文档内容
7.2 平行线【8 个必考点】
【人教版2024】
【考点1 平行线的定义及平面内两直线的位置关系的判定】.............................................................................1
【考点2 平行线的基本事实及其推论】.................................................................................................................3
【考点3 平行线的三种判定方法】..........................................................................................................................5
【考点4 证明两直线平行】......................................................................................................................................9
【考点5 平行线性质的应用】................................................................................................................................14
【考点6 平行线的判定与性质应用（补全推理过程）】...................................................................................17
【考点7 平行线的判定与性质应用（证明）】...................................................................................................24
【考点8 利用平行线的性质探究角之间的关系】...............................................................................................29
【考点1 平行线的定义及平面内两直线的位置关系的判定】
【知识梳理】
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
【必刷题】
1．（2024春•泰山区期中）在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c，b与c的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．重合 D．平行或相交
【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线得出即可．
【解答】解：∵在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c，
∴b与c的位置关系是相交，
故选：B．
2．（2024春•东阿县校级月考）在下列4个判断中：
①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直
线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据平面内两条直线的三种位置关系：平行或相交或重合进行判断．
【解答】解：在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行，故①错误，②正确；
在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交故，③错误，④正确．
故正确判断的个数是2．
故选：C．
3．（2024春•岷县校级月考）在同一平面内，直线L 与L 满足下列条件：
1 2
（1）L 与L 没有公共点，则L 与L ；
1 2 1 2
（2）L 与L 有且只有一个公共点，则L 与L ；
1 2 1 2
（3）L 与L 有两个公共点，则L 与L ．
1 2 1 2
【分析】根据平行、相交和重合的定义就可以解决．
【解答】解：（1）L 与L 没有公共点，则L 与L 平行．
1 2 1 2
（2）L 与L 有且只有一个公共点，则L 与L 相交．
1 2 1 2
（3）L 与L 有两个公共点，则L 与L 重合．
1 2 1 2
4．（2024春•银州区校级期末）如图所示，在∠AOB内有一点P．
（1）过P画l ∥OA；
1
（2）过P画l ∥OB；
2
（3）用量角器量一量l 与l 相交的角与∠O的大小有怎样关系？
1 2
【分析】用两个三角板，根据同位角相等，两直线平行来画平行线，然后用量角器量一量l 与l 相交的
1 2
角与∠O的关系为：相等或互补．
【解答】解：（1）（2）如图所示，
（3）l 与l 夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l 和l 的夹角与∠O相等或互
1 2 1 2
补．【考点2 平行线的基本事实及其推论】
【知识梳理】
（1）平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【必刷题】
1．（2024春•枣阳市期末）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c
B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c
D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c
【分析】根据题意画出图形，从而可做出判断．
【解答】解：先根据要求画出图形，图形如图所示：
根据所画图形可知：A正确．
故选：A．
2．（2024春•博野县校级月考）如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是
m条和n条，则m+n的值为（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【分析】根据平行线公理解答即可．【解答】解：∵在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，以及在同一平面内，
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可知m＝1，n＝1，
∴m+n＝2，
故选：C．
3．（2024秋•道里区校级月考）下列说法中：
①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
②直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；
③过一点有且只有一条直线平行于已知直线；
④过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别利用平行公理推论、点到直线的距离的定义、垂直的性质、平行公理判断即可．
【解答】解：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故①正确；
