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微重点 16 椭圆、双曲线的二级结论的应用
椭圆、双曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多
种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅
速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能
迎刃而解．
考点一 焦点三角形
核心提炼
焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，F，F 且∠FPF＝θ，
1 2 1 2
则椭圆中 ＝b2·tan ，
双曲线中 ＝.
例1 (2022·临川模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F ，F ，其离心率
1 2
为e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠FPF ＝，已知△FPF 的内切圆的面积为3π，则该
1 2 1 2
椭圆的长轴长为( )
A．2 B．4 C．6 D．12
答案 D
解析 由e＝，得＝，即a＝2c.①
设△FPF 的内切圆的半径为r，
1 2
因为△FPF 的内切圆的面积为3π，
1 2
所以πr2＝3π，解得r＝(舍负)，
在△FPF 中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，
1 2
知 ＝b2tan＝r(2a＋2c)，
即b2＝(a＋c)，②
又a2＝b2＋c2，③
联立①②③得c＝3，a＝6，b＝3，
所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.
易错提醒 (1)要注意公式中θ的含义．
(2)椭圆、双曲线的面积公式不一样，易混淆．
跟踪演练1 如图，F，F 是椭圆C ：＋y2＝1与双曲线C 的公共焦点，A，B分别是C ，C
1 2 1 2 1 2在第二、四象限的公共点．若四边形AFBF 为矩形，则C 的离心率是( )
1 2 2
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设双曲线C 的方程为－＝1，
2
则有a＋b＝c＝c＝4－1＝3.
又四边形AFBF 为矩形，
1 2
所以△AFF 的面积为btan 45°＝，
1 2
即b＝b＝1.
所以a＝c－b＝3－1＝2.
故双曲线的离心率e＝＝＝.
考点二 焦半径的数量关系
核心提炼
焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆相交于A，B两点，则＋＝，同理，双曲线中，
＋＝.
例2 已知双曲线C的左、右焦点分别为F(－，0)，F(，0)，过F 的直线与C的右支交于
1 2 2
A，B两点．若AF2＝2F2B，|AB|＝|FB|，则双曲线C的方程为________．
1
答案 －＝1
解析 如图，令|FB|＝t，
2
则|AF|＝2t，
2
∴|AB|＝3t，|FB|＝3t，
1
又＋＝，
∴＋＝，
即＝，又|FB|－|FB|＝2a，
1 2
∴3t－t＝2a，∴2t＝2a，∴t＝a，
∴＝，即3b2＝4a2，
又c＝，∴a2＋b2＝7，
解得b2＝4，a2＝3，
故双曲线C的方程为－＝1.
易错提醒 公式的前提是直线AB过焦点F，焦点F不在直线AB上时，公式不成立．
跟踪演练2 已知椭圆C：＋＝1，过右焦点F 的直线交椭圆于A，B两点，且|AF|＝2，则|
2 2
AB|＝______，cos∠FAB＝________.
1
答案 －
解析 由椭圆方程知a＝4，b＝2，|AF|＝2，
2
又＋＝，
即＋＝，
解得|BF|＝，
2
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝，
2 2
由椭圆定义知|AF|＝8－2＝6，
1
|BF|＝8－＝，
1
在△AFB中，由余弦定理，得
1
cos∠FAB＝＝－.
1
考点三 周角定理
核心提炼
周角定理：已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实轴)端点，则
椭圆中k ·k ＝－，双曲线中k ·k ＝.
PA PB PA PB
例3 已知椭圆C：＋y2＝1的左、右两个顶点为A，B，点M ，M ，…，M 是AB的六等分
1 2 5
点，分别过这五点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交椭圆C于P ，P ，…，P ，则直线
1 2 10
AP，AP，…，AP ，这10条直线的斜率乘积为( )
1 2 10
A．－ B．－
C. D.
答案 B解析 由椭圆的性质可得
＝ ＝－
＝－.
