此对任意的
0
x
，
2
1
e
x
g
等价于
设
所以
因此
时，
，
时，
所以
，故
。
设
，
则
，
∵
，∴
，
，∴
，即
∴
，对任意的
0
x
，
2
1
e
x
g
证明：对任意的
，
．
【变式训练3-1】
（1）已知
，证明：当
时，
；
（2）证明：当
时，
有最小值，记
最小值为
，求
的值域.
【变式训练3-2】已知函数
.
（1）若
，讨论函数
的单调性；
（2）已知
，若
在
内有两个零点，求
的取值范围.
题型04：二次求导的综合应用
【典型例题1】已知
存在
，使得
，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】作出函数
的图象，如图所示，
因为存在
当
时，
，所以
，
因为
在
上的最小值为
在
上的最小值为
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，
令
（
），所以
为开口向上，对称轴为
上抛物线，
所以
在区间
上递增，
所以当
时，
，当
时，
，即
的取值范围是
，
故选A．
【典型例题2】已知函数
，其中ｅ是自然数的底数，
。
（１）当
时，解不等式
；
（２）若
在［－１，１］上是单调增函数，求
的取值范围；
（３）当
时，求整数ｋ的所有值，使方程
在［ｋ，ｋ＋１］上有解。
【答案】见解析
【解析】⑴因为
，所以不等式
即为
，
又因为
，所以不等式可化为
，
所以不等式
的解集为
．
⑵
，
①当
时，
，
在
上恒成立，当且仅当
时
取等号，故
符合要求；
②当
时，令
，因为
，
所以
有两个不相等的实数根
，
，不妨设
，
因此
有极大值又有极小值．
若
，因为
，所以
在
内有极值点，
故
在
上不单调．
若
，可知
，
因为
的图象开口向下，要使
在
上单调，因为
，
必须满足
即
所以
.
综上可知，
的取值范围是
⑶当
时, 方程即为
，由于
，所以
不是方程的解，
所以原方程等价于
，令
，
因为
对于
恒成立，
所以
在
和
内是单调增函数，
又
，
，
，
，
所以方程
有且只有两个实数根，且分别在区间
和
上，
所以整数
的所有值为
．
【典型例题3】已知函数
( )
, ( )
ln
x
x
f x
e
ax g x
e
x
（1）设曲线
( )
y
f x
在
1
x
处的切线与直线
(
1)
1
x
e
y
垂直，求a 的值
（2）若对任意实数
0,
( )
0
x
f x
恒成立，确定实数a 的取值范围
（3）当
1
a 时，是否存在实数
0
[1, ]
x
e
，使曲线C：
( )
( )
y
g x
f x
在点
0
x
x
处的切线与y 轴垂直？若存在，
求出
0x 的值，若不存在，说明理由
【答案】见解析
【解析】（1）
( )
x
f
x
e
a
， 因此
( )
y
f x
在
1,
(1)
f
处的切线l 的斜率为e
a
，
又直线
(
1)
1
x
e
y
的斜率为
1
1 e
， ∴（e
a
）
1
1 e
＝－1，
∴ a ＝－1.
（2）∵当x ≥0 时，
( )
x
f x
e
ax
0
恒成立，
∴ 先考虑x ＝0，此时，
( )
x
f x
e
，a 可为任意实数；
又当x ＞0 时，
( )
x
f x
e
ax
0
恒成立，
则
xe
a
x
恒成立， 设( )
h x ＝
xe
x
，则
( )
h x
＝
2
(1
)
x
x e
x
，
当x ∈(0,1)时，
( )
h x
＞0，( )
h x 在(0,1)上单调递增，
当x ∈(1,＋∞)时，
( )
h x
＜0，( )
h x 在(1,＋∞)上单调递减，
故当x ＝1 时，( )
h x 取得极大值，
max
( )
(1)
h x
h
e
，
∴ 实数a 的取值范围为
,e
．
（3）依题意，曲线C 的方程为
ln
x
x
y
e
x
e
x
，
令( )
u x ＝
ln
x
x
e
x
e
x
，则
( )
ln
1
x
x
x
e
u x
e
x
e
x
设
1
( )
ln
1
v x
x
x
，则
2
2
1
1
1
( )
x
v x
x
x
x
，
当
1,
x
e
，
( )
0
v x
，故( )
v x 在
1,e 上的最小值为(1)
0
v
，
所以( )
v x ≥0，又
0
xe
，∴
1
( )
ln
1
1
x
u x
x
e
x
＞0，
而若曲线C：
( )
( )
y
g x
f x
在点
0
x
x
处的切线与y 轴垂直，
则
0
(
)
u x
＝0，矛盾。
所以，不存在实数
0
1,
x
e
，使曲线C：
( )
( )
y
g x
f x
在点
0
x
x
处的切线与y 轴垂直.
【变式训练4-1】已知函数
，则
=（ ）
A. 0 B. 1 C.
D.
【变式训练4-2】已知函数
,若
，其中
，则
的取值范围
【变式训练4-3】设a∈R，函数
（
），其中
是自然对数的底数．
（Ⅰ） 判断函数
在R 上的单调性；
（Ⅱ） 当
时，求函数f ( x)在[1，2]上的最小值．
【变式训练4-4】设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).
