文档文本内容
【培优点01：极化恒等式与等和线】
知
梳理
【
识
】
1.极化恒等式：设平面向量
，则
在
中，
为
边的中点，则
推导依据：
令
，
，则
，
，代入向量形式即得
(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“长对角线”与“短对角线”
平方差的
.
(2)在平行四边形
中，
是对角线交点，则：
①
（平行四边形形式）；
②
（三角形形式）.
已知平面内一组基向量
及任一向量
，且
，若
，则
三点共线，反之亦成立.
平面内一组基向量
及任一向量
，且
，若点
在直线
上（或
平行于
的直线上），且
（
，且直线
直线
），则
（定值），
反之也成立，我们把直线
以及与直线
平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.
(1)当等和线为直线
时，
；
(2)当等和线在
点和直线
之间时，
；
(3)当直线
在
点和等和线之间时，
；
(4)当等和线过
点时，
.
点
【热
题型1：利用极化恒等式求向量的数量积】
（24-25
一下
定
考）如图，在
高
河北保
月
△ABC中，D 是BC的中点，E，F 是AD上的
两个三等分点
若
．⃗
BA ⋅⃗CA = 4，⃗BF ⋅⃗CF =−1，则⃗BE⋅⃗CE的值为（ ）
知识讲解与常考题型
题型分类
经典例题
例题
A．5
9
B．7
8
C．1
D．2
规律方法
结
【
总
】
规律方法在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤：
(1)取三角形边的中点，连接向量的起点与终点；
(2)用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；
(3)求出中线及第三边的长度，从而求出数量积的值.
注：对于不共起点或不共线的向量需通过平移转化为共起点（共终点）的向量，再利用极化恒等式.
（2024
长
一模）如图，在平行四边形
湖南
沙
ABCD中，AB =1, AD =2，点
E , F ,G , H分别是AB ,BC ,CD , AD边上的中点，则⃗EF ⋅⃗FG+⃗GH ⋅⃗HE =
A．3
2
B．−3
2
C．3
4
D．−3
4
（24-25
一上上
）如图，在
高
海课堂例题
△ABC中，若AB = 4，AC =6，
∠BAC =60
∘，D、E 分别在边AB、AC上，且⃗AB =2⃗AD，⃗AC =3⃗AE，点F 为DE的中点，求⃗BF ⋅⃗DE
的值．
（23-24
三下
长
考）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平
高
湖南
沙月
行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a⋅b= 1
4 (|⃗AD|
2−|⃗BC|
2)，我
们称为极化恒等式. 已知在△ABC中，M是BC中点，AM =3，BC =10，则⃗AB⋅⃗AC =（ ）
小试牛刀1
小试牛刀2
小试牛刀3
A．−16
B．16
C．−8
D．8
点
【热
题型2：利用极化恒等式求向量数量积的取值范围】
（
六
联考
安徽省
校
2025-2026
三上
学年高
学期1
质
数
）在等
形
月素
检测
学试题
腰梯
ABCD 中， AB // DC ，AB =2BC =2CD =2， P 是线段 CD 上的动点，则 ⃗PA ⋅⃗PB 的最小值为
（ ）
A．−2❑√2
B．−1
4
C．−3
4
D．0
规律方法
结
【
总
】
核心考点：极化恒等式的几何转化、动点轨迹下中线/线段长度的取值范围、数量积与几何量的关联
方法技巧：
1.选中点转化：对目标数量积
，取线段
的中点
，利用极化恒等式转化为
，
将“数量积的取值范围”转化为“
的取值范围”.
2.分析
的范围：根据动点
的轨迹（如线段、圆、折线等），结合几何图形的性质（如圆的半径、
线段的长度限制），确定中点
到动点
的距离
的最大值与最小值.
3.代入计算：将
的最大值、最小值分别代入极化恒等式，计算得到数量积的取值范围.
易错规避技巧：
1.中点选取错误：需选取目标向量公共端点对应的线段中点，不可随意选取其他线段的中点.
