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2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时一
知识点一 求椭圆中的最值问题
典例1、如图，椭圆 的左、右焦点为 ，过 的直线 与椭圆相交于 、 两点.
（1）若 ，且 求椭圆的离心率.
（2）若 ，求 的最大值和最小值.
随堂练习：已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，椭圆E的离心率为 ，且通径长为
1．
（1）求E的方程；（2）直线l与E交于M，N两点（M，N在x轴的同侧），当 时，求四边
形 面积的最大值．典例2、已知焦点在x轴的椭圆C： 离心率e= ，A是左顶点，E（2，0）
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）若斜率不为0的直线l过点E，且与椭圆C相交于点P，Q两点，求三角形APQ面积的最大值
随堂练习：已知椭圆的中心在原点，焦点 ，且经过点 ．
（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上有一点P，另一焦点 ，求 的面积的最大值．典例3、椭圆 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过 的长轴，短轴端点的一条直线方程是
.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作直线交椭圆 于 ， 两点，若点 关于 轴的对称点为 ，证明直线 过定点.
随堂练习：已知椭圆 经过点 和点 ．
（1求椭圆 的标准方程和离心率；
（2）若 、 为椭圆 上异于点 的两点，且点 在以 为直径的圆上，求证：直线 恒过定点．知识点二 求双曲线中三角形（四边形）的面积问题,根据韦达定理求参数
典例4、已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，双曲线 的右顶点 在圆
上，且 ．
（1）求双曲线 的方程；（2）动直线 与双曲线 恰有1个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分
别交于点 、 ，设 为坐标原点．求证： 的面积为定值．
随堂练习：已知双曲线C： 的离心率为 ，焦点到其渐近线的距离为1．
（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知直线l： 与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为 ，求△OAB的面积．
典例5、已知双曲线W： 的左、右焦点分别为 、 ，点 ，右顶点是M，
且 ， ．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点 的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点 在
以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．
随堂练习：在一张纸上有一圆 ： ，定点 ，折叠纸片使圆C上某一点 恰好与
点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线 的交点为T.（1）求证： 为定值，并求出点 的轨迹 方程；
（2）曲线 上一点P，点A､B分别为直线 ： 在第一象限上的点与 ： 在第四象限上的
点，若 ， ，求 面积的取值范围.
典例6、已知双曲线 与双曲线 的渐近线相同，且经过点 ．
（1）求双曲线 的方程； （2）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，直线 经过 ，斜率为 ，
与双曲线 交于A， 两点，求 的值．
随堂练习：已知双曲线C的渐近线方程为 ，右焦点 到渐近线的距离为 .（1）求双曲线C的方程； （2）过F作斜率为k的直线 交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线
交x轴于D，求证： 为定值.
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时一答案
典例1、答案：（1） ；（2）最大值 ；最小值 .
解:（1） ， 因为 。所以 ， 所以 ，
所以
（2）由于 ，得 ，则 .
①若 垂直于 轴，则 ， 所以 ，
所以②若 与 轴不垂直，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为
由 得
， 方程有两个不等的实数根.
设 ， . ,
=
，所以当直线 垂于 轴时， 取得最大值
当直线 与 轴重合时， 取得最小值
随堂练习：答案：（1） ；（2）2.
解:（1）依题意可知 ，解得 故椭圆的方程为 ．
（2）延长 交E于点 ，由（1）可知 ，
设 ，设 的方程为 ，由 得 ，故 ．设 与 的距离为d，则四边形 的面积为S，
，
又因为
，
当且仅当 ，即 时，等号成立， 故四边形 面积的最大值为2．
典例2、答案：（1） （2）
解:（1）∵ ∴ ，a=4， 椭圆的标准方程为 ；
（2）设直线l的方程为x=my+2，代入椭圆方程得 ，
设P ，Q ，则
∴三角形APQ面积为： ，
令
∵函数y=x+ 在 上单调递增
∴当u= ，即m=0时，三角形APQ的面积取最大值 .随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）因为椭圆的焦点为 且过 ，所以
所以 ， ，所以椭圆方程为： ；
（2）因为 ，
因为 ，
所以 ，此时P点位于短轴端点处
典例3、答案：（1） ；（2）见解析
解: （1）对于 ，当 时， ，即 ，当 ， ，即 ，
椭圆的方程为 ，
（2）证明：设直线 ，（ ）， 设 ， 两点的坐标分别为 ， ，则
，
联立直线 与椭圆得 ， 得 ，
，解得 ， ，
， 直线 ，
令 ，得 ，直线 过定点
随堂练习：答案：（1）椭圆 的标准方程为 ，离心率为 （2）证明见解析
解：（1）将点 、 的坐标代入椭圆 的方程可得 ，解得 ，则 ，
所以，椭圆 的标准方程为 ，离心率为 .
