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6.5 外接球与内切球（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2025 高三·全国·专题练习）如图是一个直径为12cm 的球形容器和一个底面直径为6cm、深8cm 的圆柱形
水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（ ）
A．3 杯
B．4 杯
C．5 杯
D．6 杯
2．（2025·天津武清·模拟预测）如图，在四面体PABC 中，D，E 分别为PC，AB 的中点，且
，
，
，则该四面体的外接球体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·湖南长沙·二模）球面上有三点
，若
，且球心到
所在平面的距离
等于球的半径的一半，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·福建泉州·模拟预测）四棱锥
中，
，
，
，
，
，若
、
、
、
、
均在同一球面上，则该球的表面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025 高三·全国·专题练习）已知四面体
的各顶点均在同一球面上，该球的表面积为
，若
是边长为3 的正三角形，
，则该四面体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·辽宁·模拟预测）现将一个表面积为
的实心铜球熔铸成一个圆锥形状的实心铜锭（熔铸过程中
不计损耗），若圆锥形状的实心铜锭的底面半径为8cm，则该铜锭的高为（ ）
A．
B．
C．3cm
D．4cm
7．（2025·江西·模拟预测）已知正三棱锥
的侧面均为直角三角形，且其各个顶点均在球
的表面上，
若该三棱锥的体积与球
的表面积在数值上相等，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1 所示的五脊殿是中国传统建筑中的一
种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2 所示，在结构示意图中，已知四边形
为矩形，
，
与
都是边长为1 的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F 都在球O 的
球面上，则球O 的表面积为（）
A．
B．
C．
D．
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（2026 湖北）下列说法正确的有（ ）
A．若球O 的体积为
，则球O 表面积也为36π
B．若球O 的半径变为原来的3 倍，则球O 体积变为原来的9 倍
C．若圆台上下底面半径分别为1 和3，且球O 为圆台的内切球，则球O 的半径为
D．棱长为a 的正方体的外接球半径为
10（2025 上海）．已知球
的半径为
，则（ ）
A．球
的内接正方体的内切球表面积为
B．球
的内接正方体的内切球体积为
C．球
的内接正四面体的内切球半径为
D．球
的内接正四面体的内切球半径为
11．（24-25 山东济宁·阶段练习）已知正方体
的边长为2，体对角线的中点为
．
（ ）
A．若该正方体的棱与球
的球面有公共点，则球
的半径的最大值是
B．若该正方体的棱与球
的球面有公共点，则球
的半径的最小值是
C．若该正方体的棱与球
的球面有公共点，则球
的体积的最大值是
D．若该正方体的面与球
的球面没有公共点，则球
的表面积范围是
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知正四棱锥
的体积为
，若
这5 个顶点均在球
的
球面上，则球
体积的最小值为 .
13．（2025 高三·全国·专题练习）已知四棱锥
的底面是边长为的正方形，
底面
，若
，则该四棱锥的内切球的体积为 ．
14．（24-25 四川成都·期末）如图1，在平面四边形
中，
是边长为2 的等边三角形，
，
将
沿
翻折，使得点
到点
的位置，如图2 所示．若平面
平面
，三棱锥
的外接
球的表面积为 ．若二面角
的余弦值为
，则三棱锥
的外接球的表面积为 ．
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥
中，
平面
，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)
，
，
，
，
在同一个球面上，设该球面的球心为
．
（i）证明：
在平面
上；
（ⅱ）求直线
与直线
所成角的余弦值．
16．（24-25 安徽黄山·期末）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
为
中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求三棱锥
的外接球的体积；
(3)线段
上（不含端点）是否存在点
，使得
与平面
所成角为
？若存在，确定
点的位置；若不
存在，请说明理由.
17．（2025·湖南邵阳·三模）如图，圆台
的下底面的内接正方形
的边长为4，
是上底面圆周上的一
点，且满足
，
．
(1)证明：
平面
；
(2)求三棱锥
的外接球的表面积；
(3)
是
的中点，
是上底面圆周上的一点，求异面直线
与
所成角的余弦值的最大值．
18．（2025·福建泉州·模拟预测）已知正方体
的棱长为2．
(1)证明：
平面
；
(2)动点
满足
，且点
，
，
，
在同一球面上．设该球面的球心为
，半径为
．
①求的取值范围；
②当最大时，求二面角
的余弦值．
19．（23-24 广东广州·期末）如图1，在平行四边形
中，
，E 为
的中点．
将
沿
折起，连接
与
，如图2．
(1)当
为何值时，平面
平面
?
(2)设
，当
时，是否存在实数
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
(3)当三棱锥
的体积最大时，求三棱锥
的内切球的半径．
