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第28 题 爪形三角形解题的三大“魔法武器“（解透一
题）
【2025 届四川省成都三诊T8】
已知在△ABC 中，
，∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1 D．
本题围绕△ABC 展开，涉及三角形中的角度（
π 且AD 为其角平分线）和边长
关系（
）．综合运用三角形内角平分线定理、正弦定理以及三角函数的相关知
识来求解tan∠ABC 的值．通过本题可以考查学生的数学抽象素养，将三角形中的几何关系
抽象为数学等式；还考查了数学建模素养，把实际的三角形问题建立成可求解的数学模型，
从而培养学生解决实际问题的能力．
“多思少算” 是高中数学解题的一种非常重要的策略，选择题关注选项的提示作用．
方法一：动态观察+特殊值试错法
解析：动态分析，过定角A 和边BA，令B 变化，如图，
当AD 垂直BC 时，
，显然需要
增大，即
，排除A;
观察选项，选项C 取值对应角B 为特殊角
，在此情况下求CD 的大小．
如图， 在三角形ABD 中，
，在三角形ADC 中，
，
所以
，故答案选C．
方法点评：动态分析，特殊值验证，适用于选择，如果是解答题呢？
本题是与三角形角平分线有关的解三角形问题，其本质上是求解组合三角形的问题，在
中，如果视DC 为定值，那么一对边角确定，三角形的外接圆大小确定．问题要求
，本质是求角，令
，则合三角形的角都可以表示出，只需要借助
建立
的方程即可．
方法二：三角方程"魔法公式"
令
，鉴于
为
的角平分线，且
，
故
．
为了简化运算，不妨取
长度为单位1，即
在
里，依据正弦定理有
)，即
．
所以
．
在
中，根据正弦定理
，其中
，
所以
，则
．
或
（舍去，θ 是三角形内角）
所以
，即
方法点评：借助
建立
的方程，得到
的二次方程．本题求
，题目在给
出爪型图（三角形组合图象）情景下求
，从高中知识板块可以联系到解析几何，
直线的倾斜角与斜率则可沟通
，于是建立适当坐标系，转化为解析几何问题．
方法三：坐标系变身术
以B 为坐标原点，以BA 方向为
轴建立直角坐标系，
不妨设
，则
则
（其中
，
联立解得
，
同理
，
联立解得
，
又
，即
整理得：
即
，
注意
解得
，所以
方法点评：作为解答题的答题，借助直线倾斜角直接构建目标元，优化了运算．
选择题优先用"动态+特殊值"：快速排除选项，减少计算量，就像用排除法做逻辑题．
解答题看条件选武器：
如果题目强调三角函数关系（如正弦、余弦），用三角方程法；
如果图形有明显的直线或坐标关系，用坐标系变身术．
画图是解题神器：无论用哪种方法，先画草图标出关键信息，让大脑和眼睛一起工作！
【训练用动态观察法----图形是否有“动态元素”（旋转、滑动）】
1．在正方形
中，点
是边
的中点，点
是边
上一点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】不妨设正方形
的边长为
，证明出
，求出
的长，即可
得解.
【详解】如下图所示：
不妨设正方形
的边长为
，
因为
，则
，所以
，
又因为
，故
，
所以
，即
，解得
，故
.
故选：C.
【类题训练，改线段关系为面积关系】
2．在
中，
，
的角平分线
交
于点D，
的面积是
面积的3 倍，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用面积之比可得
，，作
边上高，垂足为
，即可求
.
【详解】
因为
，
即
，在
中，作
边上高，垂足为
，
则
，
故选:A.
【类题训练，爪形三角形的解答】
3．
中，
为线段
上的点，则（ ）
A．
B．若D 为
中点，则线段
长度为13
C．若
为
的角平分线，则
D．若
，则
【答案】ACD
【分析】根据向量的数量积运算可判断A，由中点的向量公式及数量积的运算性质求解可
判断B，由角平分线定理可判断C，由余弦定理求出
, 根据直角三角形可知
判断D.
【详解】
，所以A 正确；
D 为
中点时，
，
，
，所以B 错误；
若
为角
的角平分线，根据内角平分线定理：
，所以C 正确；
在三角形
中由余弦定理可得
，所以
，故D 正确.
故选：ACD
【类题训练，加强角平分线性质推导思想应用】
4．在△ABC 中，点D 在边BC 上，AD 为∠A 的角平分线，
，
.
(1)求
的值；
(2)求边AB 的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用余弦定理可求
，再利用同角的三角函数基本关系式和倍角
公式可求
.
（2）利用
可得关于
的方程，从而可求边AB 的长.
【详解】（1）
在
中，由余弦定理可得
，
而
为三角形内角，故
，
因为AD 为∠A 的角平分线，故
.
（2）因为
，
所以
，
故
，
解得
.
【拓展训练，加强角平分线性质推导思想应用】
5．
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
，
的角平分线交
于点
，求线段
长度的最大值．
【答案】(1)
．
(2)
．
【分析】（1）根据正余弦定理边角互化即可求解，
（2）由余弦定理可得
，即可利用等面积法得
，结合基本不等式，
即可求解.
【详解】（1）由题设及正弦边角关系可得：
，则
，
而
，且
，则
．
（2）因为
，所以由余弦定理得
，即
，
所以
，即
（当且仅当
时，等号成立），
因为
，所以
，
解得
，因为
（当且仅当
时，等号成立），
所以
（当且仅当
时，等号成立），所以
长度的
最大值为
．
