7.2 直线、平面平行的判定与性质（讲义）
目录
1
知识点01 直线和平面平行........................................................................2
2
知识点02 平面和平面平行........................................................................3
3
题型一、平行定理的应用.........................................................................5
4
题型二、构造三角形中位线证明线面平行............................................11
5
题型三、构造平行四边形证明线面平行...............................................18
6
题型四、利用线面平行证明面面平行...................................................27
7
题型五、利用面面平行证明线面平行...................................................37
8
题型六、利用线面平行证明线线平行...................................................48
1 知识点01 直线和平面平行
1.
定义
若直线与平面没有公共点，则称直线与该平面平行。
2.
判定定理1
(1)
文字语言：若平面外一条直线平行于该平面内的一条直线，
则该直线与此平面平行（线线平行
线面平行）
(2)
符号语言：
&l∥l1
&l1⊂α
&l⊄α }
⇒l∥α
(3)
图示：
3.
判定定理2
(1)
文字语言：如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有
直线都平行于另一个平面（面面平行
线面平行）
(2)
符号语言：
& α ∥β
& a⊂α}⇒a∥β
(3)
图示：
4.
性质定理1
(1)
文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线
的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行（线面平行
线线平行）
(2)
符号语言：
&l∥α
&l⊂β
& α ∩β =l
'}
⇒l∥l
'
(3)
图示：
2 知识点02 平面和平面平行
1.
定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面
2.
判定定理1
(1)
文字语言如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一
个平面，那么这两个平面平行（线面平行
面面平行）
(2)
符号语言：
a⊂α ,b⊂α ,a∩b= P
a∥β ，b∥β ⇒α ∥β
(3)
图示：
3.
判定定理2
(1)
文字语言：如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个
平面平行（线面垂直
面面平行）
(2)
符号语言：
&l⊥α
&l⊥β}⇒α ∥β
(3)
图示：
4.
性质定理1
(1)
文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那
么他们的交线平行（面面平行
线面平行）
(2)
符号语言：
α // β
α ∩γ =a
β ∩γ =b}
⇒a//b.
(3)
图示：
5.
性质定理2
(1)
文字语言：如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么
另一个平面也垂直于这条直线（面面平行
线面垂直）
(2)
符号语言：
α // β
l⊥α }⇒l⊥β
(3)
图示：
3 题型一、平行定理的应用
1．已知m，n 是两条不同的直线，
是三个不同的平面，则下列结
论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】D
【分析】根据线面平行与垂直的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即
可求解.
【详解】对于A 中，若
，则
或
，所以A 不正确；
对于B 中，若
，则
或
与
是异面直线，所以
B 不正确；
对于C 中，如图所示，在正方体
中，
设平面
为平面
，平面
为平面
，平面
为平面
，
此时满足
，则
，所以C 不正确；
对于D 中，由
，可得
，因为
，所以
，所
以 D 正确.
故选：D.
2．设
为两个平面，
为两条直线，且
.下述四个命题：
①若
，则
或
②若
，则
或
③若
且
，则
④若
与
所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③
B．②④
C．①②③
D．①③④
【答案】A
【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根
据线面平行的性质即可判断③.
【详解】对①，当
，因为
，
，则
，
当
，因为
，
，则
，
当
既不在
也不在
内，因为
，
，则
且
，故①正确；
对②，若
，
，
与
不垂直，则
与
不垂直，
若
，
，
与
不垂直，则
与
不垂直，故②错误；
对③，过直线
分别作两平面与
分别相交于直线和直线，
因为
，过直线
的平面与平面
的交线为直线，
则根据线面平行的性质定理知
，
同理可得
，则
，因为
平面
，
平面
，则
平面
，
因为
平面
，
，则
，又因为
，则
，故③
正确；
对④，若
与
和
所成的角相等，如果
，则
，故④错误；
综上只有①③正确.
故选：A.