（1）若x=0 是F(x)的极值点,求a 的值；（2）当 a=1 时,设P(x1,f(x1)), Q(x2, g(x 2))(x1≥0,x2≥0), 且PQ//x 轴,求P、Q 两
点间的最短距离；（3）若x≥>0 时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(－x)的图象上方,求实数a 的取值范围．
【变式训练4-5】已知三次函数
的最高次项系数为a，三个零点分别为
.
⑴ 若方程
f ( x)
x
+2 x+7 a=0
有两个相等的实根，求a 的值；
⑵若函数
在区间
(−∞, a
3 )
内单调递减，求a 的取值范围.
【变式训练4-6】 对于三次函数
．
定义：（1）设
是函数
的导数
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”；
定义：（2）设
为常数，若定义在
上的函数
对于定义域内的一切实数
，都有
成立，则函数
的图象关于点
对称．
己知
，请回答下列问题：
（1）求函数
的“拐点”
的坐标
（2）检验函数
的图象是否关于“拐点”
对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证
明）
（3）写出一个三次函数
，使得它的“拐点”是
（不要过程）
【变式训练4-7】已知函数
( )
ln
f x
x
x
．
（I）求函数
( )
f x 的单调递减区间；
（II）若
2
( )
6
f x
x
ax
在(0,
)
上恒成立，求实数a 的取值范围；
（III）过点
2
(
,0)
A
e
作函数
( )
y
f x
图像的切线，求切线方程．
一、单选题
1．设函数
在区间
上的导函数为
，
在区间
上的导函数为
，若在区间
上
恒成立，则称函数
在区间
上为“凸函数”；已知
在
上为“凸函
数”，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
2．已知二次函数
的图象过点
，且当
时，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设实数
，那么
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若关于x 的不等式
恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若关于
的不等式
在
上有解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数
，若函数
与
有相同的最小值，则
的最大值为
（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．4
7．在关于
的不等式
（其中
为自然对数的底数）的解集中，有且仅有
两个大于2 的整数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
，若
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若关于
的不等式
在
上有解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数
，若
，使得
在
恒成立，则
的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
二、多选题
1．已知函数
有两个极值点
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．f（x）无最大值
B．f（x）有唯一零点
C．f（x）在（0，＋∞）单调递增
D．f（0）为f（x）的一个极小值
3．已知函数
，则（ ）
A．当
，
时，
B．当
时，
有最值
C．当
时，
为减函数
D．当
仅有一个整数解时，
三、填空题
1．已知
是
上的偶函数，当
时，
，且
对
恒成立，则
实数
的取值范围是___________.
2．已知函数
.若
是
的极大值点，则正实数a 的取值范围为
_________________.
3．已知
，若方程
在
上有唯一实根，则实数a 的取值范围为______．
4．若对任意正实数
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为__________．
5．若对任意正实数
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为__________．
6．已知函数
，若
，且
对任意的
恒成立，则
的最大值为______．
四、解答题
1．已知函数
，
.
(1)若函数
在区间
上的最小值为3，求实数
的值；
(2)若不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围.
2．已知函数
，
.
(1)若函数
在区间
上的最大值为20，求实数a 的值；
3．已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若不等式
在
上恒成立，求实数k 的取值范围．
4．已知函数
．
(1)判断函数
的单调性．
(2)证明：
．
5．已知函数
.
(1)当
时，证明：
；
(2)若
，求实数
的取值范围.
6．已知函数
.
（1）若函数
在
上单调递减，求
的取值范围；
（2）若
恒成立，求实数
的取值范围.
7．已知
，函数
，
．
（1）讨论函数
的极值；
（2）若
，当
时，求证：
．
8．已知函数
.
（1）若
，讨论函数
的单调性；
（2）已知
，若
在
内有两个零点，求
的取值范围.
9．已知函数
满足
，且曲线
在
处的切线方程为
．
（1）求
，
，的值；
（2）设函数
，若
在
上恒成立，求
的最大值．
10．已知函数
．
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若函数
有两个极值点，求实数
的取值范围．
11．已知函数
.
(1)若关于
的不等式
恒成立，求
的取值范围；
(2)若
，
是
的两个极值点，且
，证明：
.
12．已知函数
，且0 是
的一个极值点．
(1)求
的单调区间；
(2)若
，求
的取值范围．
13．已知
，函数
，
．
（1）讨论函数
的极值；
（2）若
，当
时，求证：
．
14．已知函数
（1）当
时，求
图象在点
处的切线方程；
（2）当
且
时，证明
有且仅有两个零点.
15．已知函数
，
.
（1）若
在
上为单调递减函数，求
的取值范围；
（2）设函数
有两个不等的零点
，且
，若不等式
恒成立，求正实数
的取值
范围．
16．已知函数
满足
，且曲线
在
处的切线方程为
．
（1）求
，
，的值；
（2）设函数
，若
在
上恒成立，求
的最大值．
17．记
，
为
的导函数．若对
，
，则称函数
为
上的“凸函数”．
已知函数
，
．
（1）若函数
为
上的凸函数，求
的取值范围；
（2）若函数
在
上有极值，求
的取值范围．
18．已知函数
．
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若函数
有两个极值点，求实数
的取值范围．
19．已知函数
，
．
（1）当
时，若
在点
，
切线垂直于
轴，求证：
；
（2）若
，求
的取值范围．
20．已知函数
.
（1）当
时，求曲线
在
处的切线方程；
（2）若对任意的
，都有
，求
的取值范围.
21．已知函数
．
（1）若
，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若
，求证：函数
存在极小值；
（3）若对任意的实数
，
恒成立，求实数a 的取值范围．
