文档文本内容
6.3 空间几何中的垂直（精讲）
考向一 线面垂直
【例1-1】（2025 北京）如图，在四棱锥
中，底面ABCD 为正方形，侧面ADP 是正三角形，侧面
ADP⊥底面ABCD，M 是DP 的中点．证明：
平面CDP．
【答案】证明见解析
【解析】因为侧面ADP 为正三角形，且M 是DP 的中点，所以
，
又底面ABCD 为正方形，所以
．
因为平面
平面ABCD，且平面
平面
，
平面ABCD，
所以
平面ADP，
又
平面ADP，所以
，
因为
，且CD，
平面CDP，
所以
平面CDP．
【例1-2】（2025·湖南长沙）如图，在直三棱柱
中，
是四边
形
（不含边界）内的动点且
，求证：
平面
【答案】证明见解析；
【解析】因为
所以
，
所以
，所以
，
由三棱柱
是直三棱柱，得
平面
，又
平面
，所以
，
因为
，
平面
，
所以
平面
.
【例1-3】（24-25 河南焦作）如图，在三棱台
中，
平面
，
，
，
，点D 为
中点，点E 在
上，且
，证明：
平面
【答案】证明见解析
【解析】因为
平面
，
平面
，所以平面
平面
，
因为
，点D 为
中点，所以
，
因为平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
，所以
，故
，
因为
．所以
，所以
，
因为
，
，
平面
，所以
平面
.
【一隅三反】
1．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，侧面
是正三角形，
侧面
底面
，
是线段
的中点，
是线段
的中点．求证：
平面
．
【答案】证明见解析
【解析】利用面面垂直的性质定理得
平面
，再根据
，即可证明答案．
因为底面
为正方形，
所以
，
又因为平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面
，
又因为
是线段
的中点，
是线段
的中点，
所以
，
所以
平面
．
2．（2025 湖南）如图，在直四棱柱
中，底面
是菱形，
.证明：
平面
.
【答案】证明见解析
【解析】因为直四棱柱
中，
底面
，
底面
，
所以
，
因为菱形
，所以
，
，
平面
，
所以
平面
．
3．（2025 海南）已知三棱台
如图所示，其中
．
若直线
平面
，且
，求证：直线
平面
．
【答案】证明见解析
【解析】依题意，
，
，
，如图所示，延长三条侧棱交于点D；
由
可得，
，且
分别为线段DA，DB，DC 的中点，
取AB 的中点M，则
；
由
可得
，则
，
又
，
；
，则
，故
，
即
，而
，且
平面
，故
平面
，
又
平面
，故平面
平面
；
而直线
平面
，
，平面
平面
，
故直线
平面
；
4．（24-25 高三下·安徽合肥·阶段练习）如图，在三棱柱
中，
平面
，
，
，
，D 为棱
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)若E 为棱BC 的中点，求三棱锥
的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由题意可知在三棱柱
中，
，
，所以
为等边三角形，
所以
，
又
，
，故
，
可得
，因此
，
又因为
平面
，
平面
，所以
，即
，
又
，所以
平面
；
（2）由（1）可知
,由
平面
，
平面
，
所以
，则
为直角三角形，
由
平面
，
平面
，所以
，即
，
所以在
中，
,
则在
中，
,
所以
的面积为
.
连接
，因为
，
，所以
，
因为
平面
，所以
，即
两两垂直，
所以以
为原点，
所在直线分别为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
所以
，
设
是平面
的一个法向量，
则
，解得
，取
,
所以点
到平面
的距离
,
则三棱锥
的体积
.
考向二 面面垂直
【例2】（2025 高三·全国·专题练习）如图，点
为半圆O 圆弧上的两个三等分点，
，
，
E 为PD 的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)证明：平面
平面
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）如图①，取PA 的中点F，连接EF，BF，
又E 为PD 中点，则
，
，
因为B，C 为半圆O 圆弧上的两个三等分点，所以
，
，
所以
，
，所以四边形BCEF 为平行四边形，
所以
，
又
平面PAB，
平面
，
所以
平面PAB．
（2）如图②，连接OC，则
，
由（1）可得
，
，所以四边形
为菱形，则
，
由题意得
，
又
，
，AC，
平面
，
所以
平面PAC，
又
平面
，
所以
，
由E 为PD 的中点,O 为AD 的中点,得
，
又
，
∴
，
.
