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2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时九
知识点一 根据椭圆过的点求标准方程,求椭圆的离心率或离心率的取值范围,椭圆中三角形（四边
形）的面积
典例1、已知椭圆 ， 分别为 的右顶点、下顶点．
（1）过 作直线 的垂线，分别交椭圆 于点 ，若 ，求椭圆离心率；
（2）设 ， ，直线 过点 的两条相互垂直的直线，直线 与圆 交于 两点，
直线 与椭圆 交于另一点 ，求 面积的最大值．
随堂练习：已知椭圆 的左焦点为F，上顶点为B，M为 的中点，且
．
（1）求椭圆的离心率；（2）直线 ，l与椭圆有唯一公共点N，与y轴的正半轴相交．若点P满足 ，且四边
形 的面积为 ，求椭圆的方程．
典例2、已知A､B为椭圆 =1(a>b>0)和双曲线 =1的公共顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆
上不同于A，B的动点，且满足 ，设直线AP､BP､AQ､BQ的斜率
分别为k､k､k､k.
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（1）求证：点P､Q､O三点共线；
（2）当a=2，b= 时，若点P､Q都在第一象限，且直线PQ的斜率为 ，求△BPQ的面积S；
（3）若F､F分别为椭圆和双曲线的右焦点，且QF PF，求k2+k2+k2+k2的值.
1 2 1 2 1 2 3 4随堂练习：已知椭圆 ： ，四点 ， ， ， 中恰有
三个点在椭圆 上， ， 是椭圆 上的两动点，设直线 ， 的斜率分别为 ， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ， ， 三点共线，求 的值.
典例3、已知椭圆 ： 的短轴长为2，离心率为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；（2）如图，点 为椭圆 的上顶点，过点 作互相垂直的两条直线 （
的斜率为正数）和 ，直线 与以短轴为直径的圆 和椭圆 分别相交于点 ， ，直线 与圆 和
椭圆 分别相交于点 ， ，且 的面积是 面积的 倍，求直线 和 的方程．随堂练习：设椭圆 的离心率为 ，且经过点 ．
（1）求椭圆 的标准方程；（2）设直线 与椭圆 交于 ， 两点， 是坐标原点，分别过点 ，
作 ， 的平行线，两平行线的交点刚好在椭圆 上，已知 ， 的面积为 ，求直线
的方程．
知识点二 根据椭圆过的点求标准方程,求椭圆中的参数及范围,根据韦达定理求参数
典例4、已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为 轴， 轴，且过 两点.
（1）求椭圆 的方程；
（2） 为椭圆 的右焦点，直线 交椭圆 于 （不与点 重合）两点，记直线 的斜率分
别为 ，若 ，证明： 的周长为定值，并求出定值.随堂练习：已知椭圆 过 两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）F为椭圆C的右焦点，直线l交椭圆C于P，Q（均不与点A重合）两点，记直线AP，AQ，l的斜
率分别为k， ， ，若 ，求△FPQ的周长．
1
典例5、已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知直线 与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线 过点M，且与直线l垂直.记直线 与y轴的交点为N，是否存在非零实数 ，使得 ？若存在，求
出 的值；若不存在，请说明理由.
随堂练习：设椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ，过点 且与 轴垂直的直线被椭圆
截得的线段长为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）设 为椭圆的下顶点， 为椭圆的上顶点，过点 且斜率为 的直线与椭圆交于 ， 两点.若
，求 的值.典例6、已知椭圆C： 过点 ．右焦点为F，纵坐标为 的点M在C上，
且AF⊥MF．
（1）求C的方程；
（2）设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于
点Q，证明：直线PQ过定点．
随堂练习：已知点 ，圆 ，点 在圆 上运动， 的垂直平分线交 于点 ．
（1）求动点 的轨迹 的方程.
（2）动点 的轨迹 与 轴交于 ， 两点 在 点左侧 ，直线 交轨迹 于 ， 两点 不在
轴上 ，直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ，求证：直线 过定点．2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时九答案
典例1、答案： （1） ； （2） .
解：（1）由题意得： ， ， 故可设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，解得 ， 同理：直线 的方程为 ，
联立方程组 ，解得： ，
因为 ，可得 ， 即 ，
整理得： ，即 ， 故椭圆离心率
（2）由 ， ，可得椭圆的方程为： ，
当直线 的斜率不存在时，直线 与椭圆相切于点 ，不合题意；
当直线 的斜率为0时，此时可得 ，
当直线 的斜率存在且不为0时，设直线方程为： ，
则点 到直线 的距离 ，根据圆的弦长公式，可得
因为 ，所以直线 的方程为 ，
联立方程组 ，解得 ， 即 ，
可得 ， 所以
设 ，则 ， 则 ，
因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，由于 ， 故 面积的最大值为 .
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1） 为直角三角形，M为 的中点，
所以， ，又 ，所以 ，
，所以 ， 所以椭圆离心率为 .
（2）由题意可设直线方程为： ，联立 ，得 ，
又l与椭圆有唯一公共点N，故 ，即 ，即 ，
又 所在直线方程为： ，所以直线 与l的距离为 ，
四边形 的面积为： ，
解得： ，故椭圆的方程为：
典例2、答案： （1）证明见解析；（2） ；（3）8.