3．已知a，b 是空间两条不同的直线，α，β，γ 为三个不同的平面，下列正
确的为（ ）
A．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b B．若a∥α，a⊥β，则α⊥β
C．若α∩β=a，γ∩β=b，a∥b，则α∥γ D．若α⊥β，a⊂α，则a⊥β
【答案】B
【分析】利用空间中点、线、面位置关系的判定定理和性质逐项判断可得
正确的选项．
【详解】对于A，若
，
，
，则
或
异面，故A
错误；
对于B，若
，则存在直线
，使得
，
由于
，则
，可得
，故B 正确；
对于C，若
，
，
，则
或
相交，故C
错误；
对于D，若
，
，设
，
只有当
时，才能得到
，故D 错误．
故选：B．
4．已知
，
为两个不同的平面，
，
为两条不同的直线，则下列命
题正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
为异面直线，
，
，则
【答案】C
【分析】借助正方体中的空间关系，来举反例，判断ABD 是错误的，故C
正确.
【详解】
在正方体中，由于
平面
，
平面
，
但平面
与平面
不平行，故A 错误；
同理，由于
平面
，
平面
，且
但平面
与平面
不平行，故B 错误；
同理，由于
平面
，
平面
，且
与
是
异面直线，
但平面
与平面
不平行，故D 错误；
对于C，由
，得
，而
，因此
，C 正确.
故选：C.
5．已知
，
是两条不重合的直线，
，
是两个不重合的平面，下列说
法正确的是（ ）
A．若
，
，则
与
相交
B．若
，
，则
C．若
，
异面，则与
，
都相交的两条直线是异面直线
D．若
，
，
，
，则
，
【答案】D
【分析】利用线面、线线位置判断判断ABC；利用线面平行的判定推理判
断D.
【详解】对于A，由
，
，得
或
与
相交，
错误；
对于B，由
，
，得
或
，B 错误；
对于C，都与直线
相交的两条直线的交点可以在直线
上，C 错误；
对于D，由
，得
，
，
，则
，同理
，
D 正确.
故选：D
6．已知m,n 是两条不同的直线，
是两个不同的平面，下列说法正确
的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【分析】根据线面平行和线面垂直，面面垂直的性质判断即可.
【详解】A 选项，若
，则
或
异面，故A 选项错误；
B 选项，若
，则
或
，故B 选项错误；
C 选项，由直线与平面垂直的性质可得
,故C 选项正确；
D 选项，若
，则
或
，故D 选项错误.
故选：C
7．已知直线
，平面
，下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由面面平行的判定定理逐个判断即可.
【详解】对于A，若
，平面
可能平行也可能相交，错误；
对于B，
，平面
可能平行也可能相交，错误；
对于C，
，平面
可能平行也可能相交，错误；
对于D,
，面面平行的判定
定理，正确，
故选：D
8．设m，n 是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，则下列命题中
正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】D
【分析】根据空间直线、平面的位置关系，结合平面的基本性质判断线性、
线面的位置关系即可.
【详解】A：若
，
，则
平行、相交或异面，错；
B：若
，
，则
平行或异面，错；
C：若
，
，则
或
，错；
D：若
，
，由面面平行的性质有
，对.
故选：D
9．在空间几何中下列说法正确的是（ ）
A．过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直
C．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】B
【分析】根据空间中点，直线，平面的位置关系逐一分析即可.
【详解】
选项：根据空间两条直线的垂直关系有相交垂直和异面垂直两
种情况，
故当已知点在已知直线上时，可作无数条直线与已知直线垂直，故
选项
错误；
选项：无论已知点在已知直线上还是已知直线外，假设过一点能作出两
个平面与已知直线垂直，则这两个平面平行，
显然与两平面经过一个点相互矛盾，故过一点有且只有一个平面与已知直
线垂直，
故
正确；
选项：已知点在已知直线外时，可作出无数个平面与已知直线平行，故
选项错误；
选项：当已知点在已知直线上时，不能作出与已知直线平行的直线；当
已知点在已知直线外时，可以作一条与已知直线平行的直线，故
选项错误.
故选：
.
4 题型二、构造三角形中位线证明线面平行
1．如图，在正方体
中，E 是
的中点
求证：
平面ACE
【分析】连接BD，设直线BD 交直线AC 于点O，连接EO，即可得到
，从而得证.
