压轴专题05：平面向量的几何代数化与等和线、极化恒等式、
奔驰定理破解难题
压轴分析
高考数学中，平面向量压轴题的难点，很少在于单一的数量积或坐标运算，而在于 “几何关系”
与“代数运算”之间的双向转化与灵活选择。真正的压轴难点在于，题目往往给出一个复杂的几何
图形和模糊的条件（如“点在直线某侧”、“取得最值”），要求学生自行判断使用何种向量工具
进行建模和简化。命题人常通过以下方式设置障碍：隐藏的等量关系：图形中隐藏着共线、垂直、
等模或定比分点关系，需要学生自行发掘并翻译为向量等式。
最值的多路径性：同一最值问题，可能通过坐标法、基底法、等和线或极化恒等式等多种路径求
解，选择不当则计算量陡增。
几何意义的识别困难：如数量积可能代表投影长度与模的积，也可能代表极化恒等式下的中线与对
边关系，能否快速识别其几何意义是破题关键。
其核心是检验学生能否打破“向量就是算坐标”的思维定式，建立“见向量，先观图；析关系，再
择法”的解题习惯。
解题的关键在于建立“几何翻译—模型匹配—代数执行”的三步思维链：
几何翻译 (核心破局)：审题后第一件事是精确作图，在图上标出所有已知点、向量和关系。将文
字描述（如“重心”、“垂心”、“点在动直线上”）转化为具体的向量表达式或等量关系。
模型匹配 (智慧选择)：根据图形特征和所求目标，迅速匹配最合适的向量模型：
图形规则或有明显垂直 → 优先考虑建系坐标法。
图形不规则或已知线段比例 → 优先考虑基底分解法（选好不共线基底）。
求向量线性表示系数的和或差的取值范围 → 立即想到等和（差）线模型。
数量积的最值或范围，且涉及定点与动点 → 优先尝试极化恒等式，化动为静。
涉及三角形内部点与面积比 → 考虑奔驰定理（向量形式）进行快速转化。
代数执行 (严谨计算)：选定模型后，进行精确的代数推导或计算，最后务必回归几何意义检验结
果的合理性。
掌握“以图导算，以算释形”的思想路径，在面对复杂的向量综合题时，方能从纷繁的图形和条件
中，精准定位解题的“钥匙”，实现高效、准确的破解。
知识总结
1. 平面向量的系数和（等和线）（等值线）
如图，
为
所在平面上一点，过
作直线
，由平面向量基本定理知：
存在
，使得
下面根据点
的位置分几种情况来考虑系数和
的值
①若
时，则射线
与无交点，由
知，存在实数
，使得
而
，所以
，于是
②若
时，
（i）如图1，当
在右侧时，过
作
，交射线
于
两点，则
，不妨设
与
的相似比为
由
三点共线可知：存在
使得：
所以
（ii）当
在左侧时，射线
的反向延长线与
有交点，如图1 作
关于
的对称
点
，由（i）的分析知：存在存在
使得：
所以
于是
综合上面的讨论可知：图中
用
线性表示时，其系数和
只与两三角形的相
似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径
之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，
过
作
边的垂线
，设点
在
上的射影为
，直线
交直线
于点
，则
(
的符号由点
的位置确定)，因此只需求出
的范围便知
的范围
2. 极化恒等式
恒等式右边有很直观的几何意义:
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”
平方差的
，
恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形
中,
则
在上述图形中设平行四边形
对角线交于
点, 则对于三角形来说:
3. 奔驰定理
如图，已知P 为
内一点，则有
.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
（1）奔驰定理的证明
如图：延长
与
边相交于点
则
（2）奔驰定理的推论及四心问题
推论
是
内的一点,且
,则
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到
对边中点的距离之比为2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边
垂直.
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，
三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.
（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外
接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.
奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”
相关的问题，有着决定性的基石作用.
已知点
在
内部，有以下四个推论：
①若
为
的重心，则
；
②若
为
的外心，则
；或
③若
为
的内心，则
；备注：若
为
的内心，则
也对.
④若
为
的垂心，则
，或
4. 投影法
如图，
对于
，其中
是
在
上的投影，
在Rt△PBH 中
，故
，
考虑到
可能为钝角，故写成
.
5. 向量矩形法
如图，在矩形
中，若对角线
和
交于点
，
为平面内任意一点，有以下
两个重要的向量关系：①
；②
.
证明：①连接
，根据极化恒等式
，
可得
；
②根据极化恒等式
，可得
.
推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和以及向量乘积相等.
典例精讲
【典例1】
（25-26 高三上·黑龙江佳木斯·月考）（多选）设向量
，则下列说法错误的是
（ ）
A．若
与
的夹角小于
，则
B．
的最小值为
C．与
共线的单位向量只有一个，为
D．
时，
在
上的投影向量为
【答案】BCD
【分析】结合向量的夹角、模长、共线单位向量、投影向量等知识点，逐一分析每个选项.
【详解】选项A，若
与
的夹角小于
，
则
，即
，因此A 正确；
选项B，向量
的模长
，
因为
，所以当
时，
取得最小值
， 因此B 错误；
选项C，与
共线的单位向量包括同向和反向两种情况，因此C 错误；
选项D，当
时，
，计算
在
上的投影向量为
，
点积
，
，
因此投影向量为
，而非
，因此D 错误.
故选：BCD.
会一题通一类
1．（2025·陕西西安·模拟预测）（多选）已知向量
，
，
，
，
，则
下列说法正确的是（ ）
A．存在
，
使得
B．任意正数a，b，
与
不共线
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BC
【分析】根据向量共线的充要条件，即可判断选项
、
；根据向量垂直，数量积为零，可得
，再
根据向量加法和模长公式可得
，再利用基本不等式即可得
；根据
，所以
，化简可得
，代入得：
，结合基本不等
式和换元法，即可计算出
.
