文档文本内容
专题03 导数小题压轴
压轴分析
高考数学中，导数小题往往以压轴题形式出现，其难点不仅在于计算，更在于对导数工具的综合运
用与代数结构的深度解析。真正的压轴难点在于将几何直观、代数变形与极限分析融为一体，考查
学生在复杂情境下选择与转化策略的能力。命题人常通过含参函数、切线及公切线、隐零点、极值
点偏移等情境设置障碍，其核心是检验学生能否突破形式限制，洞察问题本质，灵活选取求导、构
造、放缩、数形结合等方法。解题的关键在于建立“分析-转化-求解链”：首先分析题目结构，识
别其属于单调性、极值、零点或不等式中的哪一类问题；然后通过求导、换元、分离参数等手段进
行代数转化；最后结合函数性质、极限思想或特殊点取值完成严谨推理。掌握“结构识别→方法选
择→严谨推证”的思想路径，方能从抽象问题中构建清晰、简洁的解答框架。
知识总结
1. 函数切线相关问题
核心问题
关键方程/结论
说明
求切线方程（在某点）y −f ( x0)= f
′( x0)( x −x0)
已知切点 ( x0,f ( x0))，利用导数求斜率
求切线方程（过某点）
设切点 ( x0,f ( x0))，列方程：
1. 斜率 k = f
′( x0)
2. 点斜式：
y P−f ( x0)= f
′( x0)( xP−x0)
点 P( xP, y P) 为曲线外一点，通过解方程
求 x0
公切线问题
设两曲线 y = f ( x) 与 y = g( x)
若存在公切线，设切点分别为 (a,f (a))
, (b, g(b))
则：
1. 斜率相等： f
′(a)= g
′(b)
2. 切线重合：
f (a)−f
′(a)a= g(b)−g
′(b)b
转化为关于 a,b 的方程组，讨论解的存在
性
常用切线放缩（不等
式）
e
x≥x +1（当且仅当 x =0 取等）
ln x ≤x−1（当且仅当 x =1 取等）
sin x ≤x（当 x ≥0 时）
cos x ≥1−x
2
2
利用切线构造不等式桥梁，是比大小与证明
题的重要工具
2. 导数与函数性质
2.1 单调性
在区间I 上：f
′( x)>0⇒f ( x) 单调递增；f
′( x)<0⇒f ( x) 单调递减
关键步骤：先求 f
′( x)，再解不等式 f
′( x)>0 或 f
′( x)<0 确定单调区间。含参时需分类讨论导数的符
号。
2.2 极值与最值
极值的必要条件：若 f ( x) 在 x0 处可导且取得极值，则 f
′( x0)=0。
极值的第一充分条件：通过 f
′( x) 在 x0 两侧的符号变化判断。
极值的第二充分条件：若 f
′( x0)=0 且 f
′ ′( x0)≠0，则：
f
′ ′( x0)>0⇒极小值；f
′ ′( x0)<0⇒极大值
求连续函数在闭区间 [a,b] 上的最值：比较端点值 f (a),f (b) 和所有极值点的函数值。
3. 导数与函数的零点（方程的根）
3.1 零点存在性定理（结合单调性）
若 f ( x) 在 [a,b] 上连续，且 f (a)⋅f (b)<0，则 f ( x) 在 (a,b) 内至少有一个零点。若再配合
f ( x) 在 [a,b] 上严格单调，则零点唯一。
3.2 “隐零点”问题的处理
当方程 f
′( x)=0 的解 x0 无法精确求出时：
1. 设 x0 为 f
′( x)=0 的根，并确定其大致范围（如 x0∈(m,n)）。
2. 将 f ( x0) 用 x0 满足的方程（如 e
x0= 2
x0
）进行代换化简。
3. 将 f ( x0) 转化为关于 x0 的新函数 h( x0)，利用其单调性估计范围或符号。
4. 常见不等式证明与放缩
目标
常用方法
证明 f ( x)>0（恒成立）1. 求 f min ( x)，证明最小值 >0
2. 利用常见不等式（如切线放缩）进行放缩
证明存在 x0 使
f ( x0)>0
寻找特殊点代入，或利用极限思想（如 x→+ ∞ 时
f ( x)→+ ∞）
含参不等式恒成立
1. 分离参数： a>g( x) 恒成立 ⇒a>gmax ( x)
2. 不分离参数：讨论函数 f ( x ,a) 的最值，对 a 分类讨论
5. 解题流程要点
1. 结构识别：审题判定问题属于切线、单调性、极值、零点、不等式中的哪一类或哪几类的综合。
2. 方法选择：
切线问题：关注“切点”、“斜率”、“点在线上”的几何条件。
单调性/极值：求导，讨论 f
′( x) 符号。
零点问题：结合单调性与零点存在定理，或转化为两函数图像交点。
不等式证明：考虑最值法、放缩法或构造函数法。
3. 严谨推证：含参问题注意分类讨论的完整性；利用导数工具时，定义域优先；涉及极限、趋近过
程时，表述需严谨。
典例精讲
【典例1】
（24-25 高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线
与
的公共切线，则直线
的方程可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程.
