文档内容
★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 1 题★
1．（2024•重庆）在 中， ，点 是 边上一点（点 不与端点重合）．点 关于直线
的对称点为点 ，连接 ， ．在直线 上取一点 ，使 ，直线 与直线
交于点 ．
（1）如图1，若 ， ， ，求 的度数（用含 的代数式表示）；
（2）如图1，若 ， ，用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，若 ，点 从点 移动到点 的过程中，连接 ，当 为等腰三角形时，
请直接写出此时 的值．
第1页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 2 题★
2．（2024•成都）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后
将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片 和 中，
， ， ．
【初步感知】
（1）如图1，连接 ， ，在纸片 绕点 旋转过程中，试探究 的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片 绕点 旋转过程中，当点 恰好落在 的中线 的延长线上时，延长
交 于点 ，求 的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片 绕点 旋转过程中，试探究 ， ， 三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所
有直角三角形 的面积；若不能，请说明理由．
第2页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 3 题★
3．（2024•上海）在梯形 中， ，点 在边 上，且 ．
（1）如图1所示，点 在边 上，且 ，联结 ，求证： ；
（2）已知 ；
①如图2所示，联结 ，如果△ 外接圆的圆心恰好落在 的平分线上，求△ 的外接圆的半
径长；
②如图3所示，如果点 在边 上，联结 、 、 ， 与 交于 ．如果 ，
，且 ，求边 的长．
第3页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 4 题★
4．（2024•连云港）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形
面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转 （如图 ，这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面
积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边 、 、 、 之间存在某种数量关系．小昕按
所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点
为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将△ 绕点 逆时针旋转，他发现旋转过程中 存
在最大值．若 ， ，当 最大时，求 的长；
（4）如图6，在 △ 中， ，点 、 分别在边 和 上，连接 、 、 ．若
， ，求 的最小值．
第4页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 5 题★
5．（2024•广西）如图1， 中， ， ． 的垂直平分线分别交 ， 于点 ，
， 平分 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，将 绕点 逆时针旋转得到△ ，旋转角为 ．连接 ， ．
①求△ 面积的最大值及此时旋转角 的度数，并说明理由；
②当△ 是直角三角形时，请直接写出旋转角 的度数．
第5页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 6 题★
6．（2024•贵州）综合与探究：如图， ，点 在 的平分线上， 于点 ．
（1）【操作判断】
如图①，过点 作 于点 ，根据题意在图①中画出 ，图中 的度数为 度；
（2）【问题探究】
如图②，点 在线段 上，连接 ，过点 作 交射线 于点 ，求证： ；
（3）【拓展延伸】
点 在射线 上，连接 ，过点 作 交射线 于点 ，射线 与射线 相交于点 ，
若 ，求 的值．
第6页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 7 题★
7．（2024•江西）综合与实践
如图，在 △ 中，点 是斜边 上的动点（点 与点 不重合），连接 ，以 为直角边在
的右侧构造 △ ， ，连接 ， ．
特例感知
（1）如图1，当 时， 与 之间的位置关系是 ，数量关系是 ．
类比迁移
（2）如图2，当 时，猜想 与 之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点 与点 关于 对称，连接 ， ， ，如图3．已知 ，设
，四边形 的面积为 ．
①求 与 的函数表达式，并求出 的最小值；
②当 时，请直接写出 的长度．
第7页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 8 题★
8．（2024•湖北）在矩形 中，点 ， 分别在边 ， 上，将矩形 沿 折叠，使点
的对应点 落在边 上，点 的对应点为点 ， 交 于点 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，当 为 的中点， ， 时，求 的长；
（3）如图3，连接 ，当 ， 分别为 ， 的中点时，探究 与 的数量关系，并说明理由．
第8页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 9 题★
9．（2024•新疆）【探究】
（1）已知△ 和△ 都是等边三角形．
①如图1，当点 在 上时，连接 ．请探究 ， 和 之间的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点 在线段 的延长线上时，连接 ．请再次探究 ， 和 之间的数量关系，并
说明理由．【运用】
（2）如图3，等边三角形 中， ，点 在 上， ．点 是直线 上的动点，连接
，以 为边在 的右侧作等边三角形 ，连接 ．当△ 为直角三角形时，请直接写出
的长．
第9页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 10 题★
10．（2024•武汉）问题背景如图（1），在矩形 中，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ，
，求证：△ △ ．问题探究如图（2），在四边形 中， ， ，点
是 的中点，点 在边 上， ， 与 交于点 ，求证： ．
问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接 ， ， ，直接写出 的值．
第10页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 11 题★
11．（2024•长春）如图，在 中， ， ．点 是边 上的一点（点 不与点 、
重合），作射线 ，在射线 上取点 ，使 ，以 为边作正方形 ，使点 和点
在直线 同侧．
（1）当点 是边 的中点时，求 的长；
（2）当 时，点 到直线 的距离为 ；
（3）连结 ，当 时，求正方形 的边长；
（4）若点 到直线 的距离是点 到直线 距离的3倍，则 的长为 （写出一个即可）
第11页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 12 题★
12．（2024•泰安）如图1，在等腰 △ 中， ， ，点 ， 分别在 ， 上，
，连结 ， ，取 中点 ，连结 ．
（1）求证： ， ；
（2）将△ 绕点 顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出 与 的位置关系： ；
②求证： ．
第12页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 13 题★
13．（2024•兰州）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在
△ 中，点 ， 分别为 ， 上的动点（不含端点），且 ．
【初步尝试】（1）如图1，当△ 为等边三角形时，小颜发现：将 绕点 逆时针旋转 得到
，连接 ，则 ，请思考并证明；
【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图 2，在△ 中， ，
， 于点 ，交 于点 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，
．试猜想四边形 的形状，并说明理由；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在△ 中， ， ，连接
， ，请直接写出 的最小值．
第13页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 14 题★
14．（2024•威海）如图，在菱形 中， ， ， 为对角线 上一动点，以
为一边作 ， 交射线 于点 ，连接 ， ．点 从点 出发，沿 方向以每
秒 的速度运动至点 处停止．设△ 的面积为 ，点 的运动时间为 秒．
（1）求证： ；
（2）求 与 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围；
（3）求 为何值时，线段 的长度最短．
第14页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 15 题★
15．（2024•东营）在 中， ， ， ．
（1）问题发现
如图1，将 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ，连接 ， ，线段 与 的数量关系
是 ， 与 的位置关系是 ；
（2）类比探究
将 绕点 按逆时针方向旋转任意角度得到 ，连接 ， ，线段 与 的数量关系，
位置关系与（1）中结论是否一致？若 交 于点 ，请结合图2说明理由；
（3）迁移应用
如图3，将 绕点 旋转一定角度得到 ，当点 落到 边上时，连接 ，求线段 的长．
第15页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 16 题★
16．（2024•资阳）（1）【观察发现】如图 1，在△ 中，点 在边 上．若 ，则
，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在△ 中， ，点 为边 的中点， ，点 在
上，连接 ， ．若 ，求 的长；
（3）【拓展延伸】如图 3，在菱形 中， ，点 ， 分别在边 ， 上，
，延长 ， 相交于点 ．若 ， ，求 的长．
第16页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 17 题★
17．（2024•辽宁）如图，在△ 中， ， ．将线段 绕点 顺时
针旋转 得到线段 ，过点 作 ，垂足为 ．
（1）如图1，求证：△ △ ．
（2）如图2， 的平分线与 的延长线相交于点 ，连接 ， 的延长线与 的延长线相交
于点 ，猜想 与 的数量关系，并加以证明．
（3）如图3，在（2）的条件下，将△ 沿 折叠，在 变化过程中，当点 落在点 的位置时，
连接 ．
①求证：点 是 的中点；
②若 ，求△ 的面积．
第17页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 18 题★
18．（2024•齐齐哈尔）综合与实践
