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压轴专题04 三角函数与解三角形压轴题
压轴分析
高考数学中，三角函数与解三角形压轴题往往位于中后段，其难点不仅在于公式的熟练运用，更在
于对几何条件、代数变形与函数性质的综合处理能力。真正的压轴难点在于将三角恒等变换、函数
图像与性质、平面几何性质以及解三角形的多种工具（正余弦定理、面积公式等）融合贯通，考查
学生在复杂条件与多变量情境下进行数学建模与逻辑推理的能力。命题人常通过给出含有多角关
系、边角混合条件、三角形形状判断或存在性问题、以及涉及最值或范围的综合性情境设置障碍，
其核心是检验学生能否突破纯代数或纯几何的单一视角，实现“边角互化”、“形数结合”，并灵
活选取变换、化简、构造、建系的策略。解题的关键在于建立“条件翻译—公式选择—模型求解”
链：首先准确理解并翻译题目中的几何与代数条件，将其转化为关于角或边的等式与不等式；然后
根据目标选择三角恒等变换（如和差化积、辅助角公式）或解三角形工具（如正弦定理、余弦定
理）；最后结合三角形内角和为π、函数有界性、基本不等式等建立可解的数学模型。掌握“几何
审视（识别三角形特有条件）→ 代数翻译（建立边角方程）→ 综合求解（结合函数、不等式或解
析方法）”的思想路径，方能从复杂的边角关系与约束条件中，构建出严谨、清晰且计算可行的解
题方案。
知识总结
1. 三角恒等变换核心公式与策略
变换目标
首选公式
关键点与常见变式
化简单角三角函
数式
同角关系： sin
2α +cos
2α =1
诱导公式：奇变偶不变，符号看象限
注意齐次式的处理，如 sin θ
1+cos θ = tan θ
2
处理两角和差
sin(α ± β)=sin α cos β ±cosα sin β
cos(α ± β)=cosα cos β ∓sin α sin β
正向展开合并，或逆向构造特殊角（如 π
3 , π
6 ）
处理
asin x +bcos x
型
辅助角公式：
asin x +bcos x =
❑√a
2+b
2sin( x +φ)
其中 tan φ= b
a
关键：确定 φ 角所在象限（由 a,b 符号决
定），影响单调区间、对称轴等性质
降幂或升幂
二倍角公式：
sin
2 x = 1−cos 2 x
2
,
cos
2 x = 1+cos 2 x
2
将高次幂化为一次，便于积分或求最值
和差化积与积化
和差
sin A +sin B =2sin A + B
2
cos A −B
2
sin A cos B = 1
2 [sin( A + B)+sin( A −B
在解三角形中处理边角混合条件时常用，可简化
方程
2. 解三角形核心工具与选择策略
已知条件
首选定理/方法
公式与注意事项
两角及一边 (AAS, ASA) 正弦定理
a
sin A =
b
sin B =
c
sin C =2 R
直接求其余边，再结合 A + B+C = π 求角
两边及夹角 (SAS)
余弦定理求第三边
c
2=a
2+b
2−2abcosC
求边后再用正弦定理求角（注意可能有两解）
三边 (SSS)
余弦定理求角
cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
先求最大边所对角，判断三角形形状
两边及一对角 (SSA)
正弦定理求另一角
sin B = bsin A
a
特别注意：需判断解的情况（无解、一解、两解）
涉及面积或高
面积公式 + 正/余弦定理
S = 1
2 absinC = abc
4 R = ❑√p( p−a)( p−b)( p−c)
其中 p= a+b+c
2
(海伦公式)
3. 三角形中的隐含条件与范围限制
条件类型
数学表达
应用方向
内角和定理A + B+C = π
消元：如求 sin(B+C )=sin A；或化三元为二元
锐角三角形
0< A ,B ,C < π
2 ，且
A + B> π
2
求取值范围时，利用角限制缩小范围
钝角三角形存在一角 θ 使 cosθ<0
利用余弦定理判断，常结合不等式
边的不等关
系
两边之和大于第三边（如
a+b>c）
求参数范围时，往往是最易忽略的隐藏条件
角的范围
在 △ABC 中，
0< A ,B ,C <π
用正弦定理求角时， sin B =k 可能对应锐角、钝角两解，需结
合边长判断取舍
4. 常见压轴题型与破题关键
题型特征
核心策略
关键步骤与注意点
“边角混合”条件
下的化简或证明
统一化为边或角：
1. 用正弦定理化边为角（ a=2 R sin A）
2. 用余弦定理化角为边（
cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
）
观察式子结构：若含 a
2,b
2,c
2 及
ab,bc 项，考虑余弦定理；若含
sin A ,sin B 比例，考虑正弦定理
求边长、角度或周
长的取值范围（最函数思想：选定一个变量（如角 A），利用
1. 确定自变量 A 的精确范围（利用三
题型特征
核心策略
关键步骤与注意点
值）
正/余弦定理将目标表示为 A 的函数，再利
用三角函数有界性求解
角形类型）
2. 化简目标函数，常化为 asin ωA +b
型
3. 注意检查端点能否取到
判断三角形形状
将条件完全化为边的关系或完全化为角的关
系，再判断等式特征
纯边关系：用余弦定理判断等边、等
腰、直角、钝角
纯角关系：用三角恒等变换判断角的关
系
与平面几何、向量
结合的综合题
先利用几何性质（如中线、角平分线、垂直）
转化为三角形内部边角关系，再用解三角形工
具求解
1. 画出精确草图，标注已知
2. 掌握常见几何结论（如中线长公式、
角平分线定理）
3. 向量点积常可转化为余弦定理
5. 解题流程梳理
1. 画图标注：无论题目是否附图，自己画图，标出所有已知边、角、特殊线。