【详解】设直线与曲线
的切点坐标为
，直线与曲线
的切点坐标为
，
直线方程为
，
，
，
直线的方程为
，
又
，
直线的方程化简为
，
，
，
直线的方程为
，
又
，
直线的方程化简为
，
直线为曲线
与
的公共切线，
①，
②，
由①得
，两边取对数得，
，
，
代入②中得，
，即
，
解得
或
，
当
时，
，
，直线的方程为
；
当
时，
，
，直线的方程为
；
根据选项可知直线的方程可以为
.
故选：C.
会一题通一类
1．已知直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则a 的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设直线
与
，
分别切于点
，根
据导数的几何意义，可得斜率
，化简计算，可得
，设
，利用导数可得
的单调区间和极值，分析即可得答案.
【详解】设直线
与
，
分别切于点
，
由
，得
，由
，得
，
由导数的几何意义可得
，
所以
，则
，
所以
，则
，
所以
，
设
，则
令
，解得
，
当
时，
，则
单调递增，
当
时，
，则
单调递减，
所以
的极大值为
，
所以
，即a 的最大值为
，
故选：A
2．（24-25 高二下·山东临沂·期中）已知曲线
与
有公共切线，求实
数a 的取值范围是
【答案】
【分析】由题意可知在
存在公切线，由同一条切线的斜率相等，截距相等可将问题转化为方程
在
上有解，构造函数
，利用导数求得
的值域，结合
题干条件
可求得实数a 的取值范围.
【详解】由题意可知在
上分别存在两个点
，使得
在
处的切线与
在
处的切线
为同一条直线，
因为
，由同一条切线的斜率相等可得
，
由同一条切线的截距相等，可得
，
即
，
将斜率相等的表达式代入可得
，
即方程
在
上有解，
令
，则
，
令
，得
，当
时，
；当
时，
，
且当
时，
；当
时，
，
所以
存在极大值同时也是最大值
，所以
的值域为
，
若方程
在
上有解，则
，
又
，所以
.
故答案为：
.
【典例2】
（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数
，若曲线
与
有两条
公切线，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义，结合公切线建立方程组，消元构造函数，利用函数有两个
零点，借助导数求出范围.
【详解】设公切线与曲线
、曲线
相切的切点分别为
，
而
，依题意，
，则
，因
，则
，
消去
得
，令函数
，
由曲线
与
有两条公切线，得函数
有两个不同的正零点，
，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上递减，在
上递增，
，
而当从大于0 的方向趋近于0 时，
，当
时，
，
则当且仅当
，即
时，函数
有两个不同零点，
所以
的取值范围是
.
故选：C
会一题通一类
1．（24-25 高二下·湖北·月考）从点
可向曲线
引三条不同切线，则a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先设出切点坐标，根据两点坐标写出直线的斜率再根据切点的导数值等于切线的斜率列方程，因
为有三条不同切线所以对应方程有三个不同的解，即对应函数有三个零点，通过函数的导数研究函数的单
调性与极值并确定极值的取值范围从而求出的取值范围.
【详解】设曲线在点
处的线线过点
，
由
，求导得
，所以
，
所以曲线
在
处的切线方程为
，
因为从点
可向曲线
引三条不同切线，
所以
有三个不同的解，即
有三个不同的解，
设
，该函数有三个不同零点，求导得
，
令
，则
或
，
当
或
，
，当
，
，
所以：函数
在
区间单调递减，在
和
区间上单调递增，
所以函数在
和
处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点，
则
，即
，解得
.
故选：B.
2．（25-26 高三上·山东济宁·期中）已知函数
，过点
可作出曲线
的三条切
线，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设出切点坐标，根据导数几何意义求出切线方程，由题意
有三个不同的解，
设
，利用导数研究函数的单调性与极值并确定极值的取值范围，即可求解.
【详解】设曲线
在点
处的切线过点
，
由
，得
，所以
，
所以曲线
在
处的切线方程为
，
因为从点
可向曲线
引三条不同切线，
所以
有三个不同的解，即
有三个不同的解，
设
，则该函数有三个不同零点，求导得
，
令
，则
或
，
当
和
时，
，当
时，
，
所以函数
在
区间单调递减，在
和
区间上单调递增，
所以函数在
和
处分别取得极大值和极小值，要想函数
有三个不同零点，
则
，即
，解得
，即的取值范围是
.
故选：B.
【典例3】
（24-25 高二下·辽宁沈阳·月考）已知
，若0 是
的极小值点，则a 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】通过对函数
求导，满足
，然后分类讨论利用导数法研究
的符号，根据极小值
点的概念判断即可.
【详解】对函数
求导得：
，
又由
是函数
的极小值点，所以
，
还需分析
在
附近的符号变化，令
，
则
，
，
当
时，
，
即
在
附近单调递增，又
，
所以当
时，
，当
时，
，满足0 是
的极小值点；
当
时，
，
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，所以
，
所以
单调递增，此时
无极小值点；
当
时，
，
即
在
附近单调递减，
又
，所以当
时，
，当
时，
，
此时0 是
的极大值点，不符合题意；
综上所述：a 的取值范围为
.
故选：B
会一题通一类
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知
，若0 是
的极小值点，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求导，并得到
恒成立，再令
，求出
，分
，
和
三
种情况进行分析，得到
时，满足0 是
的极小值点，求出
的取值范围.