如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受
这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ 中， ，将线段
绕点 顺时针旋转 得到线段 ，作 交 的延长线于点 ．
（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段 与 的数量关系是 ；
（2）【问题解决】如图3，连接 并延长交 的延长线于点 ，若 ， ，求△ 的面
积；
（3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接 交 于点 ，则 ；
（4）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线 上找点 ，使 ，请直接写出线段 的长
度．
第18页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 19 题★
19．某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一 拓展探究
如图1，在△ 中， ， ，垂足为 ．
（1）兴趣小组的同学得出 ．理由如下：
△ △
②_____
①_____
请完成填空：① ；② ；
（2）如图2， 为线段 上一点，连接 并延长至点 ，连接 ，当 时，请判断△
的形状，并说明理由．
（二 学以致用
（3）如图 3，△ 是直角三角形， ， ， ，平面内一点 ，满足
，连接 并延长至点 ，且 ，当线段 的长度取得最小值时．求线段 的
长．
第19页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 20 题★
20．（2024•山东）一副三角板分别记作△ 和△ ，其中 ， ，
， ．作 于点 ， 于点 ，如图1．
（1）求证： ；
（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点 与点 重合记为 ，点 与
点 重合，将图2中的△ 绕 按顺时针方向旋转 后，延长 交直线 于点 ．
①当 时，如图3，求证：四边形 为正方形；
②当 时，写出线段 ， ， 的数量关系，并证明；当 时，直接写出线
段 ， ， 的数量关系．
第20页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 21 题★
21．【定义】
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且
该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”．
如图1，在 中， 于点 ，交 于点 ，若 为 的中点，则 是垂中平行四
边形， 是垂中点．
【应用】
（1）如图1，在垂中平行四边形 中， 是垂中点．若 ， ，则 ；
；
（2）如图2，在垂中平行四边形 中， 是垂中点．若 ，试猜想 与 的数量关系，
并加以证明；
（3）如图3，在△ 中， 于点 ， ， ．
①请画出以 为边的垂中平行四边形，使得 为垂中点，点 在垂中平行四边形的边上；
（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母）
②将△ 沿 翻折得到△ ，若射线 与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点 ，连接
，请直接写出 的长．
第21页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 22 题★
22．（2023•成都）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在 中， ， ， 是 边上一点，且 为正整数）， 是 边上的动
点，过点 作 的垂线交直线 于点 ．
【初步感知】
（1）如图1，当 时，兴趣小组探究得出结论： ，请写出证明过程．
【深入探究】
（2）①如图2，当 ，且点 在线段 上时，试探究线段 ， ， 之间的数量关系，请写出
结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段 ， ， 之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不
必证明）．
【拓展运用】
（3）如图3，连接 ，设 的中点为 ，若 ，求点 从点 运动到点 的过程中，点
运动的路径长（用含 的代数式表示）．
第22页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 23 题★
23．（2024•山西）综合与探究
问题情境：如图1，四边形 是菱形，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．
猜想证明：
（1）判断四边形 的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）将图1中的 绕点 逆时针旋转，得到 ，点 ， 的对应点分别为点 ， ．
①如图2，当线段 经过点 时， 所在直线分别与线段 ， 交于点 ， ．猜想线段 与
的数量关系，并说明理由；
②当直线 与直线 垂直时，直线 分别与直线 ， 交于点 ， ，直线 与线段 交
于点 ．若 ， ，直接写出四边形 的面积．
第23页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 24 题★
24．（2024•烟台）在等腰直角 中， ， ， 为直线 上任意一点，连接 ．
将线段 绕点 按顺时针方向旋转 得线段 ，连接 ．
【尝试发现】
（1）如图1，当点 在线段 上时，线段 与 的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）当点 在线段 的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段 与 的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若 ， ，请直接写出 的值．
第24页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 25 题★
25．（2024•河南）综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进
行研究．
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）操作判断
用分别含有 和 角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有
（填序号）．
（2）性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图2，四边形 是邻等对补四边形， ， 是它的一条对角线．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若 ， ， ，求 的长（用含 ， ， 的式子表示）．
（3）拓展应用
如图3，在 △ 中， ， ， ，分别在边 ， 上取点 ， ，使四边形
是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出 的长．
第25页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 26 题★
26．已知二次函数 的图象经过点 ，点 ， ， ， 是此二次函数的图象上
的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图象与 轴的正半轴交于点 ，点 在直线 的上方，过点 作 轴
于点 ，交 于点 ，连接 ， ， ．若 ，求证： 的值为定值；
（3）如图2，点 在第二象限， ，若点 在直线 上，且横坐标为 ，过点 作
轴于点 ，求线段 长度的最大值．
第26页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 27 题★
27．（2024•湖北）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交
于点 ．
（1）求 的值；
（2）如图， 是第一象限抛物线上的点， ，求点 的横坐标；
（3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为 ， 与 轴交于点 ，设 的顶点横坐标为 ，
的长为 ．
①求 关于 的函数解析式；
② 与 轴围成的区域记为 ， 与△ 内部重合的区域（不含边界）记为 ，当 随 的增大而增
大，且 内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出 的取值范围．
第27页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 28 题★
28．抛物线 交 轴于 ， 两点 在 的右边），交 轴于点 ．
（1）直接写出点 ， ， 的坐标；
（2）如图（1），连接 ， ，过第三象限的抛物线上的点 作直线 ，交 轴于点 ．若
平分线段 ，求点 的坐标；
（3）如图（2），点 与原点 关于点 对称，过原点的直线 交抛物线于 ， 两点（点 在 轴
下方），线段 交抛物线于另一点 ，连接 ．若 ，求直线 的解析式．
第28页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 29 题★
29．（2024•宁夏）抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 是第四
象限内抛物线上的一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过 作 轴于点 ，交直线 于点 ．设点 的横坐标为 ，当 时，
求 的值；
（3）如图2点 ，连接 并延长交直线 于点 ，点 是 轴上方抛物线上的一点，在（2）的
条件下， 轴上是否存在一点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直
接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
第29页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 30 题★
30．（2024•泰安）如图，抛物线 的图象经过点 ，与 轴交于点 ，点 ．
（1）求抛物线 的表达式；
（2）将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线 ，求抛物线 的表达式，并判
断点 是否在抛物线 上；
（3）在 轴上方的抛物线 上，是否存在点 ，使△ 是等腰直角三角形．若存在，请求出点 的
坐标；若不存在，请说明理由．
第30页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 31 题★
31．（2024•天津）已知抛物线 ， ， 为常数， 的顶点为 ，且 ，对称
轴与 轴相交于点 ，点 在抛物线上， ， 为坐标原点．
（Ⅰ）当 ， 时，求该抛物线顶点 的坐标；
（Ⅱ）当 时，求 的值；
（Ⅲ）若 是抛物线上的点，且点 在第四象限， ， ，点 在线段 上，点
在线段 上， ，当 取得最小值为 时，求 的值．
第31页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 32 题★
32．（2024•安徽）已知抛物线 为常数）的顶点横坐标比抛物线 的顶点横坐标
大1．
（1）求 的值；
（2）点 ， 在抛物线 上，点 ， 在抛物线 上．
（ⅰ）若 ，且 ， ，求 的值；
（ⅱ）若 ，求 的最大值．
第32页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 33 题★