【详解】对于
：由题意得，若
，则
，解得
，因为
，
，
所以
无解，故不存在
，
使得
，所以选项
错误；
对于
：由选项
可知，不存在
，
使得
，所以选项
正确；
对于
：若
，则
，解得
，
，
所以
，因为
，
，
根据基本不等式得：
=2，
当且仅当
=1 时等号成立，所以
；所以选项
正确；
对于
：
，若
，则
，
即
，化简得：
，
因为
，
，所以
，即
，且
，
所以
，令
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，即
，所以选项
错误.
故选：
.
【典例2】
（2025·湖南邵阳·二模）已知向量
满足
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，
，向量加法的三角形法则得到
，从而将
转化为
，将
转化为椭圆上的点到
的中点的距离问题求解即可.
【详解】取
，
为线段
的中点，记
，则
．
．
又
，
点
的轨迹是以
为焦点的椭圆，
长半轴的长为4，短半轴的长为
，
．
故选：A.
会一题通一类
1．（2025·浙江丽水·一模）已知平面向量
满足
，则
的最大值是 ．
【答案】
【分析】要解决这个问题，我们可以利用向量模的三角不等式来分析.
【详解】根据向量模长的三角不等式，有
，
又因为
，由三角不等式：
，
则
，得：
故答案为：
2．（2025·四川资阳·一模）已知向量
，
，满足
，
，
，向量
与
的夹角为
，则
的最小值是 .
【答案】1
【分析】先求出
夹角为
，设
起点为
，终点为
，画出示意图，由向量
与
的夹
角为
可得
，则点C 在
所对圆周角为
的圆弧上，求出圆心半径，利用定点到圆上点的最值
即可求解.
【详解】由题意
，
代入
，
得
，则
夹角为
，
如图所示在直角三角形
中，
，
，
令
，则
，
即为向量
与
的夹角为
，
则点C 在
所对圆周角为
的圆弧上，其圆心角为
，
如图所示，要使得
最小，显然在
下方的圆弧上，
由于
，则在
上取
，由于
，由余弦定理可得
，同理可求
，
所以点
即为圆心，半径
，
则
，此时
共线且点C 在
之间，
故
的最小值是1.
故答案为：1.
3．（2025·河南鹤壁·模拟预测）已知平面向量
，
，满足
，
，
，若对于任
意的向量
，均有
的最小值为
，则
的取值范围是 ．
【答案】
．
【分析】设向量
的始点为原点
，终点分别为
，取
，得到点
在直
线
上，设
，可得点
的轨迹方程为
，再根据椭圆的定义可得结果.
【详解】已知
，
，
，
，设
，
，
，由
得点
在直
线
上.
这是因为在平面直角坐标系中，直线
上所有点的横坐标都为
，所以点
的横坐标为
.
因为对于任意的向量
，均有
的最小值为
，.
在平面直角坐标系中，向量
，
，所以点
到直线
的距离为
.
根据椭圆的第二定义，点
的轨迹是以
为右焦点，
为右准线的椭圆，其方程为
.
设
为椭圆
的左焦点，根据椭圆的定义，所以
，则
.
所以
.
根据三角形三边关系
，计算
.
所以
的取值范围是
.
故答案为：
4．（2025·湖南长沙·一模）已知动直线与圆
相切，并与圆
相交于点
，点
为抛物线
上一动点，
为坐标原点，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】设线段
的中点为
，设
，则
点在圆
，根据
，进而计算可求得
的取值范围.
【详解】设线段
的中点为
，根据圆的对称性可知点
在圆
上，
设
，则
点在圆
上，即圆
，
圆心为
，半径为
，
则
，
当且仅当点
在线段
上时，等号成立，
设
，则
，
设
，则
，
注意到
，故
，即
，当且仅当
时等号成立，
故
.因此
的取值范围是
.
故答案为：
.
【典例3】
（2025·北京海淀·一模）已知向量
，
，则
的最大值为 ；
与
的夹角的
取值范围是 ．
【答案】 ；
.
【分析】根据不等式
，即可直接求得
的最大值；设
，将
与
的夹
角余弦值用坐标表达，通过求其值域，即可求得夹角的范围.
【详解】由题可知，
，故
，当且仅当
同向时取得等号，故
的最大
值为；
不妨设
，满足
；
则
，
，
，
设
与
的夹角为
，则
，
则
，
令
，故
，
根据对勾函数的单调性可知，
在
单调递减，在
单调递增，
又当
时，
，当
或时，
，故
，又
，故
.
故答案为：；
.
会一题通一类
1．（2025·山东青岛·二模）平面向量满足
，
，则
的最小值为
.
【答案】
【分析】根据向量不共线时，借助平行四边形，可得
，进而利用余弦定理以及基本不等式即
可求解最值.
【详解】如图：当
、
不共线时，取
，
，则
，
，
故
，故
，
在
中，
,
故
，
故
，
由于
，故
，故
，当且仅当
时取等号，
则
，由于
，故
的最大值为
，
由于
的夹角为
，即为
,
由于
与
互补，故
的最小值为
，
当
、
共线时，不妨设
，则
，可得
，
当
时，此时
的夹角为
，即为
,
时，此时
的夹角为
，即为
,
综上可知：
的夹角的最小值为
故答案为：
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知平面向量
，
（
），记
与
的夹角是
，
则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量夹角公式表示出
，再根据同角三角函数关系表示出
，利用换元法和基本不等
式即可求解．
【详解】∵
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
令
，
则
，
∴
，
当且仅当
，即
2（此时
）时等号成立．
即
的最大值为
．
故选：C．
3．（2025·四川遂宁·二模）若点
为
的外心，且满足
，则
的最大值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据外心的性质，以及平面向量的线性运算和数量积运算，对向量等式进行化简，再根据余弦定
理解三角形，求出角的范围，根据正弦函数性质，求出结果.