【详解】
，
因为
是函数
的极小值点，所以
恒成立，
令
，则
，
，
当
时，
，
即
在
附近单调递增，
又
，所以当
时，在
附近
，
当
时，在
附近
，满足0 是
的极小值点；
当
时，
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
，所以
单调递增，此时
无极小值点；
当
时，
，
即
在
附近单调递减，又
，
所以当
时，在
附近
，
当
时，在
附近
，
此时0 是
的极大值点，不符合题意．
综上所述：
的取值范围为
．
故选：D
2．（2025·四川巴中·模拟预测）已知
有两个极值点
，且
，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，先求
，则
有两个不同的根
，再将
分离参数得到
，
可以找到相应的两个函数
和
，则这两个函数的图象有两个不同的交点，这两个交点的横坐
标
，再利用
的增减性求出
的最大值，利用图象得到
的取值范围及
的范围，再将
代入
中，得到
的双变量的等式
，通过换元，设
，由
得到
，
得到
，从而得到
，构造函数
，利用
的单调性求出
的最大值，即得到
的
取值范围
，再利用
在
上是增函数，得到
的最大值，从而得到
的取值范围.
【详解】
，
，
有两个极值点
，
有两个不同的根
，
变形为
，
设
，
，则两个函数
和
有两个不同的交点，
，
，
解得
，
在
上是增函数；
解得
，
在
上是减函数；
在
处取得最大值，
的最大值
为
.当
时，
；当
时，
；当
时，
恒成立；当
时，
.
两个函数
和
有两个不同的交点，
；在直角坐标系中画出
和
的图象，
结合图象可知，这两个函数图象的交点的横坐标就是
，又
，则
，
，
，
，设
，
，
，
，
，
，
，设
，
，设
，
，
，
，
在
上是减函数，
，
，
在
上是减函数，
，
，
在
上是增函数；
，
时
取最大值，且
的最大值为
，综上可知
.
故选：D
【典例4】
（2025·山东烟台·三模）若不等式
恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先化简转化为
恒成立，再构造函数
，结合函数单调性求出最值
解题.
【详解】因为
，即
，
令
，则
恒成立，
则
恒成立，
令
，则
，
当
时，
；
当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，故a 的取值范围为
.
故选：C.
会一题通一类
1．（2025·全国·模拟预测）若对任意
，满足
恒成立，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先证明
时，对任意
，满足
恒成立，当
时，将不等式
变形为
，设
，
，利用导数判断函数
的单调性，由条
件结合单调性可得
恒成立，设
，利用导数求函数
的最小值，由此
可得结论.
【详解】若
，则对任意
，
，
，
，
所以对任意
，不等式
恒成立，
若
，则
，
不等式
可化为
，
故
，即
，
由已知
在
恒成立，
令
，
，则
，
恒成立，
因为
时，
，
所以函数
在
上单调递增，又
，
，
所以
恒成立，其中
，
，
即
恒成立．
令
，
，
所以
在
上单调递增，则
，
所以
．
综上可得
，
故选：B．
2．（25-26 高三上·安徽六安·月考）若不等式
对
恒成立，则
的最大值为
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，利用导数求得
，根据题意可得
，设
，利用导数求得
的最大值，分析即可得.
【详解】设
，则
，
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，
由题意，
，则
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
，
所以
的最大值为
.
故选：B
【典例5】
（2025·山东青岛·模拟预测）若函数
有2 个零点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用同构得
有两个不同的解，换元后考虑
有两个不同的零点，
利用导数可求参数的范围.
【详解】因为
有两个零点，
故
有两个不同的解，
所以
有两个不同的解，
故
有两个不同的解，
设
，则
，故
为
上的单调增函数，
而
时，
，
时，
，故
的值域为
，
故
在
上有两个不同的零点，
设
，则
，
当
时，
；当
时，
；
故
在
上为增函数，在
上为减函数，
故
即
，
此时当
时，
，
时，
，
故
时，
确有两个不同的零点，综上
.
故选：D.
会一题通一类
1．（2025·重庆·模拟预测）已知
，若函数
存在两个零点，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意得
，构造函数
得
，再构造函
数
，结合图象即可得答案．
【详解】由
，
，知
故
，
即
即
令
则上述式子即为
由于
，且
，
故
在
是单调递增函数，
故由
可得
即
，令
，
，
由
，得
，
当
时，
，
当
时，
，
故
，
，且当
时，
恒成立，
由此可得出
的大致图象如下：
由题意要求函数
存在两个零点，等价于函数
与
的图象有两
个交点，
由图可得：
．
故选：C．
2．（2025·江西·二模）已知函数
恰有2 个零点，则实数a 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用同构将函数进行化简，在利用单调性与交点个数转化成切线处理问题.
【详解】令f(x)=0，得
即
令
则
(1-e)t-1=0，
令
则
令
在区间(ln(e-1) ，+∞)上单调递增；
令
在区间
上单调递减，又
1，h(0)=h（1）
=0，则h(x)=0 有且只有两个根，分别为0，1.
当a≥0 时，函数f(x)恰有2 个零点等价于
的图象与直线y=0 和y=1 共有2 个交点.
令p(x)= lnx+ ax，则
则p(x)在区间(0，+∞)上单调递增，又x→0，p(x)→-∞，
x→+∞，p(x)→+∞，即p(x)∈R，则.y= ax+ lnx 的图象与直线y=0 和y=1 各有1 个交点，符合题意.