又
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
，
又
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
．
【一隅三反】
1．（2025 高三·全国·专题练习）在梯形ABCD 中，
，
，
，P 为AB 的
中点，线段AC 与DP 交于O 点（如图①）．将
沿AC 折起到
位置，使得
（如图②）．
证明：平面
平面ABC．
【答案】证明见解析
【解析】因为在梯形ABCD 中，
，
，
，P 为AB 的中点，
所以
是正三角形，且
，
，则四边形DPBC 为平行四边形，
所以
，所以
，所以
，所以O 为AC 的中点，
又因为
，所以
，又
，
，
平面ABC，
平面
，所以
平面ABC，
又因为
平面
，所以平面
平面ABC．
2．（2025 福建）如图，
为圆锥的顶点，
是圆锥底面的圆心，
是圆锥底面的内接正三角形，点
在
平面
内且
平面
，证明：
平面
．
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，连接
，连接
并延长交
于点
，
因为
是底面的内接正三角形，易得
为
的中点，
所以
，即
．
因为
为圆锥的顶点，
是圆锥底面的圆心，所以
平面
，
因为
平面
，所以
．
因为
平面
，所以
平面
．
因为
平面
，所以
．因为
平面
平面
，所以
．
因为
平面
，所以
平面
．
3．（2025 广东）如图，在四棱锥
中，平面
平面ABCD，
，
，
，
，
，点E 在棱PA 上，且
．证明：平面
平面DBE．
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为
，
，
所以
，所以
，即
．
因为
，
，所以
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
又
，AD，
平面
，所以
平面
．
如图，连接
，交
于
，连接
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，得
，
因为
，所以
，
所以
，
因为
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
．
考向三 线线垂直
【例3-1】（2025 湖北）已知三棱柱
中，上、下底面是边长为2 的正三角形，
为
的重心，
．求证：
．
【答案】证明见解析
【解析】如图所示，连接
并延长交
于
，连接
，
因为
为
的重心，所以
为
的中点，
在三棱柱
中，
因为
，
所以
，所以
，
因为
为
的中点，所以
，
又
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
，所以
．
【一隅三反】
1．（2025 高三·全国·专题练习）如图所示，已知
是矩形，且
平面
，下列结论中不正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
平面
，
平面
，
，
又
是矩形，所以
，
又
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，故A 正确；
同理可得
，可证
平面
，可得
，故B 正确；
又
平面
，所以
，故D 正确；
对于C，若
，又
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以
与题目矛盾，故C 错误.
故选：C.
2．（2025 赏析）如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，平面
平面
为
中点，
，证明：
．
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，记
与
交于点
，连接
．
因为
是平行四边形
对角线的交点，所以
为
的中点．
因为
，所以
．
因为
为
中点，所以
，又
，所以
．
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
，所以
．
因为
平面
平面
，所以
平面
．
因为
平面
，所以
．
3．（2025·山西太原）如图，在多面体
中，四边形
是边长为2 的菱形，且
，
平面
，平面
平面
，
是等边三角形，求证：
【答案】证明见解析
【解析】证明：设
是
的中点，连结
，
，
∵
平面
，∴
，
∵
是等边三角形，∴
，
∵平面
平面
，∴
平面
，
∴
，∴
，
，
，
共面，
∵四边形
边长为2 的菱形，
，
，
在
中，
，
∴
，∴
，
∵四边形
为菱形，∴
，∴
，
∵
，∴
平面
，∴
．
考向四 垂直中的动点
【例4】（2025 湖北）如图，在正四棱锥
中，
是
中点，
与底面所成角的正切值为
，请
在平面
中找一点
，使得
平面
.
【答案】
为
的四等分点
【解析】取
的中点
，如图，不妨设底面边长为4，取
中点
，
由题可知
平面
，
平面
，所以
，
又
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以平面
平面
，
又
平面
，所以
就是
与底面所成角，
则
，
即
，所以
为正三角形.
取
中点
，连接
，则
.