33．（2024•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ，与 轴交于
点 ，与 轴交于 ， 两点 在 的左侧），连接 ， ， ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 是射线 上方抛物线上的一动点，过点 作 轴，垂足为 ，交 于点 ．点 是
线段 上一动点， 轴，垂足为 ，点 为线段 的中点，连接 ， ．当线段 长度
取得最大值时，求 的最小值；
（3）将该抛物线沿射线 方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段 长度取得最大值时的点 ，且
与直线 相交于另一点 ．点 为新抛物线上的一个动点，当 时，直接写出所有符合
条件的点 的坐标．
第33页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 34 题★
34．（2024•呼和浩特）在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ．
（1）若 ，则 ，通过配方可以将其化成顶点式为 ；
（2）已知点 ， ， ， 在抛物线上，其中 ，若 且 ，比较 与 的大小
关系，并说明理由；
（3）若 ，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线 交于 ， 两点，直线与
轴交于点 ，点 为 中点，过点 作 轴的垂线，垂足为点 ，连接 ， ．求证： ．
第34页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 35 题★
35．（2024•海南）如图1，抛物线 经过点 、 ，交 轴于点 ，点 是
抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点 的坐标为 时，求四边形 的面积；
（3）当 时，求点 的坐标；
（4）过点 、 、 的圆交抛物线于点 、 ，如图2．连接 、 、 ，判断△ 的形状，
并说明理由．
第35页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 36 题★
36．（2024•吉林）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所
示，输入 的值为 时，输出 的值为1；输入 的值为2时，输出 的值为3；输入 的值为3时，输
出 的值为6．
（1）直接写出 ， ， 的值．
（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于 的函数图象，如图（2）．
Ⅰ．当 随 的增大而增大时，求 的取值范围．
Ⅱ．若关于 的方程 为实数），在 时无解，求 的取值范围．
Ⅲ．若在函数图象上有点 ， 与 不重合）． 的横坐标为 ， 的横坐标为 ．小明对 ，
之间（含 ， 两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随 的变化而变化，
直接写出 的取值范围．
第36页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 37 题★
37．（2024•济南）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ， ，顶点为
；抛物线 ，顶点为 ．
（1）求抛物线 的表达式及顶点 的坐标；
（2）如图1，连接 ，点 是抛物线 对称轴右侧图象上一点，点 是抛物线 上一点，若四边形
是面积为12的平行四边形，求 的值；
（3）如图2，连接 ， ，点 是抛物线 对称轴左侧图象上的动点（不与点 重合），过点
作 交 轴于点 ，连接 ， ，求△ 面积的最小值．
第37页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 38 题★
38．（2024•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，
与 轴交于 点，设抛物线的对称轴为直线 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（甲 ，设点 关于直线 的对称点为点 ，在直线 上是否存在一点 ，使 有最大值？
若存在，求出 的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图（乙 ，设点 为抛物线上一点，连接 ，过点 作 交直线 于点 ．若
，求点 的坐标．
第38页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 39 题★
39．（2024•威海）已知抛物线 与 轴交点的坐标分别为 ， ， ， ，且
．
（1）若抛物线 与 轴交点的坐标分别为 ， ， ， ，且 ，试判断
下列每组数据的大小（填写 、 或
① ；② ；③ ．
（2）若 ， ，求 的取值范围；
（3）当 时， 最大值与最小值的差为 ，求 的值．
第39页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 40 题★
40．（2024•自贡）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，顶点为 ．（1）求
抛物线的解析式及 点坐标；
（2）抛物线交 轴于点 ，经过点 ， ， 的圆与 轴的另一个交点为 ，求线段 的长；
（3）过点 的直线 分别与抛物线、直线 交于 轴下方的点 ， ，直线 交抛物线对
称轴于点 ，点 关于 的对称点为 ， 轴于点 ．请判断点 与直线 的位置关系，并证
明你的结论．
第40页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 41 题★
41．（2024•成都）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 ，
两点（点 在点 的左侧），其顶点为 ， 是抛物线第四象限上一点．
（1）求线段 的长；
（2）当 时，若 的面积与 的面积相等，求 的值；
（3）延长 交 轴于点 ，当 时，将 沿 方向平移得到△ ．将抛物线 平移得
到抛物线 ，使得点 ， 都落在抛物线 上．试判断抛物线 与 是否交于某个定点．若是，求出
该定点坐标；若不是，请说明理由．
第41页（共130页）★2025 初三数学
压轴题 每日一题 第 42 题★
42．（2024•绵阳）如图，抛物线 与 轴交于点 和 ，与 轴交于点 ，
连接 和 ，点 在抛物线上运动，连接 ， 和 ．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（2）点 在抛物线上从点 运动到点 的过程中（点 与点 ， 不重合），作点 关于 轴的对称点
，连接 ， ，记△ 的面积为 ，记△ 的面积为 ，若满足 ，求△ 的面积；
（3）在（2）的条件下，试探究在 轴上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
第42页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 43 题★
43．（2024•赤峰）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深
入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点 处沿水滑道下滑至点 处腾空飞出后落入
水池．以地面所在的水平线为 轴，过腾空点 与 轴垂直的直线为 轴， 为坐标原点，建立平面直角
坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到
的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
（1）如图1，点 与地面的距离为2米，水滑道最低点 与地面的距离为 米，点 到点 的水平距离
为3米，则水滑道 所在抛物线的解析式为 ；
（2）如图1，腾空点 与对面水池边缘的水平距离 米，人腾空后的落点 与水池边缘的安全距
离 不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线 恰好与抛物线 关于点 成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线 的解析式；
②此人腾空飞出后的落点 是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑
道距地面4米的点 处竖直支撑的钢架 ，另一条是点 与点 之间连接支撑的钢架 ．现在需要
在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与 平行，且与水滑道有唯一公共点，一
端固定在钢架 上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
第43页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 44 题★
44．（2024•山西）综合与实践
问题情境：如图1，矩形 是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分
与线段 组成的封闭图形，点 ， 在矩形的边 上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不
同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2， 米， 的垂直平分线与抛物线交于点 ，与 交于点 ，点 是抛物线的
顶点，且 米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段 上确定点 ，使 ，用篱笆沿线段 ， 分隔出△ 区域，种植串
串红；
第二步：在线段 上取点 （不与 ， 重合），过点 作 的平行线，交抛物线于点 ， ．用
篱笆沿 ， 将线段 ， 与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ 区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要
在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定 与 的长．为此，欣欣在图2中以 所在直线为 轴，
所在直线为 轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
（2）求6米材料恰好用完时 与 的长；
（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助
图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段 ， 上．直接
写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
第44页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 45 题★
45．（2024•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，交
轴于点 ，抛物线的对称轴是直线 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 是直线 下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点 作 轴交抛物线于点 ，作
于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
（3）将抛物线沿射线 方向平移 个单位，在 取得最大值的条件下，点 为点 平移后
的对应点，连接 交 轴于点 ，点 为平移后的抛物线上一点，若 ，请直接写
出所有符合条件的点 的坐标．