【详解】因为点
为
的外心，
所以
，
因为
，
即
，
即
，即
，
化简得
，
可知
，化简得
，
根据基本不等式可知
，当且仅当
时取等号，
因为
，
，所以
，
所以
的最大值为
.
故选：C.
【典例4】
（24-25 高三上·四川·期中）点P 在边长为1 的正三角形
的外接圆上，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先证明
，然后给出
的例子，即可得到
的最大值是
.
【详解】设外接圆圆心为
，则
，
.
①一方面，我们有
.
故一定有
.
②另一方面，当
时，有
，故
在
的外接圆
上，此时
.
综合①②两个方面，可知
的最大值是
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对数量积的运算性质的使用.
会一题通一类
1．（24-25 高一下·河南南阳·期中）已知正三角形
的边长为
，点
，
都在边
上，且
，
，
为线段
上一点，
为线段
的中点，则
的最小值为（ ）
A．
B．0
C．
D．
【答案】D
【分析】依题意可得
，从而转化为求
的最小值，当
时
取得最小值，利用等面积法求出
，即可得解,
【详解】因为
，即
为
的中点，又
，所以
为
的中点，
又正三角形
的边长为
，所以
，
依题意
，
，
所以
，
所以当
时
取得最小值，
如图，此时点
在
的位置，连接
，则
，
又
，
，所以
，
所以
，
所以
.
故选：D
2．（2025·北京海淀·三模）已知
为等腰直角三角形，
为直角，直角边长为2，点P 在三角形
所在平面上，向量
为单位向量，点D 满足
，则
的最大值为（ ）
A．4
B．
C．5
D．6
【答案】C
【分析】建立直角坐标系，设
，求出点P 的轨迹方程，得
，利用数量积求出
关于
y 的函数，求出最值即可
【详解】如图建立直角坐标系，
则
，
设
，则
，即
，
所以点P 的轨迹是以A 为圆心，以1 为半径的圆，
又
，所以
，所以
，
所以
,
所以
，
又点P 在
上，所以
，
所以
，
所以
的最大值为5，
故选：C
3．（2025·安徽·模拟预测）向量
与
在
上的投影向量均为
，
，当
最
大时，则
（ ）
A．
B．6
C．12
D．16
【答案】C
【分析】根据题意设
，
，
与
的夹角为
，利用三角形面积公式，
结合向量数量积求法，得到
，根据
的取值范围即可求解.
【详解】设
，
，所以
，
因为
，所以
，所以可设
，
，
与
的夹角为
，
若
，
，
则知
，
，
即
，
，
，
则当
最大时，
最大，即
最小，即此时
，
当且仅当
时成立.
故选：C
【典例5】
如图，在
中，
，
，D，F 分别为
，
的中点，P 为
与
的交点，且
．
若
，则
；若
，
，
，则
．
【答案】
【分析】连接
的中位线
，利用三角形相似得到
，再利用加法的三角形法则表示出
，
即可得到
的值；同理表示出
，利用向量的数量积运算即可得到结果.
【详解】
如图所示：连接
，
因为D，F 分别为
，
的中点，
所以
是
的中位线，所以
，
则
，
所以
，所以
；
因为
，
所以
.
故答案为：
；
.
会一题通一类
1．（2025·江苏·三模）设
、
是平面内相交成
的两条射线，
、
分别是与
、
同向的单位向量，定义平面坐标系
为
仿射坐标系，在
仿射坐标系中，若
，则记
.已知在如图所示的
仿射坐标系中，
、
分别在
轴、
轴正半轴上，且
，点
、
、
分别为
、
、
的中点，则
的最大值为 .
【答案】
【分析】设
，
，根据
可得出
，设
，
，则
，根据平面向量的线性运算得出
，
，
利用平面向量数量积的运算性质可求得
的最大值.
【详解】由题意可知
，
，
由平面向量数量积的定义可得
，
设
，
，则
，
所以
，
即
，即
，且有
，
设
，
，则
，
因为
为
的中点，则
，
因为
为
的中点，则
，
同理可得
，
所以，
，
因为
，
其中
为锐角，且
，故
的最大值为
.
故答案为：
.
2．（2025·天津河东·二模）《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，
内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探
究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，
，点P 在线段CH 上，且
，
则
的值为 ；若点Q 为线段CD 上的动点，则
的最小值为 ．
【答案】
0
【分析】在正八边形中，各边夹角都是已知的，各边长也是已知的，把目标向量用边长向量表示出来，再
根据向量乘法运算律求出结果.
【详解】
如图所示,连接
，因为
三点共线，且
，解得
，
则
，
与
夹角为
,
与
夹角为
,
.
设
,可知
,
,
,
,
,
,当
或
时,
有最小值,最小值为0.
故答案为:
； 0.
【典例6】
（多选）如图，
中，
，点E 在线段AC 上，AD 与BE 交于点F，
，则下列说法
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】由已知可得
，进而可得
，判断A；设
，利用
，
，
共线可求
，进而可判断B；根据
，利用三角形面积比可判断D；根据向量的线性运算可判断
C．
【详解】对于A：根据
，
故
，故A 正确；
对于B：设
，则
，又
，
，
，
三点共线，
，
且
，
，故
，故B 错误；
对于D：由于
，故
，
，故D 正确；
对于C
，
，
，
，故C 正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握平面向量的线性运算与基底法，从而得解.