当a<0 时，函数f(x)恰有2 个零点，等价于函数y=lnx 的图象与直线y=-ax，y=1-ax 的图象共有2 个交点，
临界情况为两条直线分别与y=lnx 的图象相切.
如图1，当y=-ax 与y=lnx 相切，设对应切点为
，因为
则相应切线方程为
如图2，当y=1-ax 与y= lnx 相切，设对应切点为
，则相应切线方程为
则
综上
故选：D.
【典例6】
（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知
，若
有唯一解，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用偶函数性质，只需要研究
的零点个数，然后用换元法构造新函数进行求导证明单调性，
借助端点值效应，
，所以可证明存在唯一零点的参数取值范围.
【详解】
，
，
为偶函数，
，
设
，
，
则
在
有唯一零点．
，当且仅当
取等号．
若
,
时，
，则
在
单调递增，
又因为
，所以
在
有唯一零点
若
,
时，令
得
，即
，
解得
或
，
其中
，满足要求，
，
其中
，故
在
时恒成立，
所以
，即
，不合要求，
当
时，
，则
在
单调递减，
所以
，
时，
，
故
在
有1 个零点．
又
，所以
在
上有两个零点，不满足题意，
故
的取值范围为
．
故选：C.
会一题通一类
1．（2025·甘肃·模拟预测）若关于
的不等式
有且只有两个整数解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，利用导数法研究函数
的单调性，再结合特殊点及一次函数的性质画
出函数
的大致图象，根据图象列不等式组求解即可.
【详解】设
，
则不等式
即
有且只有两个整数解.
因为
，且
，
所以当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减.
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
当
无限趋向于负无穷大时，
无限趋向于负无穷大，
当
无限趋向于正无穷大时，
无限趋向于0.
因为函数
在
上单调递增，
，
，
，
则
，
函数
的大致图象如图
由图可知，要使
有且只有两个整数解，这两个整数解必然是0，1，
所以
解得
.又
，所以
.
故选：C.
【典例7】
（2025·江西新余·模拟预测）（多选）已知函数
，下列四个结论中正确的有（ ）
A．当
时，
有两个极值点
B．当
时，
恒成立
C．若
有两个不同的根，则
D．若
有两个根
，则
【答案】BCD
【分析】求导根据极值点的概念判断A，根据导数法证得
，然后利用放缩法判断B，将问题转化
为函数
图象与有
两个交点，利用导数研究函数
的单调性，数形结合求出
判断C，由题意
，要证明
成立，只需证明
，即证明
，
设
，则
，则上式化为
，利用导数法证明即可判断D.
【详解】当
时，
，则
只有一个解
，
令
得
，令
得
，故
只有一个极值点，故A 错误；
设
，则
，所以当
时
，
此时
为增函数；当
时，
，此时
为减函数，
所以
时，
取得最大值，最大值为0，即
，
所以
，
当
时，
，
故B 正确；
若
有两个不同的根，即
有两个解.
设
，从而函数
图象与直线
两个交点，
则
易知
在
上是减函数，且
，
所以当
时
，即
，此时
为增函数；
当
时
，即
，此时
为减函数.
作出函数
图象，如图
所以由图象可知
，即
，故C 正确；
由于
有两个根
，令
，即
，
即
，要证明
成立，只需证明
，即
，
故只需证明
，即证明
，
设
，则
，则上式化为
.
设
，
即
在
上为减函数，当
时，
，
由于
，则
，所以
成立，故D 正确.
故选：BCD.
会一题通一类
1．（2025·江西新余·模拟预测）（多选）已知函数
，则（ ）
A．若
，则
B．
可以有2 个极值点
C．若
，则
是增函数
D．若
有两个零点
，则
【答案】ACD
【分析】A 由
，设
，设
并应用导数研究不等式判断；B
对函数求导，构造
，应用导数研究其零点判断；C 由函数单调递增，有
恒成立，结合其单调性判断；D 令
且
，问题化为
有两个解
，利用导数求左侧的单调性和值域求参数范围判断.
【详解】由于
，则
，
设
，设
，则
，
所以
时，
，此时
单调递减；
时，
，此时
单调递增，
所以
，即
，故A 正确；
由于
，设
，
则
，
所以
，
在
上单调递增，即
不可能有2 个解，
所以
不可能有2 个极值点，故B 错误；
若
是增函数，则
，即
恒成立，
由上知
是增函数，又
，只需
，故C 正确；
有两个零点，即
有两个不同的解
，
令
且
，则
，故
在
上为增函数且
，
故原方程有两个解转化为
有两个解
，易知
，即
有两个解
，
设
，则
，当
时
，
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，则
，
由于
，
，所以
，即
，故D 正确．
故选：ACD
2．（25-26 高三上·江苏苏州·开学考试）（多选）已知函数
.（ ）
A．
在
上单调递增
B．
是奇函数
C．过点
可作曲线
的两条切线
D．当
时，
恒成立
【答案】BCD
【分析】利用导数求单调区间可判断A；求出
的解析式，根据奇函数定义可判断B；设切点
坐标为
，表示出切线方程，根据切线过点
求出
即可判断C；构造函数
，
根据二次函数性质求解可判断D.
【详解】对A，由题知
，
由
解得
，所以
在
上单调递减，错误；
对B，记
，
则
，所以
为奇函数，正确；
对C，设切点坐标为
，则切线斜率为
，且
，
所以切线方程为
，
又切线过点
，所以
，
整理得
，解得
或
，
所以过点
可作两条直线与曲线
相切，正确；
对D，记
，
当
时，若
恒成立，则
，解得
，
所以
时，
恒成立，正确.
