圆锥曲线的方程（七）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案）_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_专项复习_2025高考总复习专项复习-圆锥曲线的方程讲义（含答案）（完结）

2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时七 知识点一 根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆的离心率或离心率的取值范围,求椭圆的切线方程, 椭圆中三角形（四边形）的面积 典例1、已知椭圆 ，其离心率为 ，若 ， 分别为C的左、右焦点，x轴上 方一点P在椭圆C上，且满足 ， ． （1）求C的方程及点P的坐标；（2）过点P的直线l交C于另一点Q（点Q在第三象限），点M与 点Q关于x轴对称，直线PM交x轴于点N，若 的面积是 的面积的2倍，求直线l的方程． 随堂练习：已知椭圆 的内接正方形的面积为 ，且长轴长为4． （1）求C的方程．（2）直线l经过点 ，且斜率大于零．过C的左焦点 作直线l的垂线，垂 足为A，过C的右焦点 作直线l的垂线，垂足为B，试问在C内是否存在梯形 ，使得梯形 的面积有最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．典例2、已知椭圆 ( )的离心率为 ，其右焦点为F，点 ，且 ． （1）求C的方程； （2）过点P且斜率为 ( )的直线l与椭圆C交于A、B两点，过A、B分别作y轴的垂线，垂足为 M、N，直线AN与直线 交于点E，证明：B、M、E三点共线． 随堂练习：已知椭圆C： 过点 ，离心率 ． （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左右两个顶点分别为A，B．过点 的直线与椭圆C交于M、N（不与A、B重合） 两点，直线AM与直线 交于点Q，证明：B、N、Q三点共线．典例3、已知椭圆 ，左右焦点分别为 ，直线y=-x+1与椭圆 相交于 两点． （1）求椭圆的焦点坐标及离心率； （2）求 的面积． 随堂练习：已知椭圆 ： 的长轴长为4，左、右顶点分别为 ， ，经过点 的动直线 与椭圆 相交于不同的两点 ， （不与点 ， 重合）． （1）求椭圆 的方程及离心率； （2）求四边形 面积的最大值；知识点二 根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆的离心率或离心率的取值范围,椭圆中的直线过定点 问题 典例4、已知椭圆 ： （ ）的左右焦点为 ， ，上、下端点为 ， .若从 ， ， ， 中任选三点所构成的三角形均为面积等于2的直角三角形. （1）求椭圆 的方程； （2）如图，过点 作两条不重合且，斜率之和为2的直线分别与椭圆交于 ， ， ， 四点， 若线段 ， 的中点分别为 ， ，试问直线 是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果 不是，请说明理由.随堂练习：已知椭圆 上任意一点 到椭圆 两个焦点 的距离之和为 ，且 离心率为 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）设 为 的左顶点，过 点作两条互相垂直的直线 分别与 交于 两点，证明：直线 经过定点，并求这个定点的坐标． 典例5、已知椭圆E经过点 和点 . （1）求椭圆的标准方程； （2）设圆 ，直线l与圆C相切于 ，与椭圆交于A，B两点，且 ，求 直线l的方程.随堂练习： 已知点B是圆 上的任意一点，点 ，线段 的垂直平分线交 于 点P. （1）求动点P的轨迹E的方程； （2）直线 与E交于点M，N，且 ，求m的值. 典例6、已知①如图，长为 ，宽为 的矩形 ，以 ､ 为焦点的椭圆 恰好过 两 点 ②设圆 的圆心为 ，直线 过点 ，且与 轴不重合，直线 交圆 于 两 点，过点 作 的平行线交 于 ，判断点 的轨迹是否椭圆 （1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆 的标准方程；（2）根据（1）所得椭圆 的标准方程，若 为椭圆 上的点， ， 分别是椭圆 的左右焦点， 若 ，求 的周长与面积. 