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故②不正确；
过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故③不正确；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故④不正确；
所以正确的有①，共1个．
故选：A．
4．（2024春•康巴什期末）如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 ．
【分析】直接利用平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，得出即可．
【解答】解：∵MC∥AB，NC∥AB，∴点M，C，N在同一条直线上，
理由是：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
【考点3 平行线的三种判定方法】
【知识梳理】
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相
等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，
两
直线平行．
（3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互
补，两直线平行．
注意：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
【必刷题】
1．（2024春•娄星区期末）如图，下面哪个条件不能判断EF∥DC的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠C
C．∠1+∠3＝180° D．∠3+∠C＝180°
【分析】由平行线的判定定理求解判断即可．
【解答】解：A．由∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可判定EF∥DC，故A不符合题意；
B．由∠4＝∠C，根据同位角相等，两直线平行可判定EF∥DC，故B不符合题意；
C．由∠1+∠3＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可判定ED∥BC，不能判定EF∥DC，故C符合
题意；
D．由∠3+∠C＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可判定EF∥DC，故D不符合题意；
故选：C．
2．（2024秋•康平县期末）如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件：
①∠1＝∠3；②∠2+∠5＝180°；
③∠4＝∠B；④∠D+∠BCD＝180°．
其中能判断AD∥BC的是（ ）A．①② B．①④ C．①③ D．②④
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行
判断即可．
【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴AD∥BC；
②∵∠2+∠5＝180°，∵∠5＝∠AGC，∴∠2+∠AGC＝180°，∴AB∥DC；
③∵∠4＝∠B，∴AB∥DC；
④∵∠D+∠BCD＝180°，∴AD∥BC．
故选：B．
3．（2024秋•沈河区期末）如图，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，④∠2+∠5＝180°可以判定
b∥c的条件有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【分析】根据平行线的判定方法，对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴b∥c（同位角相等，两直线平行）；
②∵∠2＝∠3，∴b∥c（内错角相等，两直线平行）；
③∠1＝∠4无法判断两直线平行；
④∵∠2+∠5＝180°，∴b∥c（同旁内角互补，两直线平行）．
故选：A．
4．（2024春•秦都区校级月考）如图，已知 AB、CD分别与MN交于点F、G，且EF⊥MN，∠BFE＝
48°，若添加一个条件使得 AB∥CD，请写出一个符合要求的条件： ∠ CGM ＝ 42 ° （答案不唯一）
，并说明理由．【分析】根据垂直定义求出∠EFN＝90°，根据角的和差求出∠BFN＝42°＝∠CGM，根据“内错角相
等，两直线平行”即可得解．
【解答】解：符合要求的条件有∠CGM＝42°，
因为EF⊥MN，
所以∠EFN＝90°，
所以∠BFN＝∠EFN﹣∠BFE＝42°，
所以∠CGM＝∠BFN，
所以AB∥CD，
故答案为：∠CGM＝42° （答案不唯一）．
5．（2024秋•北京校级期末）已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1
＝∠3．试说明：AB∥DC．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由）
解：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
1 1
∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ADC （ 角平分线的定义 ），
2 2
∵∠ABC＝∠ADC （ 已知 ），
∴∠ 1 ＝∠ 2 （等量代换）．
∵∠1＝∠3 （ 已知 ），
∴∠2＝∠ 3 （ 等量代换 ）．
∴ AB ∥ DC （ 内错角相等，两直线平行 ）．
1 1
【分析】首先根据角平分线定义可得∠1= ∠ABC，∠2= ∠ADC，根据等式的性质可得∠1＝∠2，再
2 2
由条件∠1＝∠3可得∠2＝∠3，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD．
【解答】证明：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，（已知）1 1
∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ADC （角平分线定义）
2 2
又∵∠ABC＝∠ADC（已知）
∴∠1＝∠2（等量代换），
又∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AB∥DC （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；AB，DC，内错角相等，两直线平行．
6．（2024春•防城港期末）已知：如图，EF⊥FG，垂足为F，且点F在直线CD上，FE与直线AB相交于
点H，∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．（请完成下面的证明过程）
证明：∵EF⊥FG（已知），
∴∠EFG＝ 9 0 °（垂直的定义），
即∠EFD+ ∠ 2 ＝90°．
又∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠EFD＝ ∠ 1 （ 同角的余角相等 ），
