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考点 21 双曲线（核心考点讲与练）
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F，F 的距离差的绝对值等于常数(小于|FF|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定
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点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF |－|MF ||＝2a}，|FF|＝2c，
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其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若 a < c 时，则集合P为双曲线；
(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；
(3)若 a > c 时，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图 形
范围 x≥a或x≤－a，y∈R x ∈ R ， y ≤ － a 或 y ≥ a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A ( － a ， 0) ， A ( a ， 0) A(0，－a)，A(0，a)
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性
渐近线 y＝±x y ＝ ± x
质
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
线段AA 叫做双曲线的实轴，它的长度|AA|＝2a；线段BB 叫
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实虚轴 做双曲线的虚轴，它的长度|BB|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，
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b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系 c2＝ a 2 ＋ b 21.（1）在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是
双曲线的一支，则需确定是哪一支．
（2）在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||
PF|－|PF||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF||PF|的联系．
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2.与双曲线几何性质有关问题的解题策略
在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心
率涉及的也比较多．由于e＝ 是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2
－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e＞1．
3.圆锥曲线的弦长
（1）圆锥曲线的弦长
直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦(就是连接圆
锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．
（2）圆锥曲线的弦长的计算
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x，y)，B(x，y)，则|AB|＝
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＝ |x－x|＝ ·|y－y|．(抛物线的焦点弦长|AB|＝x＋x＋p＝
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，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．
双曲线的定义
一、单选题
1．（2022·广东潮州·二模）若点P是双曲线 上一点， ， 分别为 的左、右焦点，则“”是“ ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·天津河西·一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，c是双曲
线C的半焦距，点A是圆 上一点，线段 交双曲线C的右支于点B， ，
，则双曲线C的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2022·辽宁沈阳·二模）已知双曲线 的两个焦点为 、 ，点M，N在C上，
且 ， ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·湖南永州·三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，点
在双曲线 的右支上， （ 为双曲线 的半焦距），直线 与双曲线 右支交于另一个点 ，
，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题5．（2022·山东泰安·二模）已知双曲线C： 的离心率为 ，且其右顶点为 ，
左，右焦点分别为 ， ，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的方程为
B．点A到双曲线C的渐近线的距离为
C．若 ，则
D．若 ，则 的外接圆半径为
6．（2022·河北唐山·二模）双曲线具有如下光学性质：如图 ， 是双曲线的左、右焦点，从右焦点
发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点 ．若双曲线C
的方程为 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．当n过 时，光由 所经过的路程为13
C．射线n所在直线的斜率为k，则
D．若 ，直线PT与C相切，则
7．（2022·重庆八中模拟预测）已知点 ， ，若某直线上存在点P，使得 ，则称该直线为“好直线”，下列直线是“好直线”的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
8．（2022·辽宁葫芦岛·一模）已知双曲线G的方程 ，其左、右焦点分别是 ， ，已知点P坐
标为 ，双曲线G上点 ， 满足 ，则 ______．
四、解答题
9．（2022·全国·模拟预测）双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，焦距等于8，
点M在双曲线C上，且 ， 的面积为12.
(1)求双曲线C的方程；
(2)双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过 的斜率不为 的直线l与双曲线C交于P，Q两点，连接
AQ，BP，求证：直线AQ与BP的交点恒在一条定直线上.
10．（2022·福建漳州·一模）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，点
是 右支上一点，若I为 的内心，且 .
(1)求 的方程；
(2)点A是 在第一象限的渐近线上的一点，且 轴， 在点P处的切线l与直线 相交于点M，与
直线 相交于点N.证明：无论点P怎么变动，总有 .双曲线的几何性质
1．（2021“四省八校”高三上学期期中质量检测）过双曲线 （ ， ）的右焦点
作双曲线渐近线的垂线段 ，垂足为 ，线段 与双曲线交于点 ，且满足 ，则双曲
线离心率 等于（ ）
A． B． C． D．
2.（2021安徽省安庆市怀宁中学高三上学期模拟）若双曲线 的一条渐近线与直线
相互垂直，则双曲线 的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. 6 D. 8
直线与双曲线的位置关系
1.．（江西省南昌市湾里区第一中学等六校联考）已知双曲线C： （a> 0，b> 0）的离心率为
，实轴长为2．（1）求双曲线的焦点到渐近线的距离；
（2）若直线y=x+m被双曲线CC截得的弦长为 ，求m的值．
2.（2021河北省部分名校高二上学期期中）在①双曲线 的焦点在 轴上，②双曲线 的焦点在 轴上
这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
已知双曲线 的对称轴为坐标轴，且 经过点 ， ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）若双曲线 与双曲线 的渐近线相同，______，且 的焦距为4，求双曲线 的实轴长．
注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
1.（2021年全国高考甲卷）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）A. B. C. D.
