文档内容
7.2 平行线【8 个必考点】
【人教版2024】
【考点1 平行线的定义及平面内两直线的位置关系的判定】.............................................................................1
【考点2 平行线的基本事实及其推论】.................................................................................................................2
【考点3 平行线的三种判定方法】..........................................................................................................................3
【考点4 证明两直线平行】......................................................................................................................................6
【考点5 平行线性质的应用】..................................................................................................................................8
【考点6 平行线的判定与性质应用（补全推理过程）】.....................................................................................9
【考点7 平行线的判定与性质应用（证明）】...................................................................................................13
【考点8 利用平行线的性质探究角之间的关系】...............................................................................................14
【考点1 平行线的定义及平面内两直线的位置关系的判定】
【知识梳理】
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
【必刷题】
1．（2024春•泰山区期中）在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c，b与c的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．重合 D．平行或相交
2．（2024春•东阿县校级月考）在下列4个判断中：
①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直
线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不
重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2024春•岷县校级月考）在同一平面内，直线L 与L 满足下列条件：
1 2
（1）L 与L 没有公共点，则L 与L ；
1 2 1 2（2）L 与L 有且只有一个公共点，则L 与L ；
1 2 1 2
（3）L 与L 有两个公共点，则L 与L ．
1 2 1 2
4．（2024春•银州区校级期末）如图所示，在∠AOB内有一点P．
（1）过P画l ∥OA；
1
（2）过P画l ∥OB；
2
（3）用量角器量一量l 与l 相交的角与∠O的大小有怎样关系？
1 2
【考点2 平行线的基本事实及其推论】
【知识梳理】
（1）平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【必刷题】
1．（2024春•枣阳市期末）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c
B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c
D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c
2．（2024春•博野县校级月考）如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是
m条和n条，则m+n的值为（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
3．（2024秋•道里区校级月考）下列说法中：
①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；②直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；
③过一点有且只有一条直线平行于已知直线；
④过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024春•康巴什期末）如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 ．
【考点3 平行线的三种判定方法】
【知识梳理】
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相
等，
两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，
两
直线平行．
（3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互
补，两直线平行．
注意：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
【必刷题】
1．（2024春•娄星区期末）如图，下面哪个条件不能判断EF∥DC的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠C
C．∠1+∠3＝180° D．∠3+∠C＝180°
2．（2024秋•康平县期末）如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件：①∠1＝∠3；②∠2+∠5＝180°；
③∠4＝∠B；④∠D+∠BCD＝180°．
其中能判断AD∥BC的是（ ）
A．①② B．①④ C．①③ D．②④
3．（2024秋•沈河区期末）如图，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，④∠2+∠5＝180°可以判定
b∥c的条件有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
4．（2024春•秦都区校级月考）如图，已知 AB、CD分别与MN交于点F、G，且EF⊥MN，∠BFE＝
48°，若添加一个条件使得AB∥CD，请写出一个符合要求的条件： ，并说明理由．