随堂练习：已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，过 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，圆 是 的内切圆．当直线 的倾斜角为 时，直线 与椭圆 交于点 ． （1）求椭圆 的方程； （2）求圆 周长的最大值．2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时七答案 典例1、答案： （1） ； （2） 解：（1）因为 ，所以 ，且 ． 又 ，所以 ， 即 ，即 ，所以 ， 又离心率 ，所以 ， ，所以 ， 所以椭圆方程为 ． （2）∵ ，又∵ ，∴ ，∴P点的坐标为 ． 依题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为 ， 由 消去y整理 ，解得 或 ， 所以Q点坐标为 ， 从而M点坐标为 ， 所以直线PM的方程为 ， 则N点的坐标为 ， 因为 的面积是 的面积的2倍，点Q在第三象限， 所以 ， 即 ，解得 （舍负）， 所以满足条件的直线l的方程为 ， 即： ． 随堂练习：答案：（1） （2）存在； 解：（1）设C的内接正方形的一个端点坐标为 ， 则 ，解得 ， 则C的内接正方形的面积为 ，即 ．又 ，所以 ， 代入 ，解得 ，故C的方程为 ． （2）存在梯形 ，其面积的最大值为 ． 理由如下：设直线 ， ． 因为直线l经过点 ，所以 ， 所以点 到直线l的距离为 ， 点 到直线l的距离为 ， 所以梯形 的面积 （ 为直线l的倾斜角）， 所以 ， 当且仅当 时，等号成立， 此时，直线 ，直线 ， 联立这两条直线的方程，解得 ， 因为 ， 所以点 在C的内部. 同理可证： 也在C的内部. 故在C内存在梯形 ，其面积的最大值为 ． 典例2、答案： （1） ； （2）证明见解析﹒ 解：（1）设 ( )，由题意知 ，∴ ． ∵点 ，且 ，解得 ， ∴ ， ， 因此C的方程为 ． （2）由题意可知，直线l的方程为 ．由 得 ， 设 ， ，则 ， ． ∵ 轴，∴ ，∴直线 ， 令 ，得 ． ∵ 轴，∴ ． ∴ ， ∴B，M，E三点共线． 随堂练习：答案： （1） ； （2）证明见解析. 解：（1）由题意知， ， ， 所以 ，则 ， 所以椭圆C的方程为 ． （2）由题知：l斜率不为零，设l为 ， ， ， 由 得， ，则 ， ，所以 ， ∴ ，直线AM的方程为 ，则 ， ∴ ， ， ∴ ，即 ， ∴N、B、Q三点共线． 典例3、答案： （1）焦点坐标为 ；离心率为 （2） 解：（1）椭圆 知，该椭圆的焦点在 轴上，设焦距为 ， 由 ， 所以 ，所以焦点坐标为 离心率为： （2）由直线y=-x+1与椭圆 相交于 两点，设 则 消去 得 ， ， 所以 又 到y=-x+1的距离为 所以 的面积为：随堂练习：答案： （1） ； （2） 解：（1）由题意，得 ，解得 ， 所以椭圆 方程为 ， ， ， ， 则离心率为 . （2）当直线 的斜率 不存在时，由题意，得 的方程为 ， 代入椭圆 的方程，得 ， ， 又因为 ， ， 所以四边形 的面积 , 当直线 的斜率 存在时，设 的方程为 ， 设 ， 联立方程 ，消去 ，得 ， 由题意，可知 恒成立， 则 ， ， 四边形 的面积 令 ，则四边形 的面积 ， ，所以 ， 综上所述，四边形 面积的最大值 . 典例4、答案： （1） （2）直线 过定点，且定点为 解：（1）解法一：从 ， ， ， 中任选三点可构成四个三角形， 其中 ， . 为此仅需考虑 ， 为面积等于2的直角三角形即可. 其中 ， . 因为 为等腰三角形，故可得 ，即有： ； 同时因为 为等腰三角形，故可得 ，即有： ； 综上可得： ， ，即可得椭圆 的方程为 . 解法二：由椭圆的对称性，结合已知条件可知从 ， ， ， 中任选三点所构成的三角形， 均为等腰直角三角形，故四边形 是面积为4的正方形， 又正方形的边长为 ，故 ，即 又正方形的对角线相等，所以 ，即 又因为 ，所以 从而椭圆 的方程为 . （2）解法一：依题意，设直线 的方程为： ① 设直线 的方程为： ，联立方程①与椭圆 的方程可得 由韦达定理得 ， 根据中点公式可得： 则 ，即 同理可得： 从而直线 的斜率为： 故直线 的方程为： 因为 ，将 代入上式可得： 故直线 必过定点 . 