（2）分以下两种情况讨论：
①当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ， 可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
，同理可得 ，
由已知 ，则
，
所以， ，即 ，解得 或 .
当 时，直线 的方程为 ，此时直线 过点 ，不合乎题意；
当 时，直线 的方程为 ，此时直线 过定点 ，合乎题意；
②当直线 轴，则点 、 关于 轴对称，所以， ， ，即点 ，
由已知 可得 ， ， ，由已知 ，则 ，所以， ，因为 ，解得 ，
此时直线 的方程为 ，则直线 过点 . 综上所述，直线 过定点 .
典例4、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）不妨设 , 因为 ,
从而 故由 , 又因为 , 所以 ,
又因为 在圆 上, 所以
所以双曲线 的标准方程为：
（2）设直线 与 轴交于 点，双曲线的渐近线方程为
由于动直线 与双曲线 恰有1个公共点, 且与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ,
当动直线 的斜率不存在时, , ， ,
当动直线 的斜率存在时, 且斜率 , 不妨设直线 ,
故由
依题意， 且 , 化简得 ,
故由 , 同理可求, ,
所以 又因为原点 到直线 的距离 ,所以 ,又由 所以 ,
故 的面积是为定值,定值为
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）双曲线C： 的焦点坐标为 ，其渐近线方程为 ，
所以焦点到其渐近线的距离为 ． 因为双曲线C的离心率为 ，
所以 ，解得 ， 所以双曲线C的标准方程为 ．
（2）设 ， ， 联立 ，得 ， ，
所以 ， ．
由 ， 解得t＝1（负值舍去），
所以 ， ． 直线l： ，所以原点O到直线l的距离为 ，
， 所以△OAB的面积为 ．
典例5、答案：（1） ；（2） .
解:（1）由已知 ， ， ， ，
∵ ，则 ，∴ ，∴ ，
解得 ， ，∴双曲线的方程为 ．
（2）直线l的斜率存在且不为0，设直线l: ，设 、 ，由 ，得 ， 则 ，解得 ①，
∵点 在以线段AB为直径的圆的外部，则 ，
，解得 ②，
由①、②得实数k的范围是 .
由已知 ，∵B在A、Q之间，则 ，且 ，
∴ ，则 ，∴ ， 则 ，
∵ ，∴ ， 解得 ，又 ，∴ ．
故λ的取值范围是 ．
随堂练习：答案： （1）证明见解析， （2）
解：（1）证明：如图，由点 与 关于 对称，则 ， ，故为定值.
由 ，
由双曲线定义知，点 的轨迹为以 为焦点，实轴长为8的双曲线，
设双曲线 方程为 ， ，
所以双曲线方程为 ；
（2）由题意知， 分别为双曲线 的渐近线
设 ，由 ，设 .
，由于P点在双曲线上
又 同理 ，设 的倾斜角为 ，
则 .
由函数的性质可知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ；
当 时， ； .
典例6、答案： （1） （2）6解：（1）设所求双曲线 方程为 ， 代入点 得： ，即 ，
双曲线 方程为 ，即 ；
（2）由（1）知： ， ， 即直线 的方程为 ，
设 ， ， 联立 ，得 ，
满足 ，且 ， ，
由弦长公式得 .
随堂练习：答案： （1） ；（2）证明见解析.
解:（1）设双曲线方程为 由题知
双曲线方程为：
（2）设直线l的方程为 代入
整理得 ，设 所以：
由弦长公式得：
设AB的中点 则 ， 代入l得：
AB的垂直平分线方程为
令y=0得 ，即 ，所以： 为定值.