【详解】
连接BD，设直线BD 交直线AC 于点O，连接EO，
因为在正方体
中，底面ABCD 是正方形，所以O 为BD
中点，
又因为E 为
的中点，所以
，
又因为
平面ACE，
平面ACE，所以直线
平面ACE．
2．在正三棱柱
中，D 为
的中点
证明：
平面
【分析】连接
交
于
，连接
，易得
，利用线面平
行的判定证明结论；
【详解】连接
交
于
，连接
，
由侧面为矩形，易知
是
的中点，
由D 为
的中点，则
，
由
平面
，
平面
，所以
平面
；
3．如图，在直三棱柱
中，
，点
是棱
的中
点，求证：
平面
【分析】通过证明平面外一条直线与平面内一条直线平行，依据线面平行
的判定定理来证明线面平行；
【详解】连接
交
于点E，连接
，如图所示.
在直三棱柱
中，四边形
是平行四边形，所以
又点D 是棱
的中点，所以
，
又
平面
平面
，所以
平面
.
4．如图，已知平面
平面
，四边形
是正方形，
，点E，F 分别是
，
的中点，若点M 为线段
中点，求证：
平面
【分析】连接
，连接
交
于点
，连接
，证明
即可得证；
【详解】连接
，连接
交
于点
，连接
，
因为点
为
的中点，
为
中点，所以
，
又四边形
是正方形，
所以四边形
为矩形，
即
为
的中点，又
为
的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
；
5．如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
，
分别为棱
，
的中点，求
证：
平面
【分析】首先证明四边形
是平行四边形，再根据中位线的性质，结
合线面平行的判断定理即可得证；
【详解】如图，连接
，设
，连接
，
因为
，
，可得四边形
是平行四边
形，
则
，又
，则
，
因为
平面
，
平面
，故
平面
；
6．如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
∠BAD =60
∘, PD = DC =2, PD⊥平面
，
是
的中点，求证：
平
面
【分析】连接
，设
，连接
，根据中位线可得
，由线面平行的判定定理可得
平面
.
【详解】证明：连接
，设
，连接
.
因为底面
是菱形，所以
是
的中点.
又
是
的中点，所以
为
的中位线，所以
.
又
平面
平面
，所以
平面
.
7．如图，在三棱柱
中，
平面
，
的中点为
，
，证明：
平面
【分析】连结
与
交于点
，可得
，根据线面平行的判
定定理得证
【详解】连结
与
交于点
，连结
．
因为点
为
与
的交点，所以点
为
中点，
又因为
为
中点，所以
．
因为
平面
，
平面
，所以
平面
．
8．如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，△PCD为
等边三角形，平面
平面
，
，
，
，设
分别为
的中点， 求证：
平面
；
【分析】要证明线面平行，需证明线线平行即可，即证明
.
【详解】连接
交
于点
.
因为四边形
为平行四边形，
为
的中点，
为
的中点，
所以
.
又
平面
，
不在平面
内，
所以
平面
.
9．如图，在直四棱柱
中，四边形ABCD 是矩形，
是棱BC 的中点，证明：
平面
【分析】利用线面平行的判定推理得证.
【详解】连接
，交
于点
，连接EF．
由棱柱的性质知四边形
是平行四边形，则
为线段
的中点，
而
是棱BC 的中点，则
，又
平面
平面
，
所以
平面
．
10．如图，在正方体
中，
为
的中点，求证：
平面
【分析】由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理推理得证.
【详解】在正方体
中，连接
交
于
，连接
，
则
为
的中点，而
为
的中点，则
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
5 题型三、构造平行四边形证明线面平行
1．如图，四棱锥
的底面
为正方形，
底面
，
E、F 分别是AC、PB 的中点，求证：
平面
【分析】连接BD，求证
结合线面平行判定定理即可求证；
【详解】证明：如图，连接BD，则E 是BD 的中点，
又F 是PB 的中点，∴
．
又∵
平面
，
平面PCD，∴
平面
．
2．如图，在正方体
中，点G，E，F 分别为棱
的中点，求证：
平面DBFE
【分析】连接
分别交DE，DB 于点H，O，连接HO，通过证明
可证.
【详解】连接
分别交DE，DB 于点H，O，连接HO，如图所示．
在正方体
中，
，
所以△HE D1∼△HDC，所以
，
同理可得
，
在
中，
，所以
，
又
平面
不在平面DBFE 内，所以
平面DBFE．
3．如图所示，点P 是平面
外一点，
平面
，
，
，求证：
平面
【分析】取
靠近
的三等分点F，连接
，只需证明
即
可
【详解】如图，在
上取靠近
的三等分点F，即
，连接
，
，
∴
，
.
