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第20 题 三次函数的零点问题（解透一题）
（2025 届重庆南开中学高三第一次质量检测多选题T11）
若函数
有三个零点
，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．若
成等差数列，则
D．若
成等比数列，则
试题问题背景是人教版教科书a 版必修2P81 页探究代数基本定理基础上，深入考察一元多
项式方程根与系数之间的关系. 代数基本定理是处理多项式函数的零点问题的重要方法，
注重知识的数学价值及应用功能，注重综合问题的分析及解决，体现了知识应用的融会贯
通.
【方法一】 代数基本定理+韦达定理
根据零点的性质，结合二次函数的两根式类比推理可得
，进
而得出三次方程的韦达定理进行研究.
因为函数
有三个零点
，
所以
，
变形为
，
比较可得
.
对于A:
因为
(等号不成立)
所以
，即
错误. 故A 错
对于B：
则
，
所以
，同理可求
，
，
那么
故B 对．
对于C：由
成等差数列可得
， 结合（1），则
代入（2），（3）有
故C 对．
对于D：
， 结合（1），（2）（3）消
有
，
故D 错．
答案选BC.
【方法二】导数法定零点个数
三次函数有三个零点的条件如下：
1.导函数的判别式：设关于x 的三次函数为
（这里取
），其定
义域为R，)f(x)的导函数为
，该导函数是一个二次函数，其判别式为
，三次函数有三个零点时，导函数的判别式必须大于零，即
.
2.极值点的函数值异号：如果一元三次函数有三个不同的零点，那么它的极大值和极小值
必须异号，也就是说，极大值为正，极小值为负.
以上两个条件是三次函数有三个零点的基本条件.需要注意的是，这些条件是在实数范围内
讨论的.
对于A：当
时，
，
在
上单调递增，
仅一
个零点．
本题貌似考察导数的问题，实质结合代数基本定理主要考查三次方程零点式及三次方程韦
达定理．
要求我们深挖教材.
设实系数一元二次方程
①，有两根
，
则方程可变形为
，展开得
②，
比较①②可以得到
这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次
项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二
次方程的韦达定理.
事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理.
设方程
有三个根
，则有
③
1．若二次函数
有两个零点
、
，则
，类比此，
若三次函数
有三个零点
、
、
，则
．
2．若实数系一元二次方程
在复数集
内的根为
，
，则有
，所以
，
(韦达定理)，类
比此方法求解如下问题：设实数系一元三次方程
在复数集
内的根为
，
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知三次函数
有三个不同的零点
，函数
也有三个零点
，则（ ）
A．
B．若
成等差数列，则
C．
D．
4．若
，
是函数
（
，
）的导函数的两个不同零点，
且
，
，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．4
5．函数
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数，
有同学发现可以将其推广为：函数
的图象关于点
成中心对称图形的充要条
件是函数
为奇函数．已知函数
．
(1)若函数
的对称中心为
，求函数
的解析式．
(2)由代数基本定理可以得到：任何一元
次复系数多项式
在复数集中可以分
解为n 个一次因式的乘积．进而，一元n 次多项式方程有n 个复数根（重根按重数计）．
如设实系数一元二次方程
，在复数集内的根为
，
，则方程
可变形为
，展开得：
则有
，即
，类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系
数的关系．
①若
，方程
在复数集内的根为
，当
时，求
的最大
值；
②若
，函数
的零点分别为
，求
的值.
6．阅读一元二次方程韦达定理的推导过程，完成下列问题:设一元二次方程
，则
，展
开得:
，比较系数得:
，于是
.
(1)已知一元三次方程
的三个根为
，类
比于上述推导过程，求
;
(2)已知
，若存在三个不相等的实数
，求
的取值范围.