第45页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 46 题★
46 ． （ 2024• 河 北 ） 如 图 ， 抛 物 线 过 点 ， 顶 点 为 ． 抛 物 线
（其中 为常数，且 ，顶点为 ．
（1）直接写出 的值和点 的坐标．
（2）嘉嘉说：无论 为何值，将 的顶点 向左平移2个单位长度后一定落在 上．
淇淇说：无论 为何值， 总经过一个定点．请选择其中一人的说法进行说理．
（3）当 时，
①求直线 的解析式；
②作直线 ，当 与 的交点到 轴的距离恰为6时，求 与 轴交点的横坐标．
（4）设 与 的交点 ， 的横坐标分别为 ， ，且 ，点 在 上，横坐标为
．点 在 上，横坐标为 ，若点 是到直线 的距离最大的点，最大距离为 ，
点 到直线 的距离恰好也为 ，直接用含 和 的式子表示 ．
第46页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 47 题★
47．（2024•绥化）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线相交于 ， 两点，其中点 ，
．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（ 2 ） 过 点 作 轴 交 抛 物 线 于 点 ． 连 接 ， 在 抛 物 线 上 是 否 存 在 点 使
．若存在，请求出满足条件的所有点 的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：
依题意补全图形，并解答）
（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到 ，平移后的抛物线与原抛物线相交
于点 ，点 为原抛物线对称轴上的一点， 是平面直角坐标系内的一点，当以点 ， ， ， 为顶
点的四边形是菱形时，请直接写出点 的坐标．
第47页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 48 题★
48．（2024•日照）已知二次函数 为常数）．
（1）求证：不论 为何值，该二次函数图象与 轴总有两个公共点；
（2）当 时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式；
（3）若二次函数图象对称轴为直线 ，该函数图象与 轴交于 ， 两点（点 在点 左侧），与
轴交于点 ．点 关于对称轴的对称点为 ，点 为 的中点，过点 的直线 （直线 不过 ，
两点）与二次函数图象交于 ， 两点，直线 与直线 相交于点 ．
①求证：点 在一条定直线上；
②若 ，请直接写出满足条件的直线 的解析式，不必说明理由．
第48页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 49 题★
49．（2024•上海）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线 后得到的新抛物线经过 和
．
（1）求平移后新抛物线的表达式；
（2）直线 与新抛物线交于点 ，与原抛物线交于点 ；
①如果 小于3，求 的取值范围；
②记点 在原抛物线上的对应点为 ，如果四边形 有一组对边平行，求点 的坐标．
第49页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 50 题★
50．（2024•连云港）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 、 为常数， ．
（1）若抛物线与 轴交于 、 两点，求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图，当 时，过点 、 分别作 轴的平行线，交抛物线于点 、 ，连接
、 ．求证： 平分 ；
（3）当 ， 时，过直线 上一点 作 轴的平行线，交抛物线于点 ．若
的最大值为4，求 的值．
第50页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 51 题★
51．（2024•湖南）【问题背景】
已知点 是半径为 的 上的定点，连接 ，将线段 绕点 按逆时针方向旋转 得
到 ，连接 ，过点 作 的切线 ，在直线 上取点 ，使得 为锐角．
【初步感知】
（1）如图1，当 时， ；
【问题探究】
（2）以线段 为对角线作矩形 ，使得边 过点 ，连接 ，对角线 ， 相交于点 ．
①如图2，当 时，求证：无论 在给定的范围内如何变化， 总成立：
②如图3，当 ， 时，请补全图形，并求 及 的值．
第51页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 52 题★
52．在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后
再研究一般情况，证明结论．
如图，已知 ， ， 是 的外接圆，点 在 上 ，连接 、 、
．
【特殊化感知】
（1）如图1，若 ，点 在 延长线上，则 与 的数量关系为 ；
【一般化探究】
（2）如图2，若 ，点 、 在 同侧，判断 与 的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若 ，直接写出 、 、 满足的数量关系．（用含 的式子表示）
第52页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 53 题★
53．（2024•兰州）在平面直角坐标系 中，给出如下定义：点 是图形 外一点，点 在 的延长
线上，使得 ，如果点 在图形 上，则称点 是图形 的“延长2分点”．例如：如图 1，
， ， 是线段 外一点， 在 的延长线上，且 ，因为点 在线段
上，所以点 是线段 的“延长2分点”．
（1）如图1，已知图形 ：线段 ， ， ，在 ， ， 中，
是图形 的“延长2分点”；
（2）如图2，已知图形 ：线段 ， ， ，若直线 上存在点 是图形 的
“延长2分点”，求 的最小值；
（3）如图3，已知图形 ：以 为圆心，半径为1的 ，若以 ， ， 为顶点
的等腰直角三角形 上存在点 ，使得点 是图形 的“延长2分点”．请直接写出 的取值范围．
第53页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 54 题★
54．（2024•陕西）问题提出
（1）如图①，在 中， ， ，作 的外接圆 ，则 的长为 ；（结
果保留
问题解决
（2）如图②所示，道路 的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点 ， ， ，线段 ，
和 为观测步道，其中点 和点 为观测步道出入口．已知点 在 上，且 ，
， ， ， ，现要在湿地上修建一个新观测点 ，使
．再在线段 上选一个新的步道出入口点 ，并修道三条新步道 ， ， ，使新步
道 经过观测点 ，并将五边形 的面积平分．
请问：是否存在满足要求的点 和点 ？若存在，求此时 的长；若不存在，请说明理由．（点 ，
， ， ， 在同一平面内，道路 与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保
留根号）
第54页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 55 题★
55．对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相
切），可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形：
只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；
只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形：
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．
请你根据该约定，解答下列问题：
（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“ ”，错误的打“ ” ．
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；
②内角不等于 的菱形一定是“内切型单圆”四边形；
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为 ，内切圆半径为 ，则有
．
（2）如图1，已知四边形 内接于 ，四条边长满足： ．
①该四边形 是“ ”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；
②若 的平分线 交 于点 ， 的平分线 交 于点 ，连接 ．求证： 是
的直径．
（3）已知四边形 是“完美型双圆”四边形，它的内切圆 与 ， ， ， 分别相切于
点 ， ， ， ．
①如图2，连接 ， 交于点 ．求证： ；
②如图3，连接 ， ， ， ，若 ， ， ，求内切圆 的半径 及 的长．
第55页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 56 题★
56．（2024•广州）如图，在菱形 中， ．点 在射线 上运动（不与点 ，点 重
合）， 关于 的轴对称图形为 ．（1）当 时，试判断线段 和线段 的数量
和位置关系，并说明理由；
（2）若 ， 为 的外接圆，设 的半径为 ．
①求 的取值范围；
②连接 ，直线 能否与 相切？如果能，求 的长度；如果不能，请说明理由．
第56页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 57 题★
57．（2024•北京）在平面直角坐标系 中， 的半径为1．对于 的弦 和不在直线 上的点
，给出如下定义：若点 关于直线 的对称点 在 上或其内部，且 ，则称点 是弦
的“ 可及点”．
（1）如图，点 ， ．
①在点 ， ， 中，点 是弦 的“ 可及点”，其中 ；
②若点 是弦 的“ 可及点”，则点 的横坐标的最大值为 ；
（2）已知 是直线 上一点，且存在 的弦 ，使得点 是弦 的“ 可及点”．
记点 的横坐标为 ，直接写出 的取值范围．
第57页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 58 题★
58．如图，在 中， ， ，以 为直径的 交 于点 ， ，垂足
为 ， 的延长线交 于点 ．
（1）求 的值；
（2）求证： ；
（3）求证： 与 互相平分．
第58页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 59 题★
59．（2024•广西）如图，已知 是 的外接圆， ．点 ， 分别是 ， 的中点，
连接 并延长至点 ，使 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）求证： 与 相切；
（3）若 ， ，求 的半径．
第59页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 60 题★
60．（2024•绵阳）如图， 为△ 的外接圆，弦 ，垂足为 ，直径 交 于点 ，连
接 ， ．若 ， ．
（1）证明：四边形 为平行四边形；
（2）求 的值；
（3）求 的值．
第60页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 61 题★
61．（2024•淄博）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了 的内接等腰三角形 ， ．并在 边上任取一点 （不与点 ， 重合），
连接 ，然后将△ 绕点 逆时针旋转得到△ ．如图①
小明发现： 与 的位置关系是 ，请说明理由：
【实践探究】
连接 ，与 相交于点 ．如图②，小明又发现：当△ 确定时，线段 的长存在最大值．请求