5．（2024秋•北京校级期末）已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1
＝∠3．试说明：AB∥DC．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由）
解：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
1 1
∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ADC （ ），
2 2
∵∠ABC＝∠ADC （ ），
∴∠ ＝∠ （等量代换）．
∵∠1＝∠3 （ ），∴∠2＝∠ 3 （ ）．
∴ ∥ （ ）．
6．（2024春•防城港期末）已知：如图，EF⊥FG，垂足为F，且点F在直线CD上，FE与直线AB相交于
点H，∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．（请完成下面的证明过程）
证明：∵EF⊥FG（已知），
∴∠EFG＝ °（垂直的定义），
即∠EFD+ ＝90°．
又∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠EFD＝ （ ），
∴AB∥CD（ ）．
7．（2024春•德城区期末）按要求完成下列证明：
已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°．
求证：DE∥BC．
证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+ ＝90°（ ）．
∵∠1+∠2＝90°（ ），
∴ ＝∠2（ ）．
∴DE∥BC（ ）．【考点4 证明两直线平行】
【必刷题】
1．（2023秋•神木市期末）如图，E，F分别是线段AC，AB上一点，点D在BC的延长线上，连接BE，
CF，ED，若∠1＝∠2，∠ABC＝∠ACB，∠EBD＝∠D，求证：FC∥ED．
2．（2024春•商南县期末）如图，已知点A在射线BG上，∠1+∠3＝180°，∠1＝∠2，∠EAB＝∠BCD，
说明EF与CD平行的理由．
3．（2024秋•苍梧县期中）如图，已知点O在直线AB上，射线OD平分∠BOC，过点O作OE⊥OD，G
是射线OB上一点，连接DG，满足∠ODG+∠DOG＝90°．
（1）求证：∠AOE＝∠ODG；
（2）若∠ODG＝∠C，求证：CD∥OE．4．（2024春•子洲县期末）如图，点D、F分别在△ABC的边AB、AC上，过点D作DE⊥BC于点E，过
点F作FG⊥BC于点G，点H在BD上，连接HE，∠1＝∠2，试说明HE∥AC．
5．（2024秋•兴庆区校级期末）如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上
一点，连接OF．
（1）求证：OC⊥OD；
（2）若∠D与∠1互余，求证：ED∥AB．
6．（2023秋•神木市期末）如图，点E、F分别在CD、AB上，连接BE、CF、DF，BE⊥DF于点G，∠C
＝∠1．
（1）求∠CFD的度数；
（2）若∠2+∠D＝90°，求证：AB∥CD．
7．（2024秋•海城市期中）如图所示，在四边形ABCD中，已知∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC交CD于
点E，DF平分∠ADC交AB于点F．
（1）求证：∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）求证：BE∥DF．【考点5 平行线性质的应用】
【知识梳理】
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
【必刷题】
1．（2024秋•武侯区期末）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，AG⊥EF于点G．若
∠A＝54°，则∠1的度数是（ ）
A．36° B．54° C．126° D．144°
2．（2024秋•成华区期末）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中∠A＝45°，∠F＝60°，点E在
CB的延长线上，点D在AB上．若DF∥CE，则∠EDB的度数为 ．
3．（2024秋•榕城区期末）如图，AB∥CD，BD平分∠ABC，CA平分∠BCD．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若∠A＝2∠D，求∠A的度数．4．（2023秋•薛城区月考）已知：如图，直线 AB∥CD∥EF，根据图形直接写出∠ABD、∠BDE、∠DEF
之间满足的等量关系并说明理由．
5．（2024春•丰满区期末）如图，AB∥CD∥EF，∠B＝40°，∠BCE＝15°，求∠CEF的度数．
【考点6 平行线的判定与性质应用（补全推理过程）】
【必刷题】
1．（2024秋•巴彦县期末）阅读下列文字，并完成证明．
如图，直线AB上有两点G、K，直线CD上有一点H，点H、F、K三点共线，点E在直线AB和直线
CD之间，连接EG和EF，∠2＝∠3，∠1+∠4＝180°，求证：AB∥CD．
证明：∵∠2＝∠3（已知），
∴ ∥ （ ），
∴∠1＝ （ ），
∵∠1+∠4＝180°（已知），
∴∠AKH+ ＝180°（ ），
∴AB∥CD （ ）．2．（2024秋•海口期末）如图，四边形ABCD中，F为CD上一点，连接AF并延长，交BC的延长线于点
E，连接AC．若∠B＝∠DCE，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
（1）试说明AB∥CD；
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）∠ACD与∠E相等吗？请说明理由．
注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题
过程．
解：（1）∵∠B＝∠DCE，（已知）
∴AB∥CD．（ ）
（2）AD与BC的位置关系是：AD∥BC，理由如下：
∵AB∥CD，（已知）
∴∠4＝∠ .（ ）
∵∠3＝∠4，（已知）
∴∠3＝∠ .（ ）
∵∠1＝∠2，（已知）
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF，
即∠ ＝∠ ，
∴∠3＝∠ .（等量代换）
∴AD∥BC．（ ）
（3） ．
3．（2024秋•金凤区校级期末）如图，AB∥DC，∠1＝∠B，∠2＝∠3．
证明：（1）ED∥BC；（2）AD∥EC．
请根据解答过程，在横线上填出数学式，在括号内填写相应理由．
证明：（1）∵AB∥DC，（已知）
∴∠1＝ ．（ ）
又∵∠1＝∠B，（已知）
∴∠B＝ ．（ ）
∴ED∥BC．（ ）
（2）∵ED∥BC，（已知）
∴∠3＝ ．（ ）
又∵∠2＝∠3，（已知）
∴∠2＝∠ ．（ ）
∴AD∥EC．（ ）
4．（2024秋•朝阳区校级期末）补全推理过程：
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，过点D作直线DG交AC于点
G，交EF的延长线于点H，∠B＝50°，∠1+∠2＝180°．求∠H的度数．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知）