∴AB∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据垂线定义得出∠EFG＝90°，根据余角性质得出∠EFD＝∠1，根据平行线的判定，得出结
论即可．
【解答】证明：∵EF⊥FG（已知），
∴∠EFG＝90°（垂直的定义），
即∠EFD+∠2＝90°，
又∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠EFD＝∠1（同角的余角相等），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：90；∠2；∠1；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行．
7．（2024春•德城区期末）按要求完成下列证明：
已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°．求证：DE∥BC．
证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+ ∠ EDC ＝90°（ 垂直定义 ）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴ ∠ EDC ＝∠2（ 同角的余角相等 ）．
∴DE∥BC（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】直接利用平行线的判定方法结合垂直的定义分析得出答案．
【解答】证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+∠EDC＝90°（ 垂直定义）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠EDC＝∠2（ 同角的余角相等）．
∴DE∥BC（ 内错角相等，两直线平行）．
故答案为：∠EDC；垂直定义；∠EDC；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【考点4 证明两直线平行】
【必刷题】
1．（2023秋•神木市期末）如图，E，F分别是线段AC，AB上一点，点D在BC的延长线上，连接BE，
CF，ED，若∠1＝∠2，∠ABC＝∠ACB，∠EBD＝∠D，求证：FC∥ED．
【分析】根据角的和差关系可得∠EBD＝∠FCB，根据等量关系可得∠FCB＝∠D，再根据平行线的判
定即可求解．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EBD＝∠FCB，
∵∠EBD＝∠D，
∴∠FCB＝∠D，
∴FC∥ED．
2．（2024春•商南县期末）如图，已知点A在射线BG上，∠1+∠3＝180°，∠1＝∠2，∠EAB＝∠BCD，
说明EF与CD平行的理由．
【分析】先根据∠1+∠3＝180°得出BG∥EF，再由∠1＝∠2得出AE∥BC，故可得出∠EAB+∠2＝
180°，再由∠EAB＝∠BCD可知∠BCD+∠2＝180°，故BG∥CD，据此可得出结论．
【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，
∴BG∥EF，
∵∠1＝∠2，
∴AE∥BC，
∴∠EAB+∠2＝180°，
∵∠EAB＝∠BCD，
∴∠BCD+∠2＝180°，
∴BG∥CD，
∴EF∥CD．
3．（2024秋•苍梧县期中）如图，已知点O在直线AB上，射线OD平分∠BOC，过点O作OE⊥OD，G
是射线OB上一点，连接DG，满足∠ODG+∠DOG＝90°．
（1）求证：∠AOE＝∠ODG；
（2）若∠ODG＝∠C，求证：CD∥OE．【分析】（1）由垂线的定义得出∠DOE＝90°，结合平角的定义得出∠AOE+∠DOG＝90°，结合
∠ODG+∠DOG＝90°即可得证；
（2）由角平分线的定义得出∠DOG＝∠COD，由垂线的定义得出∠DOE＝90°即∠COE+∠COD＝
90°，结合∠ODG+∠DOG＝90°得出∠ODG＝∠COE，从而得出∠C＝∠COE，即可得证．
【解答】证明：（1）∵OE⊥OD，
∴∠DOE＝90°，
∵∠DOE+∠AOE+∠DOG＝180°，
∴∠AOE+∠DOG＝90°，
∵DG⊥AB，
∴∠ODG+∠DOG＝90°，
∴∠AOE＝∠ODG；
（2）∵OD平分∠BOC，
1
∴∠DOG＝∠COD= ∠BOC，
2
∵OE⊥OD，
∴∠DOE＝90°，
∴∠COE+∠COD＝90°，
由（1）知，∠ODG+∠DOG＝90°，
∴∠ODG＝∠COE，
∵∠ODG＝∠C，
∴∠C＝∠COE，
∴CD∥OE．
4．（2024春•子洲县期末）如图，点D、F分别在△ABC的边AB、AC上，过点D作DE⊥BC于点E，过
点F作FG⊥BC于点G，点H在BD上，连接HE，∠1＝∠2，试说明HE∥AC．
【分析】根据DE⊥BC，FG⊥BC，证出∠BEH＝∠C，即可求解．
【解答】证明：∵DE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠DEB＝∠CGF＝90°，∴∠1+∠BEH＝∠2+∠C＝90°．
∵∠1＝∠2，
∴∠BEH＝∠C，
∴HE∥AC．
5．（2024秋•兴庆区校级期末）如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上
一点，连接OF．
（1）求证：OC⊥OD；
（2）若∠D与∠1互余，求证：ED∥AB．
【分析】（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明；
（2）利用∠COD＝90°，结合已知求得∠D＝∠BOC，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明．
【解答】（1）证明：∵OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，
1 1
∴∠COF= ∠AOF，∠DOF= ∠BOF，
2 2
1
∴∠COD=∠COF+∠DOF= (∠AOF+∠BOF)=90°，
2
∴OC⊥OD；
（2）证明：∵∠COD＝90°，
∴∠1+∠BOD＝90°，
∵∠D与∠1互余，
∴∠1+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BOD，
∴ED∥AB．
6．（2023秋•神木市期末）如图，点E、F分别在CD、AB上，连接BE、CF、DF，BE⊥DF于点G，∠C
＝∠1．
（1）求∠CFD的度数；
（2）若∠2+∠D＝90°，求证：AB∥CD．【分析】（1）根据垂直的定义和直角三角形的性质得到∠1+∠D＝90°，通过等量代换求出∠CFD＝
90°；
（2）根据同角的余角相等得到∠2＝∠C，即可证明AB∥CD．
【解答】（1）解：∵BE⊥DF，
∴∠EGD＝90°，
∴∠1+∠D＝90°，
∵∠C＝∠1，
∴∠C+∠D＝90°，
∴∠CFD＝90°；
（2）证明：由（1）可知：∠C+∠D＝90°，
∵∠2+∠D＝90°，
∴∠C＝∠2，
∴AB∥CD．
7．（2024秋•海城市期中）如图所示，在四边形ABCD中，已知∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC交CD于
点E，DF平分∠ADC交AB于点F．
（1）求证：∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）求证：BE∥DF．