2. 条件翻译：将文字描述（如“最大边”、“最小角”）和几何关系转化为等式或不等式。
3. 选择主线：
求值或证明：判断用“纯边化”还是“纯角化”更简洁。
求范围：选定自变量（常选一个角），建立目标函数，务必先确定自变量范围。
判断形状：统一为边或角后，因式分解观察。
4. 执行计算：步步为营，活用和差化积、辅助角等工具化简。
5. 检验与作答：检查结果是否满足三角形基本定理（如内角和、边的关系），如果是范围问题，检
查端点情况。
典例精讲
【典例1】
（2025·浙江·一模）（多选）已知函数
，则（ ）
A．方程
的解集是
B．当
时，恒有
C．函数
的值域是
D．函数
的零点个数不可能为3
会一题通一类
1．（2025·四川德阳·一模）（多选）已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
是函数
最小正周期为
的充要条件；
B．
的最大值是
；
C．若
在
单调递增，则
的取值范围是
；
D．若
在
单调递增，在
单调递减，则
的取值范围是
.
2．（2025·安徽·模拟预测）（多选）已知函数
，则（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．函数
的值域为
C．直线
是函数
图象的一条对称轴
D．函数
在区间
上有且仅有5 个零点
【典例2】
（25-26 高三上·山东德州·月考）（多选）已知函数
部分图
象如图所示，则下列说法正确（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．将函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象
C．若
在
上有3 个极值点，则m 取值范围是
D．若方程
在
上有且只有一个实数根，则
的取值范围是
会一题通一类
1．（2025·甘肃武威·模拟预测）（多选）函数
的部分图象
如图所示，
，
是
的2 个零点，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
的最小值为
C．当
取最小值时，
的最大值为
D．若
在区间
上至少有10 个零点，则
的最小值为
【典例3】
（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
在区间
上单调递增且存在零点，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
1．（2025·辽宁·三模）函数
，其
，若对于
，都有
恒成立，
则
的取值不可能是（ ）
A．
B．1
C．
D．2
2．（24-25 高一下·湖北武汉·月考）已知函数
（
，
），
，
，且
在
上单调，则
的最大值为（ ）
A．10
B．12
C．14
D．18
3．（2025·山东青岛·一模）已知函数
为
的零点，
为
图象的对称轴，且
在
单调，则
的最大值为（ ）
A．13
B．11
C．9
D．7
【典例4】
（2025·江苏南通·三模）已知函数
，将
的图象向左平移
个单位后，得到函数
的图象，若
与
的图象关于y 轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
1．（2025·天津河北·二模）已知函数
在区间
上单调递减，且
将函数
图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，若函数
在区间
上单调递增，则t 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·云南玉溪·模拟预测）（多选）已知函数
（
）的图像是由函数
的图象向右平移
个单位长度得到，则（ ）
A．
B．函数
的最大值为
C．
在区间
内只有一个极值点
D．曲线
与直线
，
，
，（
）所围成的封闭图形的面积为
【典例5】
（2025·四川成都·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
1．（2025·湖南长沙·二模）设
是锐角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·山东青岛·三模）若
，
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．0
3．（2025·河北沧州·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．6
D．7
【典例6】
（2025·河北秦皇岛·二模）已知
为锐角，且
，
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知
，则
的最小值为 ．
2．（2025·河南·模拟预测）已知
，
，则
的最大值为
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
3．（2025·福建漳州·模拟预测）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
成等
差数列，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例7】
（2025·云南·一模）在
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
1．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知
的内角A，B，C 对边分别为a，b，c，h 是AB 边上的高，
若
，则
的最小值为 .
