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专题14.35 整式的乘法与因式分解（全章直通中考）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）下列各式中，计算结果等于 的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北·统考中考真题）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，
约等于 ．下列正确的是（ ）
A． B．
C． 是一个12位数 D． 是一个13位数
3．（2010·山东青岛·中考真题）计算 的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏南通·统考中考真题）已知实数m，n满足 ，则
的最大值为（ ）
A．24 B． C． D．
5．（2020·江苏淮安·统考中考真题）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为
“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（ ）
A．205 B．250 C．502 D．520
6．（2020·河北·统考中考真题）若 ，则 （ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
7．（2019·山东临沂·统考中考真题）将 进行因式分解，正确的是（ ）A． B．
C． D．
8．（2020·四川眉山·统考中考真题）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2019·黑龙江绥化·统考中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给
出以下4组图形及相应的代数恒等式：
① ②
③ ④
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2021·上海·统考中考真题）计算： ．12．（2019·河北·统考中考真题）若 则 的值为 ．
13．（2018·四川达州·统考中考真题）已知am=3，an=2，则a2m﹣n的值为 ．
14．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）把多项式 分解因式的结果是 ．
15．（2021·四川内江·统考中考真题）若实数 满足 ，则 ．
16．（2021·广东·统考中考真题）若 且 ，则 ．
17．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开
始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对： ； ； ； ；
…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出
第n个数对： ．
18．（2022·湖南长沙·统考中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪
性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”
已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小
的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格
作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成 个不同的数据二维码，现有四名网友对 的
理解如下：
YYDS（永远的神）： 就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）： 等于 ；
JXND（觉醒年代）： 的个位数字是6；QGYW（强国有我）：我知道 ，所以我估计 比 大．
其中对 的理解错误的网友是 （填写网名字母代号）．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2018·广西河池·统考中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
20．（8分）（2023·江苏盐城·统考中考真题）先化简，再求值： ，其中
， .
21．（10分）（2017·浙江舟山·中考真题）（1）计算： ； （2）化简：
.
22．（10分）（2022·湖北荆门·统考中考真题）已知x+ ＝3，求下列各式的值：
（1）（x﹣ ）2； （2）x4+ ．23．（10分）（2022·河北·统考中考真题）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一
定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如， 为偶数，
请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发
现”中的结论正确．
24．（12分）（2019·湖北·统考中考真题）若一个两位数十位、个位上的数字分别为 ，我们可将
这个两位数记为 ，易知 ；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如
．
【基础训练】
（1）解方程填空：
①若 ，则 ______；
②若 ，则 ______；
③若 ，则 ______；
【能力提升】
（2）交换任意一个两位数 的个位数字与十位数字，可得到一个新数 ，则 一定能被
______整除， 一定能被______整除， +++6一定能被______整除；（请从大于5的整数
中选择合适的数填空）【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，
连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各
不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的
数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532-235=297），再将这个新数按上述方式重新
排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为______；
②设任选的三位数为 （不妨设 ），试说明其均可产生该黑洞数．
参考答案：
1．B
【分析】分别利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算法则分别计算即可．
解： ，故选项A不符合题意；
，故选项B符合题意；
无法合并同类项，故选项C不符合题意；
，故选项D不符合题意．
故选B．
【点拨】本题主要考查合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算法则，熟练掌握
运算法则是解题的关键．2．D
【分析】根据科学记数法、同底数幂乘法和除法逐项分析即可解答．
解：A. ，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；
C. 是一个13位数，故该选项错误，不符合题意；
D. 是一个13位数,正确，符合题意．
故选D．
【点拨】本题主要考查了科学记数法、同底数幂乘法和除法等知识点，理解相关定义和运算法则是解
答本题的关键．
3．A
解：
故选A
4．B
【分析】先将所求式子化简为 ，然后根据 及 求出
，进而可得答案．
解：
；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子化简并求出
的取值范围是解题的关键．
5．D
【分析】设两个连续奇数中的一个奇数为 ，则另一个奇数为 ，先得出由这两个奇数得到的“幸
福数”为 ，再看四个选项中，能够整除4的即为答案．
解：设两个连续奇数中的一个奇数为 ，则另一个奇数为
由这两个奇数得到的“幸福数”为
观察四个选项可知，只有选项D中的520能够整除4
即
故选：D．
【点拨】本题考查了平方差公式的应用，理解“幸福数”的定义，正确列出“幸福数”的代数式是解
题关键．
6．B
【分析】利用平方差公式变形即可求解．
解：原等式 变形得：
．故选：B．
【点拨】本题考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键．
7．C
【分析】多项式 有公因式 ，首先用提公因式法提公因式 ，提公因式后，得到多项式
，再利用平方差公式进行分解．
解： ，
故选C．
【点拨】此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，解题关键在于因式分解时通常先提公
因式，再利用公式，最后再尝试分组分解；
8．A
【分析】根据 ，变形可得： ，因此
可求出 ， ，把 和 代入 即可求解．
解：∵
∴
即 ，
∴求得： ，
∴把 和 代入 得：
故选：A
【点拨】本题主要考查了完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式，通过移项对已知条件进行配方
是解题的关键．
9．D
【分析】利用提公因式法、公式法、十字相乘法等对各选项进行分解因式即可判断正误.
解：A、 ，故A选项错误；B、 ，故B选项错误；
C、 不能分解，故C选项错误；
D、 ，正确，
故选D.
【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法以及注意事项是解题的关键.
