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人教A版数学--高考解析几何复习专题十
知识点一 根据离心率求椭圆的标准方程,椭圆中三角形（四边形）的面积,求椭圆中的
最值问题
典例1、已知椭圆 的左焦点为F，C上任意一点M到F的距离最大值
和最小值之积为3，离心率为 .
（1）求C的方程；（2）若过点 的直线l交C于A，B两点，且点A关于x
轴的对称点落在直线 上，求n的值及 面积的最大值.
随堂练习：已知椭圆 的离心率为 ， 为其左焦点，过 的
直线 与椭圆交于 ， 两点.
（1）求椭圆 的标准方程；（2）试求 面积的最大值以及此时直线 的方程.典例2、已知椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，上顶
点为 ， 为坐标原点，
（1）若 的面积为 ，求椭圆 的标准方程：
（2）过点 作斜率 的直线 交椭圆 于不同两点 ， ，点 在椭圆的内部，
在椭圆上存在点 ，使 ，记四边形 的面积为 ，求 的最大值.
随堂练习：已知椭圆 ： 经过点 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的标准方程；（2）若直线 ： 与椭圆C有两个不同的交点A，B，原点 到直线 的距离为2，求 的面积的最大值.
典例3、已知点 与 ，动点 满足直线 ， 的斜率之积为 ，则点
的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；（2）若点 在直线 上，直线 ， 分别与曲线 交于点 ，
，求 与 面积之比的最大值.随堂练习：已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为A，钝
角三角形
的面积为 ，斜率为 的直线 交椭圆C于P，Q两点.当直线 经过 ，A两点时，
点 到直线 的距离为 .
（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，当直线 的纵截距不为零时，试问
是否存在实数k，使得 为定值?若存在，求出此时 面积的最大值；
若不存在，请说明理由.
知识点二 双曲线定义的理解,根据a、b、c求双曲线的标准方程,等轴双曲线,双曲线中
的定值问题
典例4、已知双曲线 的方程为 .
（1）直线 与双曲线的一支有两个不同的交点，求 的取值范围；
（2）过双曲线 上一点 的直线分别交两条渐近线于 两点，且 是线段的中点，求证： 为常数.
随堂练习：已知双曲线 ： 与双曲线 有相同的焦点；且
的一条渐近线
与直线 平行.
（1）求双曲线 的方程；（2）若直线 与双曲线 右支相切（切点不为右顶点），且
分别交双曲线 的两条渐近线于 两点， 为坐标原点，试判断 的面积是否
为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.典例5、以双曲线 的右焦点 为圆心作圆，与 的一条渐近线切
于点 ．
（1）求双曲线 的离心率及方程；（2）点 分别是双曲线 的左、右顶点，过右焦
点 作一条斜率为 的直线 ，与双曲线交于点 ，记直线 的斜率分
别为 ， ．求 的值．
随堂练习：已知双曲线 的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且点 ，
， 三
个点中有且仅有两点在双曲线 上．
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）直线 交双曲线 于 轴右侧两个不同点的 ，连接 分别交直线 于点．若直线 与直线 的斜率互为相反数，证明： 为定值．
典例6、在平面直角坐标系 中，动点M到点 的距离等于点M到直线 的距
离的 倍，记动点M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；（2）已知直线 与曲线C交于A，B两点，曲线C
上恰有两点P，Q满足 ，问 是否为定值?若为定值，请求出该值；
若不为定值，请说明理由.随堂练习：已知双曲线 的离心率为 ，左､右顶点分别为M，N，点
满足
（1）求双曲线C的方程；（2）过点P的直线l与双曲线C交于A，B两点，直线OP与
直线AN交于点D.设直线MB，MD的斜率分别为 ，求证： 为定值.
人教A版数学--高考解析几何复习专题十答案
典例1、答案：（1） ； （2） ， 面积的最大值为 .
解：（1）由题意可得， ， ，
.
又因为 ， ， ， 由已知可得 ，即 ，又椭圆C的离心率 ，所以 ，则 ，
解得 ，所以 ， 所以椭圆C的方程为 .
（2）设 ， ，又 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
化简整理得 ①.
设直线 ，联立直线与椭圆方程
化简整理可得 ，
，可得 ②，
由韦达定理，可得 ， ③， 将 ，
代入①，
可得 ④， 再将③代入④，可得 ，
解得 ，
所以直线l的方程为 ， 且由②可得， ，即 ，
由点 到直线l的距离 ，
，.
令 ，则 ，
当且仅当 时，即 ， 等号成立，
所以 面积S最大值为 .
随堂练习：答案： （1） ； （2）最大值为 ，此时直线 的方程 .
解：（1）依题意，椭圆 的半焦距 ，而离心率 ，则 ， ，
所以椭圆 的标准方程为： .
（2）显然直线 不垂直于y轴，设其方程为： ，设 ，
由 消去x得： ，则
，
，
因此 的面积 ，令 ，有 ，而函数 在 上单调递
增，
因此当 ，即 时， 取得最小值4， 取得最大值 ，
此时直线 ，
所以 面积的最大值为 ，此时直线 的方程 .
典例2、答案： （1） （2）
解：（1） ，∴ ， ， ，又 ，
解得 ，所以椭圆 的标准方程为： .