解：（1）证明：因为A，B为椭圆与双曲线的公共点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B动点，
又因为 ，
所以 ，即 所以点P，Q，O三点共线.
（2）设P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
直线PQ的方程为
联立 ，解得x=± ，y=± ， 所以P( ， )，同理 ，解得x=± ，y=± ， 解得Q( ， )，
则|PQ|=3﹣ ， 又因为a=2，b= ，
联立 ，解得B(±2，0)， 所以点B到直线PQ的距离d= ，
则 .
（3）因为 ，设 ， ， 所以 ，
因为 ，所以 又 ，⇒ ，
因为QF PF， 所以|OF|=λ|OF|， 所以λ2= ，
1 2 1 2
所以 = • = ，
所以：
同理(k+k)2=4， 而kk= ， 又x2=a2+ y2， 所以kk= ，
3 4 1 2 1 1 1 2
同理kk=﹣ ， 所以k2+k2+k2+k2=8.
3 4 1 2 3 4典 例 3 、 答 案 ： （ 1 ） （ 2 ） ， 或 ，
解：（1）根据题意可得 解得 椭圆 的标准方程
（2）圆 设 ，则
设 ， ， ，
则 ，同理可得： ， ，
∵ 的面积是 面积的 倍，则
代入整理得：
联立方程 ，得 或 ，即 ，同理
联立方程 ，得 或 ，即 ，同理
代入可得： ，解得 或
当 时，直线 ， ；
当 时，直线 ，
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）设椭圆 的半焦距为 ，因为椭圆 的离心率为 ，所以 ．①又椭圆 经过点 ，所以 ．②
结合 ，③由①②③，解得 ． 故椭圆 的标准方程是 ．
（2）①当直线 的斜率不存在时，不妨设 ，
根据对称性知两平行线的交点在 轴上，又交点刚好在椭圆 上，
所以交点为长轴端点，则满足条件的直线的方程是 ．
此时点 或 ；
直线 的斜率不存在不成立
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ．
将直线 代入椭圆方程得 ，
则 ， ， ．
不妨设两平行线的交点为点 ，则 ，故点 的坐标为 ．
因为点 刚好在椭圆 上，所以 ，
即 ． 此时 ，
则 ．
设点 到直线 的距离为 ，则 ．
所以 ，
即 ，解之得： 或 ，当 时， ，当 时， （舍），所以，直线 的方程
典例4、答案： （1） （2）证明见解析，定值为
解：（1）由已知设椭圆 方程为： ，
代入 ，得 ， 故椭圆 方程为 .
（2）设直线 ，
由
得： ， ，
又 ，
故
，
由 ，得 ，
故 或 ，
①当 时，直线 ，过定点 ，与已知不符，舍去；
②当 时，直线 ，过定点 ，即直线 过左焦点，此时 ，符合题意.
所以 的周长为定值 .
随堂练习：答案： （1） （2）8
解：（1）将 ，B（ ， ）代入椭圆C： 中，
，解得 ， 故椭圆C方程为 ；
（2）设直线 ，
由 ，
得 ，
又 ，
故
由k ，得 ，得 ，
故 或 ．①当 时，直线l ，过定点 ，与已知不符，舍去；
②当 时，直线l ，过定点 ，即直线l过左焦点，此时
，符合题意．
所以△FPO的周长为 ．
典例5、答案：（1） （2）不存在，理由见解析
解：（1）由题意可得 ，解得 ， . 故椭圆C的标准方程为 .
（2）设 ， ， .
联立 ，整理得 ，
则 ，解得 ，
从而 ， .
因为M是线段PQ的中点，所以 ，
则 ，故 .
直线 的方程为 ，即 .令 ，得 ，则 ，
所以
因为 ，所以 ，解得 .
因为 ，所以不存在满足条件的 .
随堂练习：答案： （1） ；（2） .
解：（1）由题意可得， ，当 时， ，
所以得： ， 解得 ， 所以椭圆的标准方程为 ；
（2）由（1）可知， ， ， ，
过点 且斜率为 的直线方程为 ，
联立方程 ，可得 ，
设 ， ， 则 ， ，
故 ，又 ， ， ， ，
所以
， 整理可得 ，解得 .
典例6、答案：（1） （2）过定点 ；证明过程见详解
解：（1）设点 ，其中 ，则 ，
因为椭圆 过点 ，则 ， 将点 的坐标代入椭圆 的方程得 ，
所以 ，解得 ， 因此椭圆 的标准方程为 ；
（2）设点 ， 则 ，所以直线 的垂线的斜率为 ，
由题可知 ，故直线 的方程为 ，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
所以直线 的方程为 ，
即 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ， 所以直线 过定点 ．
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）圆 的圆心为 ，半径为 ，
依题意得 ， 则动点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，
其中 ， ， ， 所以动点 的轨迹 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ， ， ，
则由 得 ，
由根与系数的关系得 ①，由题意 ， 两点不在 轴上，所以 ， ， ，
又点 ， ， 所以 ， ，由 得 ，
从而由已知 得 ，即 ②，
又 ， ③，
将③代入②得 ，
将①代入上式并整理得： ．
，
整理得 ， ，直线 的方程为 ，
故直线 恒过定点 .