故选：BCD
热点预测
1．（25-26 高三上·重庆·开学考试）若函数
满足
，且
，
则
的极大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意构造函数
，结合
可得
，求出C，进
而求出
的解析式，结合导数与极值的关系，即可求得答案.
【详解】函数
满足
，故令
，
则
，故
，
由
得
，故
，
则可得
，故
，
故
，则
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
故
的极大值为
，
故选：B
2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数
，若
对任意的
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】当
时，分离参数可得
，构造函数
，
，利用导数求出函数
的最小值，从而可得出当
时，
恒成立，实数
的最大值，再验证
对任意的
恒
成立即可.
【详解】当
时，
，
令
，
，则
，
令
，则
，
所以函数
在
上单调递增，
又
，
所以当
时，
，当
时，
，
即当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，因此
，
所以当
时，
恒成立，则实数
的最大值为
，
下面证明当
时，
对任意的
恒成立，
当
时，
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以当
时，
对任意的
恒成立，
所以
的最大值为
．
故选：D．
3．（2025·江苏镇江·模拟预测）若函数
在
上有极值，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用函数在某区间有极值等同于其导数在该区间有变号零点，之后分离参数结合二次函数的性质
可得.
【详解】
，
因为函数
在
上有极值，说明其导数在
内有变号零点，
即方程
在
内有解，且解两侧导数符号不同，
令
，则
在
有解，且不能是重根.
分离参数可得
，
令
，则
，
所以
，所以
，
当
时，
，仅在
处
，
故
在
上单调递减，无极值.
所以
的取值范围是
.
故选：C.
4．（2025·北京朝阳·二模）已知函数
，曲线
在点
处的切线方程
为
，设函数
，则（ ）
A．当
时，
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
【答案】C
【分析】利用导数的几何意义，求得曲线的切线方程
，根据题意，得到
，求得
，求得函数
的单调性与最值，结合选项，即可求解.
【详解】由函数
，可得
，可得
，
所以曲线
在点
处的切线方程为：
，
又由
，
因为
，其中
，
若
时，
，其中
，
当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减，
所以
，所以
，
又由
，且
，即
不恒成立，
所以C 正确，A 不正确；
若
时，
，其中
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
所以
，所以
不恒成立，
又由
，
，此时
，所以
不恒成立，
所以B、D 均不正确.
故选：C.
5．（25-26 高三上·四川绵阳·月考）已知函数
恰有4 个零点，则
实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将函数变形
，构造等价函数令
，则
，求导判断单调性求得
仅有两个零点
，问题转化为方程
和
共有4 个根，令
，利用导数分析单调性和最值求解.
【详解】
，
令
，则
，
，令
，得
，且
，
当
时，
，即
单调递减，
当
时，
，即
单调递增，
又
，
，所以函数
仅有两个零点
，
所以
恰有4 个零点，即方程
和
共有4 个根，
令
，则
，
当
时，
，即
在
上单调递增，
故
和
至多各一个根，不合题意；
当
时，
，令
，得
，
当
时，
，即
单调递增，
当
时，
，即
单调递减，
，且
时，
，
时，
，
要使方程
和
共有4 个根，则
，
即
，解得
，
综上，实数
的取值范围为
.
故选：C.
6．（2025·云南玉溪·模拟预测）（多选）函数
有两个零点
，下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】将问题转化为
与
有两个交点，数形结合即可判断A 选项，又
，结合图象
可知
，利用极值点偏移构造新函数，结合
，即可判断D 选项；利用
，结合
即可判断B 选项；由
，结合
的取值范围，即可
判断C 选项.
【详解】对于A，因为函数
有两个零点
，
所以
有两个根，即
有两个根，
即
与
的图象有两个交点，设
，所以
，
当
时，解得
，所以函数
在
单调递增；
当
时，解得
，所以函数
在
单调递减，
所以
，当
时，
，当
时，
，
函数
的图象如图所示，
结合图象可得当
时，
与
的图象有两个交点，
即函数
有两个零点，故A 正确；
对于D，又
，结合图象可知
，
因为
，要证明
，
即证明
，整理得
，
令
，即证明
，
即证明
，
设
，所以
恒成立，
所以
在（0,1）单调递增，所以
，
即
，故D 正确；
对于C，
，
又
，
，则
，即
，故C 不正确；
对于B，因为
，
，可得
，
可得
，故B 正确.
故选：ABD.
7．（2025·安徽·模拟预测）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
，使得
为单调函数
B．
，
的图象恒有对称中心
C．当
时，
D．若
，
，
是方程
的三个不同的根，则
【答案】ABD
【分析】A 对函数求导，假设函数单调，并结合二次函数性质列不等式求参数范围，即可判断；B 由
，再结合
即可判断；C 应用特
殊值
判断；D 由
并展开，结合已知表达式，即可判断.
【详解】A：由题设
，所以
是开口向上的抛物线，
要使
为单调函数，只需
恒成立，即
，得
，
所以
，使得
为单调函数，对；
B：对于
，
所以
，即
恒关于点
对称，对；
C：由题设
，若
，显然
，错；
D：由题设
，
又
，则
，对.