由椭圆的对称性可得
同理可得
∴直线AP，AP，…，AP 这10条直线的斜率乘积为5＝－.
1 2 10
规律方法 周角定理的推广：A，B两点为椭圆(双曲线)上关于原点对称的两点，P为椭圆
(双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中k ·k ＝－，双曲线中k ·k ＝.
PA PB PA PB
跟踪演练3 设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F，F，上、下顶点分别为A，B，直
1 2
线AF 与该椭圆交于A，M两点，若∠FAF＝90°，则直线BM的斜率为( )
2 1 2
A. B. C．－1 D．－
答案 B
解析 ∵∠FAF＝90°，
1 2
∴△FAF 为等腰直角三角形，∴b＝c，
1 2
∴a2＝2b2＝2c2，
∴＝，
且∠AFO＝45°，∴k ＝－1，
2 MA
又k ·k ＝－＝－，
MA MB
∴k ＝.
MB考点四 过圆锥曲线上点的切线方程
核心提炼
已知点P(x ，y)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中
0 0
＋＝1，双曲线中－＝1.
例4 已知椭圆C：＋y2＝1.如图，设直线l与圆O：x2＋y2＝R2(10，b>0)上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率
均存在，且斜率之积为，则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设P(x，y)，
0 0
由于双曲线C在点P(x，y)处的切线方程为－＝1，
0 0
故切线l的斜率k＝，
因为k·k ＝，
OP
则·＝，则＝，
即双曲线C的离心率e＝＝.
2．(2022·保定模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，直线l：y
1 2＝kx(k≠0)与C交于M，N两点，且四边形MF NF 的面积为8a2.若点M关于点F 的对称点
1 2 2
为M′，且|M′N|＝|MN|，则C的离心率是( )
A. B. C．3 D．5
答案 B
解析 如图，由对称性知MN与FF 互相平分，
1 2
∴四边形MF NF 为平行四边形，
2 1
∵F 为MM′的中点，且|MN|＝|M′N|，
2
∴NF ⊥MF ，∴四边形MF NF 为矩形，
2 2 2 1
∴
又 ＝＝4a2，即b2＝4a2，
∴c2－a2＝4a2，即c2＝5a2，即e＝＝.
3．椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F ，F ，过F 作直线交椭圆于A，B两点，且AF2＝
1 2 2
2F2B，则△AFB的外接圆面积为( )
1
A. B．4π
C．9π D.
答案 D
解析 如图，a＝3，b＝2，c＝，
令|FB|＝t，则|AF|＝2t，
2 2
∵＋＝，
∴＋＝⇒t＝1，
∴|BF|＝1，|AF|＝2，
2 2
由椭圆定义知|BF|＝5，|AF|＝4，
1 1
∴△ABF 中，|AB|＝3，|AF|＝4，|BF|＝5，
1 1 1
∴AF⊥AB，
1
∴△ABF 外接圆半径R＝＝，其面积为.
1
4．(2022·石家庄模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点
(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足BA·BP＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为( )
A. B．2 C. D．3
答案 A
解析 如图，
∵BA·BP＝0，
∴BA⊥BP，令k ＝k，
AB
∵∠ADO＝∠AOD，
∴k ＝－k ＝－k，
AP AB
又BA⊥BP，∴k ＝－，
PB
依题意知k ·k ＝，
PB PA
∴－·(－k)＝，
∴＝1，即e＝.