∵
平面
，
平面
，平面
平面
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
∵
平面
，
平面
，
∴
平面
.
4．如图，在三棱柱
中，AE 与BD 相交于点O，C 在平面
ABED 内的射影为O，G 为CF 的中点，求证：
平面GED
【分析】先证四边形
为平行四边形，得出
，即可得证；
【详解】证明：取DE 的中点M，连接OM，GM，
在△BDE 中，
，
.
又因为G 为CF 的中点，所以
，
，
所以
，
.
所以四边形
为平行四边形，所以
，
又
面
，
面
，
所以
平面
.
5．如图，在四棱锥
中，
是边长为4 的等边三角形，底
面
为直角梯形，
，
，
，
为
的中
点，求证：
平面
【分析】取
的中点
，证明
，再利用线面平行的判定定理即可；
【详解】取
的中点
，连接
，
，
∵
为
的中点，∴
且
，
又
，
，则
且
，
∴四边形
是平行四边形，∴
，
∵
平面
，
平面
，
∴
平面
.
6．如图，直四棱柱
的底面是菱形，
，
，
，
分别是
的中点，证明：
平面
【分析】先证明
，再根据线面平行判定定理证明结论；
【详解】
连结
，
因为
，
分别为
的中点，所以
，
，
因为
，
，
所以四边形
是平行四边形，
所以
，
，又
是
的中点，且
，
所以
，
，所以四边形
为平行四边形，
所以
，又
平面
，
平面
,
所以
平面
．
7．如图，在长方体
中，
，
，
、
分别为
和
中点，求证：
平面
【分析】取
中点
，可证
，由线面平行的判定定理可证线
面平行；
【详解】
连接
，交
于中点
，连接
，则
且
，
所以
是平行四边形，进而
．
因为
平面
，
不在平面
上，所以
平面
．
8．如图所示的多面体中，已知菱形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互
相垂直，其中
为直角，
∠ABC =60
∘，EF // AC ，EF = 1
2 AB =1，FA = ❑√3，求证:
平面
【分析】由题意证得
，再由线面平行的判定定理即可证明.
【详解】连接
交于点
，连接
，
因为四边形ABCD 是菱形，
所以
为等边三角形，
所以
，所以
，
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
平面
，
平面
，
所以
平面
.
9．如图，在四棱锥
中，底面
是边长为2 的正方形，
分别为
中点，求证：
平面
【分析】取
中点
，连接
，
，根据已知证明
，再由
线面平行的判定证明结论；
【详解】取
中点
，连接
，
，
三角形
中，
分别为
中点，则
且
，
又正方形
中，
为
中点，则
，
且
，四边形
为平行四边形，故
，
由
平面
，
平面
，则
平面
；
10．如图，在直三棱柱
中，
分别是棱
的中点，
证明：
平面
【分析】方法一：取
的中点
，连接
，证得四边形
是平行四边形，得到
，结合线面平行的判定定理，即可证得
平面
；
方法二：取
的中点
，连接
，分别证得
平面
和
平面
，证得平面
平面
，即可证得
平面
．
【详解】证明：方法一：取
的中点
，连接
，
因为
分别是
的中点，所以
，且
，
又因为
，所以
且
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
因为
平面
，且
平面
，所以
平面
.
方法二：取
的中点
，连接
，
因为
分别是
的中点，所以
，可得
平面
，
因为
分别是
的中点，所以
，可得
平面
，
因为
，所以平面
平面
，所以
平面
．
6 题型四、利用线面平行证明面面平行
1．如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，侧棱
垂直于
底面，
、
分别是
、
的中点，
与
交于
点，求证：平面
平面
【分析】依题意可得
为
的中点，且为
的中点，即可得到
，
，从而得证.
【详解】
因为
为矩形，
与
交于
点，
所以
为
的中点，且为
的中点，
又
、
分别是
、
的中点，
所以
，
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
，
平面
，所以平面
平面
.
