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专题08 解三角形（七大核心考点精讲 +多模型与范围最值突破）
读考点
一、考点总结与提升
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC 中，若角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
a2＝b 2 ＋
c 2 －
2 bc
cos
A ；
b2＝c 2 ＋
a 2 －
2 ca
cos
B ；
c2＝a 2 ＋
b 2 －
2 ab
cos
C
变形
(1)a＝2Rsin A，
b＝2 R sin
B ，
c＝2 R sin
C ；
(2)sin A＝，
sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c
＝sin
A ∶
sin
B ∶
sin
C
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2．三角形中常用的面积公式
(1)S＝aha(ha表示边a 上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)．
3.三角形中常用结论
在△ABC 中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B.
(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin .
二、典例精讲
核心考点01.多三角形计算
多三角形问题，即一个三角形中引出一些线段后将其分为两个或者多个小三角形，前面的中线，角平分线，
高线均是如此. 当然，还有一些多三角形并没有像前面这些三角形有固定的解题背景或者结论，它们需要
的是结合正余弦定理和三角形内角和，把握住整体和局部的联系，抓住公共边，公共角等等一些特征，最
多通过多次解三角形实现目标.
基本几何特征:如图，
.
例1．已知
中，点
在边
上，
，
，
．当
取得最小值时，
．
例2．在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
.
（1）求B；
（2）已知D 为边AB 上的一点，且
.
（ⅰ）若
，
，求AC 的长；
（ⅱ）求
的取值范围.
例3．在
中，
，
.
（1）求
的值；
（2）若
，求
的面积;
（3）设
为
内一点，
，
，求
的值.
核心考点02.中线公式与向量方法
若已知顶角
的大小，且
时，可利用向量共线的基本结论
求得.
例4.在
中，内角
的对边分别为
，
.
（1）求
；
（2）若
的面积为
，求
边上的中线
的长.
例5．记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
（1）求B；
（2）设
，若点M 是边
上一点，
，且
，求
的面积．
核心考点03.
为角平分线：角平分线定理
如图，可设
，这样可得
.另一方面，设
的高为
，则
，联立上面两式可得：
，即角平分线性质定理.
例6.
中，
是
上的点，
平分
，
面积是
面积的
倍．
（1） 求
；
（2） 若AD =1，DC =
√2
2 求BD 和AC 的长.
例7.在
中，已知角
，角A 的平分线AD 与边BC 相交于点D，AD=2.则AB+2AC 的最小值为
___________.
例8.在
中，
的对边分别为
.
（1）若
，求
的值；
（2）若
的平分线
交
于点
，求
长度的取值范围.
例
9 ．在
中，内角
A ，B ，C
所对的边分别为
a ，b ，c ，且
.
（1）求A；
（2）若D 是BC 边上一点，AD 是
的平分线，且
，
，求
的面积.
核心考点05.与三角形中特数线段有关的最值、范围问题
例10
的内角A，B，C 所对边分别为a，b，c，点O 为
的内心，记△OBC，
的面
积分别为
，
，
，已知
，
,若
为锐角三角形，则 AC 的取值范围为
_______________.；
例11．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，若
.
(1)求角
的大小；
(2)若
为
上一点，
，
，求
的最小值.
核心考点06. 与三角形周长、面积有关的最值问题、范围问题
例12 已知三角形
中，
，角
的平分线交
于点
，若
，则三角形
面积的最大
值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
例13．记
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求A 的值；
(2)若
的平分线与
交于点
，求
面积的最小值.
核心考点07.三角形中有关量的最值或范围
例14．设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，a＝btanA，B－A＝且B 为钝角．则sinA＋sinC
的取值范围（ ）
A.[
❑√2
2 , 9
8] B.[
❑√2
2 , 9
8) C. (
❑√2
2 , a
8) D.
例15．（多选）在Rt△ABC 中，C＝90°，且A，B，C 所对的边a，b，c。下列实数x 的值哪些能使，满
足a＋b＝cx 成立（ ）
A.1 B.
❑√3
2 C.
❑√5
2 D.
❑√6
2
例16．在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
（1）求A 的大小；
（2）若
为锐角三角形，求
的取值范围．
例17．在锐角△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知6cos2＋cos A＝5.
(1)求A 的大小；
(2)若a＝2，求b2＋c2 的取值范围.
三、高考练场
1. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
，
，则a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.
中，角
的对边分别为
，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①
；②
；③
的面积为
.
则
的取值范围为_______________.
3．已知在
中，
，
为
的中点，且
，则边
上高的最大值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
4．在
中，
边上的高等于
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在锐角
中，角
，
，
的对边分别为
，
，.若
，
，则边
上中线
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6 ．在
中，
，
为
内一点，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，D 为
的边AC 上一点，
，
，
，则
的最小值
为_________
8 ．在锐角
中，内角
所对的边分别为
，若
，则
的最小值为
_________
9 已知
的内角A，B，C 的对应边分别为a，b，c，且
，若
为锐角三
角形，
，则
周长的取值范围为___________．
10 记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，满足
.
（1）求
；
（2）若角
的平分线交
于
点，且
，求
面积的最小值.
11．在
中，角
的对边分别为
，已知
.
（1）求
；
（2）若
，且
，求.
12．已知
的内角
所对的边分别为
，且
（1）求角A；
（2）若
为边
上一点，
为
的平分线，且
，求
的面积