10．D
【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．
解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，
故选： ．
【点拨】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面
积．
11．
【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可
解：∵ ,
故答案为: ．
【点拨】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算的法则是解题的关键．
12．-3
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案．
解：∵7﹣2×7﹣1×70=7p，∴﹣2﹣1+0=p，解得：p=﹣3．
故答案为﹣3．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
13．4.5
【分析】首先根据幂的乘方的运算方法，求出a2m的值；然后根据同底数幂的除法的逆运算方法，求
出a2m-n的值为多少即可．
解：详解：∵am=3，
∴a2m=32=9，∴a2m-n= =4.5．
故答案为4.5．
【点拨】此题主要考查了同底数幂的除法的逆运算法则，以及幂的乘方的逆运算，同底数幂相除，底
数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的
一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，
但必须明确底数是什么，指数是什么．
14．
【分析】先提取公因式m，然后发现还能利用平方差公式继续分解，即可得到结果．
解：
故答案为： ．
【点拨】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法及公式法是解题的关键，注意要分解彻底．
15．2020
【分析】由等式性质可得 ， ，再整体代入计算可求解．
解： ，
， ，
．
故答案为：2020．
【点拨】本题主要考查因式分解的应用，将等式转化为 ， 是解题的关键．
16．
【分析】根据 ，利用完全平方公式可得 ，根据x的取值范围可得 的值，利用平方差公式即可得答案．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ = ，
∴ = = ，
故答案为：
【点拨】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．
17．
【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第 个数对
的第一个数为： ，第 个数对的第二个位： ，即可求解．
解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…
即： ， ， ， ， ，…
则第 个数对的第一个数为： ，
每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…
即： ； ； ； ； …，
则第 个数对的第二个位： ，
∴第n个数对为： ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．
18．DDDD【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将
化为 ，再与 比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的
规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得 ，
即可判断QGYW（强国有我）的理解是正确的．
解： 是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；
，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；
，
2的乘方的个位数字4个一循环，
，
的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；
， ，且
，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；
故答案为：DDDD．
【点拨】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解
题的关键．
19． ； ．
【分析】先根据单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可化简原式，继而将x的值代入计算可得．
解：
当 时，原式 ．
【点拨】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是掌握单项式乘多项式法则和合并同类项法则．
20． ，
【分析】根据完全平方公式和平方差公式展开后化简，最后代入求值即可．解：
当 ， 时，原式 ．
【点拨】本题考查整式混合运算的化简求值，解题的关键是根据完全平方公式和平方差公式展开．
21．（1）4；（2）-4.
试题分析：（1）运算中注意符号的变化，且非零数的-1次方就是它的倒数；（2）运用整式乘法中的
平方差公式计算，再合并同类项.
（1）解：原式=3+ ×2=4.
（2）解：原式=m2-4-m2=-4.
考点：实数的运算，整式的混合运算.
22．（1）5；（2）47
【分析】（1）由 ＝ 、 ＝ ，进而得到 ﹣4x• 即
可解答；
（2）由 ＝ 可得 =7，又 ＝ ，进而得到 ＝
﹣2即可解答．
（1）解：∵ ＝
∴ ＝
＝
＝ ﹣4x•
＝32﹣4
＝5．
（2）解：∵ ＝ ，∴
＝ +2
＝5+2
＝7，
∵ ＝ ，
∴
＝ ﹣2
＝49﹣2
＝47．
【点拨】本题主要考查通过对完全平方公式的变形求值．熟练掌握完全平方公式并能灵活运用是解答
本题的关键．
23．验证： ；论证见分析
【分析】通过观察分析验证10的一半为5， ；将m和n代入发现中验证即可证明．
解：证明：验证：10的一半为5， ；
设“发现”中的两个已知正整数为m，n，
∴ ，其中 为偶数，
且其一半 正好是两个正整数m和n的平方和，
∴“发现”中的结论正确．
【点拨】本题考查列代数式，根据题目要求列出代数式是解答本题的关键．
24．（1）①2．②4；③7；（2）11；9；10．；（3）①495；②495
【分析】（1）①根据 ，结合已知可得关于x的方程，解方程即可得；
②根据题意可得关于y的方程，解方程即可得；
③由 及四位数的类似公式可得关于t的方程，解方程即可得；
（2）根据 分别对 、 、 按此表示方法进行整理即可求得答案；（3）①若选的数为325，则用532-235=297，然后根据题中所给的规则继续计算即可求得答案；
②当任选的三位数为 时，根据规则第一次运算后得 ，结
果为99的倍数，由于 ，故 ，继而确定出a-c=2，3，4，5，6，7，8，9，从而可得
第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，对这些数字根据规则继而进行运算
即可求得答案.
解：（1）①∵ ，
∴若 ，则 ，
∴ ，
故答案为2；
②若 ，则 ，
解得 ，
故答案为4；
③由 及四位数的类似公式得
若 ，
则 ，
∴100t=700，
∴ ，
故答案为7；
（2）∵ ，
∴则 一定能被 11整除，
∵ ，
∴ 一定能被9整除，
∵
，
∴ 一定能被10整除，
故答案为11；9；10；（3）①若选的数为325，则用532-235=297，以下按照上述规则继续计算，
，
，
，
，
故答案为495；
②当任选的三位数为 时，第一次运算后得：
，
结果为99的倍数，由于 ，故 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，3，4，5，6，7，8，9，
∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，
再让这些数字经过运算，分别可以得到：
， ， ， ， …故都可以得到
该黑洞数495．
【点拨】本题考查的是阅读理解题，弄清题意，理解和掌握题中所给的运算法则或运算规则是解题的
关键.