5．(多选)(2022·济宁模拟)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，左、右顶点
1 2
分别为A，A，点P是C上异于A，A 的一点，则下列结论正确的是( )
1 2 1 2
A．若C的离心率为，则直线PA 与PA 的斜率之积为－
1 2
B．若PF⊥PF，则△PFF 的面积为b2
1 2 1 2
C．若C上存在四个点P使得PF⊥PF，则C的离心率的取值范围是
1 2
D．若|PF|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是
1
答案 BD
解析 设P(x，y)，所以＋＝1，
0 0
∵e＝＝，∴a＝2c，∴a2＝b2，
∴ ＝－＝－，
∴选项A错误；
若PF⊥PF，△PFF 的面积为b2tan ＝b2，
1 2 1 2
∴选项B正确；
若C上存在四个点P使得PF⊥PF，即C上存在四个点P使得△PFF 的面积为b2，
1 2 1 2
∴·2c·b>b2，∴c>b，∴c2>a2－c2，
∴e∈，∴选项C错误；
若|PF|≤2b恒成立，∴a＋c≤2b，
1
∴a2＋c2＋2ac≤4b2＝4(a2－c2)，∴5e2＋2e－3≤0，
∴00，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，左、
1 2
右顶点分别为A，A，P为双曲线的左支上一点，且直线PA 与PA 的斜率之积等于3，则下
1 2 1 2
列说法正确的是( )
A．双曲线C的离心率为2
B．若PF⊥PF，且 ＝3，则a＝2
1 2
C．以线段PF，AA 为直径的两个圆外切
1 1 2
D．若点P在第二象限，则∠PFA＝2∠PAF
1 2 2 1
答案 ACD
解析 对于A，设P(x，y)，则y2＝b2，
因为A(－a，0)，A(a，0)，
1 2
所以 ＝＝3，
得e＝＝2，故A正确；
对于B，因为＝2，
所以c＝2a，
根据双曲线的定义可得|PF|－|PF|＝2a，
2 1
又因为PF⊥PF，
1 2
所以△PFF 的面积为＝b2＝3，
1 2
又＝3，所以a＝1，故B错误；
对于C，设PF 的中点为O，O为原点．
1 1
因为OO 为△PFF 的中位线，
1 1 2
所以|OO |＝|PF|＝(|PF|＋2a)＝|PF|＋a，
1 2 1 1
则可知以线段PF，AA 为直径的两个圆外切，故C正确；
1 1 2
对于D，设P(x，y)，则x<－a，y>0.
0 0 0 0
因为e＝2，所以c＝2a，b＝a，
则渐近线方程为y＝±x，
所以∠PAF∈，
2 1
∠PFA∈.
1 2
又tan∠PFA＝＝，
1 2
tan∠PAF＝－，
2 1
所以tan 2∠PAF＝
2 1
＝＝
＝
＝
＝＝tan∠PFA，
1 2
因为2∠PAF∈，
2 1
所以∠PFA＝2∠PAF，故D正确．
1 2 2 1
7．椭圆C：＋＝1(a>b>0)上存在两点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，且线段MN中点
的纵坐标为－，则椭圆的离心率e＝________.
答案
解析 如图，设MN的中点为Q，
∴y ＝－，
Q
∴x ＝y －1＝－，
Q Q
∴Q，∴k ＝，
OQ
M，N关于直线l对称，
∴MN⊥l，
∴k ＝－1，
MN
由点差法可得k ＝－·，
MN
又k ＝，
OQ
∴k ·k ＝－，
OQ MN
∴×(－1)＝－，∴＝，
即a2＝4b2＝4(a2－c2)，
即3a2＝4c2，
∴e＝.
8.(2022·成都模拟)经过椭圆＋y2＝1中心的直线与椭圆相交于M，N两点(点M在第一象限)，
过点M作x轴的垂线，垂足为点E，设直线NE与椭圆的另一个交点为P，则cos∠NMP的
值是________．
答案 0解析 设M(x，y)(x>0，y>0)，P(x，y)，
1 1 1 1 0 0
则N(－x，－y)，E(x，0)，
1 1 1
所以k ＝，k ＝k ＝＝，
MN PN EN
k ＝，
PM
k ×k ＝·＝＝－，
PN PM
所以k ＝－＝，
PN
所以k ＝－.
PM
所以k ×k ＝×＝－1，
MN PM
所以MN⊥MP，所以cos∠NMP＝cos ＝0.
