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第15 题 焦点三角形与双曲线离心率（一题多变）
【2024 届常德市高三模拟考试】已知双曲线
的左、右焦点分别
为
，过
的直线与双曲线的左、右两支分别相交于
两点，直线
与双曲线的
另一交点为
，若
为等腰三角形，且
的面积是
的面积的2 倍，则双
曲线
的离心率为______．
【思路分析】
根据题意可得
，设
，则
，由
是等腰三角形知，
，或
，根据双曲线的定义结合三角形的余弦
定理建立关系式，即可求得双曲线的离心率.
【详解】
由题，
，
设
，则
.
因为
是等腰三角形，显然
，可得
，或
，
①若
，则
，
此时
，故
，
所以
，
，
，
，因为
，
所以分别在
和
中，由余弦定理：
，
，
因为
，所以
，
所以
．
②若
，则
，此时
，则
，
，因为
，
所以分别在
和
中，由余弦定理：
，
，
因为
，所以
，
所以
.
故答案为：
或
.
【题后反思】
本题是一道以双曲线为载体，焦点三角形的面积关系及三角形的形状为条件背景，求双曲
线的离心率问题.首先是要能根据
为等腰三角形，判断出
中相等的边；其次
是要能合理利用
，由余弦定理建立齐次关系式求解即可.
变条件背景，求离心率
【变化角度】仍以双曲线为载体，改变题中的条件背景，仍求双曲线的离心率，
如下：
例：（多选）已知双曲线
的两个焦点为
，以
的实轴为直径的圆记为
，过点
作圆
的切线，与双曲线
的左、右两支分别交于
两点，且
，则
的
离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路分析】
依题意不妨设双曲线焦点在
轴，设过
作圆
的切线切点为
，利用正弦定理结合三角
变换、双曲线的定义得到
或
，即可得解，注意就
在双支上还是在单支
上分类讨论.
【详解】
（1）若M、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在
轴，设过
作圆
的切线
切点为B，
所以
，因为
，所以
在双曲线的左支，
，
，
，设
，由即
，则
，
，
，
，故选A；
（2）若M、N 在双曲线的两支，如图；
因为
，所以
在双曲线的右支，
所以
，
，
，设
，
由
，即
，则
，
，
，
所以
，即
，
所以双曲线的离心率
，故选C
综上：故选A、C.
【举一反三】
1．已知双曲线
的左、右焦点分别为
为坐标原点，过原点
的直线与
相交于
两点，
，四边形
的面积等于
，则
的离心
率等于（ ）
A．
B．
C．2
D．
2．已知
，
分别是双曲线
的左、右焦点，直线
与
交
于
，
两点，且
，四边形
的周长
与面积满足
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
变求离心率为求标准方程
【变换角度】改变原题中问题，变求离心率为求双曲线的标准方程，如下：
例：如图，设
，
是双曲线
的左、右焦点，过点
作渐近线的平行线
交另外一条渐近线于点
，若
的面积为
，离心率满足
，则双曲线的方
程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路分析】
根据几何关系列出关于渐近线倾斜角与
面积的等量关系式，求出渐近线的倾斜角，
从而根据渐近线方程计算
的值，确定双曲线的方程
【详解】
设双曲线的渐近线
的倾斜角为
，则
，在等腰三角形
中，根据
正弦定理可得：
，得
，所以
，解得
或
，又
，
，所以
，从而
，所以双曲的方程为
，
故选：B．
【举一反三】
3．已知
是双曲线
的左，右焦点，点
在
上，
是线段
上点，若
，则当
面积最大时，双曲线
的方
程是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知双曲线
的右焦点
与抛物线
的焦点重合，过
作与
一条渐近线平行的直线，交另一条渐近线于点
，交抛物线
的准线于点
，若三
角形
（
为原点）的面积
，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
变载体为椭圆，求离心率
【变换角度】将原题中的双曲线变为椭圆，仍求离心率，如下：
例：已知椭圆
的左、右焦点分别是
，斜率为
的直线经过
左焦点
且交
于
两点（点
在第一象限），设
的内切圆半径为
，
的内切圆半径为
，若
，则椭圆的离心率
______．
【思路分析】
由题意得
，联立直线与椭圆方程得
，
，
再利用
，再代入值计算即可得答案.
【详解】
如图所示，由椭圆定义可得
，
，
设
的面积为
，
的面积为
，因为
，
所以
，即
，
设直线
，则联立椭圆方程与直线，
可得
，
由韦达定理得：
，
，
又
，即
，
化简可得
，即
，
即
时，有
.
故答案为：
【举一反三】
5．已知椭圆
的左，右焦点分别为
，
，点
在椭圆上，
为
的内心，记
，
的面积分别为
，
且满足
，则椭圆的离心率
是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知椭圆
的左、右焦点分别是
，斜率为
的直线l 经过点
且交
于
两点（点
在第一象限），若
的面积是
的面积的3 倍，则
的离心率为 ．
7．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
.若线段
与双曲线
的一条渐近线垂直，垂足为
，且
的面积是
的2 倍，则双
曲线
的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
8．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，斜率为
且过
的直
线交双曲线
的渐近线于
两点，若
，
（
表示
的面积），则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
9．过双曲线
的右顶点A 作一条渐近线的平行线，交另一条渐近
线于点P，
的面积为
（O 为坐标原点），离心率为2，则双曲线C 的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图1 所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，
其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线
的左、
右焦点分别为
，
，从
发出的光线经过图2 中的A，B 两点反射后，分别经过点
和
．且
，
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知椭圆
）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P 为椭圆
上一点，直线
与直线
交于点M，
的角平分线与直线
交于点N．若
，
的面积是
面积的
倍，则椭圆C 的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知椭圆
的左、右焦点分别为
.点
在
上且横纵坐标均
为非负数，圆
与线段
的延长线，线段
以及
轴均相切，
的内切圆为圆
.
若圆
与圆
外切，且圆
与圆
的面积之比为9，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．已知
是双曲线
的左右焦点，过
的直线与双曲线
交于
两点，且
，
，则双曲线
的离心率为
14．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
的直线与双曲
线的左、右两支分别相交于
两点，直线
与双曲线的另一交点为
，若
为等
腰三角形，且
的面积是
的面积的3 倍，则双曲线
的离心率为 ．