【分析】（1）根据四边形的内角和是360°及∠A＝∠C＝90°即可求出；
（2）由（1）及角平分线的定义证明出∠1+∠3＝90°，再根据∠5+∠3＝90°及余角的性质得出∠1＝∠5
即可证平行．
【解答】证明：（1）四边形ABCD中，∠A+∠C+∠ABC+∠ADC＝360°，∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°﹣90°＝180°．
（2）∵BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵△ADF中∠5+∠3＝90°，
∴∠1＝∠5，
∴BE∥DF．
【考点5 平行线性质的应用】
【知识梳理】
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
【必刷题】
1．（2024秋•武侯区期末）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，AG⊥EF于点G．若
∠A＝54°，则∠1的度数是（ ）
A．36° B．54° C．126° D．144°
【分析】由直角三角形的性质求出∠AEG＝36°，由平行线的性质推出∠EFD＝∠AEG＝36°，由邻补角
的性质得到∠1＝144°．
【解答】解：∵AG⊥EF，
∴∠AGE＝90°，
∴∠AEG＝90°﹣∠A＝90°﹣54°＝36°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD＝∠AEG＝36°，
∴∠1＝180°﹣∠EFD＝144°．
故选：D．
2．（2024秋•成华区期末）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中∠A＝45°，∠F＝60°，点E在CB的延长线上，点D在AB上．若DF∥CE，则∠EDB的度数为 ．
【分析】求出∠ABC＝90°﹣45°＝45°，由平行线的性质推出∠BDF＝∠ABC＝45°，求出∠EDF＝90°﹣
60°＝30°，即可得到∠EDB的度数．
【解答】解：∵∠A＝45°，∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣45°＝45°，
∵DF∥CE，
∴∠BDF＝∠ABC＝45°，
∵∠F＝60°，∠DEF＝90°，
∴∠EDF＝90°﹣60°＝30°，
∴∠EDB＝∠BDF﹣∠EDF＝15°．
故答案为：15°．
3．（2024秋•榕城区期末）如图，AB∥CD，BD平分∠ABC，CA平分∠BCD．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若∠A＝2∠D，求∠A的度数．
1
【分析】（1）由平行线的性质推出∠ABC+∠BCD＝180°，由角平分线定义得到∠CBE+∠BCE=
2
（∠ABC+∠BCD）＝90°，因此∠BEC＝90°，即可证明AC⊥BD；
（2）由平行线的性质推出∠ABE＝∠D，由垂直的定义得到∠A+∠ABE＝90°，而∠A＝2∠D，得到
2∠D+∠D＝90°，求出∠D＝30°，因此∠A＝2×30°＝60°．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵BD平分∠ABC，CA平分∠BCD，1 1
∴∠CBE= ∠ABC，∠BCE= ∠BCD，
2 2
1 1
∴∠CBE+∠BCE= （∠ABC+∠BCD）= ×180°＝90°，
2 2
∴∠BEC＝90°，
∴AC⊥BD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠D，
∵AC⊥BD，
∴∠A+∠ABE＝90°，
∵∠A＝2∠D，
∴2∠D+∠D＝90°，
∴∠D＝30°，
∴∠A＝2×30°＝60°．
4．（2023秋•薛城区月考）已知：如图，直线AB∥CD∥EF，根据图形直接写出∠ABD、∠BDE、∠DEF
之间满足的等量关系并说明理由．
【分析】由平行线的性质推出∠ABD+∠CDB＝180°，∠DEF＝∠CDE，得到∠CDB＝180°﹣∠ABD，
即可推出∠ABD+∠DEF﹣∠BDE＝180°．
【解答】解：∠ABD+∠DEF﹣∠BDE＝180°，理由如下：
∵AB∥CD∥EF，
∴∠ABD+∠CDB＝180°，∠DEF＝∠CDE，
∴∠CDB＝180°﹣∠ABD，
∵∠CDB+∠BDE＝∠CDE，
∴180°﹣∠ABD+∠BDE＝∠DEF，
∴∠ABD+∠DEF﹣∠BDE＝180°．
5．（2024春•丰满区期末）如图，AB∥CD∥EF，∠B＝40°，∠BCE＝15°，求∠CEF的度数．【分析】根据平行线的性质求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝40°，
∴∠BCD＝∠B＝40°，
∵∠BCE＝15°，
∴∠ECD＝∠BCD﹣∠BCE＝25°
∵CD∥EF，
∴∠CEF＝180°﹣∠ECD＝155°．
【考点6 平行线的判定与性质应用（补全推理过程）】
【必刷题】
1．（2024秋•巴彦县期末）阅读下列文字，并完成证明．
如图，直线AB上有两点G、K，直线CD上有一点H，点H、F、K三点共线，点E在直线AB和直线
CD之间，连接EG和EF，∠2＝∠3，∠1+∠4＝180°，求证：AB∥CD．
证明：∵∠2＝∠3（已知），
∴ GE ∥ HK （ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠1＝ ∠ AKH （ 两直线平行，同位角相等 ），
∵∠1+∠4＝180°（已知），
∴∠AKH+ ∠ 4 ＝180°（ 等量代换 ），
∴AB∥CD （ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
【分析】根据平行线的判定与性质求证即可．
【解答】证明：∵∠2＝∠3（已知），
∴GE∥HK（内错角相等，两直线平行），∴∠1＝∠AKH（两直线平行，同位角相等），
∵∠1+∠4＝180°（已知），
∴∠AKH+∠4＝180°（等量代换），
∴AB∥CD （同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：GE；HK；内错角相等，两直线平行；∠AKH；两直线平行，同位角相等；∠4；等量代
换；同旁内角互补，两直线平行．
2．（2024秋•海口期末）如图，四边形ABCD中，F为CD上一点，连接AF并延长，交BC的延长线于点
E，连接AC．若∠B＝∠DCE，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
（1）试说明AB∥CD；
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）∠ACD与∠E相等吗？请说明理由．
注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题
过程．
解：（1）∵∠B＝∠DCE，（已知）
∴AB∥CD．（ 同位角相等，两直线平行 ）
（2）AD与BC的位置关系是：AD∥BC，理由如下：
∵AB∥CD，（已知）
∴∠4＝∠ BAE .（ 两直线平行，同位角相等 ）
∵∠3＝∠4，（已知）
∴∠3＝∠ BAE .（ 等量代换 ）
∵∠1＝∠2，（已知）
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF，