2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E 为
的中点，点F 在棱DD1的
中点，求证：平面
//平面BDE．
【答案】
【分析】先证出四边形
为平行四边形，再由线面平行的判定定理及
面面平行的判定定理，证得平面
平面
.
【详解】
∵点
为棱
中点，
为
的中点．
∴
且
∴
为平行四边形，
∴
，
又
平面
，
平面
.
∴
平面
.
又
平面
，且
，
平面
，
∴平面
平面
.
3．如图，在三棱柱
中，
，
分别是
，
的中点，
证明：平面
平面
【分析】通过证明
平面
，
平面
，来证明面面平行；
【详解】证明：因为
，
分别是
，
的中点，所以
，
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
连接
，由棱柱的性质，可知
所以四边形
为
平行四边形，所以
，又
，
所以
，
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
，
平面
，所以平面
平面
.
4．如图1，E，F，G，H 分别是正方形
各边中点，将
△AEH ,△BEF ,△CFG,△DGH分别沿
折起，使得
△AEH ,△BEF ,△CFG,△DGH所在平面与底面
均垂直（如图2），连接
，证明：平面
平面
【分析】A，B，C，D 在平面
上的投影
分别为
的中点，先证
，再由线面平行的判定
证明
平面
，
平面
，最后由面面平行的判定证明结
论；
【详解】如图1，A，B，C，D 在平面
上的投影
分别
为
的中点，
因为
是全等的等腰直角三角形，所以
，
又△AEH ,△BEF ,△CFG,△DGH所在平面与底面
均垂直，
所以
与底面
均垂直，从而
，
故四边形
均为平行四边形（矩形），因此
，
由
平面
，
平面
，则
平面
，
同理可证
平面
，又
相交且都在平面
内，
所以平面
平面
；
5．如图，在四棱锥
中，四边形
是梯形，
，
，
、
分别是棱
、
上的点，且
，
，
证明：平面
平面
【分析】证明出
平面
，
平面
，结合面面平行的判定
定理可证得结论成立；
【详解】因为
且
，所以
，
因为
，所以
，故四边形
为平行四边形，则
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
，
，所以
，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
，
、
平面
，所以平面
平面
;
6．在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
为底面中心，
，
分别为
，
的中点，
为等腰直角三角形，且
，
，
分为
，
的中点，点
在线段
上，且
.求证：平面
平面
【分析】连接
，由面面平行的性质定理及平行线的性质即可得到结果.
【详解】
连接
，如图所示，因为
，
分为
，
的中点，所以
，
因为
为
的中点，所以
，
因为点
在线段
上，且
，所以
，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
同理，可得
平面
，
又
，
，
平面
，
所以平面
平面
.
7．如图，在三棱柱
中，D，E，F 分别是AB，
，
的
中点，求证：平面
平面
【分析】连接DE，由线面平行的判定定理分别证明
平面
，
平面
，再由面面平行的判定定理即可证明；
【详解】连接DE，由题意知，
，
，
即四边形
为平行四边形，所以
，
平面
，
平面
，所以
平面
．
同理，四边形
为平行四边形，所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又
，DC，
平面
，
所以平面
平面
．
8．如图，在棱长均为2 的八面体
中，下底面
是正六边形，且平面
平面
､
均垂直于底面, 证明：平面
平面
【分析】只需证明
平面
，
平面
，而线
面平行问题只需转换为线线平行即可；
【详解】在八面体
中，
四点共面.
因为八面体
的棱长均为2，所以四边形
为菱形，
.
因为
平面
平面
，所以
平面
.
同理，
平面
.
因为
，所以平面
平面
.