会一题通一类
1．（24-25 高三上·河北邢台·期中）（多选）如图，在等腰梯形
中，E 为腰
的中点，
，
，N 是梯形
内（包含边界）任意一点，
与
交于点O，则（ ）
A．
B．
C．
的最小值为0
D．
的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据向量线性运算、三点共线推论、数量积运算及几何意义等知识对选项进行分析，从而确定正
确答案.
【详解】
，A 正确；
设
，则
，因为A，O，C 三点共线，
所以
，解得
，B 正确；
由
，
，可得
，结合向量数量积的定义式，
可知
等于
的模与
在
方向上的投影的乘积，
易知当点N 位于点B 时，
取得最小值，
最小值为
，C 错误；
当点N 为位于点C 时，
取得最大值，
最大值为
，D 正确．
故选：ABD
【典例7】
（2025 高三·全国·专题练习）（多选）给定两个长度为1 的平面向量
和
，它们的夹角为
，如
图所示，点C 在以O 为圆心的劣弧
上运动，若
，则
的取值可以是（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】ABC
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法表示出
，把
表示为
，利用
辅助角公式、三角函数求最值.
【详解】
如图示，建立平面直角坐标系.
设
，可得：
.
由
可得：
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，即
的取值范围为
，
结合选项可知，A，B，C 中的数值符合，
故选：ABC
会一题通一类
1．（2025·河北廊坊·模拟预测）如图，在
中，
，点
在以
为直径的
半圆（
外）内及边界上运动，若
，记
的最大值与最小值分别为
，则
.
【答案】
/
【分析】设
、
分别为
、
的中点，则
，由三点共线可得
，此时点
与点
重合，
最小，做直线与
平行，且与半圆相切，由三点共线知点
在
直线上时，
最大，设直线与
的延长线相交于点
， 设
，求出
，可得答案.
【详解】设
为
的中点，连接
，
设
为
的中点，即点
为以
为直径的半圆的圆心，
则
，
当点
在
上时，由三点共线可得
，此时点
与点
重合，
最小，即
，
做直线与
平行，且与半圆相切，连接点
与切点
，此时
最大，
即由三点共线知点
在直线上时，
最大，
设直线与
的延长线相交于点
，
连接
，则
，延长
与相交于点
，
因为
，所以
为半圆的一条切线，所以
，
由
得
，
可得
为等边三角形，
，所以
，
由
得
，又
，所以四边形
为平行四边形，
所以
，
，
设
，则
，
由
得
，
，
可得
，
，
所以
，
因为
三点共线，所以
，可得
，
所以
的最大值为
，
则
.
故答案为：
.
2．（2025·湖北黄冈·二模）（多选）设平面向量
的夹角为
，若
，
且
，则（ ）
A．当
时，
三点共线
B．当
时，
平分
C．当
时，
的最大值为2
D．当
时，
的取值范围为
【答案】ABD
【分析】对于A，利用平面向量基本定理即得；对于B，先证
，得
三点共线，过点
作
，利用中位线定理和三角形相似推得
，即可证得；对于C，D，通过建系，设
，将
分别用
的三角函数表示，利用三角恒等变换将目标函数化成正弦型函数，结合正
弦函数的单调性即可求得其范围或最值.
【详解】对于A，当
时，
，
由平面向量基本定理，可得
三点共线，故A 正确；
对于B，如图，当
时，由
，可得
，
即
，故
三点共线，且
，过点
作
，交
于点
，
因
，
，则
，而
，故
，
则
，由
可得
，则
，故
平分
，即B 正确；
对于C，如图，以
为坐标原点，
所在直线为
轴,建立平面直角坐标系，
则
，即
，因
，不妨设
，
由
可得
，故得
，
解得
，故
，
其中
，故
的最大值为
，故C 错误；
对于D，根据C 项建系，已得
，
则
，
因
，故得
，即
的取值范围为
，故D 正确.
故选：ABD.
热点预测
1．（2025·广东茂名·一模）向量
与
在单位向量
上的投影向量均为
，且
，当
与
的夹
角最大时，
（ ）
A．8
B．5
C．
D．
【答案】D
【分析】建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示出
、
，利用余弦定理确定
，利用
面
积得到
，由此推断
最大时，
最大，
取最小值，利用坐标运算得到：
，
由二次函数性质求最值即可.
【详解】
设为
轴正半轴上的单位向量，
令
，
，
，
如图所示，设
与
的夹角为
，若
，
在
中，由余弦定理有：则
，
而
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，
有根据正弦定理有：
，即
，
整理有：
，所以
，
当
与
的夹角最大时，
最大，
取最小值，
因为
，
当且仅当
时，取等号，所以当
与
的夹角最大时，
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：
本题关键在于建立适当的平面直角坐标系，把向量的数量积用坐标表示，结合二次函数性质求值.
2．（24-25 高一下·福建泉州·期中）已知平面向量
，且
，向量
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题设可得
，又
，易知
，
，将问题转化为平面点线距离
关系：向量
的终点为圆心，1 为半径的圆上的点到向量
所在射线的距离最短，即可求
的最小值.
【详解】∵
，而
，
∴
，又
，即
，
又
，
，
∴
，
若
，则
，
∴
在以
为圆心，1 为半径的圆上，若
，则
，
∴问题转化为求
在圆
上的哪一点时，使
最小，又
，
∴当且仅当
三点共线且
时，
最小为
.
故选：B.
