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专题12 双曲线中的离心率问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．设 、 分别是双曲线 的左、右焦点，过 作 轴的垂线与 相交于 、 两点，若
为正三角形，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，则 的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线 ： （ ， ）的右焦点为 ， 、 两点在双曲线的左、右两支上，且
， ， ，且点 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，直线 过点 与双曲线的两条渐近线分
别交于 两点．若 是 的中点，且 ，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．5．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，若在 上存在点 不是顶点 ，使
得 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知双曲线 的两个焦点为 ，点 在 上，且 ， ，
则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线 的上下焦点分别为 ，点 在 的下支上，过点 作 的一
条渐近线的垂线，垂足为 ，若 恒成立，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线 的左顶点为 ，过 的直线 与 的右支交于点 ，若线段 的中
点在圆 上，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．双曲线 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，则 的值不可能是（ ）
A． B． C． D．10．双曲线 的离心率为e，若过点 能作该双曲线的两条切线，则e可能取值为（ ）．
A． B． C． D．2
11．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，过点 的直线 与圆 相切，
且与 交于 两点，若 ，则 的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
12．已知 、 是双曲线 ( ， )的左、右焦点，过 作双曲线一条渐近线的垂线，垂
足为点 ，交另一条渐近线于点 ，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．双曲线 的一条渐近线方程为 ，则其离心率是 .
14．已知双曲线方程为 ，左焦点 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则
该双曲线的离心率为 .
15．已知双曲线 的右焦点为 ，直线 与双曲线 交于 两点，与双曲
线 的渐近线交于 两点，若 ，则双曲线 的离心率是 ．
16．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，双曲线的左顶点为A，以 为直径的
圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若 ，则该双曲线的离心率的取
值范围是 .四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当
取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．
18．已知椭圆 与双曲线 ，有相同的左、右焦点 ，
，若点 是 与 在第一象限内的交点，且 ，设 与 的离心率分别为 ， ，求
的取值范围.
19．已知双曲线T： 离心率为e，圆O： ．
(1)若e=2，双曲线T的右焦点为 ，求双曲线方程；(2)若圆O过双曲线T的右焦点F，圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，求 的值；
(3)若R=1，不垂直于x轴的直线l：y=kx+m与圆O相切，且l与双曲线T交于点A，B时总有 ，求
离心率e的取值范围．
20．已知点 是双曲线 右支上一点， 、 是双曲线的左、右焦点，
， ．
(1)求双曲线的离心率；
(2)设 、 分别是 的外接圆半径和内切圆半径，求 ．
△
21．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，A为双曲线C左支上一点，
．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)设点A关于x轴的对称点为B，D为双曲线C右支上一点，直线 与x轴交点的横坐标分别为 ，
且 ，求双曲线C的方程．22．已知双曲线 ，若直线 与双曲线 交于 两点，线段 的中点为 ，且
（ 为坐标原点）.
(1)求双曲线 的离心率；
(2)若直线 不经过双曲线 的右顶点 ，且以 为直径的圆经过点 ，证明直线 恒过定点 ，并
求出点 的坐标.