9．如图，在直三棱柱
中，点M，N 分别是边AC，
的中
点，且
，
，
,求证：平面
平面
【分析】由线面平行的判定定理证明
平面
和
平面
，再由面面平行的判定定理证明可得；
【详解】直三棱柱
中，
，点M，N 分别是边AC，
的中点，
∴
，即四边形
为平行四边形，
从而
，而
平面
，
平面
，
故
平面
，连接MN，∵
，
，
∴
，∴四边形
为平行四边形．
从而
，而
平面
，
平面
，
故
平面
．
又
平面
，
平面
，
，
，
平面
，
所以平面
平面
．
10．如图，在正方体
中，
为
的中点，
为
的中点, 求证：平面
平面
【分析】证明出
平面
，利用面面平行的判定定理可证得结论
成立．
【详解】因为
为
的中点，
为
的中点，所以
，
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
又因为
平面
平面
，所以
平面
；
由（1）知
平面
，又因为
，
平面
，
所以平面
平面
．
11．如图，在正四面体
中，
，E，F，G 分别为
，
，
的中点, 证明：平面
平面
【分析】利用线线平行可得
平面
，
平面
，进而可
得平面
平面
；
【详解】因为E，F，G 分别为
，
，
的中点，所以
，
，
因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
，
平面
，所以平面
平面
12．如图，在直三棱柱
中，
是边长为
的等边三
角形，
分别是线段
的中点, 证明：平面
平面
【分析】只需证明
平面
，
平面
即可；
【详解】连接
.
由棱柱的定义可知四边形
为平行四边形，则
与
相交且互相
平分.
因为
为线段
的中点，所以
为线段
的中点.
因为
分别是线段
的中点，所以
.
因为
平面
平面
，所以
平面
.
因为
分别是线段
的中点，所以
.
由棱柱的定义可知
，则
.
因为
平面
平面
，所以
平面
.
因为
平面
平面
，且
，所以平面
平面
.
7 题型五、利用面面平行证明线面平行
1．如图，在几何体
中，四边形
为平行四边形，平面
平面
，证明：
平
面
【分析】由题设得
，
，应用线面平行的判定证明
平面
，
平面
，再由面面平行的判定及性质证明结论；
【详解】由四边形
为平行四边形，则
，又
，
平面
，
平面
，则
平面
，同理
平
面
，
由
，
都在平面
内，则平面
平面
，
平面
，则
平面
；
2．如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
平面
，点
，
分别为线段
，
上的一点，且
，
，求证：
平面
【分析】在
，
上各取一点
，
，使
，
，根
据题意可证明平面
平面
，又
平面
，所以
平面
.
【详解】如图所示，在
，
上各取一点
，
，使
，
，
所以
，
又点
，
分别为线段
，
上的一点，且
，
，
所以
，
，
又底面
是棱形，所以
，所以
，
，
所以
，所以点
，
，
，
四点共面，
又
平面
，
平面
，且
与
相交于点
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，且
与
相交于点
，
所以平面
平面
，
又
平面
，所以
平面
.
3．如图，在三棱柱
中，
，
平面
且
，
、
分别是
、
的中点. 求证：
平面
.
【分析】取
中点
，连接
，证明出平面
平面
，
再利用面面平行的性质可证得结论成立.
【详解】如图，取
中点
，连接
，
分别为
的中点，
，
平面
，
平面
，
平面
，
且
，
四边形
为平行四边形，
且
，
分别为
的中点，
且
，
四边形
为平行四边形，
，
面
，
面
，
面
，
，
平面
，
面
面
，
平面
，
平面
．
4．如图，四边形
是平行四边形，点
是平面
外一点，求证：
平面
【分析】利用面面平行的判定定理可证明平面
平面
，再由其
性质可得结论
【详解】
连接ON ∩BD =O ,连接ON , MN，如下图：
易知
，显然
平面
，
平面
，所以
平面
；
同理可得
，即
平面
；
又
，所以平面
平面
，
又因为
平面
，
所以
平面
.
5．如图，在四棱锥
中，底面
为梯形，其中
，
且
，点E 为棱
的中点，求证：
平面
【分析】取N 为线段
的中点，连接
，根据已知可得出
.进而根据线面平行以及面面平行的判定定理得出平面
平面
.即可根据面面平行的性质定理，得出证明；
【详解】如图，取N 为线段
的中点，连接
因为N 为线段
的中点，
所以
.
又
，
所以，四边形
为平行四边形，
.
因为
平面
，
平面
，
所以有
平面
.
又点E 为棱
的中点，
所以有
.
因为
平面
，
平面
，
所以有
平面
.
又
，
平面
，
平面
，
所以平面
平面
.
又
平面
，
所以有
平面
.