即∠ BAE ＝∠ CAD ，
∴∠3＝∠ CAD .（等量代换）
∴AD∥BC．（ 内错角相等，两直线平行 ）
（3） ∵ AB ∥ CD ，
∴∠ 1 ＝∠ ACD ．
∵ AD ∥ BC ，
∴∠ 2 ＝∠ E ．
∵∠ 1 ＝∠ 2 ，
∴∠ ACD ＝∠ E ． ．【分析】（1）根据平行线的判定定理求解即可；
（2）根据平行线的判定定理与性质定理求解即可；
（3）根据平行线的性质定理求解即可．
【解答】解：（1）∵∠B＝∠DCE，（已知）
∴AB∥CD．（同位角相等，两直线平行），
故答案为：同位角相等，两直线平行；
（2）AD与BC的位置关系是：AD∥BC，理由如下：
∵AB∥CD，（已知）
∴∠4＝∠BAE，（两直线平行，同位角相等）
∵∠3＝∠4，（已知）
∴∠3＝∠BAE．（等量代换）
∵∠＝∠2，（已知）
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF．
即∠BAE＝∠CAD，
∴∠3＝∠CAD，（等量代换）
∴AD∥BC．（内错角相等，两直线平行）
故答案为：BAE；两直线平行，同位角相等；BAE；等量代换；BAE；CAD；CAD；内错角相等，两直
线平行；
（3）∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ACD．
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠E．
∵∠1＝∠2，
∴∠ACD＝∠E．
3．（2024秋•金凤区校级期末）如图，AB∥DC，∠1＝∠B，∠2＝∠3．
证明：（1）ED∥BC；（2）AD∥EC．
请根据解答过程，在横线上填出数学式，在括号内填写相应理由．
证明：（1）∵AB∥DC，（已知）
∴∠1＝ ∠ AED ．（ 两直线平行，内错角相等 ）
又∵∠1＝∠B，（已知）
∴∠B＝ ∠ AED ．（ 等量代换 ）
∴ED∥BC．（ 同位角相等，两直线平行 ）
（2）∵ED∥BC，（已知）
∴∠3＝ ∠ CED ．（ 两直线平行，内错角相等 ）
又∵∠2＝∠3，（已知）
∴∠2＝∠ CED ．（ 等量代换 ）
∴AD∥EC．（ 内错角相等，两直线平行 ）
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠1＝∠AED，等量代换求出∠B＝∠AED，再根据平行线的判定
得出结论；
（2）根据平行线的性质得到∠3＝∠CED，等量代换求出∠2＝∠CED，再根据平行线的判定得出结
论．
【解答】证明：（1）∵AB∥DC，（ 已知 ）
∴∠1＝∠AED．（两直线平行，内错角相等）
又∵∠1＝∠B，（ 已知 ）
∴∠B＝∠AED，（等量代换）
∴ED∥BC．（同位角相等，两直线平行）
故答案为：∠AED；两直线平行，内错角相等；∠AED；等量代换；同位角相等，两直线平行；
（2）∵ED∥BC，（ 已知 ）
∴∠3＝∠CED．（两直线平行，内错角相等）
又∵∠2＝∠3，（ 已知 ）∴∠2＝∠CED．（等量代换）
∴AD∥EC．（内错角相等，两直线平行）
故答案为：∠CED；两直线平行，内错角相等；CED；等量代换；内错角相等，两直线平行．
4．（2024秋•朝阳区校级期末）补全推理过程：
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，过点D作直线DG交AC于点
G，交EF的延长线于点H，∠B＝50°，∠1+∠2＝180°．求∠H的度数．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知）
∴AD∥EF．（ 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 ）
∴∠2+∠EAD＝180°．（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∵∠1+∠2＝180°，（已知）
∴∠1＝∠ EAD ．（同角的补角相等）
∴AE∥HG．（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠B＝∠BDH．（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠B＝50°，（已知）
∴∠BDH＝50°．（等量代换）
∵AD⊥BC，（已知）
∴∠ADB＝90°．（ 垂直的定义 ）
∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义）
∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质）
∵AD∥EF，（已证）
∴∠H＝∠1＝ 4 0 °．（ 两直线平行，同位角相等 ）
【分析】先证明 AD∥EF，得∠2+∠EAD＝180°，进而证明∠1＝∠EAD，得 AE∥HG，则∠B＝
∠BDH，再求出∠1＝40°，然后由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知）
∴AD∥EF．（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）∴∠2+∠EAD＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠1+∠2＝180°，（已知）
∴∠1＝∠EAD．（同角的补角相等）
∴AE∥HG．（内错角相等，两直线平行）
∴∠B＝∠BDH．（两直线平行，内错角相等）
∵∠B＝50°，（已知）
∴∠BDH＝50°．（等量代换）
∵AD⊥BC，（已知）
∴∠ADB＝90°．（垂直的定义）
∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义）
∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质）
∵AD∥EF，（已证）
∴∠H＝∠1＝40°．（两直线平行，同位角相等）
故答案为：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；EAD；内
错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；40，两直线平行，同位角相等．
5．（2024秋•玄武区校级月考）如图，在△ABC中，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，DM∥BC，
∠1＝∠2．试说明：DM∥FG．请将说明过程补充完整，并在括号内填写说理的依据．
理由如下：因为BD⊥AC（已知），
所以∠BDC＝90°（ 垂直定义 ）．
同理，得∠EFC＝90°，
所以∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
所以BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
所以 ∠ 1 ＝∠ GFE （ 两直线平行，同位角相等 ）．
又∠1＝∠2（已知）．
所以 ∠ 2 ＝∠ GFE （等量代换）．
所以BC∥FG （ 内错角相等，两直线平行 ）．
所以∠ABC＝∠AGF（两直线平行，同位角相等）．
又 DM ∥ BC （已知），
所以∠AMD＝∠ABC（两直线平行，同位角相等）．
即∠AMD＝∠AGF（等量代质）．