出当 ， 时， 长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点 分线段 所成的比 与点 分线段 所成的比 始终
相等．请予以证明．
第61页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 62 题★
62．（2024•河北）已知 的半径为3，弦 ． 中， ， ， ．
在平面上，先将 和 按图1位置摆放（点 与点 重合，点 在 上，点 在 内），随
后移动 ，使点 在弦 上移动，点 始终在 上随之移动．设 ．
（1）当点 与点 重合时，求劣弧 的长；
（2）当 时，如图2，求点 到 的距离，并求此时 的值；
（3）设点 到 的距离为 ．
①当点 在劣弧 上，且过点 的切线与 垂直时，求 的值；
②直接写出 的最小值．
第62页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 63 题★
63．（2024•云南）如图， 是 的直径，点 、 是 上异于 、 的点．点 在 外，
， 延 长 与 的 延 长 线 交 于 点 ， 点 在 的 延 长 线 上 ， ，
．点 在直径 上， ，点 是线段 的中点．
（1）求 的度数；
（2）求证：直线 与 相切；
（3）看一看，想一想，证一证：以下与线段 、线段 、线段 有关的三个结论： ，
， ，你认为哪个正确？请说明理由．
第63页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 64 题★
64．（2024•滨州）【教材呈现】
第 14 题
现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索” ：
14．如图，在锐角 中，探究 ， 之间的关系．（提示：分别作 和 边上的
高．
【得出结论】
【基础应用】
在 中， ， ， ，利用以上结论求 的长．
【推广证明】
进一步研究发现， 不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足
为 外接圆的半径）．
请利用图1证明 ．
【拓展应用】
如图2，四边形 中， ， ， ， ．求过 ， ， 三点的圆的半
径．
第64页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 65 题★
65．（2024•绥化）如图1， 是正方形 对角线上一点，以 为圆心， 长为半径的 与
相切于点 ，与 相交于点 ．（1）求证： 与 相切；
（2）若正方形 的边长为 ，求 的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，若点 是半径 上的一个动点，过点 作 交 于点 ．
当 时，求 的长．
第65页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 66 题★
66．（2024•通辽）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组
装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“牵形图”， ， ．求证 ．
【模型应用】
（2）如图2、 中， 的平分线 交 于点 ．请你从以下两个条件：① ；
② 中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注 只需
选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3， 为 的直径， ， 的平分线 交 于点 ，交 于点 ，连接
．求证 ．
第66页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 67 题★
67．（2024•大庆）如图， 为 的内接三角形， 为 的直径，将 沿直线 翻折到
，点 在 上．连接 ，交 于点 ，延长 ， ，两线相交于点 ，过点 作 的切
线交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 ， ．求 的值．
第67页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 68 题★
68．（2024•潍坊）【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为 的正
方形草坪（如图 中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合
适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为 的圆面．喷洒覆盖率 ， 为待喷洒区域面积，
为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为 的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率
．
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为 的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半
径均为 的自动喷洒装置； ，以此类推，如图5，设计安装 个喷洒半径均为 的自动喷洒装置．
与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并
给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率
．已知 ，设 ， 的面积为 ，求 关于 的函数表达式，并求
当 取得最小值时 的值．
【问题解决】
（4）该公司现有喷洒半径为 的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的
喷洒覆盖率 ？（直接写出结果即可）
第68页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 69 题★
69．（2024•日照）如图1， 为 的直径， ， 是 上异于 ， 的任一点，连接 ，
，过点 作射线 ， 为射线 上一点，连接 ．
【特例感知】
（1）若 ，则 ；
（2）若点 ， 在直线 同侧，且 ，求证：四边形 是平行四边形；
【深入探究】
若在点 运动过程中，始终有 ，连接 ．
（3）如图2，当 与 相切时，求 的长度；
（4）求 长度的取值范围．
第69页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 70 题★
70．如图， 是 的直径， 内接于 ，点 为 的内心，连接 并延长交 于点 ，
是 上任意一点，连接 ， ， ， ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）找出图中所有与 相等的线段，并证明；
（3）若 ， ，求 的周长．
第70页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 71 题★
71．（2024•徐州）在△ 中，点 在边 上，若 ，则称点 是点 的“关联点”．
（1）如图（1），在△ 中，若 ， 于点 ．试说明：点 是点 的“关联点”．
（2）如图（2），已知点 在线段 上，用无刻度的直尺和圆规作一个△ ，使其同时满足下列条
件：①点 为点 的“关联点”；② 是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）若△ 为锐角三角形，且点 为点 的“关联点”．设 ， ，用含 、 的代数式
表示 的取值范围（直接写出结果）．
第71页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 72 题★
72．（2024•常州）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离
后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联
图形”．
（1）如图1， 、 、 是线段 的四等分点．若 ，则在图中，线段 的“平移关联图形”
是 ， （写出符合条件的一种情况即可）；
（2）如图2，等边三角形 的边长是2．用直尺和圆规作出△ 的一个“平移关联图形”，且满足
（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（3）如图3，在平面直角坐标系 中，点 、 、 的坐标分别是 、 、 ，以点 为
圆心， 为半径画圆．若对 上的任意点 ，连接 、 、 所形成的图形都存在“平移关联图
形”，且满足 ，直接写出 的取值范围．
第72页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 73 题★
73．（2024•辽宁）已知 是自变量 的函数，当 时，称函数 为函数 的“升幂函数”．在平
面直角坐标系中，对于函数 图象上任意一点 ，称点 为点 “关于 的升幂点”，点
在函数 的“升幂函数” 的图象上．
例如：函数 ，当 时，则函数 是函数 的“升幂函数”．
在平面直角坐标系中，函数 的图象上任意一点 ，点 为点 “关于 的升幂
点”，点 在函数 的“升幂函数” 的图象上．
（1）求函数 的“升幂函数” 的函数表达式．
（2）如图1，点 在函数 的图象上，点 “关于 的升幂点” 在点 上方，当
时，求点 的坐标．
（3）点 在函数 的图象上，点 “关于 的升幂点”为点 ，设点 的横坐标为 ．
①若点 与点 重合，求 的值；
②若点 在点 的上方，过点 作 轴的平行线，与函数 的“升幂函数” 的图象相交于点 ，以
， 为邻边构造矩形 ，设矩形 的周长为 ，求 关于 的函数表达式；
③在②的条件下，当直线 与函数 的图象的交点有3个时，从左到右依次记为 ， ， ，当直线
与函数 的图象的交点有2个时，从左到右依次记为 ， ，若 ，请直接写出 的值．
第73页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 74 题★
74．（2024•北京）在平面直角坐标系 中， 的半径为1．对于 的弦 和不在直线 上的点
，给出如下定义：若点 关于直线 的对称点 在 上或其内部，且 ，则称点 是弦
的“ 可及点”．
（1）如图，点 ， ．
①在点 ， ， 中，点 是弦 的“ 可及点”，其中 ；
②若点 是弦 的“ 可及点”，则点 的横坐标的最大值为 ；
（2）已知 是直线 上一点，且存在 的弦 ，使得点 是弦 的“ 可及点”．
记点 的横坐标为 ，直接写出 的取值范围．
第74页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 75 题★
75．（2023•盐城）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二
次函数为一次函数的轴点函数．
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：① ；② ，其中， 为函数 的轴点函数．（填序
号）
【尝试应用】
（2）函数 为常数， 的图象与 轴交于点 ，其轴点函数 与 轴的另一交
点为点 ．若 ，求 的值．
【拓展延伸】
（3）如图，函数 为常数， 的图象与 轴、 轴分别交于 ， 两点，在 轴的正半轴
上取一点 ，使得 ．以线段 的长度为长、线段 的长度为宽，在 轴的上方作矩形
．若函数 为常数， 的轴点函数 的顶点 在矩形 的边上，
求 的值．
第75页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 76 题★
76．（2023•北京）在平面直角坐标系 中， 的半径为1．对于 的弦 和 外一点 给出如
下定义：若直线 ， 中一条经过点 ，另一条是 的切线，则称点 是弦 的“关联点”．
（1）如图，点 ， ， ， ， ．
①在点 ， ， ， 中，弦 的“关联点”是 ；
②若点 是弦 的“关联点”，直接写出 的长；