解法二：依题意可知直线 的斜率存在，设直线 的方程为： ①， 设直线 的方程为： ②， 设直线 的方程为： ， 联立方程②与椭圆 的方程可得 由韦达定理得 根据中点公式可得： 同时点 是直线 和直线 的交点，联立方程①②得 即可得 ， 整理得 ④ 同理可得 ⑤ 根据④⑤可以理解为 ， 为关于 的一元二次方程 的两个根.由韦达定理可得： ，即可得： ， ∴直线 的方程为： ，故直线 必过定点 . 随堂练习：答案： （1） （2）直线 恒过定点 ，证明见解析 解：（1）由椭圆定义知： ，解得： ， 又离心率 ， ， ， 椭圆 的标准方程为： . （2）由（1）知： ； 当直线 斜率存在时，设 ， ， ， 由 得： ， 则 ，解得： ， ， ， ， ， 即 ， ， 即 ，整理可得： ， 或 ； 当 时，直线 恒过 点，不合题意； 当 时，直线 ， 恒过定点 ； 当直线 斜率不存在且恒过 时，即 ， 由 得： ， ，满足题意； 综上所述：直线 恒过定点 . 典例5、答案： （1） （2） 或 解：（1）设椭圆E方程为 ，（t， 且 ） 将点 代入椭圆方程得到 , 解得 ， 所以椭圆的标准方程为 . （2）不妨设直线l的方程为 , 因为该直线与圆 相切，所以 ， 所以 ， 将直线方程代入椭圆方程并消去x得： ，则 ,， 所以 ， 联立 ，解得 ， 即 或 ， 则直线l的方程为 或 . 随堂练习：答案： （1） ，（2） . 解: （1）由条件可得 所以动点P的轨迹E是以 为焦点的椭圆，设其方程为 所以 ，所以 所以方程为 （2）设 联立 可得 所以由 得因为 所以可解得 x2 3  y2 1 S  典例6、答案： （1） 4 ；（2） PF 1 F 2 3 ，l 42 3 C( 3,1) 解:（1）选择条件①：由已知可得点 代入椭圆方程得： a2b2 3   1 a2 4    3 4 b2 1 故椭圆方程为：x2  1  y2 1 a2 b2 4 选择条件②： SCD SC SD 由题设可得如下示意图，易知：△ 为等腰三角形且 ， SCDSDC TM //SC MTDSCD MTDSDC MT MD ∴ ，又 ，即 ， ∴ ，则 ， MSMT MSMDSD4 ∵ ， S( 3,0),T( 3,0) ∴椭圆定义知：动点M 到两定点 的距离和为定值4， x2  y2 1 ∴M 的轨迹方程为 4 . 1 3 S   PF  PF sin60 mn （2）设 PF 1 m ， PF 2 n 则 PF1F2 2 1 2 4 △PFF 4c2 m2n22mncos60 在 1 2 中，根据余弦定理可得：12m2n2mn(mn)23mn 即 4 3 mn S  根据定义：mn4 代入上式得： 3 故 PF 1 F 2 3 l mn2c42 3 且周长为： x2  y2 1 随堂练习：答案：（1） 2 ；（2）． C cc0 Fc,0 解:（1）设椭圆 的半焦距为 ，则 1 ， l 45 l yxc 当直线 的倾斜角为 时，直线 的方程为 ，  4 1  ,  又直线 l 与椭圆C交于点 3 3，c1，a2 b21  4 1 16  1 1 将点    3 , 3   代入椭圆方程得：9  b21  9b2 1 x2 b2   y2 1 解得b2 1或 9（舍），a2 2 椭圆C的方程为 2 rr 0 （2）设圆P的半径为 ， MN  2 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1， ， 1 1 1  MN  MF  NF r  2 2 r  S MNF2 S MPN S MPF2 S NPF2 2 2 2 2 2r 2 2 l k l ykxk 当直线 的斜率存在时，设为 ，直线 的方程为 ， ykxk  x2 设 Mx,y  ， Nx ,y  由   y2 1得 2k2 1  x2 4k2x2k2 20 1 1 2 2  2 4k2 2k22 x x  xx  1 2 2k21， 1 2 2k2116k4 8  k21  1 |k|  S MNF2  2 F 1 F 2 y 1 y 2 |k| x 1 x 2 |k| x 1 x 2 24x 1 x 2  2k21 2 2k21 4k44k2 1  2  2 1  2k21 2  2k21 2 1 2 2r  2 1 又S S S S 2 2r  2k21 2 MNF2 MPN MPF2 NPF2 1 1 1 r  1  1 1 2  2k21 2 2 0r r  综上， 2  当 2时，圆 P 的周长取得最大值．