2.（2021年全国高考乙卷）已知双曲线 的一条渐近线为 ，则C的焦
距为_________．
3.（2020年全国统一高考（新课标Ⅰ））设 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点
在 上且 ，则 的面积为（ ）
A. B. 3 C. D. 2
4.（2021年全国新高考Ⅰ卷）在平面直角坐标系 中，已知点 、
，点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且
，求直线 的斜率与直线 的斜率之和.一、单选题
1．（2022·重庆八中模拟预测）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个
观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离
是680m，则该巨响发生在接报中心的（ ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一
平面上)
A．西偏北45°方向，距离340 m B．东偏南45°方向，距离340 m
C．西偏北45°方向，距离170 m D．东偏南45°方向，距离170 m
2．（2022·山东淄博·模拟预测）双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线E： 的离心率为 ，若有一直线过E的右
顶点A且与一条渐近线平行，交y轴于点B，则 OAB的面积是（ ）
△
A．2 B． C．4 D．
4．（2022·山东济宁·二模）过双曲线C： 的左焦点F作圆 的切线，设切
点为A，直线FA交直线 于点B，若 ，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·天津南开·一模）已知双曲线 的 与抛物线 的一个交点为M．若抛物线的焦点为F，且 ，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
6．（2022·天津河东·一模）已知双曲线 的焦点为 ， ，抛物线
的准线与 交于M，N两点，且三角形 为正三角形，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知 ､ 分别为双曲线 的左､右焦
点，点M为双曲线右支上一点，设 ，则下列说法正确的是( )
A．线段 长度的最小值为
B．线段 长度的最小值为
C．若当 时， (O为坐标原点)恰好为等边三角形，则双曲线C的离心率为
D．当 时，若直线 与圆 相切，则双曲线C的渐近线的斜率的绝对值为
8．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知双曲线 的左右焦点分别为F，F，
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右顶点为A，M为OA的中点，P为双曲线C右支上一点且 ，且 ，则( )
A．C的离心率为2 B．C的渐近线方程为
C．PM平分 D．9．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）已知直线y=kx（k≠0）与双曲线 交于A，
B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若三角形ABF的面积为 ，则以下正确的结论有
（ ）
A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的离心率为
C．双曲线的渐近线方程为y=±2x D．
10．（2022·重庆·二模）已知双曲线 的左、右顶点分别为 ， ，左、右焦点分
别为 ， ，点 是双曲线 的右支上一点，且三角形 为正三角形（ 为坐标原点），记 ，
的斜率分别为 ， ，设 为 的内心，记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，则下
列说法正确的是（ ）
A． B．双曲线 的离心率为
C． D．
三、填空题
11．（2022·广东韶关·二模）过双曲线 的一个焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近
线于P，Q两点，则|PQ|=_________．
12．（2022·湖北武汉·二模）如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得
到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底
部塔口半径为 米，则该双曲线的离心率为___________.13．（2022·海南海口·模拟预测）在直角坐标系xOy中，抛物线C： 的焦点为F，双曲线E：
的右顶点为线段OF的中点，E与C交于A，B两点．若F是△ABO的重心，则E的离
心率为______．
14．（2022·江西·二模（理））已知双曲线C： 的左焦点为 ，点P在圆 ：
上，若线段FP恰好被C的一条渐近线垂直平分，则C的离心率为___________.
15．（2022·内蒙古通辽·二模（理））双曲线 的渐近线与圆 相
切，则双曲线E的离心率为______．
四、解答题
16．（2022·山东潍坊·二模）已知M，N为椭圆 和双曲线 的公共顶点，
， 分别为 和 的离心率．
(1)若 ．
（ⅰ）求 的渐近线方程；
（ⅱ）过点 的直线l交 的右支于A，B两点，直线MA，MB与直线 相交于 ， 两点，记A，B， ， 的坐标分别为 ， ， ， ，求证： ；
(2)从 上的动点 引 的两条切线，经过两个切点的直线与 的两条渐近线围成三角形
的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
17．（2022·江苏·南京市第一中学三模）双曲线 ： 经过点 ，且渐近线方程
为 ．
(1)求 的值；
(2)若抛物线 与C的右支交于点 ，证明：直线 过定点．
18．（2022·河北秦皇岛·二模）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，虚轴长为
，离心率为 ，过 的直线 与双曲线 的右支交于 ， 两点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知 ，若 的外心 的横坐标为0，求直线 的方程.19．（2022·河北·模拟预测）已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，
．且该双曲线过点 ．
(1)求C的方程；
(2)如图．过双曲线左支内一点 作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点A，B和点C，D．当直
线AB，CD均不平行于坐标轴时，直线AC，BD分别与直线 相交于P．Q两点，证明：P，Q两点关
于x轴对称．