（2）已知点 ， ， ，对于线段 上一点 ，存在 的弦 ，使得点 是弦 的
“关联点”．记 的长为 ，当点 在线段 上运动时，直接写出 的取值范围．
第76页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 77 题★
77．（2023•赤峰）定义：在平面直角坐标系 中，当点 在图形 的内部，或在图形 上，且点
的横坐标和纵坐标相等时，则称点 为图形 的“梦之点”．
（1）如图①，矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， ，在点 ，
， 中，是矩形 “梦之点“的是 ；
（2）点 是反比例函数 图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”
的坐标是 ，直线 的解析式是 ， 时， 的取值范围是 ；
（3）如图②，已知点 ， 是抛物线 上的“梦之点”，点 是抛物线的顶点．连接
， ， ，判断 的形状，并说明理由．
第77页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 78 题★
78．（2023•淮安）综合与实践
定义：将宽与长的比值为 为正整数）的矩形称为 阶奇妙矩形．
（1）概念理解：
当 时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽 与长
的比值是 ．
（2）操作验证：
用正方形纸片 进行如下操作（如图（2）
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为 ，连接 ；
第二步：折叠纸片使 落在 上，点 的对应点为点 ，展开，折痕为 ；
第三步：过点 折叠纸片，使得点 、 分别落在边 、 上，展开，折痕为 ．
试说明：矩形 是1阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：
用正方形纸片 折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．
（4）探究发现：
小明操作发现任一个 阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点 为正方形 边
上（不与端点重合）任意一点，连接 ，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形 的周
长与矩形 的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
第78页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 79 题★
79．（2023•益阳）在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，与抛物线
交于 ， 两点 在 的左边）．
（1）求 点的坐标；
（2）如图1，若 点关于 轴的对称点为 点，当以点 ， ， 为顶点的三角形是直角三角形时，求
实数 的值；
（3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如 ， 等均为格点．
如图2，直线 与抛物线 所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求 的
取值范围．
第79页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 80 题★
80．（2024•深圳模拟）在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于 的弦 和 外一点 给
出如下定义：若点 关于弦 中点的对称点恰好在 上，则称点 是弦 的“关联点”．
（1）如图，点 ， ，弦 的中点为 ．在点 ， ， 中，
弦 的“关联点”是 ；
（2）如果 的弦 ，直线 上存在弦 的“关联点” ，直接写出点 的横坐标 的取
值范围；
（3）已知点 ， ．对于线段 上一点 ，存在 的弦 ，使得点 是弦 的“关
联点”．若对于每一点 ，将其对应的弦 的长度的最大值记为 ，则当点 在线段 上运动时，
的取值范围是多少？直接写出你的答案．
第80页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 81 题★
81．（2024•青岛）如图①， △ 中， ， ， ， △ 中，
， ，边 与 重合，且顶点 与 边上的定点 重合．如图②，△
从图①所示位置出发，沿射线 方向匀速运动，速度为 ；同时，动点 从点 出发，沿
方向匀速运动，速度为 ． 与 交于点 ，连接 ， ．设运动时间为 ．
解答下列问题：
（1）当 为何值时，点 在线段 的垂直平分线上？
（2）设四边形 的面积为 ，求 与 的函数关系式；
（3）如图③，过点 作 ，交 于点 ，△ 与△ 关于直线 对称，连接 ．是
否存在某一时刻 ，使 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
第81页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 82 题★
82．（2024•吉林）如图，在△ 中， ， ， ， 是△ 的角平分线．
动点 从点 出发，以 的速度沿折线 向终点 运动．过点 作 ，交 于点
，以 为边作等边三角形 ，且点 ， 在 同侧．设点 的运动时间为 ，△ 与
△ 重合部分图形的面积为 ．
（1）当点 在线段 上运动时，判断△ 的形状（不必证明），并直接写出 的长（用含 的代
数式表示）．
（2）当点 与点 重合时，求 的值．
（3）求 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围．
第82页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 83 题★
83．（2024•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形 的边 在 轴上，点 在第一象限，
的长度是一元二次方程 的根，动点 从点 出发以每秒2个单位长度的速度沿折线
运动，动点 从点 出发以每秒3个单位长度的速度沿折线 运动， 、 两点同时出
发，相遇时停止运动．设运动时间为 秒 ，△ 的面积为 ．
（1）求点 的坐标；
（2）求 与 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当 时，点 在 轴上，坐标平面内是否存在点 ，使得以点 、 、
、 为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由．
第83页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 84 题★
84．（2024•天津）将一个平行四边形纸片 放置在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点 ，
在第一象限，且 ， ．
（Ⅰ）填空：如图①，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
（Ⅱ）若 为 轴的正半轴上一动点，过点 作直线 轴，沿直线 折叠该纸片，折叠后点 的对应
点 落在 轴的正半轴上，点 的对应点为 ．设 ．
①如图②，若直线 与边 相交于点 ，当折叠后四边形 与 重叠部分为五边形时，
与 相交于点 ．试用含有 的式子表示线段 的长，并直接写出 的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为 ，当 时，求 的取值范围（直接写出结果即可）．
第84页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 85 题★
85．（2023•青岛）如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ， ， ．
动点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；同时，动点 从点 出发，沿 方向匀速运
动，速度为 ．以 ， 为邻边的平行四边形 的边 与 交于点 ．设运动时间为
，解答下列问题：
（1）当点 在 上时，求 的值；
（2）连接 ．设 的面积为 ，求 与 的函数关系式和 的最大值；
（3）是否存在某一时刻 ，使点 在 的平分线上？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
第85页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 86 题★
86．（2023•河北）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点 移动到点 称
为一次甲方式；从点 移动到点 称为一次乙方式．
例点 从原点 出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点 ；若都按乙方式，最终移动到
点 ；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点 ．
（1）设直线 经过上例中的点 、 ，求 的解析式，并直接写出将 向上平移9个单位长度得到的直
线 的解析式；
（2）点 从原点 出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点 ．其中，按
甲方式移动了 次．
①用含 的式子分别表示 ， ；
②请说明：无论 怎样变化，点 都在一条确定的直线上．设这条直线为 ，在图中直接画出 的图象；
（3）在（1）和（2）中的直线 ， ， 上分别有一个动点 ， ， ，横坐标依次为 ， ， ，若
， ， 三点始终在一条直线上，直接写出此时 ， ， 之间的关系式．
第86页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 87 题★
87．（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边 在 轴上， ， 的
长是一元二次方程 的根，过点 作 轴的垂线，交对角线 于点 ，直线 分别交
轴和 轴于点 和点 ，动点 从点 以每秒1个单位长度的速度沿 向终点 运动，动点 从点
以每秒2个单位长度的速度沿 向终点 运动．两点同时出发，设运动时间为 秒．
（1）求直线 的解析式；
（2）连接 ，求△ 的面积 与运动时间 的函数关系式；
（3）点 在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是
矩形．若存在，直接写出点 的坐标，若不存在，说明理由．
第87页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 88 题★
88．（2023•天津）在平面直角坐标系中， 为原点，菱形 的顶点 ， ， ， ，
，矩形 的顶点 ， ， ．
（1）填空：如图①，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
（2）将矩形 沿水平方向向右平移，得到矩形 ，点 ， ， ， 的对应点分别为 ，
， ， ，设 ，矩形 与菱形 重叠部分的面积为 ．
①如图②，当边 与 相交于点 、边 与 相交于点 ，且矩形 与菱形 重叠
部分为五边形时，试用含有 的式子表示 ，并直接写出 的取值范围；
②当 时，求 的取值范围（直接写出结果即可）．
第88页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 89 题★
89．综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：在 △ 中， ， 为 上一点， ，动点 以每秒
1个单位的速度从 点出发，在三角形边上沿 匀速运动，到达点 时停止，以 为边作正方