故选：ABD
8．（2025·辽宁大连·一模）（多选）记
的导函数
，下列说法正确的是
（ ）
A．
在
上一定有3 个极值点
B．
在
上一定有4 个零点
C．过
上一点作切线
，若存在三个点的切线斜率相同，则k 的取值范围为
D．记
，则
一定是偶函数
【答案】ACD
【分析】求导，利用导数分析函数的单调性，进而判断A；举例结合单调性判断B；由题意可得
有三个不同实根，设
，
，利用导数分析函数的单
调性，进而求解判断C；表示出
，
，进而结合偶函数的定义判断D.
【详解】由题意，
，设
，
.
对于A，由
，
令
，得
或
，
令
，得
或
所以函数
在
和
上单调递减，
在
和
上单调递增，
则
在
上有3 个极值点，故A 正确；
对于B，当
时，
，
由A 知，函数
在
和
上单调递减，
在
和
上单调递增，
又
，
，
，
，
结合单调性及零点存在性定理，可知
在
上有2 个零点，故B 错误；
对于C，由题意，
有三个不同实根，
设
，
，则
，
令
，得
或
，令
，得
，
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
则
，解得
，
即k 的取值范围为
，故C 正确；
对于D，由
，
可设
，
，
则
，
则
为偶函数，故D 正确.
故选：ACD.
9．（24-25 高二下·山东济南·期末）过点
可以作曲线
的三条切线，则实数a 的取值范围
是 ．
【答案】
【分析】设点
为曲线
上的一点，求得切线方程为
，由切线过点
，得到
，令
，求得
，得出函数的单调性和极值，作出函数
的图象，结合图象，即可求解.
【详解】设点
为曲线
上的一点，则
，
又由
，所以
，即切线的斜率为
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
因为切线过点
，可得
，即
，
令
，可得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
则当
时，
取得极小值
，当
时，
取得极大值
，
又因为
，
当
时，
恒成立，且
时，
，
作出函数
的图象，如图所示，
当
时，函数
的图象与直线
在
上有3 个交点，
即过点
的切线有3 条，所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
10．（2025·河南·模拟预测）某正六棱柱外接球的表面积为
，则该正六棱柱的体积的最大值为
.
【答案】
【分析】设外接球的半径为
，正六棱柱底面的边长为
，侧棱长为，由题意得到
，
，
得到
，再通过函数
的单调性求最值即可.
【详解】正六棱柱外接球的球心是上下底面中心所连线段的中点，
设外接球的半径为
，则
，得
，
设正六棱柱底面的边长为
，侧棱长为，则底面正六边形的外接圆半径为
，
由题意：
，
所以正六棱柱的体积
，
令
，
所以
，
令
，得
，
当
时，
，此时
单调递增，
当
时，
，此时
单调递减，
所以当
时，
取得最大值
，
所以正六棱柱的体积的最大值为
.
故答案为：
模拟训练
一、单选题
11．（2025·山东·模拟预测）已知函数
，曲线
上存在不同的两点，使得曲线
在这两点处的切线都与直线
垂直，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用导数的几何意义求得切线斜率，依题意可得方程
有两个不同的解，构造函数
求出其单调性和极值，再利用函数与方程的思想解不等式即可求得结果.
【详解】因为
，所以
.
令
，整理得
，由题意得此方程有两个不同的解；
设
，则函数
的图象与直线
有两个交点；
易知
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，其图象如下图所示：
又当
时，
，当
时，
，
当
趋近于
时，
趋近于0，所以
，解得
，
即实数
的取值范围是
，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将切线条数转化为方程根的个数，再构造函数并求出函数单调性和极
值，将问题转化为两函数图象交点个数，解不等式即可求解.
12．（2025·辽宁·三模）若
是函数
的极大值点，则实数
的取值集合为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得
是
的变号零点，则可求出
并通分化简后得到
，再检验
时，
是否为函数
的极大值点即可得.
【详解】
，
由
，则
，
，
故
恒成立，令
，
由
是函数
的极大值点，
故
，解得
，
当
时，
，
则
，
，即
且
，
，
当
时，
，
当
时，
，
故
在
、
上单调递增，
在
、
上单调递减，
故
是函数
的极大值点，符合要求.
故选：A.
13．（2025·湖南长沙·模拟预测）若曲线
与
有公共的切线，则
的最大值为
（ ）
A．-2
B．2
C．-1
D．1
【答案】D
【分析】设直线与
相切于
求出切线方程，直线与
相切于
求出切线方程，让两条切线方程的斜率、截距相同可得
.令
，构造函数
，利用导
数求出最小值可得答案.
【详解】设直线与
相切于
，
则直线：
，
直线与
相切于
，
则直线：
，
因为曲线
与
有公共的切线，则两条切线方程的斜率、截距相同，
故
，
则
.
令
，
，
则
在
单调递增，且
，
所以当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，于是有
，
即
.
故选：D.
14．（25-26 高三上·山东聊城·月考）已知函数
，当
时，函数
极值点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】求出函数
的导数
，由
，得
，利用导数确定方程根的个数，进而求出极
值点个数.
【详解】函数
，求导得
，由
，得
，令函数
，求导得
，
当
时，
；当
时，
，函数
在
上递增，在
上递减，
，函数
的大致图象如图，
由
，得
，方程
必有两个根，即函数
必有两个零点
，
当
或
时，
，
；当
时，
，
，
因此函数
恰有2 个极值点，B 正确.