由平面
平面
，故有
平面
，
平移
到
，
.
由中位线定理得
，
所以
为
的四等分点.
【例4-2】（2025 高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱
中，侧棱长为4，
，
，点
是
的中点，
是侧面
（不含边界）上的动点．要使
平面
，则线段
的长的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】在直三棱柱
中，
平面
，
平面
，
∴
∵
，
是
的中点，∴
，
又
平面
，∴
平面
，
∵
平面
，∴
.
令
，
由
平面
，得
，
，即
，
在
中，
,
，得
∴
，则
，
.
当
两点重合时，线段
最长，
两点重合时，线段
最短，
所以
的取值范围是
.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2025 山东）如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
是直线
上一动点，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
在平面
内，
在平面
内，
将两个平面铺平后转化成平面上的问题解决，如图：
则
的最小值就是平面四边形
内
的长，
在直三棱柱
中，
平面
，
平面
，
，
，
，即
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
由余弦定理可得
.
故选：A.
2．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥
中，平面
底面
，侧棱
，
底面
为直角梯形，其中
，
为
中点，在平面
内找一点
，使得
平面
.
【答案】答案见解析
【解析】设
的中点为
，连接
，
因为平面
底面
，平面
底面
，
又
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
又
，
，所以
，
又
为
中点，
为
的中点，所以
，则
，
又
平面
，所以
平面
，
如图，平移线段
到
，则
即为所求，且
.
3．（2024·山西·模拟预测）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优
异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑
中，
底面
，若
为
的中点，
分别是
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)若
为线段
上的动点，探究平面
与平面
是否垂直，如果垂直请证明；如果不垂直，请说明理
由.
【答案】(1)证明见解析
(2)平面
与平面
垂直，证明见解析
【解析】（1）连接
，如图，
因为
分别是
的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）平面
与平面
垂直，证明如下：
因为
底面
，
底面
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
因为
为
的中点，所以
，
又
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
，
4．（2025 湖北）如图，正三棱柱
中，
，点
为
的中点.
(1)证明：平面
平面
(2)在棱
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【解析】（1）在正三棱柱
中，因为点
为
的中点，
则
，
又
平面
，
平面
，
则有
，
而
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
，
（2）在平面
内过点
作
交
于点
，
因为平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，则点
即为所要找的点，
如下图所示，因为
，
，
所以
与
相似，
因此
，
即有
，于是
，
，所以
.
考向五 垂直的判定定理及性质定理的辨析
【例5-1】（24-25 湖北）设a，b 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A．若
，
，
，则
B．若
，
，
， 则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，
，则
【答案】C
【解析】对于A，若
，
，
，则
，故A 正确；
对于B，若
，
，所以
，因为
，所以
，故B 正确；
对于C，若
，
，
，则
平行、相交或异面，故C 错误；
对于D，若
，则
，又
，
，则
，故D 正确.
故选：C.
【一隅三反】
1．（24-25 吉林 ）空间中有两个不同的平面
和两条不同的直线
，则下列说法中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】D
【解析】对于选项A：若
，则
平行、相交或异面均有可能，故A 错误；
对于选项B：若
，则
与
不一定垂直，且
，所以
与
不一定垂直，故B 错误；
对于选项C：若
，则可能有
或
，故C 错误；
对于选项D：若
，可知
，且
，所以
，故D 正确，
故选：D.
2．（2025·山东临沂·模拟预测）已知、
、
是直线，
是平面，且
，
，则“
，
”是
“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】由
得：
存在
，满足
，
若
，则直线垂直平面
中任意一条直线，
，
，
，
，
，
，
，
是否相交不确定，
不一定成立，
“
，
”是“
”的必要不充分条件．
故选：B
3．（2025·天津·二模）已知a，b 是两条直线，α，β 是两个平面．下列命题正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】B
【解析】对于A，若
，
，则
，即垂直于同一个平面的直线平行，故A 错误；
对于B，若
，设
，
，
，则
．
又
，则
．
因为
，
，则
，
所以
，故B 正确；
对于C，若
，
，则
，即垂直于同一直线的两个平面平行，故C 错误；
对于D，若
，
，则
，
或
，故D 错误．
故选：B．
