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第 28 练 双曲线
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．双曲线 的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
由题意， 的渐近线方程为
故选：C
2．设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题知 ，所以 .
故选：D
3．已知点F是双曲线 的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且PF
与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：由双曲线方程可得，点F坐标为 ，将 代入双曲线方程，得 ，
由于点P在第一象限，所以点P坐标为 ，
双曲线的渐近线方程为 ，点P到双曲线的渐近线的距离为 ．Q是双曲线渐近线上的动点，所以 的最小值为 ．
故选：B．
4．若直线 与双曲线 的一条渐近线平行，则实数m的值为（ ）
A． B．9 C． D．3
【答案】A
【详解】
的渐近线方程满足 ，所以渐进线与 平行，所以渐近线方
程为 ，故
故选：A
5．江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明
快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴
旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是
8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点 在该双曲线上．
设该双曲线的方程为 ，
则 解得 ， ，
故该双曲线的标准方程是 ．
故选：D.6．如图，双曲线 的左､右焦点分别为 为双曲线右支上一点，
直线 与圆 相切于点 ， ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题可得 ，因为 ，所以 ，
则在 中， ，即 ，即 .
故选：A.
7．已知点 是双曲线 的右焦点，过F作双曲线C的一
条渐近线的垂线，垂足为M，若△OMF（点O为坐标原点）的面积为8，则C的实轴长为
（ ）
A．8 B． C．6 D．
【答案】A
【详解】
由题意可得 ．取渐近线 ，易知点 到直线 的距离为b，
则 ，所以 ，联立得 ．所以C的实轴长为8．
故选：A
8．双曲线 ，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线
的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆 上的
一点，则△ABD的面积的最大值为（ ）A． B． C．3 D．
【答案】A
【详解】
根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为 ，
因此点A的坐标是 ，点D是线段OF的中点，
则直线AD的方程为 ，
点B是圆 上的一点，
点B到直线AD距离的最大值 也就是圆心O到直线AD的距离d加上半径，即 ，
，
则
故选：A
9．已知方程 ，则E表示的曲线形状是（ ）
A．若 ，则E表示椭圆
B．若E表示双曲线，则 或
C．若E表示双曲线，则焦距是定值
D．若E的离心率为 ，则
【答案】B
【详解】
由题意得，当 时， ，
即 ，要表示椭圆，需满足 ，解得 且 ，
故A错误；
若E表示双曲线，则 不能为0，
故 化为 ，
则 ，即 或 ，故B正确；
由B的分析知， 时， ，此时c不确定，故焦距不是定值，C错误；
若E的离心率为 ，则此时曲线表示椭圆，由A的分析知， 且 ，
当 时， ，此时 ，
则 ，解得 ，
当 时， ，此时 ，
则 ，解得 ，故D错误，
故选：B
10．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质： 、 是
双曲线的左、右焦点，从 发出的光线 射在双曲线右支上一点 ，经点 反射后，反射
光线的反向延长线过 ；当 异于双曲线顶点时，双曲线在点 处的切线平分 ．若
双曲线 的方程为上 ，则下列结论不正确的是（ ）
A．射线 所在直线的斜率为 ，则
B．当 时，
C．当 过点 时，光由 到 再到 所经过的路程为
D．若 ，直线 与 相切，则
【答案】C
【详解】
在双曲线 中， ， ，则 ，易知点 、 ，
设 ， ，
对于A选项，因为双曲线 的渐近线方程为 ，当点 在第一象限内运动时，随着 的增大，射线 慢慢接近于直线 ，此时
，
同理可知当点 在第四象限内运动时， ，
当点 为双曲线的右顶点时， ，
综上所述， 的取值范围是 ，A对；
对于B选项，当 时， ，
，所以， ，B对；
对于C选项， ，
故 过点 时，光由 到 再到 所经过的路程为
，C错；
对于D选项，若 ，由角平分线定理可得 ，
即 ，解得 ，D对.
故选：C.
二、多选题
11．已知双曲线 （a＞0，b＞0）的左、右两个顶点分别是A、A，左、右两个
1 2
焦点分别是F、F，P是双曲线上异于A、A 的任意一点，给出下列命题，其中是真命题
1 2 1 2
的有（ ）
A．
B．直线PA、PA 的斜率之积等于定值
1 2
C．使得 PFF 为等腰三角形的点P有且仅有8个
1 2
△
D． PFF 的面积为
1 2
△
【答案】BC
【详解】
根据双曲线的定义可得： ，A错误；设 ，则 ，即
∵ ，则
∴ ，B正确；
不妨P在第一象限，根据双曲线的定义可知
若 ，结合图象易知 ，则满足条件的点存在且唯一
若 ，结合图象易知 ，则满足条件的点存在且唯一
根据双曲线的对称性可知使得 PFF 为等腰三角形的点P有且仅有8个，C正确；
1 2
不妨P在第一象限，则 △
∴
则
D不正确；
故选：BC．
12．已知双曲线 的焦距为4，两条渐近线的夹角为 ，则下列说法正确是（ ）
A．M的离心率为 B．M的标准方程为
C．M的渐近线方程为 D．直线 经过M的一个焦点
【答案】ACD
【详解】
根据题意双曲线 的焦距为 4 ，两条渐近线的夹角为 ， 有
，①， 双曲线的两条渐近线的夹角为 ，
则过一三象限的渐近线的斜率为 或 ， 即 或 ，②
联立①②可得： ， ， 或 ， ， ；
因为 ，所以 ， ， ，故双曲线的方程为
对A，则离心率为 ，故 A 正确 .
对B，双曲线的方程为 ，故 B 错误；
对C，渐近线方程为 ，故 C 正确；
对D，直线 经过 M 的一个焦点 ，所以 D 正确 .
故选： ACD
三、解答题
13．设 ､ 分别为双曲线 的左右焦点，且 也为抛物线
的的焦点，若点 ， ， 是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l： 与双曲线C相交于A､B两点，求 .
【答案】(1) (2)
【解析】(1)
解：抛物线 的焦点为 ，
所以 ，即 ， ，又点 ， ， 是等腰直角三角形的三个顶点，所以 ，即 ，又 ，所以 ，
所以双曲线方程为 .
(2)
解：依题意设 ， ，
由 消去 整理得 ，
由 ，所以 ， ，
所以
.
14．已知双曲线 ： 过点 ，渐近线方程为 ，直线
是双曲线 右支的一条切线，且与 的渐近线交于A，B两点．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．
【答案】(1) (2)2
【解析】(1)
由题设可知 ，解得
则 ： ．
(2)
设点M的横坐标为
当直线 斜率不存在时，则直线 ：
易知点 到 轴的距离为 ﹔
当直线 斜率存在时，设 ： ， ， ，联立 ，整理得 ，
，
整理得
联立 ，整理得 ，
则 ，则 ，即
则 ，即
∴此时点 到 轴的距离大于2；
综上所述，点 到 轴的最小距离为2．
15．已知F（ ，0），F（ ，0）为双曲线C的两个焦点，点 在双曲线C上．
1 2
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知点A，B是双曲线C上异于P的两点，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，
若 ，证明：直线AB过定点．
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】
(1)
设双曲线C的方程为 （ ），
由题意知 ，
因为 ，所以解得
∴双曲线C的方程为
(2)
设直线AB的方程为 ， ，
由 ，整理得 ，
则 ， ，得 ，直线PA方程为
令 ，则M（0， ），同理N（0， ）.
由 ，可得 ，
∴ 0，
0，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴
当 时，
此时直线AB方程为 恒过定点 ，显然不可能
∴ ，直线AB方程为恒过定点