3．（2025·浙江金华·一模）设
为两个非零向量
所成的角，已知对任意
，
的最小值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】令
，根据向量减法及模的几何意义得
即为线段
的长度，数形结
合得
，即可求夹角.
【详解】令
，如下图示，
即为线段
的长度，
由对任意
，
的最小值为
，即
，而
，
显然
时，线段
最短，此时
，
所以
，又
，故
或
.
故选：C
4．（2025·吉林松原·模拟预测）在菱形
中，
分别是边
的中点，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将
用
表示，利用平面向量的数量积求出
，计算
即可得解.
【详解】由题意，得
，
在菱形
中，
，
所以
，
所以
．
故选:D.
5．（2025·新疆·模拟预测）已知点P 是圆
上的一点，过点P 作圆M：
的切线，切点分别为A，B，则
的最小值为（ ）
A．
B．8
C．
D．6
【答案】D
【分析】设
，数形结合得到
，表达出
，令
，则
，构造函数，求导，得到单调性，进而求出最小值.
【详解】设
，
，
，
由对称性可知
，
，
因为
，所以
，
显然，当
最小时，
最小，此时
最大，
当
最大时，
最大，此时
最小，
连接
与圆
交于
，此时
最小，
最小值为
，此时
，
，故
，
延长
交圆
于
，此时
最大，
最大值为
，此时
，
，故
，
所以
，
故
，
令
，则
，
令
，
，则
，
令
得
，令
得
，
故
在
上单调递减，
所以
在
处取得最小值，
此时
，所以
的最小值为6.
故选：D
6．（2025·广东佛山·一模）（多选）在
中，
，
，则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．
C．
在
方向上的投影向量为
D．若
，则
【答案】AC
【分析】A 选项对题干条件直接根据数量积的定义，化简成
，然后根据边角转化求解；B
选项利用两角和的正切公式求解；C 选项结合正弦定理，投影向量公式求解；D 选项根据正弦定理算出三
边长度之后根据数量积定义求解.
【详解】A 选项，对于
，根据数量积的定义展开可得，
，
即
，即
，由正弦定理，
，
即
，则
为锐角，由
，
解得
，
，A 选项正确，
B 选项：由A 选项和题干可知，
，
，故
，B 选项错误.
C 选项：
在
方向上的投影向量为
，
由B 知，
，
，且
，解得
，
由正弦定理，
，则
，C 选项正确.
D 选项：由正弦定理，
，即
，解得
，
于是
，
，D 选项错误.
故选：AC
7．（24-25 高三上·海南·月考）（多选）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
为
平面内一点，下列说法正确的有（ ）
A．若
为斜三角形，则
B．若
，则
为
的内心
C．已知
中，
，
，
，
为
的外心，若
，则
的值
为
D．在
中，
，
，若
与线段
交于点
，且满足
，
，
则
的最大值为
【答案】ABD
【分析】对于A 选项：利用三角形内角和，两角和的正切公式可得；
对于B 选项：根据向量证明
在三角形内角的角平分线上即可；
对于C 选项：根据向量的线性运算和等量关系，求出
，即可判断；
对于D 选项：根据
，即向量的数量积运算，得到
，
的关系，再利用基本不等式即可判
断.
【详解】对于A，因为
，
所以
，
得
，
整理得
，故A 正确；
对于B，
，
，
又
，
即
整理得
，
因为
，
分别为
，
方向上的单位向量，
故
在
的角平分线上，
同理可证
也在
和
的角平分线上,
故
为
的内心，故B 正确
对于C，
如图，
为
的外心，
，
，
，
，
则
，
因为
，
共线，
，
共线，
所以
，
，
即
，
，
因为
，所以
，
所以
，
，
由
，得
，解得
故
，故C 错误；
对于D，因为
，
，
所以
，
，
，
由
，得
，
即
，
因为
与线段
交于点
，故
，
，
故
，即
，
当且仅当
时，等号成立，故D 正确.
故选：ABD.
8．（2025·北京·模拟预测）已知平面向量
满足
且
，
则
的最大值为 .
【答案】
【分析】先根据已知条件求出向量
与
的夹角，再通过建立平面直角坐标系，将向量坐标化，然后根据
得到点
的轨迹方程，最后根据向量数量积的坐标运算求出
的最大值.涉及的知识点
有向量的数量积公式、向量夹角公式、向量数量积的坐标运算以及圆的方程.
【详解】设向量
与
的夹角为
，
.根据向量数量积公式，
已知
，
，
，可得：
解得
，所以
.
不妨设
，
，
.
，
.
因为
，所以
.
展开可得
，配方得
.
这表明点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆.
.设
，即
.
根据点到直线的距离公式，圆心
到直线
的距离
.
因为点
在圆上，所以圆心到直线的距离
（为圆的半径），即
.
则
，即
.
解不等式可得
.
所以
的最大值为
，即
的最大值为
.
故答案为：
.
9．（2025·湖南长沙·三模）已知向量
，则当
取得最大值时，
．
【答案】5
【分析】先运用向量坐标运算得到
的坐标，再分别设
，
与
轴的夹角为
，
，然后将
用
，
表示出来，再用基本不等式求函数取得最大值时的
.
【详解】由
，得
，代入
和
，
，所以
，
设
为
与 x 轴正方向的夹角，则
，
设
为
与 x 轴正方向的夹角，则
，
夹角
，其正切值为
，
所以
，令
，
当
时，
，
当且仅当
，即
时，
取到最大值
，
又当
时，
，
综上：当
时，
取到最大值，即
取到最大值.
故答案为：5.