2．（2025·河南·模拟预测）在
中，角
的对边分别为
，已知
，则当
的面积取最大值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·浙江台州·一模）在
中，斜边
，
为
边上的高，
的平分线交
于点
，当
最大时，
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例8】
（2025·河南·三模）定义
行列式
，已知函数
，若在区间
上，始终存在两个不相等的实数
，
，满足
，则a 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
1．（24-25 高一下·湖北·期中）若函数
的定义域内存在
，使得
成立，
则称该函数为“完整函数”．已知
是
上的“完整函
数”，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．[3，5]
D．
2．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，
的终边
与正方形
交于
点
，我们定义
的类余弦值
，类正弦值
.则下面叙述正确的是（ ）
A．对任意的
B．对任意的
C．
在区间
上单调递增
D．对任意的
热点预测
1．（2025·河北·模拟预测）已知函数
，若
图象上相邻的两个
零点之间的距离是
，且
，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
2．（2025·云南昆明·二模）已知函数
，
，则下列说法错误的是
（ ）
A．若
，则
为单调函数
B．若
，则
的图象关于
对称
C．若
存在最大值，则
D．
有
个零点
3．（2025·辽宁沈阳·三模）已知函数
在区间
上有且仅有一个零点，
当
最大时，
的图象的一条对称轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·重庆·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，
为
图象与
轴交点且满足
为等边三角形，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
6．（2025·安徽淮北·二模）在
中，记
，
则（ ）
A．存在
，使
B．存在
，使
C．
的最小值为
D．
的最大值为
7．（2025·四川广安·模拟预测）（多选）已知实数
满足
，则下列命题正确的是（ ）
A．若
时，则
B．若
，
，则
是
的减函数
C．若
，
，则
是
的周期函数
D．若
，
，则
是
的偶函数
8．（2025·四川绵阳·模拟预测）（多选）已知函数
，
，
且
，则（ ）
A．函数
的一个周期为
B．函数
在
上单调递减
C．曲线
关于
对称
D．函数
与函数
的最大值相等
9．（2025·浙江宁波·一模）已知函数
，若对任意的
，
恒
成立，且当
时，
取到最大值，则
的所有可能取值构成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2025·安徽·一模）（多选）已知正实数
满足
，则下
列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2025·河北·模拟预测）（多选）在
中，内角
的对边分别为
，
,
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
为等腰三角形，则
C．当
时，
D．当
时，
12．（2025·安徽·二模）（多选）已知锐角
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，满足
，
，且
的面积为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的周长为
模拟训练
一、单选题
13．（2025·河北保定·一模）记
的内角
所对的边分别为
，若
，则
边上的中线
长度的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2025·四川广安·二模）若函数
的定义域内存在
，
，使得
成
立，则称该函数为“完备函数”.已知
是
上的“完
备函数”，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（24-25 高一下·江苏南通·期中）密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十
种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形
的镶嵌．皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成．在平面凹四边形
（图2）中，测得
，凹四边形
的面积为
，则
的
余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2025·河北·模拟预测）已知
，
则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
17．（2025·浙江·三模）在锐角
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2025·河北·模拟预测）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数
满足：当
时，
的最小值为
，且
，则函数
在区间
内的零点个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