故选：B
15．（2025·浙江丽水·一模）若关于
的方程
恰有四个不同的实根
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，可得
或
，构造函数
，则
，结合导数
可得函数
性质，从而得到
与
的根的关系，即可得
间关系，从而可得
与
间
关系；再借助作差法，结合导数计算可得
与
关系，即可得解.
【详解】由
，则
或
，
则
或
，令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
、
上单调递减，在
上单调递增，
又当
时，
，
，
故当
或
时，
仅有一根，当
时，
有两根，
又
，则
最多有两根，
由题意可得
与
共有四个不同根，
故
，设
两根分别为
、
，且
，
则
两根分别为
、
，则
，
则有
或
，
若
，则
、
、
、
，
若
，则
、
、
、
，
故
，
，
由
，则
，即有
，故D 正确，C 错误；
，
，
则
，
令
，则
，
则当
时，
，则
在
上单调递增，
由
，则
，即
，
即
，即有
，故A、B 错误.
故选：D.
16．（2025·四川成都·一模）若函数
存在最大值
，且满足
恒
成立，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】法一、求得
，求得
的单调性和最值，或者利用二次函数的性质，求得
，由
，令
，转化为
恒成立，利用导数求得
的单调性和最小值，得
到
，代入求得
，即
，即可求解.
【详解】解法一：由函数
，可得
若
，则
恒成立，
在R 上单调递减，不存在最大值；
若
，令
，可得
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以当
时，函数
取得极大值，也是最大值，故
，
又由
，其中
，
令
，即为
恒成立，
由
，其中
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，函数
取得极小值，也是最小值，所以
，
即
，可得
，所以
，
即
，解得
，所以实数
的取值范围为
.
解法二：由函数
，
当
时，函数
取得最大值，所以
，
又由
，其中
，
令
，即为
恒成立，
由
，其中
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，函数
取得极小值，也是最小值，所以
，
即
，可得
，所以
，
即
，解得
，所以实数
的取值范围为
.
故选：C.
17．（2025·四川德阳·模拟预测）任意实数
，函数
在
上有最值，
则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出存在实数
，使函数
在
上没有最值时，实数m 的取值
范围；根据其补集求得当任意实数
，使函数
在
上有最值时，实数m
的取值范围即可.
【详解】命题"任意实数
，函数
在
上有最值"的否定如下，
是"存在实数
，使函数
在
上没有最值",
即存在实数
，使函数
在
上单调,
即存在实数
，使
，或
在
上恒成立.
由
，得
.
因为
，
，所以
.
令
，易知
在
上单调递减，
所以
.
令
，易知
在
上单调递减，所以
.
令
，则
在
上单调递减，所以
.
所以当
时，
，
即存在实数
，
.
所以
；
当
时，得到
，
即存在实数
，
.
所以
.
所以当存在实数
，使函数
在
上没有最值时，得到
或
.
所以当任意实数
，使函数
在
上有最值时，得到
.
所以实数m 的取值范围为
.
故选：A.
18．（24-25 高二下·江西南昌·期中）过点
可以做三条直线与曲线
相切，则实数的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，从而将问题化为方程
有3 解，进而转化为
与
有3 个交点，设
，从而利用导数研究
函数
的单调性及极值，即可求解.
【详解】因为
，所以
，
设过点
的切线切曲线
于点
，
则切线方程为
，又其过点
，
所以
，所以根据题意可得该关于
的方程有3 解，
即方程
有3 解，
所以
与
有3 个交点，
设
，则
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以
的极小值为
，
的极大值为
，
且
时，
；
时，
，
所以要使
与
有3 个交点，则需
．
故选：A
二、多选题
19．（2025·四川·三模）已知
是函数
的极大值点，则（ ）
A．函数
的极小值为0
B．若
，则
C．若
，则
有3 个相异的零点
D．若
（其中
），则
【答案】ACD
【分析】根据题意，求得
，得到
，求得
，得出函数
的单调性与
极值（点），可判定A 正确；当
时，得到
，结合函数
的单调性，可判定B 错
误；作出函数
的图象，结合图象，可得判定C 正确；根据题意，转化为证明
，构造
，利用导数求得函数
的单调性，结合函数
的单调性，即可求解.
【详解】对于A 中，由函数
，可得
，
因为
是
的极大值点，所以
，解得
，
所以
，可得
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增，
所以函数
的极大值点为
，极小值点为0，所以A 正确；
对于B 中，当
时，
，则
，
因为
在区间
上单调递减，所以
，所以B 错误；
对于C 中，由
，且当
时，
，当
时，
，
可得
的图象，如图所示，
当
时，
有3 个相异零点，所以C 正确；
对于D 中，因为
，要证
，只需证明
，
由
在
上单调递增，需证明
，
即当
时，证明
，
构造函数
（其中
），
则
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
所以
，即当
时，
，
所以
，所以
，所以D 正确．
故选：ACD.
20．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数
有极值，且导函数
的极值点
是
的零点，则（ ）
A．
B．
C．
的最小值为
D．
【答案】ABD
【分析】先求导函数的极值点
，再代入原函数得
，化简可得
，可判断A 选项；根据极值存在条件可得
，可判断B 选项；由（1）得
，
构造函数
，利用导数研究函数单调性，可得
，即
，可判断C 选
项；由A 选项得
，结合
可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，由
，得
.
