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6.3 空间几何中的垂直（精讲）
考向一 线面垂直
【例1-1】（2025 北京）如图，在四棱锥
中，底面ABCD 为正方形，侧面ADP 是正三角形，侧面
ADP⊥底面ABCD，M 是DP 的中点．证明：
平面CDP．
【例1-2】（2025·湖南长沙）如图，在直三棱柱
中，
是四边
形
（不含边界）内的动点且
，求证：
平面
【例1-3】（24-25 河南焦作）如图，在三棱台
中，
平面
，
，
，
，点D 为
中点，点E 在
上，且
，证明：
平面
【一隅三反】
1．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，侧面
是正三角形，
侧面
底面
，
是线段
的中点，
是线段
的中点．求证：
平面
．
2．（2025 湖南）如图，在直四棱柱
中，底面
是菱形，
.证明：
平面
.
3．（2025 海南）已知三棱台
如图所示，其中
．
若直线
平面
，且
，求证：直线
平面
．
4．（24-25 高三下·安徽合肥·阶段练习）如图，在三棱柱
中，
平面
，
，
，
，D 为棱
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)若E 为棱BC 的中点，求三棱锥
的体积．
考向二 面面垂直
【例2】（2025 高三·全国·专题练习）如图，点
为半圆O 圆弧上的两个三等分点，
，
，
E 为PD 的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)证明：平面
平面
．
【一隅三反】
1．（2025 高三·全国·专题练习）在梯形ABCD 中，
，
，
，P 为AB 的
中点，线段AC 与DP 交于O 点（如图
）．将
①
沿AC 折起到
位置，使得
（如图
）．
②
证明：平面
平面ABC．
2．（2025 福建）如图，
为圆锥的顶点，
是圆锥底面的圆心，
是圆锥底面的内接正三角形，点
在
平面
内且
平面
，证明：
平面
．
3．（2025 广东）如图，在四棱锥
中，平面
平面ABCD，
，
，
，
，
，点E 在棱PA 上，且
．证明：平面
平面DBE．
考向三 线线垂直
【例3-1】（2025 湖北）已知三棱柱
中，上、下底面是边长为2 的正三角形，
为
的重心，
．求证：
．
【一隅三反】
1．（2025 高三·全国·专题练习）如图所示，已知
是矩形，且
平面
，下列结论中不正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 赏析）如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，平面
平面
为
中点，
，证明：
．
3．（2025·山西太原）如图，在多面体
中，四边形
是边长为2 的菱形，且
，
平面
，平面
平面
，
是等边三角形，求证：
考向四 垂直中的动点
【例4】（2025 湖北）如图，在正四棱锥
中，
是
中点，
与底面所成角的正切值为
，请
在平面
中找一点
，使得
平面
.
【例4-2】（2025 高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱
中，侧棱长为4，
，
，点
是
的中点，
是侧面
（不含边界）上的动点．要使
平面
，则线段
的长的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2025 山东）如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
是直线
上一动点，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥
中，平面
底面
，侧棱
，
底面
为直角梯形，其中
，
为
中点，在平面
内找一点
，使得
平面
.
3．（2024·山西·模拟预测）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优
异性质，所以被称为立体几何中的
小王子
“
”.如图，在鳖臑
中，
底面
，若
为
的中点，
分别是
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)若
为线段
上的动点，探究平面
与平面
是否垂直，如果垂直请证明；如果不垂直，请说明理
由.
4．（2025 湖北）如图，正三棱柱
中，
，点
为
的中点.
(1)证明：平面
平面
(2)在棱
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
考向五 垂直的判定定理及性质定理的辨析
【例5-1】（24-25 湖北）设a，b 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A．若
，
，
，则
B．若
，
，
， 则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，
，则
【一隅三反】
1．（24-25 吉林 ）空间中有两个不同的平面
和两条不同的直线
，则下列说法中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
2．（2025·山东临沂·模拟预测）已知、
、
是直线，
是平面，且
，
，则“
，
是
”
“
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3．（2025·天津·二模）已知a，b 是两条直线，α，β 是两个平面．下列命题正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