所以DM∥FG（ 同位角相等，两直线平行 ）．【分析】根据垂直定义可得∠BDC＝∠EFC＝90°，从而可得BD∥EF，再利用平行线的性质可得∠1＝
∠GFE，从而可得∠2＝∠GFE，然后利用内错角相等，两直线平行可得 BC∥FG，再利用平行线的性
质可得∠ABC＝∠AGF，∠AMD＝∠ABC，从而可得∠AMD＝∠AGF，最后利用同位角相等，两直线平
行可得DM∥FG，即可解答．
【解答】解：因为BD⊥AC（已知），
所以∠BDC＝90°（垂直定义）．
同理，得∠EFC＝90°，
所以∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
所以BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
所以∠1＝∠GFE（两直线平行，同位角相等）．
又∠1＝∠2（已知）．
所以∠2＝∠GFE（等量代换）．
所以BC∥FG （内错角相等，两直线平行）．
所以∠ABC＝∠AGF（两直线平行，同位角相等）．
又DM∥BC（已知），
所以∠AMD＝∠ABC（两直线平行，同位角相等）．
即∠AMD＝∠AGF（等量代质）．
所以DM∥FG（同位角相等，两直线平行），
故答案为：垂直定义；∠1＝∠GFE；两直线平行，同位角相等；∠2＝∠GFE；内错角相等，两直线平
行；DM∥BC；同位角相等，两直线平行．
【考点7 平行线的判定与性质应用（证明）】
【必刷题】
1．（2024秋•道里区校级期中）如图，在三角形ABC中，点E、点G分别是边AB、AC上的点，点F、点
D是边BC上的点，连接EF、AD和DG，DG是∠ADC的角平分线，若∠1+∠2＝180°，AB∥DG，∠2＝145°，求∠EFC的度数．
【分析】由两直线平行，内错角相等得出∠1＝∠BAD，再根据题意可得出∠BAD+∠2＝180°，最后根
据同旁内角互补，两直线平行，即可得出AD∥EF，根据题意可求出∠1的大小，再根据角平分线的定
义，得出∠ADC＝2∠1，最后根据两直线平行，同位角相等，即可求出∠EFC的大小．
【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝145°，
∴∠1＝180﹣145°＝35°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠ADC＝2∠1＝70°，
∵AB∥DG，
∴∠1＝∠BAD，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠BAD+∠2＝180°，
∴AD∥EF，
∴∠EFC＝∠ADC＝70°．
2．（2024秋•即墨区期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，
∠C＝∠1，∠2＝∠3．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠D＝47°，∠EMF＝80°，求∠AEP的度数．
【分析】（1）根据内错角相等两直线平行进行判断即可；
（2）先求出∠BEC的度数，根据对顶角相等得到∠AEP的度数即可．
【解答】（1）证明：∵∠2＝∠3，∴CE∥NF，
∴∠C＝∠FND，
又∵∠C＝∠1，
∴∠FND＝∠1，
∴AB∥CD．
（2）解：∵∠D＝47°，AB∥CD，∠EMF＝80°，
∴∠BED＝∠D＝47°，∠2＝EMF＝∠3＝80°，
∴∠BEC＝80°+47°＝127°，
∴∠AEP＝∠BEC＝127°．
3．（2023秋•梅县区期末）如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．
（1）求证：EF∥BH；
（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．
【分析】（1）要证明EF∥BH，可通过∠E与∠EBH互补求得，利用平行线的性质说明∠EBH＝
∠CHB可得结论．
（2）要求∠CHO的度数，可通过平角和∠FHC求得，利用（1）的结论及角平分线的性质求出∠FHB
及∠BHC的度数即可．
【解答】证明：（1）∵∠HCO＝∠EBC，
∴EB∥HC．
∴∠EBH＝∠CHB．
∵∠BHC+∠BEF＝180°，
∴∠EBH+∠BEF＝180°．
∴EF∥BH．
（2）解：∵∠HCO＝∠EBC，
∴∠HCO＝∠EBC＝64°，
∵BH平分∠EBO，1
∴∠EBH＝∠CHB= ∠EBC＝32°．
2
∵EF⊥AO于F，EF∥BH，
∴∠BHA＝90°．
∴∠FHC＝∠BHA+∠CHB＝122°．
∵∠CHO＝180°﹣∠FHC
＝180°﹣122°
＝58°．
4．（2023秋•鼓楼区校级期末）如图，已知∠1＝∠3，∠2＝∠B．
（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若DE平分∠ADC，∠1＝3∠B，求∠EFC的度数．
【分析】（1）根据已知条件判定AB∥EF，再结合平行线的性质可得∠ADE＝∠B，从而判定出最终结
论．
（2）设∠B＝x，结合已知条件，分别把∠1，∠ADE，∠ADC表示出来，根据∠ADB是平角列出方
程，求出x的值，进而求出∠EFC的度数．
【解答】解：（1）DE∥BC，理由如下：
∵∠1＝∠3，
∴AB∥EF，
∴∠2＝∠ADE，
∵∠2＝∠B，
∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC
（2）设∠B＝x，则∠1＝3∠B＝3x，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝x，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠ADE＝2x，
∴∠BDC+∠ADC=180°
∴3x+2x=180°
∴x＝36°，
∴∠ADC＝2x＝72°，
∵AB∥EF，
∴∠EFC＝∠ADC＝72°
5．（2023秋•磁县期末）如图，已知∠DAE+∠CBF＝180°，CE平分∠BCD，∠BCD＝2∠E．
（1）求证：AD∥BC；
（2）CD与EF平行吗？写出证明过程；
（3）若DF平分∠ADC，求证：CE⊥DF．
【分析】（1）根据同角的补角相等，即可得到∠CBF＝∠DAB，进而得到AD∥BC；
（2）依据∠BCD＝2∠DCE，∠BCD＝2∠E，即可得出∠E＝∠DCE，进而判定CD∥EF；
（3）依据AD∥BC，可得∠ADC+∠DCB＝180°，进而得到∠COD＝90°，即可得出CE⊥DF．
【解答】解：（1）∵∠DAE+∠CBF＝180°，∠DAE+∠DAB＝180°，
∴∠CBF＝∠DAB，
∴AD∥BC；
（2）CD与EF平行．
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠DCE，
又∵∠BCD＝2∠E，
∴∠E＝∠DCE，∴CD∥EF；
（3）∵DF平分∠ADC，
1
∴∠CDF= ∠ADC，
2
∵∠BCD＝2∠DCE，
1
∴∠DCE= ∠DCB，
2
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠DCB＝180°，
1
∴∠CDF+∠DCE= （∠ADC+∠DCB）＝90°，
2
∴∠COD＝90°，
∴CE⊥DF．
【考点8 利用平行线的性质探究角之间的关系】
【必刷题】
1．（2024秋•朝阳区校级期末）如图，若AB∥CD，则∠B、∠C、∠E三者之间的关系是（ ）