（2） ，∴ ，椭圆 ，
令 ，直线l的方程为： ，
联立方程组： ， 消去y得 ，
由韦达定理得 ， ， 有 ，
因为： ，所以 ， ，
将点Q坐标代入椭圆方程化简得： ， 而此时：.
， 而 ，
O点到直线l的距离 ， 所以： ，
因为点P在椭圆内部，所以 ，得 ， 又 ，所以
，当 ，即 时等号成立.
所以 的最大值是 .
随堂练习：答案： （1） （2）4
解：（1）由题意可得： ，又离心率为 ，所以 ，
可得 ，那么 ，代入可得： ， ， 所以椭圆 的标准方程为
；
（2）由题意可知，原点 到直线 的距离为2，那么 ，即： ，
设 ， ，联立 可得：
，其判别式，可知
由韦达定理可得： ， ，
那么
，
所以 的面积
当且仅当 时取得等号，所以△ 的面积的最大值 .
典例3、答案： （1） （2）
解：（1） ， ， 化简得 ，
（2）当 位于 轴上时，此时直线 ， 的斜率均不存在，不合题意，舍去
故曲线 的方程为 ；
设 ，则直线 的方程为 ，
联立 得： ， ， 直线 的方程为
，联立 ，得 ， .
故
，
当且仅当 时等号成立. 最大值为 .
随堂练习：答案： （1） （2）存在，1
解：（1）设 ， ，则 .
当直线 经过点 ，A时，由 的面积为 ， 到 的距离为 ， 得
①，
同时得 ，即 ②. 联立①②，结合 ，
解得 ， ， 或 ， ， .
因为 为钝角三角形，所以 ，所以 ， ， .
故椭圆C的标准方程为 .（2）由题意设直线 的方程为 ，
联立 消元得 .
当 ，即 时满足题意.
设 ， ，则 ， .
，
若 为定值，则上式与 无关，故 ，得 ，
此时 . 又点 到直线 的距离
，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
经检验，此时 成立， 所以 面积的最大值为1.
典例4、答案： （1） ； （2） ，证明见解析.解：（1）直线 与双曲线 即
联立得 即
由题意得 有两个同号根，则满足 即 ，即
解得：
双曲线 的方程为 ，所以双曲线 的渐近线为
则 ，所以 的中点
又因为点 在双曲线 上，即 即 ，
即 .
随堂练习：答案： （1） （2）是，2
解：（1）设双曲线 的焦距为 ，
由题意可得： ，则 ， 则双曲线 的方程为 .（2）由于直线 与双曲线 右支相切（切点不为右顶点），则直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，则 ， 消 得： ，
则 ，可得： ①
设 与 轴交点为 ， 则 ，
∵双曲线两条渐近线方程为： ，
联立 ，解得 ，即 ， 同理可得：
，
则 （定值）.
典例5答案：（1）离心率为 ，方程为 ； （2） ．
解：（1）双曲线 的渐近线为 ，
所以圆 与 切于点 ， ．①
设 ，则 ，即 ，② 又 ，③由①②③解得 ， ， ， 所以双曲线的离心率为 ，方程为
．
（2）因为 ， ， ，
设 的方程为 ， ， ，
由 ，消去 整理得 ，
所以 且 解得 ，
所以 ， ， ， ，
． 故 的值为 ．
随堂练习：答案： （1） ； （2）证明见解析.解：（1）由题意知： 不可能同时在双曲线上；
若 在双曲线上，则双曲线焦点在 轴上，可设为 ， ，
解得： ， 双曲线方程为 ；
若 在双曲线上，则双曲线焦点在 轴上，可设为 ， ，方程
组无解；
综上所述：双曲线 的标准方程为 .
（2）由题意知：直线 ，即直线 斜率存在，可设 ， ， ，
由 得： ，
且 ，即 且 ；
， ，
直线 与直线 的斜率互为相反数， ，
即 ，
化简得： ，
整理可得： ，即 ；
当 时， ，则 ，恒过点 ，与已知矛盾，舍去；
当 ，即 时，直线 直线 ，即 ， ，
，即 ； 要证 为定值，即证
为定值，
即证 为定值，
， ，即 为定值 .
典例6、答案：（1） （2）是定值，
解:（1）设 ，由题意得 ，化简得
（2）存在. 设 ， ，
联立直线与双曲线方程，有
由韦达定理，有 ，法一：注意到上式当 时，上式恒成立，即过定点 和
经检验两点恰在双曲线C上，且不与A，B重合，故 为定值，该定值为
法二：联立直线与双曲线方程，有
……（1）
（1）式两边平方，有 ，即
……（2）
注意到 ， 是此方程的两个增根，故含有因式 ，记为 代入
（2），有 即
即 即
解得 ，代回（1）有 或
经检验直线 不过这两点，故上述两点为P，Q， 为定值，该定值为随堂练习：答案： （1） ； （2）证明见解析.
解：（1）由题意知 ，又 ， 所以 ，
由 ，可得 ， 又 ，所以 ，故 ，
所以双曲线 的方程为 ；
（2）因为 ，
若直线l的斜率不存在，则l与双曲线C仅有一个公共点 ， 不合题意，故l的
斜率存在，
设l： ， 联立 得： ，
设 ， 则 .
因为 ，故 ，①又 ， 所以 ，②
联立①②，解得 ，
于是
所以 为定值.