形 ．设点 的运动时间为 ，正方形 的面积为 ，探究 与 的关系．
初步感知
（1）如图1，当点 由点 运动到点 时，
①当 时， ；
② 关于 的函数解析式为 ．
（2）当点 由点 运动到点 时，经探究发现 是关于 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请
根据图象信息，求 关于 的函数解析式及线段 的长．
延伸探究
（3）若存在3个时刻 ， ， 对应的正方形 的面积均相等．
① ；
②当 时，求正方形 的面积．
第89页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 90 题★
90．（2022•青岛）如图，在 中， ， ， ，将 绕点 按逆时
针方向旋转 得到 ，连接 ．点 从点 出发，沿 方向匀速运动、速度为 ；同时，
点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ． 交 于点 ，连接 ， ，设运动时
间为 ．解答下列问题：
（1）当 时，求 的值；
（2）设四边形 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻 ，使 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
第90页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 91 题★
91．【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，点 ， 是直线 上第一象限内的两个动点 ，以线
段 为对角线作矩形 ， 轴．反比例函数 的图象经过点 ．
【构建联系】
（1）求证：函数 的图象必经过点 ．
（2）如图2，把矩形 沿 折叠，点 的对应点为 ．当点 落在 轴上，且点 的坐标为
时，求 的值．
【深入探究】
（3）如图3，把矩形 沿 折叠，点 的对应点为 ．当点 ， 重合时，连接 交 于点 ．
以点 为圆心， 长为半径作 ．若 ，当 与 的边有交点时，求 的取值范围．
第91页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 92 题★
92．（2024•成都）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与直线 相交于点 ，与
轴交于点 ，点 在反比例函数 图象上．
（1）求 ， ， 的值；
（2）若 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形，求点 的坐标和 的值；
（3）过 ， 两点的直线与 轴负半轴交于点 ，点 与点 关于 轴对称．若有且只有一点 ，使得
△ 与△ 相似，求 的值．
第92页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 93 题★
93．（2023•成都）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数图象 与 轴交于点 ，与反比
例函数 的图象的一个交点为 ，过点 作 的垂线 ．
（1）求点 的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点 在直线 上，且△ 的面积为5，求点 的坐标；
（3） 是直线 上一点，连接 ，以 为位似中心画△ ，使它与△ 位似，相似比为 ．若点
， 恰好都落在反比例函数图象上，求点 的坐标及 的值．
第93页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 94 题★
94．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数 的
图象相交于 ， 两点．
（1）求反比例函数的表达式及点 的坐标；
（2）过点 作直线 ，交反比例函数图象于另一点 ，连接 ，当线段 被 轴分成长度比为
的两部分时，求 的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设
是第三象限内的反比例函数图象上一点， 是平面内一点，当四边形 是完美筝形时，求 ， 两
点的坐标．
第94页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 95 题★
95．（2024秋•成都金牛区模拟）在平面直角坐标系中，如图所示，一次函数 的图象与反比例
函数 的图象交于 、 两点，已知点 ，点 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点 作 轴于点 ，连接 ，过点 作 交 轴于点 ，连接 ，求△ 的
面积；
（3）在（2）的条件下，点 是直线 上一点，若满足 时，求点 的坐标．
第95页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 96 题★
96．（2024秋•成都锦江区模拟）如图1，在平面直角坐标系 中， 点坐标为 ， 点坐标为
，平移线段 得线段 ，连接 ，反比例函数 的图象经过点 ，交直线 于 ， 两
点．
（1）若 ， ，求反比例函数 的表达式；
（2）试探究 的值是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由；
（3）如图2，取线段 的中点 ，连接 ，若 ，求 所在直线的表达式．
第96页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 97 题★
97．（2024•成都青羊区模拟）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别交
于点 、 ，与双曲线 交于点 ， 两点，直线 分别与直线 和双曲线 交于 、
，连接 ， ．
（1）求 的值；
（2）点 在线段 上（不与端点 、 重合），若 ，求△ 的面积；
（3）将点 沿直线 翻折后的对应点为 ，当 落在 轴上时，求 的值．
第97页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 98 题★
98．（2024•成都高新区模拟）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函
数 的图象交于 ， 两点．
（1）求反比例函数的表达式及点 的坐标；
（2）过点 的直线与 轴交于点 ，与 轴负半轴交于点 ．若 ，求 的面积；
（3）点 在第三象限内的反比例函数图象上，横坐标和纵坐标相等．点 关于原点 的对称点为点 ．
平面内是否存在点 ，使得 ？若存在，求 点的坐标；若不存在，请说明理由．
第98页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 99 题★
99．（2024秋•成都青羊区模拟）如图1，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数
的图象交于 、 两点， 为第二象限内反比例函数图象上的点，且 点在 点右侧．
（1）求反比例函数的表达式及点 的坐标；
（2）连接 、 ，当△ 的面积为30时，求点 的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下， 为第四象限内反比例函数 的图象上一动点，连接 ， 分
别与 轴， 轴交于点 、 、 、 ， 是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说
明理由．
第99页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 100 题★
100．（2024•成都天府新区模拟）如图1，已知四边形 为矩形，且点 坐标为 ，反比例函数
的图象与矩形交于点 和点 ，且 ，连接 ．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点 是第一象限内在反比例函数图象上的一个动点，作点 关于原点对称的点 ，以 为斜边作
等腰直角三角形 ，点 在第四象限．
①如图2，当点 与点 重合时，求点 的坐标；
②在同一平面内，若等腰直角三角形的一边所在的直线与一条直线垂直，则称此等腰直角三角形为这条
直线的关联三角形．在点 的运动过程中等腰直角三角形 是否能成为直线 的关联三角形？若能，
请求出此时点 坐标；若不能，请说明理由．
第100页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 101 题★
101．（2024•苏州）某条城际铁路线共有 ， ， 三个车站，每日上午均有两班次列车从 站驶往
站，其中 次列车从 站始发，经停 站后到达 站， 次列车从 站始发，直达 站，两个
车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集
到列车运行信息如下表所示．
列车运行时刻表
车次 站 站 站
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
途经 站，不停车
请根据表格中的信息，解答下列问题：
（1） 次列车从 站到 站行驶了 分钟，从 站到 站行驶了 分钟；
（2）记 次列车的行驶速度为 ，离 站的路程为 ； 次列车的行驶速度为 ，离 站的
路程为 ．
① ．
②从上午 开始计时，时长记为 分钟（如：上午 ，则 ，已知 千米 小时（可换算
为4千米 分钟），在 次列车的行驶过程中 ，若 ，求 的值．
第101页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 102 题★
102．（2024•浙江）已知二次函数 ， 为常数）的图象经过点 ，对称轴为直线
．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点 向上平移2个单位长度，向左平移 个单位长度后，恰好落在 的图
象上，求 的值；
（3）当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求 的取值范围．
第102页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 103 题★
103．（2024•苏州）如图①，二次函数 的图象 与开口向下的二次函数图象 均过点
， ．
（1）求图象 对应的函数表达式；
（2）若图象 过点 ，点 位于第一象限，且在图象 上，直线 过点 且与 轴平行，与图象
的另一个交点为 在 左侧），直线 与图象 的交点为 ， 在 左侧）．当
时，求点 的坐标；
（3）如图②， ， 分别为二次函数图象 ， 的顶点，连接 ，过点 作 ，交图象 于
点 ，连接 ，当 时，求图象 对应的函数表达式．
第103页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 104 题★
104．（2024•江西）综合与实践
如图，在 △ 中，点 是斜边 上的动点（点 与点 不重合），连接 ，以 为直角边在
的右侧构造 △ ， ，连接 ， ．
特例感知
（1）如图1，当 时， 与 之间的位置关系是 ，数量关系是 ．
类比迁移
（2）如图2，当 时，猜想 与 之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点 与点 关于 对称，连接 ， ， ，如图3．已知 ，设
，四边形 的面积为 ．
①求 与 的函数表达式，并求出 的最小值；
②当 时，请直接写出 的长度．
第104页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 105 题★
105．（2024•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，