20．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
在
上单调，且
，
，则
的最大值与最小值之和为（ ）
A．
B．
C．2
D．
21．（25-26 高三上·四川南充·月考）已知
三个内角
所对的边分别为
，点
是线段
上一点，且
平分
，若
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
22．（2025·全国·模拟预测）已知三棱锥
的体积为3，
，
，
，则
（ ）
A．3
B．4
C．
D．
23．（2025·浙江·模拟预测）方程
的所有正数解之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（2025·广东·模拟预测）
的内角
的对边分别为
，若
边上的高为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（2025·广东肇庆·一模）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2025·四川遂宁·二模）若点
为
的外心，且满足
，则
的最大值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（2025·新疆·二模）已知函数
，若方程
在
的解为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
28．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数
，若
恒成立，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
二、多选题
29．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知函数
满足
，
且在
上是单调函数，则
的所有可能取值是（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
30．（2025·四川绵阳·模拟预测）在
中，
是角
的对应边，满足
，
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的最小值为1
C．若
，则
D．
的面积最大值为
31．（2025·湖南·一模）在
中，
是
的中点，则下列结论
正确的是（ ）
A．
可以是钝角三角形
B．
C．若
，则
D．
32．（2025·全国·模拟预测）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，则（ ）
A．
的面积为
B．BC 边上的高为
C．
的最小值为
D．
最大值为
33．（2025·福建泉州·模拟预测）在斜
中，若
，则（ ）
A．
B．
的最大值为
C．
D．
34．（2025·广东·模拟预测）已知
的内角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，
，
．则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
35．（2025·浙江丽水·一模）在
中，若
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的最大值是
36．（2025·河南·一模）已知在
中，
，则（ ）
A．
没有最大值
B．
没有最小值
C．
的最大值为
D．
的最小值为
37．（2025·广东深圳·模拟预测）已知
的外接圆半径为
，则（ ）
A．
B．
C．
的面积为6
D．
38．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知曲线
：
，
：
，记变换①为：曲线上
各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变；变换②为：曲线上各点向右平移
个单位长度；变换③为：
曲线上各点向右平移
个单位长度；变换④为：曲线上各点的纵坐标伸长到原来的2 倍，横坐标不变.每
一次变换后得到新的曲线，把
上各点按照如下哪些顺序变换，可以得到曲线
.（ ）
A．②-①-④
B．①-②-④
C．④-③-①
D．④-①-③
39．（2025·福建厦门·二模）已知函数
的图象如图所示，
下列说法正确的是（ ）
A．函数
的一个对称中心是
B．
C．将函数
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
，再向右平移
个单位长度，可
得到函数
的图象
D．函数
在
上有5 个零点，则
的取值范围为
40．（2025·四川内江·一模）已知
，则下列命题中正确的是 （ ）
A．当
时，
在
上的值域为
B．当
时，
的图象可由函数
的图象向左平移
个单位长度得到
C．当
时，
的值域为
D．若存在正偶数
，使得
对任意
恒成立，则
41．（2025·浙江金华·一模）在
中，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
42．（2025·广东佛山·一模）已知
，
，若对任意的
，不等式
恒
成立，则（ ）
A．当
时，
，命题成立
B．当
时，
，命题成立
C．
D．使得命题成立的有序数对
恰有3 组
三、填空题
43．（2025·江苏淮安·模拟预测）法国著名数学家傅里叶用一个纯粹的数学定理表述了周期性声音的规
则特征：任何周期性声音的公式是形如
的简单正弦函数之和．某种叠加音波的函数模型为
，则函数
的最大值为 ．
44．（2025·四川达州·一模）在
中，三个内角
对边分别为
的角平分
线交
于点
，记
内切圆半径为，外接圆半径为
，则
的取值范围为 ．