2.轨迹边界遗漏：动点轨迹的边界点（如线段端点、圆的直径端点）往往对应
的最值，需完整分析.
3.模长运算错误：极化恒等式中涉及
（即
），避免误算为
.
（25-26
上
高二
·江苏苏州·
考）在平面直角
标系中，直线
月
坐
l与圆
C ：x
2+ y
2+2 x−2 y =0交于A ,B两点，且△ABC的面积为1，已知M是圆C上的动点，则⃗MA ⋅⃗MB的
最大值为（ ）
A．2❑√2+1
B．2❑√2+2
C．4+ ❑√2
D．4+2❑√2
（25-26
上
高二
·河南·
考）已知动点
月
M ( x , y)与定点F(2,0)的距离和M 到定直线
l: x =8的距离的比是
数
常
1
2．
(1)设动点M 的轨迹是
线
曲
C，求
线
曲
C 的方
出
线
程并指
曲
C 是
线；
什么曲
(2)已知点P 为
线
曲
C 上任意一点，RS是圆N :( x−1)
2+ y
2= 4的直径，求⃗PR⋅⃗PS的取值范围．
经典例题
例题
小试牛刀1
小试牛刀2
（25-26
上
高二
·云南曲靖·
考）在
月
△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，
c，若❑√2c =asinC +c cos A，a=b= ❑√2，E 为边BC上的动点，则⃗EA ⋅⃗EB的最小值为 .
点
【热
题型3：利用等和线求基底系数和的值】
（2024
模）如图，在平行四边形
河北衡水二
ABCD 中，AC，BD 相交于点O，E 为线
段AO 的中点.若⃑BE = λ⃑BA + μ⃑BD (λ , μ∈R)，则λ+ μ等于
A．1
B．3
4
C．2
3
D．1
2
规律方法
结
【
总
】
规律方法利用等和线求基底系数和的步骤：
(1)确定基底；
(2)平移直线，作出满足条件的等和线；
(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的长度.
（23-24
一下
考）设
高
广东潮州月
D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，
AD = 1
2 AB，BE = 2
3 BC，AE与CD相交于点F.
(1)若⃗DE = λ1⃗AB+ λ2⃗AC（λ1、λ2为
数），求
实
λ1+ λ2的值；
(2)若⃗AF = λ3⃗AB+ λ4⃗AC（λ3、λ4为
数），求
实
λ3+ λ4的值.
（23-24
三
作
）设
高
福建课后
业
D，E分别是ΔABC的边AB，BC上的点,
AD = 1
2 AB,BE = 2
3 BC,若⃗DE = λ1⃗AB+ λ2⃗AC (λ1，λ2为
数
实
),则λ1+ λ2的值为
A．1
B．2
3
C．1
2
D．1
6
（24-25
三全国
作
）在
高
课后
业
△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，⃗
AN = λ⃗AB+ μ⃗AC，则λ+ μ的值为（ ）
A．1
2
B．1
3
C．1
4
D．1
点
【热
题型4：利用等和线求系数范围】
小试牛刀3
经典例题
例题
小试牛刀1
小试牛刀2
小试牛刀3
1.(2017·全国Ⅲ卷)在矩形
中，
，
，动点
在以点
为圆心
且与
相切的圆上，若
，则
的最大值为（）.
A.3 B.
C.
D.2
规律方法
结
【
总
】
核心考点：动点轨迹对应的等和线平移、等和线的
值与系数和的对应关系、临界位置的等和线分析
方法技巧：
1.确定基准：以
为基底，直线
为基准等和线（对应系数和
）.
2.分析动点约束：明确动点
的轨迹（如线段、圆、封闭区域等），梳理轨迹的边界特征.
3.找临界等和线：平移基准等和线，使其与动点轨迹的临界位置（如线段端点、区域边界）相交/相切，
得到
的临界值（最大值、最小值）.
4.确定范围：结合临界等和线对应的
值，得到基底系数和
的取值范围.
易错规避技巧：
1.临界位置遗漏：动点轨迹的所有边界点（如线段的两个端点、圆的切线切点）都对应
的临界值，需逐
一分析.