A．∠B+∠C+∠E＝180° B．∠B+∠E﹣∠C＝180°
C．∠B+∠C﹣∠E＝180° D．∠C+∠E﹣∠B＝180°
【分析】过点E作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠1，两直线平行，内错角相等表
示出∠2，再根据∠E＝∠1+∠2整理即可得解．
【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，
则∠1＝180°﹣∠B，
∵AB∥CD，∴EF∥CD，
∴∠2＝∠C，
∵∠1+∠2＝∠E，
∴180°﹣∠B+∠C＝∠E，
∴∠B+∠E﹣∠C＝180°．
故选：B．
2 2
2．（2024秋•徐州校级期末）如图，AB∥CD，∠ABF= ∠ABE，∠CDF= ∠CDE，DQ，BQ分别
3 3
3
平分∠GDE和∠HBE，则∠DFB，∠DQB满足的数量关系为： ∠DQB+ ∠DFB=180° ．
4
【分析】根据拐角∠F和∠Q的特性，作FT∥CD，QK∥AB，根据两直线平行内错角相等分别推出四个
角∠DFT，∠TFB，∠DQK，∠KQB对应的相等角，再根据平角的定义和角平分线的定义推出∠DFB，
∠DBQ两者的数量关系．
【解答】解：过点F作FT∥CD，过点Q作QK∥AB
∵AB∥CD，
∴CD∥FT∥QK∥AB，
∴∠DFT＝∠CDF，∠TFB＝∠ABF，∠DQK＝∠GDQ，∠KQB＝∠QBH，
∴∠DFB＝∠DFT+∠TFB＝∠CDF+∠ABF∠DQB＝∠DQK+∠KQB＝∠GDQ+∠QBH，
2 2
∵∠ABF= ∠ABE∠CDF= ∠CDE，
3 32 2 2
∴∠DFB=∠CDF+∠ABF= ∠CDE+ ∠ABE= (∠CDE+∠ABE)，
3 3 3
3
∴ ∠DFB=∠CDE+∠ABE，
2
∵DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE，
1 1 1
∴∠DQB=∠GDQ+∠QBH= ∠GDE+ ∠HBE= (∠GDE+∠HBE)，
2 2 2
∵∠GDE+∠CDE＝180°，∠HBE+∠ABE＝180°，
1
∴∠DQB= (180°−∠CDE+180°−∠ABE)，
2
1 1 3
∴∠DQB=180°− (∠CDE+∠ABE)∴∠DQB=180°− × ∠DFB，
2 2 2
3
∴∠DQB+ ∠DFB=180°，
4
3
故答案为：∠DQB+ ∠DFB=180°．
4
3．（2024秋•朝阳区校级期末）已知，直线AB∥DC，点P为平面内一点，连接AP与CP．
（1）如图1，当点P在直线AB，CD之间，且∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，则∠APC＝ 8 0 °．
（2）如图2，当点P在直线AB，CD之间，且∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与
∠APC之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当点P在CD下方时，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点 K（K在CD下方），且
∠BAP＝ ，∠DCP＝ ，直接写出∠K的大小（用含 和 的代数式表示）．
α β α β
【分析】（1）过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据
∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP进行计算即可；
（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，得到∠AKC＝
∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得到
结果；（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，进而得到∠AKC＝
∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根据角平分线的定义，得
到结果．
【解答】解：（1）如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°，
故答案为：80；
1
（2）∠AKC= ∠APC，
2
理由：如图2，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，
∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
1 1 1 1
∴∠BAK+∠DCK= ∠BAP+ ∠DCP= （∠BAP+∠DCP）= ∠APC，
2 2 2 2
1
∴∠AKC= ∠APC；
2
（3）如图3，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，
∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
1 1 1 1
∴∠BAK﹣∠DCK= ∠BAP− ∠DCP= （∠BAP﹣∠DCP）= （ ﹣ ），
2 2 2 2
α β
1 1
∴∠AKC= − ．
2 2
α β
4．（2024春•建华区校级期中）如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．
（1）请直接写出∠AEP、∠CFP和∠EPF的数量关系；
（2）在图2中，∠BEP的平分线与∠DFP的平分线交于点Q，试探索∠EQF与∠EPF之间的关系，并
证明你的结论；
1
（3）在（2）的条件下，已知∠BEP和∠DFP均为钝角，点G在直线AB、CD之间，且满足∠BEG=
n
1
∠BEP，∠DFG= ∠DFP，（其中n为常数且n＞1），请直接写出∠EGF与∠EPF的数量关系．
n
【分析】（1）过点P作AB的平行线，利用平行线的性质即可解决问题．
（2）分别过点P和点Q作AB的平行线，再结合平行线的性质即可解决问题．
（3）仿照（2）中的解题过程即可解决问题．
【解答】解：（1）∠AEP+∠CFP＝∠EPF．
过点P作PM∥AB，
∵AB∥PM，∴∠AEP＝∠EPM．
∵AB∥CD，AB∥PM，
∴CD∥PM，
∴∠CFP＝∠FPM．
又∵∠EPF＝∠EPM+∠FPM，
∴∠AEP+∠CFP＝∠EPM+∠FPM＝∠EPF．
（2）∠EPF+2∠EQF＝360°．
理由如下：
过点P作PI∥AB，过点Q作QH∥AB，
由（1）知，
∠EPF＝∠AEP+∠CFP．
同理可得，
∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ．
∵EQ平分∠BEP，
∴∠BEP＝2∠BEQ．
同理可得，
∠DFP＝2∠DFQ，
∴∠BEP+∠DFP＝2（∠BEQ+∠DFQ）＝2∠EQF．
∵∠AEP+∠BEP＝∠CFP+∠DFP＝180°，
∴∠AEP+∠BEP+∠CFP+∠DFP＝360°，
∴∠EPF+2∠EQF＝360°．
（3）∠EPF+n∠EGF＝360°．
由上述过程可知，
∠EPF＝∠AEP+∠CFP，
∠EGF＝∠BEG+∠DFG．
1 1
∵∠BEG= ∠BEP，∠DFG= ∠DFP，
n n1
∴∠EGF＝∠BEG+∠DFG= （∠BEP+∠DFP），