6．如图，在五面体
中，
，
为
的中点，
为
的中点, 证明：
平面
【分析】记
的中点为
，连接
，结合梯形性质利用线面平行
的性质定理证得
平面
，结合中位线性质利用线面平行的性质定理
证得
平面
，再由面面平行的判定定理得平面
平面
，最后由面面平行的性质定理即可证明；
【详解】如图：
记
的中点为
，连接
，因为
为
的中点，
为
的中
点，
，
所以
，而
平面
，
平面
，
所以
平面
；因为
为
的中点，
为
的中点，
所以
，而
平面
，
平面
，
所以
平面
；又
，
平面
，
所以平面
平面
，又
平面
，所以
平面
；
7．如图，在直四棱柱
中，底面
是边长为2 的菱
形，
，
是
的中点，点
满足
,当
时，
证明：
//平面
【分析】作辅助线，证明
平面
，接着证明
平面
，再利用面面平行的判定定理及性质证明
平面
；
【详解】证明：取
的中点
，连接
，则
，
因为
是
的中点，所以
，
因为四边形
为菱形，所以
，
，
所以
，
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
因为
平面
平面
，
所以
平面
.
因为点
满足
，
，
所以点
为
的中点，
因为
是
的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
.
因为
，
平面
，
所以平面
平面
.
因为
平面
，故
平面
.
8．如图，在
中，
，
，
为
的中点，
过点
作
交
于点
，将
沿
翻折至
，得到四棱
锥
，
为棱
上一动点（不包含端点）, 若
为棱
的中点，证
明：
平面
【分析】取
的中点
，连接
，
，则
，通过证明平面
平面
，由面面平行的性质定理即可求证；
【详解】因为
，
，
所以
，
连接
，因为
为
的中点，所以
是等边三角形．
取
的中点
，连接
，
，则
，
则
，
．
因为
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，
又
，
，
平面
，
所以平面
平面
，
又
平面
，
所以
平面
．
9．如图，在四棱锥
中，
底面
，
,
分别为
的中点，
为
的重心，
证明：
平面
【分析】只需证明
平面
及
平面
进而证得平面
平面
，根据面面平行的性质，证得结果；
【详解】因为
分别为
的中点，则
．
又
在平面
外，则
平面
．
连接
，延长交
于
，连接
．因为
为
的重心，则
为
的中点，从而
．
又
在平面
外，则
平面
．
因为
是平面
内的两条相交直线，则平面
平面
．
因为
平面
，所以
平面
．
10．如图，直四棱柱
的底面是菱形，
，
，
，E，F，
分别是
，AD，
的中点，
为矩形
的
中心, 证明：
平面
【分析】（证法一）利用面面平行的判定定理、性质定理可得答案；（证
法二）连接
，
，利用线面平行的判定定理可得答案；
【详解】（证法一）连接
，
，
，
，
，
所以四边形
为平行四边形，所以
.
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
，所以四边形
为平行四边形，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
因为
，
平面
，
，
平面
，
所以平面
平面
.
因为
平面
，所以
平面
；
（证法二）连接
，
，
在
中，因为G，H 分别为
，
的中点，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
；
11．如图，在直三棱柱
中，侧棱
，
，
且
分别为
,
的中点, 证明：
平面
【分析】取
的中点
，证平面
平面
，由面面平行的性
质定理可得
平面
.
【详解】如图，取
的中点
，连接
.
∵
为
的中点，且侧面
为矩形，∴
.
∵
平面
，
平面
，∴
平面
.
∵
为
的中点，∴
是
的中位线，故
.
∵
平面
，
平面
，∴
平面
.
∵
，且
平面
，∴平面
平面
.
∵
平面
，∴
平面
.
12．如图所示，在直角梯形
中，
，A，D 分
别是
，
上的点，且
，
，
，
，将四边形
沿
向上折起，连接
，
，
，在折
起的过程中，记二面角
的大小为
，记几何体
的体积为V, 求证：
平面
【分析】由面面平行的判定定理可得平面
平面
，即可证明；
【详解】在梯形
中，因为
，所以翻折后有
，且
，
因为
平面
，
平面
，故
平面
，同理可
得
平面
，
因为
，
平面
，
所以平面
平面
，又因为
平面
，所以
平面
8 题型六、利用线面平行证明线线平行
1．如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
．点
在棱
上且与
不重合，
平面
交棱
于点
，求证：
【分析】易证得
平面
，由线面平行性质可证得结论；
【详解】
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，平面
平面
，
.