10．（2025·天津河北·二模）如图，在
中，点D，E 在边BC 上，且
，点F，M 分
别在线段AB，AD 上，且
，直线FM 交AE 于点G，且
，则
．
若直线MC 交AE 于点N 且
是边长为1 的等边三角形，则
．
【答案】
/
【分析】根据图形得到
，结合三点共线即可求参数值，延长
交
于
，设
，进而有
，可得
，且
，分别过
作
，交
于
，可得
，
，进而有
，最后应用向
量数量积的运算律求解.
【详解】由题设
，
又
三点共线，则
，可得
，
如下图，延长
交
于
，
由
，
若
，则
，而
三点共线，
所以
，即
，
由
，
分别过
作
，交
于
，
若
，则
，
，
所以
，
，
即
，
，
综上，
，则
，
为边长为1 的正三角形，
所以
.
故答案为：
，
模拟训练
一、单选题
11．（2025·河南·一模）已知
，且
，则
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，并利用位置关系求得
，设
，结合平面向量线
性运算以及余弦定理可求得当
三点共线时取得最小值
.
【详解】如图所示：
由题意得
.
设
，
则
.
作点
关于直线
的对称点
，连接
.
由题可知
，
则
，
在
中，由余弦定理可得
；
所以
，
当且仅当
三点共线时取等号.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将表达式中的
进行转化，记
，再结合平面向量线性运
算以及余弦定理可求得结论.
12．（2025·安徽池州·二模）已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，
是
的右支上一点，
在
轴上的射影为
，
为坐标原点.若
，则
的
离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
与
交于点
，根据条件可得
，
，求出点
的坐标，由
关系求出点
的坐标，利用
得到
关系，运算得解.
【详解】如图，设
与
交于点
，
由
，且
是
的中点，
所以
，又
，
所以
，又
，易得
，
，
则
，代入双曲线方程可得
，
设点
，则
，
，
又设
，由
可得
，即
，
由
，得
，即
，
化简整理得
，
，解得
或
，
又
，
，解得
.
故选：D.
13．（2025·山东聊城·模拟预测）已知
为坐标原点，
与
为单位向量，
，
在定直线
上，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
与
为单位向量及
分析可知
的夹角为
.令
，则
，点
是以原点为圆心，
为半径的圆上的动点，且
.结
合图形即可求解.
【详解】因为
与
为单位向量，
，
∴
.
又
，
，即
的夹角为
.
∴点
是以原点为圆心的单位圆上的动点，且
.
令
，则
，
易知点
是以原点为圆心，
为半径的圆上的动点，
∴
.
如图1，设直线
，过点
作
直线于点
，作
直线
于点
.
则
.
又
，
可知如图2，当点
在点
处，点
在线段
上时，
取得最小值
此时
，最小值为
.
∴
.
故选：B.
14．（2025·湖南·三模）过点
作一直线与抛物线
交于
，
两点，若抛物线
在
，
两点处的切线交于点
，且点
满足
，则
的值是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【分析】本题由直线与抛物线的位置关系可知直线的斜率存在，可设直线方程为
，代入抛物线得
一元二次方程，设点
，
，从而求得
，利用导数，求出两条切线的斜率之积为
，
再由向量关系推出
，得出
，即可求得p 值.
【详解】由题意得，设直线l 方程为
，
，
，将直线l 方程代入抛物线得
，则
.
由
得，
，则
，
所以在
两点处的切线的斜率分别为
，
，所以
.
又因为
，两边平方并整理得，
，所以
，
，所以
，即
，所以
.
故选：A.
15．（2025·重庆九龙坡·三模）在
中，角
所对的边分别为
，已知
,
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据正余弦定理化简已知条件得
，即可求得
，由向量模的运算法则得
，结合数量积定义及运算律，利用基本不等式求解最值即可.
【详解】因为
，所以由正弦定理得
，
即
，由余弦定理得
，又
，所以
，
由
知
，
所以
，当且仅当
即时等号成立，
所以线段
长度的最小值为
.
故选：D
16．（2025·重庆·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，
为
图象与
轴交点且满足
为等边三角形，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出相邻两条对称轴方程，进而求出
值.
【详解】观察图象得，正
的高为
，则
，又
，因此
，
线段
中垂线方程分别为
，即
是函数
图象相邻两条对称轴，
则函数
的最小正周期
，所以
.
故选：C
17．（2025·四川广安·模拟预测）已知在
中，角
，边
.点
在线段
上满足
，则线段
长度的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理与余弦定理，结合平面向量求长度得出线段
的表达式，再由三角函数值域求解
即可.
【详解】因为
，故
，
而
，则
，
；
因为角
， 设
，
，
代入正弦定理
化简得：
，
则
由
， 两边平方得展开计算得：
，
；
由
，则有
，
，则
，
则
，
因为
，
，
，故
，
所以
，即
当且仅当
，等号成立.
故选：C.
18．（2025·河北·模拟预测）在边长为2 的等边
中，点
为
内切圆上一点，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
【答案】B
【分析】设内切圆圆心
，将
、
、
分解为从
出发的向量；利用等边三角形“重心与内心重
合”的性质，简化向量和为
；通过三角形面积与内切圆半径的关系求得
，进而计算向量和的模
长.
【详解】设点
为内切圆圆心，则
，
则
，
因为
是等边三角形，故点
也是
的重心，
故
，故
，
由等面积得
，则
，
故
.
故选：B
19．（2025·吉林长春·模拟预测）已知平面内两个非零向量
满足
，且
与
的夹角为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，则
，则
中，
，外接圆的半径为1，设
，由正弦定理可得
，则
，利用三
角恒等变换可求最大值.
【详解】设
，则
，
因为
，
与
的夹角为
，
所以在
中，
，
，如图所示，
由正弦定理得
外接圆的半径为
，
则
为圆上与
不重合的动点，
设
，
由正弦定理可得
，
则
，
当
，即
时，
取得最大值
.