∴AD∥EF．（ ）
∴∠2+∠EAD＝180°．（ ）
∵∠1+∠2＝180°，（已知）
∴∠1＝∠ ．（同角的补角相等）
∴AE∥HG．（ ）
∴∠B＝∠BDH．（ ）
∵∠B＝50°，（已知）
∴∠BDH＝50°．（等量代换）
∵AD⊥BC，（已知）∴∠ADB＝90°．（ ）
∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义）
∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质）
∵AD∥EF，（已证）
∴∠H＝∠1＝ °．（ ）
5．（2024秋•玄武区校级月考）如图，在△ABC中，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，DM∥BC，
∠1＝∠2．试说明：DM∥FG．请将说明过程补充完整，并在括号内填写说理的依据．
理由如下：因为BD⊥AC（已知），
所以∠BDC＝90°（ ）．
同理，得∠EFC＝90°，
所以∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
所以BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
所以 （ ）．
又∠1＝∠2（已知）．
所以 （等量代换）．
所以BC∥FG （ ）．
所以∠ABC＝∠AGF（两直线平行，同位角相等）．
又 （已知），
所以∠AMD＝∠ABC（两直线平行，同位角相等）．
即∠AMD＝∠AGF（等量代质）．
所以DM∥FG（ ）．【考点7 平行线的判定与性质应用（证明）】
【必刷题】
1．（2024秋•道里区校级期中）如图，在三角形ABC中，点E、点G分别是边AB、AC上的点，点F、点
D是边BC上的点，连接EF、AD和DG，DG是∠ADC的角平分线，若∠1+∠2＝180°，AB∥DG，∠2
＝145°，求∠EFC的度数．
2．（2024秋•即墨区期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，
∠C＝∠1，∠2＝∠3．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠D＝47°，∠EMF＝80°，求∠AEP的度数．
3．（2023秋•梅县区期末）如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．
（1）求证：EF∥BH；
（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．4．（2023秋•鼓楼区校级期末）如图，已知∠1＝∠3，∠2＝∠B．
（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若DE平分∠ADC，∠1＝3∠B，求∠EFC的度数．
5．（2023秋•磁县期末）如图，已知∠DAE+∠CBF＝180°，CE平分∠BCD，∠BCD＝2∠E．
（1）求证：AD∥BC；
（2）CD与EF平行吗？写出证明过程；
（3）若DF平分∠ADC，求证：CE⊥DF．
【考点8 利用平行线的性质探究角之间的关系】
【必刷题】
1．（2024秋•朝阳区校级期末）如图，若AB∥CD，则∠B、∠C、∠E三者之间的关系是（ ）
A．∠B+∠C+∠E＝180° B．∠B+∠E﹣∠C＝180°
C．∠B+∠C﹣∠E＝180° D．∠C+∠E﹣∠B＝180°2 2
2．（2024秋•徐州校级期末）如图，AB∥CD，∠ABF= ∠ABE，∠CDF= ∠CDE，DQ，BQ分别
3 3
平分∠GDE和∠HBE，则∠DFB，∠DQB满足的数量关系为： ．
3．（2024秋•朝阳区校级期末）已知，直线AB∥DC，点P为平面内一点，连接AP与CP．
（1）如图 1，当点 P 在直线 AB，CD 之间，且∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，则∠APC＝
°．
（2）如图2，当点P在直线AB，CD之间，且∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与
∠APC之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当点P在CD下方时，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点 K（K在CD下方），且
∠BAP＝ ，∠DCP＝ ，直接写出∠K的大小（用含 和 的代数式表示）．
α β α β
4．（2024春•建华区校级期中）如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．
（1）请直接写出∠AEP、∠CFP和∠EPF的数量关系；
（2）在图2中，∠BEP的平分线与∠DFP的平分线交于点Q，试探索∠EQF与∠EPF之间的关系，并
证明你的结论；
1
（3）在（2）的条件下，已知∠BEP和∠DFP均为钝角，点G在直线AB、CD之间，且满足∠BEG=
n1
∠BEP，∠DFG= ∠DFP，（其中n为常数且n＞1），请直接写出∠EGF与∠EPF的数量关系．
n
5．（2024春•江津区校级月考）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某
段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图 1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回
转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是
每秒4度，灯B转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：
1．
（1）填空：∠BAN＝ °；
（2）若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯
的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前、若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交
PQ于点D、且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若
不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
6．（2024春•银州区校级期末）【探究】
如图①，若 AB∥CD，点 P 在 AB，CD 外部，则∠APC，∠A，∠C 满足的数量关系是
；
【应用】
（1）如图②为北斗七星的位置图，如图③，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G．其中
BC，D三点在一条直线上，AB∥EF，则∠B，∠D，∠E满足的数量关系是
（2）如图④，在（1）问的条件下，延长AB到点M，延长FE到点N，过点B和点E分别作射线BP和
EP交于点P，使得BD平分∠MBP，EN平分∠DEP，若∠MBD＝25°，直接写出∠D﹣∠P的度数．