当
时，
有极小值
.
因为
的极值点是
的零点.
所以
，又
，故
，A 对；
对于B 选项，因为
有极值，故
有两相异实根，
由
得
，且
，得
.
此时
有两个相异的实根
，
.
列表如下
极大值
极小值
故
的极值点是
、
，从而
，B 对；
对于C 选项，由A 选项知，
.
设
，则
.
当
时，
，从而
在
上单调递增.
因为
，所以
，故
，即
，则
，C 错；
对于D 选项，由A 选项可知
，D 对.
故选：ABD.
21．（2025·全国·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．若
是
的极小值点，则
在
上单调递减
B．若
存在极值点
，且
（其中
），则
C．若
，过点
作函数
的切线最多有2 条
D．若
在
上的最大值为
，则
的最小值为2
【答案】BD
【分析】对函数求导，分析导数的变号零点即可得到A 选项；确定极值点，根据
，因式分解
即可得到B 选项；求导写出切线方程，代入点
化简求导即可得到C；根据最大值的定义，求出边
界值，即可得到D.
【详解】由题
，因为
是
的极小值点，
所以
,则
或
，
当
时，
，则函数
无极值点；
当
时，
得
或
，
则函数
在
上单调递增，故A 错误；
若
存在极值点
，则
，又
（其中
），
所以
，所以
，
所以
，故B 正确；
若
，设切点为
，则切线方程为
,
因为过点
，所以
，
即
，令
，则
，
所以
，而
，
所以
有三个零点，即切线最多有条，故C 错误；
若
在
上的最大值为
，
则
，
，因为
，
所以
所以
，故D 正确.
故选：BD.
22．（25-26 高三上·海南海口·开学考试）已知函数
，
为
的导数，则
下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
恒成立
B．当
时，
在区间
单调递减
C．当
时，
在区间
上存在唯一极小值点
D．当
时，
有2 个零点
【答案】BC
【分析】对A 选项，当
时，可选用特殊值代入判断；对B 选项，求导，再对求得的导数求导，根据
正负判断单调性即可，进而判断原函数的单调性；对C 选项，
时，
，求导，再
根据函数的性质进行判断即可；对D 选项，利用单调性可判断
【详解】当
时，若
，则有
，此时
∴A 错误．
当
时，
，令
，
当
时，
，
，
在
上递减．∴B 正确．
当
时，
，令
，
则
，令
，则
，
当
时，
，
递增，又
，所以
在
上存在唯一的零点
，
则当
递减，当
递增，
是
在区间
上的唯一极小值点，∴C 正确．
当
时，
，定义域为
，
，
恒成立
在定义域内为增函数，
不可能有2 个零点.
故选：
23．（2025·安徽合肥·一模）已知
分别为
与
的零点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】解法一：根据对称性转化判断B，C，再化简计算判断A，应用导数得出单调性判断D.解法二：利
用函数同构得出B，化简判断A，C，根据单调性计算判断D.
【详解】解法一：设直线
与曲线
分别交于点
与点
，
因为直线
垂直于直线
与
互为反函数，
则点
与点
关于直线
对称，
所以
，于是
并且
，故B 错误，C 正确；
，即
，故A 正确；
因为
在
单调递增，且
，
故
，令
，
则
，所以
在
单调递减，
所以
，即
，即
，所以D 正确.
故选:ACD.
解法二：利用函数同构，直接得到，
，
得
，得到
.B 错误；
对于
，A 正确；
对于
，C 正确；
对于
，
在
上递减，得
，
，D 正确.
故选:ACD.
24．（2025·浙江金华·一模）已知函数
在
处取得极小值，
为其导函数，
则（ ）
A．
B．
C．
的解集为
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，根据
在
处取得极小值即可求解；对于B，根据
和
到
对称轴的
距离即可判断；对于C，对
进行因式分解即可求解；对于D，因为
时，
、
，再结合
的单调性以及
、
的函数值即可求解．
【详解】对于A，
，由题意可知
，解得
，此时
，故A 正确；
对于B，由
，其为二次函数，开口向上，对称轴为
，
则
到对称轴的距离为
，
到对称轴的距离为
，
结合开口向上的二次函数图像特点可知，离对称轴较远的点函数值更大，也即
，即
，故B 错误；
对于C，解不等式
，即
，整理为
，
因式分解得
，解得
，故解集为
，故C 正确；
对于D，对于
，有
，当且仅当
时取等号，同时
，
由于
，当
或
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以
，
，所以
，故D 正确．
故选：ACD．
三、填空题
25．（2025·海南·一模）已知函数
，过点
有三条直线与
的图象相切，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意，设出切点坐标，由导数的几何意义可得
，将问题转化为函数有
三个零点问题，然后列出不等式，即可得到结果.
【详解】设过点
的直线与
的图象相切于点
，
则切线斜率
，由切线过点
，得
，
因此
，整理得
.
令
，则
，
原问题等价于
有三个不同零点.
当
时，
单调递增，最多有1 个零点，不符合题意；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
极大值为
，极小值为
，
要使
有三个零点，需满足
且
，即
，解得
；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
极小值为
，极大值为
，
要使
有三个零点，需满足
且
，即
，解得
；
综上，
的取值范围是
.
故答案为：