故选：B.
20．（25-26 高三上·天津滨海新·月考）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，
图1 是一个正八边形窗花，图2 是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形
的边长
为4，P 是正八边形
边上任意一点，则以下结论正确的个数是（ ）
①
的最大值为
②
在
方向上的投影向量为
③
④若函数
，则函数
的最小值为
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】B
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，写出相关点坐标，设
，利用余弦定理可得
，
对于①，取
的中点为
可推出
，结合图形可知当点
与点
或点
重合时取得最大
值，计算可知①正确；对于②，根据投影向量定义计算可判断其错误；对于③，代入点坐标计算可知错误；
对于④，将点坐标代入所求函数，整理并根据二次函数性质求得其最小值为
，可知④错误.
【详解】易知正八边形
的每条边所对的圆心角都是
，所以
，
以
所在直线为
轴，以
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系，如下图所示：
设
，在
中，由余弦定理，
,
可得
，
且
.
对于①，取
的中点为
，则
,且
；
则
；
由正八边形的对称性可知当点
与点
或点
重合时，
取得最大值，
不妨取
，则
，则
,
所以
，
因此
，即①正确；
对于②，易知
，
所以
在
方向上的投影向量为
，因此②错误；
对于③，易知
，
而
，因此
，即③错误；
对于④，易知
由
可得：
，
由二次函数性质可知当
时，
取得最小值
，
所以函数
的最小值为
，因此④错误.
因此只有①正确.
故选：B
二、多选题
21．（2025·安徽池州·二模）在三棱锥
中，给定下列四个条件：①
；
②
；③
；④
.下列组合
条件中，一定能断定三棱锥
是正三棱锥的有（ ）
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
【答案】ACD
【分析】正三棱锥是指底面是等边三角形，侧面是三个全等的等腰三角形，利用向量数量积的运算律逐个
判断各个选项即可.
【详解】对于A，由①-②得
，
即
，即
，再代回①由数量积的定义可得
，在侧面三个三角形中由余弦定理可得
，
所以由①②一定能断定三棱锥
是正三棱锥，选项A 正确；
对于B，由①得
，
化简即为③，而由①得
，即
，
同理可得
，
即
在底面的投影为
的垂心，但无法保证
为等边三角形，
所以由①③不一定能断定三棱锥
是正三棱锥，选项B 不正确；
对于C，由④-②得
，即
，
代入④可得
，
在侧面三个三角形中由余弦定理可得
，
，
，
三式两两相减得
，
化简可得
，所以由②④一定能断定三棱锥
是正三棱锥，选项C 正确；
对于D，由③+④得
，由选项C 可知，选项D 正确.
故选：ACD.
22．（2025·山东·模拟预测）在艺术、建筑设计中，把短对角线与长对角线长度之比为
的菱形称
为“白银菱形”．如图，在白银菱形
内，有三个全等的小白银菱形
．若
，则（ ）
A．
与
共线
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据菱形性质，可判断A；由
，利用二倍角公式可得
，判断B；根据
菱形性质，可得
为等腰直角三角形，从而求得小菱形边长为1，根据数量积运算判断C、D.
【详解】根据题意，在白银菱形
内，
设
，则
，
在小白银菱形
中，
而
所以
，则
与
共线，A 正确；
由于
，则
，
因
,则
，B 正确；
由于
，根据菱形性质可知
，
又
，根据对称性可得
，所以
，
在
中，设小白银菱形边长为
，则
，
，所以
，
则
，C 错误；
，D 正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：在
基础上得到
为等腰直角三角形，从而求得小菱形边长为1 是解
题的关键.
23．（24-25 高一下·江苏盐城·期中）已知
，
与
夹角为
，若
且
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
在
上的投影向量为
B．当
时，
C．当
时，
D．
的最大值为0
【答案】BCD
【分析】根据已知得
是边长为2 的等边三角形，且
，由投影向量的定义及向量的线性
关系判断A；由题设
在
中边
的中线上，进而有
判断B；应用向量数量积的运算律及
模长列方程求参数值判断C；化
，进而得到
，结合
有
，即可得
判断D.
【详解】由题设，
是边长为2 的等边三角形，且
，
A：当
时，
，又
，即
，故
在
上的投影向量为
，错；
B：当
时，
，即
在
中边
的中线上，
又
为等边三角形，故
，即
，对；
C：当
时，
，则
，
所以
，
所以
，即
，又
，故
（负值舍），对；
D：
,
由
，即
①，
所以
，要使该值最大，只需
最小，
由①得
，则
，所以
，对.
故选：BCD
24．（24-25 高一上·辽宁大连·期末）如图，已知
分别是
边
上的点，且满足
，
，
与
交于
，连接
并延长交
于
点．若
，则实数
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】由
共线、
共线分别可得
、
，
进而得
、
求参数，得
，最后由
且
共线求参数
.
【详解】由
共线，则
，
，
所以
①，
由
共线，则
，
，
所以
②，
由①②知：
，则
，故
，
由
，则
，
由
共线，则
，可得
.
故选：A
【点睛】关键点点睛：令
、
，利用不同参数及
表示出
为关键.
25．（23-24 高三上·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中
一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内
容是：如图所示，已知
是
内一点，
，
，
的面积分别为
，且
．以下命题正确的有（ ）
A．若
，则
为
的重心
B．若
为
的内心，则
C．若
，
为
的外心，则
D．若
为
的垂心，
则
【答案】ABD
【分析】对于A，取
中点
，连接
，由题意可得
，即有
，同理可得
，
，即可判断；对于B，设内切圆的半径为，由三角形的面积公式可得
，整理即可判断；对于C，设
的外接圆半径为
，根据
题意及三角形的面积公式可得
，
，
，即可判断；对于D，由题意可得
，再由三角形的面积公式可得
，
，设
，可得
，
进而可得
，
，
，即可判断.