2．如图，矩形
，平面
平面
，
，平面ADF 与棱BE 交于点
，求证：
【分析】由
和
证明平面
平面
，进而证明
；l
【详解】证明：因为
，
平面
,
平面
,
所以
平面
,
又
，
平面
,
平面
,
所以
平面
,
又
，且
平面
所以平面
平面
,
又因为
平面CDF，所以
平面
因为
平面ADF，平面
平面
所以
，即
3．在四棱锥
中，底面
是边长为2 的正方形，
，
直线
与
所成的角的余弦值等于
，
，点
为线段
上的动
点，
是
的中点，若直线
和
相交，求证：
【分析】利用线面平行的判定、性质推理得证.
【详解】在四棱锥
中，
是正方形，则
，
由直线
和
相交，得
平面
，
平面
，
于是
平面
，
又平面
平面
，又
平面
，所以
.
4．如图所示，在四棱锥
中，底面
为梯形，
，
，面
面
，
是
的中点，求证：
【分析】在梯形
中，
，可得
面
，从而证明
线面平行；
【详解】
在梯形
中，
，又
面
，
面
，
面
，
面
，面
面
，
，
，
.
5．如图所示，正四棱锥
中，
为侧棱
上的点，
且
，记平面
平面
，证明：
【分析】证明
平面
，再根据线面平行的性质即可得证.
【详解】（1）在正四棱锥
中，
，
平面
，
平面
，
则
平面
，而
平面
，平面
平面
，
所以
.
6．如图所示，已知点
是平行四边形
所在平面外一点，
、
、
分别为
、
、
的中点，平面
平面
，判断直线与
的位置关系并证明
【分析】利用线面平行的判定定理证明
平面
，再由线面平行的
性质定理证明即可.
【详解】
.证明如下：
因为四边形
为平行四边形，所以
，
因为
平面
，
平面
，则
平面
，
又平面
平面
，
平面
，所以
.
7．如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
平面
，求证：四边形
为梯形
【分析】根据线面平行的性质定理，证明
，再结合梯形的定义，
即可证明；
【详解】因为
平面
，
平面
，平面
平面
，
所以
，且
，
所以四边形
是梯形；
8．如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
，
分
别是
，
的中点，求证：
平面
【分析】取
中点
，连接
，证明
，结合线面平行
的判定定理即可得证；
【详解】
如图，取
中点
，连接
，
因为
是
的中点，所以
，且
，
因为四边形
为平行四边形，且
是
的中点，
所以
，
，
所以
，
，
所以四边形
为平行四边形，故
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
.
9．如图，在四棱锥
中，
底面
，底面
为正
方形，
，
分别为
的中点，若平面
与平面
的交线为，证明：
【分析】利用中位线性质得
，再根据线面平行判定证
平
面 ABCD，进而由面面交线性质得
【详解】证明：如图，连接
，因为
分别为
的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，平面
平面
，所以
；
10．如图，正方体
的棱长为2，
是棱
的中点，过
，
，E 的平面与棱
相交于点
，求证：
是
的中点
【分析】连接
，由平面
平面
，利用面面平行的性
质定理得
，又四边形
为平行四边形，得
，即
，由
是棱
的中点即可得证；
【详解】连接
，如图所示.
因为平面
平面
，平面
平面
，平
面
平面
，所以
.
又
，
，所以四边形
为平行四边形，
，
.
又
是棱
的中点，所以
是
的中点.
11．如下图所示，多面体
是由长方体
沿相
邻三个面的对角线截出的几何体，其中
，
，
，
为
的中点，过
，
，
的平面交
于
，求证：
平面
【分析】由
，即可求证；
【详解】
证明：在长方体中矩形中，
∥
，
，
所以四边形
为平行四边形．
所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
．
12．如图，在正三棱柱
中，
分别是棱
的中点，过点
的平面交
于点
，交
于点
．求证：
【分析】利用已知可证
平面
，进而利用线面平行的性质可证
.
【详解】
记过过点
的平面为平面
，平面
交
于点
，交
于点
，
因为
分别是棱
的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，平面
平面
，所以