n
∴∠BEP+∠DFP＝n∠EGF．
∵∠AEP+∠BEP+∠CFP+∠DFP＝360°，
∴∠EPF+n∠EGF＝360°．
5．（2024春•江津区校级月考）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某
段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图 1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回
转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是
每秒4度，灯B转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：
1．
（1）填空：∠BAN＝ 6 0 °；
（2）若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯
的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前、若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交
PQ于点D、且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若
不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【分析】（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度数；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜30时，根据4t＝2×
（15+t），可得 t＝15；当30＜t＜75时，根据2（15+t）+（4t﹣180）＝180，可得t＝55；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝4t﹣120°，∠BCD＝120°﹣∠ACB＝2t﹣60°，即可得出
∠BAC：∠BCD＝2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，
1
∴∠BAN＝180°× =60°，
3
故答案为：60；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜45时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD
∴4t＝2×（15+t），
解得：t＝15；
②当45＜t＜75时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA，
∴∠PBD+∠CAN＝180°
∴2（15°+t）+（4t﹣180°）＝180°，
解得：t＝55；
综上所述，当t＝15秒或t＝55秒时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．
理由如下：
设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠MAC＝4t，∠MAB＝120°，
∴∠BAC＝4t﹣120°＝4（t﹣30°），又∵∠DBC＝2t，∠ABD＝120°，
∴∠ABC＝120°﹣2t，
∴∠BCA＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣2t，
又∵∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣60°＝2（t﹣30°），
∴∠BAC：∠BCD＝2：1，即∠BAC＝2∠BCD，
∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．
6．（2024春•银州区校级期末）【探究】
如图①，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则∠APC，∠A，∠C满足的数量关系是 ∠ APC ＝∠ A
﹣∠ C ；
【应用】
（1）如图②为北斗七星的位置图，如图③，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G．其中
BC，D三点在一条直线上，AB∥EF，则∠B，∠D，∠E满足的数量关系是 ∠ BDE + ∠ B ﹣∠ E ＝ 180 °
（2）如图④，在（1）问的条件下，延长AB到点M，延长FE到点N，过点B和点E分别作射线BP和
EP交于点P，使得BD平分∠MBP，EN平分∠DEP，若∠MBD＝25°，直接写出∠D﹣∠P的度数．
【分析】【探究】过点P作PH∥AB，则AB∥CD∥PH，进而得∠HPA＝180°﹣∠A，∠HPC＝180°﹣
∠C，再根据∠APC＝∠HPC﹣∠HPA即可得出∠APC，∠A，∠C满足的数量关系；
【应用】（1）过点D作DK∥AB，则AB∥DK∥EF，进而得∠BDK＝180°﹣∠B，∠EDK＝∠E，再根
据∠BDE＝∠BDK+∠EDK即可得出∠BDE，∠D，∠E满足的数量关系；
（2）过点 P作PT∥AB，根据∠MBD＝25°，BD平分∠MBP得∠MBP＝2∠MBD＝50°，∠ABD＝
155°，根据 EN 平分∠DEP 设∠DEN＝∠PEN＝ ，则∠DEF＝180°﹣ ，在（1）的条件下有
∠D+∠ABD﹣∠DEF＝180°，进而得∠D＝205°﹣ α，根据AB∥PT∥EF得α∠TPB＝180°﹣∠MBP＝
130°，∠TPE＝∠NEP＝ ，进而得∠BPE＝∠TPB﹣∠α TPE＝130°﹣ ，据此可得∠D﹣∠BPE的值．
【解答】解：【探究】过α点P作PH∥AB，如图①所示： α∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH，
∴∠A+∠HPA＝180°，∠C+∠HPC＝180°，
∴∠HPA＝180°﹣∠A，∠HPC＝180°﹣∠C，
∵∠APC＝∠HPC﹣∠HPA，
∴∠APC＝180°﹣∠C﹣（180°﹣∠A）＝∠A﹣∠C，
故答案为：∠APC＝∠A﹣∠C．
【应用】（1）过点D作DK∥AB，如图3所示：
∵AB∥EF，
∴AB∥DK∥EF，
∴∠B+∠BDK＝180°，∠EDK＝∠E，
∴∠BDK＝180°﹣∠B，
∵∠BDE＝∠BDK+∠EDK，
∴∠BDE＝180°﹣∠B+∠E，
∴∠BDE+∠B﹣∠E＝180°，
故答案为：∠BDE+∠B﹣∠E＝180°．
（2）∠D﹣∠BPE＝75°，理由如下：
过点P作PT∥AB，如图④所示：
∵∠MBD＝25°，BD平分∠MBP，∴∠MBP＝2∠MBD＝50°，∠ABD＝180°﹣∠MBD＝155°，
∵EN平分∠DEP，
∴设∠DEN＝∠PEN＝ ，则∠DEF＝180°﹣∠DEN＝180°﹣ ，
∵在（1）的条件下： α α
∴∠D+∠ABD﹣∠DEF＝180°，
∴∠D+155°﹣（180°﹣ ）＝180°，
∴∠D＝205°﹣ ， α
∵PT∥AB，AB∥α EF，
∴AB∥PT∥EF，
∴∠MBP+∠TPB＝180°，∠TPE＝∠NEP＝ ，
∴∠TPB＝180°﹣∠MBP＝180°﹣50°＝130°，α
∴∠BPE＝∠TPB﹣∠TPE＝130°﹣ ，
∴∠D﹣∠BPE＝205°﹣α﹣（130°﹣α）α ＝75°．