【详解】解：对于A，取
中点
，连接
，
因为
，
则
，
所以
，
，
所以
三点共线，且
，
设
分别是
的中点，
同理可得
，
，
所以
为
的重心，故A 正确；
对于B，因为
为
的内心，
设内切圆的半径为，
则有
，
所以
，
即
，故B 正确；
对于C，因为
为
的外心，
设
的外接圆半径为
，
又因为
，
则有
，
，
，
所以
，
，
，
所以
，故C 错误；
对于D，延长
交
于
，延长
交
于
，延长
交
于
，如图所示：
因为
为
的垂心，
，
则
，
又因为
，
则
，
设
，
因为
，
同理可得
，
则
，
所以
，
所以
，
所以在
中，
，
所以在
中，
；
所以在
中，
，
所以在
中，
；
所以
，
所以
，故D 正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解三角形的重心、内心、外心、垂心.
三、填空题
26．（2025·江苏盐城·三模）如图，将边长为1 的正五边形
的各边延长，得到一个正五角星.若
点
在正五角星的内部（含边界），则
的最小值为 .
【答案】
【分析】按照PQ 所处的位置分类，结合向量数量积的几何意义及图形特征可得
点分别在图中的
处时取最小值，利用黄金分割即可求解.
【详解】要使
最小，它们夹角必定为钝角或平角，若
在五角星内，
只要延长
与边界相交于点
，在保持
夹角不变情形下，
，则
，
所以
必定在五角星边界上先考察点
位置，根据对称性，分两种情形：
1．点
在
边
上：
①先考虑极端情形：若点
与右顶点
重合，
则
在
上投影向量的模最长且与
反向的就是
（即
与
重合），所以此时
最小，
②再考虑一般情形：利用微调法分析，当点
在边
上由
向
移动时，
变小，
且
在
上投影向量的模
也变小为
，故
变大，不合题意；
2．点
在
的边
上：
①先考虑极端情形：若点
与顶点
重合，则此时
，但注意到
在
上投影向量的模最长
且反向的是
，
且根据相交弦定理知：
，所以此时
②再考虑一般情形：利用微调法分析，当点
在边
上由
向
移动时，
变小，而
在
上投
影向量
的模会变大，
过
作
的垂线
，垂足为
，则
四点共圆，
由相交弦定理知
，
所以此时
，
如图：在顶角为
的等腰三角形，设
，
取
,则
,所以
，解得
，
所以
,
综上，当
，
分别与顶点
重合时，
取最小值
由于黄金分割比
，而
，则
，
同理
，则
，
所以
,
故答案为：
【点睛】关键点点睛：按照PQ 所处的位置分类，结合向量数量积的几何意义及图形特征分类求解.
27．（2025·河南·二模）已知点
在抛物线
上，过点
作圆
的两条切线，
切点分别为
，
，则
的最小值为 .
【答案】
/
【分析】设
，利用向量数量积定义求得
的表达式，进而利用三角函数求得其最小值.
【详解】圆
的圆心为
，半径为
，
设
，则
，当且仅当
时取等号，
连接
，设
，则
，
，
则
又
，则
，
所以
，则
，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将
转化为
的三角函数.
28．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知圆
和定点
，若点P、Q 分别为圆O 外和圆O
上两点，且满足
，
，则
的最小值为 ．
【答案】
/0.8
【分析】由题意得
，由
得点
在直线
上运动，结合点
到直线的距离公式即可求解.
【详解】
因为
，
，设
，
则
，
设
，因为
，
所以
，即点
在直线
上运动，
设
，点
在直线上，
所以
，等号成立当且仅当
重合.
故答案为：
.
29．（2025·天津河西·模拟预测）已知
是边长2 为正三角形，
是
的中心，过点
的动直
线交
于点
，交
于点
，设
，
，
，
，则
；
的最小值为 ．
【答案】 3
【详解】
连接AO，并延长交BC 于点D，易知点D 为BC 的中点，
所以，
.
又因为
是
的中心，所以
是
的重心，即
，
所以
.
因为
，
，所以
，
，
所以
. 因为M，O，N 三点共线，所以
，
所以，
.
因为
，
，
所以，
，
又
，所以，
.
由
，得
，
，
令
，当
和
重合时，
为
上中线，此时
,
所以
，则
，
得
.
根据对勾函数的单调性可知，
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，
，所以
，
所以，
.
因为
，
所以，根据二次函数的性质可知
，
所以
的最小值为
.
故答案为：3，
.
30．（2025·四川南充·一模）在平面中，
和
是互相垂直的单位向量，向量
满足
，向量
满足
，则
的最大值为 ．
【答案】4
【分析】先求出两个轨迹方程，可设
，
，则
，由辅助角公式表示出
的最大值，再由二次函数的性质
求出答案.
【详解】因为
和
是互相垂直的单位向量，所以设
，
，
设
，由
可得：
，
表示动点
到两点
的距离之和为
，
则
，
所以
点的轨迹是以
为焦点的椭圆，且
，
，
则
点的轨迹方程为：
，
设
，由
可得：
，
表示动点
的轨迹是以
为圆心，半径为的圆，
所以动点
的轨迹方程为
，
所以可设
，
，
，
所以
，
，
所以
，其中
，
所以当
时，
的最大值为
，
，
当
时，
的最大值为
.
故答案为：