2.平移方向与
的关系混淆：等和线向远离基底公共起点
的方向平移时，
值增大；向靠近
的方向平
移时，
值减小.
3.忽略轨迹封闭性：若动点轨迹是封闭区域（如三角形、圆），需覆盖所有可能的等和线，避免范围缺失.
如图,给定两个长度为1 的平面向量
和
,它们的夹角为
,点
在以
为
圆心的圆弧
上变动.若
,其中
,则
的最大值是（）.
A.
B.2C.
D.3
在平行四边形
中，
，
，
，平面
内有
一点
，满足
.若
（
），则
的最大值为（）.
A.
B.
C.
D.
边长为2 的正六边形
中，动圆
的半径为1，圆心在线段
（含端
点）上运动，
是圆
上及其内部的动点.设向量
（
），则
的取值范围
是（）.
A.
B.
C.
D.
一．选择题（共5 小题）
经典例题
例题
小试牛刀1
小试牛刀2
小试牛刀3
课后针对训练
1．（2024 秋•安徽月考）如图，在四边形MNPQ 中，已知NO
→
=OQ
→
，|OM
→
|=6，|OP
→
|=10，
MN
→
⋅MQ
→
=−28，则NP
→
⋅QP
→
=（ ）
A．64
B．42
C．36
D．28
2．（2024•杭州模拟）已知正方形ABCD 的面积为2，点P 在边AB 上，则PD
→
⋅PC
→
的最小值为（ ）
A．
❑√6
2
B．3
2
C．2
D．❑√2
3．（2024 春•仙游县校级月考）如图，BC，DE 是半径为1 的圆O 的两条直径，BF
→
=2 FO
→
，则
FD
→
⋅FE
→
=（ ）
A．−3
4
B．−8
9
C．−1
4
D．−4
9
4．（2024 春•福州期中）在矩形ABCD 中，AB =2❑√2，AD＝2，E 为线段BC 的中点，F 为线段CD 上靠
近C 的四等分点，则AE
→
⋅AF
→
的值为（ ）
A．4
B．8
C．9
2
D．5
5．（2025 秋•兰州月考）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O，点E 是线段OD 的中点，AE 的
延长线与CD 交于点F，若AC
→
= a
→
，BD
→
= b
→
，且AF
→
=λa
→
+μb
→
，则λ+μ 等于（ ）
A．1
B．3
4
C．2
3
D．1
2
二．多选题（共1 小题）
（多选）6．（2025 秋•兴平市月考）给定两个长度为1 的平面向量OA
→
和OB
→
，它们的夹角为2π
3 ，如图所
示，点C 在以O 为圆心的劣弧^
AB上运动，若OC
→
= xOA
→
+ y OB
→
( x，y ∈R)，则x+y 的取值可以是（
）
A．1
B．5
4
C．2
D．5
2
三．填空题（共4 小题）
7．已知点A，B 在双曲线x
2
16 −y
2
4 =1 上，且线段AB 经过原点，点M 为圆x2+（y﹣2）2＝1 上的动点，则
MA
→
⋅MB
→
的最大值为 ﹣
7
．
8．（2024•浙江二模）如图放置的边长为1 的正方形ABCD 的顶点A、D 分别在x 轴、y 轴正半轴上（含原
点）上滑动，则OB
→
⋅OC
→
的最大值是
2
．
9．（2025 秋•孝南区校级月考）给定两个长度为1 的平面向量OA
→
和OB
→
，它们的夹角为2π
3 ．如图所示，
点C 在以O 为圆心的圆弧^
AB上运动．若OC
→
= x OA
→
+ y OB
→
，其中x、y∈R，则x+2y 的最大值为
2❑√21
3
．
10．（2024•南通模拟）如图，四边形OABC 是边长为1 的正方形，点D 在OA 的延长线上，且OD＝2，点
P 为△BCD 内（含边界）的动点，设OP
→
=αOC
→
+βOD
→
（α，β∈R），则α+β 的最大值等于
3
2 ．