交 轴于点 ，抛物线的对称轴是直线 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 是直线 下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点 作 轴交抛物线于点 ，作
于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
（3）将抛物线沿射线 方向平移 个单位，在 取得最大值的条件下，点 为点 平移后
的对应点，连接 交 轴于点 ，点 为平移后的抛物线上一点，若 ，请直接写
出所有符合条件的点 的坐标．
第105页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 106 题★
106．（2024•宿迁）如图①，已知抛物线 与 轴交于两点 、 ，将抛物线 向
右平移两个单位长度，得到抛物线 ．点 是抛物线 在第四象限内一点，连接 并延长，交抛物线
于点 ．
（1）求抛物线 的表达式；
（2）设点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，求 的值；
（3）如图②，若抛物线 与抛物线 交于点 ，过点 作直线 ，分别交抛
物线 和 于点 、 、 均不与点 重合），设点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，试判断
是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
第106页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 107 题★
107．（2024•宿迁）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动．
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片 ，得到折痕 ，把纸片展平；
操作二：如图②，在边 上选一点 ，沿 折叠，使点 落在正方形内部，得到折痕 ；
操作三：如图③，在边 上选一点 ，沿 折叠，使边 与边 重合，得到折痕 ．
把正方形纸片展平，得图④，折痕 、 与 的交点分别为 、 ．
根据以上操作，得 ．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接 ，试判断△ 的形状并证明；
（2）如图⑥，连接 ，过点 作 的垂线，分别交 、 、 于点 、 、 ．求证：
．
【深入研究】
若 ，请求出 的值（用含 的代数式表示）．
第107页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 108 题★
108．（2024•无锡）已知二次函数 的图象经过点 和点 ．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点 ， 都在该二次函数的图象上，试比较 和 的大小，并说明理由；
（3）点 ， 在直线 上，点 在该二次函数图象上．问：在 轴上是否存在点 ，使得以 ， ，
， 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明
理由．
第108页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 109 题★
109．（2024•安徽）如图1， 的对角线 与 交于点 ，点 ， 分别在边 ， 上，
且 ．点 ， 分别是 与 ， 的交点．
（1）求证： ；
（2）连接 交 于点 ，连接 ， ．
（ⅰ）如图2，若 ，求证： ；
（ⅱ）如图3，若 为菱形，且 ， ，求 的值．
第109页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 110 题★
110．（2024•广州）已知抛物线 过点 ， 和点 ， ，直线
过点 ，交线段 于点 ，记 的周长为 ， 的周长为 ，且 ．
（1）求抛物线 的对称轴；
（2）求 的值；
（3）直线 绕点 以每秒 的速度顺时针旋转 秒后 得到直线 ，当 时，直线 交抛物
线 于 ， 两点．
①求 的值；
②设 的面积为 ，若对于任意的 ，均有 成立，求 的最大值及此时抛物线 的解析式．
第110页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 111 题★
111．（2024•连云港）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 、 为常数， ．
（1）若抛物线与 轴交于 、 两点，求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图，当 时，过点 、 分别作 轴的平行线，交抛物线于点 、 ，连接
、 ．求证： 平分 ；
（3）当 ， 时，过直线 上一点 作 轴的平行线，交抛物线于点 ．若 的
最大值为4，求 的值．
第111页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 112 题★
112．（2024•深圳）在综合实践课上，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“ ”形尺，并
用它对二次函数图象的相关性质进行研究．
把“ ”形尺按图1摆放，水平宽 的中点为 ，图象的顶点为 ，测得 为 厘米时， 为 厘
米．
【猜想】
（1）探究小组先对 的图象进行多次测量，测得 与 的部分数据如表：
0 2 3 4 5 6
0 1 2.25 4 6.25 9
描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点．
连线：用光滑的曲线顺次连接各点．
猜想： 与 的关系式是
【验证】
（2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的 与 也存在类似的关系式，并针
对二次函数 的情况进行了推理验证．请从下表中任选一种方法（在“□”内打“
” 并补全其推理过程；（根据需要，选用字母 ， ， ， ， 表示答案）
□方法1 □方法2
如图3，平移二次函数图象，使得顶点 移到原点
的位置，则： 如图4，顶点 的横坐标加 个单位，纵坐标加 个
， ， 单位得到点 的坐标，所以点 坐标为 ；
将点 坐标代入 ，
，
得到 与 的关系式是 ．
所以点 坐标为 ；
将点 坐标代入 ，
得到 与 的关系式是 ．
【应用】
（3）已知 轴且 ，两个二次函数 和 的图象都经过 ， 两
点．当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求 的值．
第112页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 113 题★
113．（2024•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴相交于 ， 两点
（点 在点 左侧），顶点为 ，连接 ．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图 1，若 是 轴正半轴上一点，连接 ， ．当点 的坐标为 时，求证：
；
（3）如图2，连接 ，将△ 沿 轴折叠，折叠后点 落在第四象限的点 处，过点 的直线
与线段 相交于点 ，与 轴负半轴相交于点 ．当 时， 与 是否相等？请说明
理由．
第113页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 114 题★
114．（2024•淄博）如图，抛物线 与 轴相交于 ， ， ， 两点（点 在点 的
左侧），其中 ， 是方程 的两个根，抛物线与 轴相交于点 ．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）已知直线 与 ， 轴分别相交于点 ， ．
①设直线 与 相交于点 ，问在第三象限内的抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，
求出点 的坐标；若不存在，说明理由；
②过抛物线上一点 作直线 的平行线．与抛物线相交于另一点 ．设直线 ， 相交于点 ．
连接 ， ．求线段 的最小值．
第114页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 115 题★
115．（2024•淮安）二次函数 的图象经过点 ，顶点为 ．
（1） ；
（2）当 时，
①若顶点 到 轴的距离为10，则 ；
②直线 过点 且垂直于 轴，顶点 到直线 的距离为 ．随着 的增大， 的值如何变化？请描
述变化过程，并说明理由；
（3）若二次函数图象交 轴于 、 两点，点 坐标为 ，且△ 的面积不小于20，求 的取值
范围．
第115页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 116 题★
116．（2024•镇江）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，二次函数 的图象与
轴交于 、 两点（点 在点 的左侧），顶点为 ．
（1）求 、 、 三点的坐标；
（2）一个二次函数的图象经过 、 、 三点，其中 ，该函数图象与 轴交于另一点 ，点
在线段 上（与点 、 不重合）．
①若 点的坐标为 ，则 ；
②求 的取值范围；
③求 的最大值．
第116页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 117 题★
117．（2024•长春）在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，抛物线 是常数）经过点
．点 、 是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为 、 ，点 的横坐标为 ，点
的纵坐标与点 的纵坐标相同，连结 、 ．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求证：当 取不为零的任意实数时， 的值始终为2；
（3）作 的垂直平分线交直线 于点 ，以 为边、 为对角线作菱形 ，连结 ．
①当 与此抛物线的对称轴重合时，求菱形 的面积；
②当此抛物线在菱形 内部的点的纵坐标 随 的增大而增大时，直接写出 的取值范围．
第117页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 118 题★
118．（2024•齐齐哈尔）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，过 ， 两点的抛
物线 与 轴的另一个交点为点 ，点 是抛物线位于第四象限图象上的动点，
过点 分别作 轴和 轴的平行线，分别交直线 于点 ，点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是 轴上的任意一点，若 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出点 的坐标；
（3）当 时，求点 的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点 是 轴上的一个动点，过点 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 ，连接
， ，则 的最小值为 ．
第118页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 119 题★
119．（2024•通辽）数学活动课上，某小组将一个含 的三角尺 和一个正方形纸板 如图1
摆放，若 ， ．将三角尺 绕点 逆时针方向旋转 角，观察图形的变化，
完成探究活动．
【初步探究】
如图2，连接 ， 并延长，延长线相交于点 ， 交 于点 ．
问题1 和 的数量关系是 ，位置关系是 ．
【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2 如图3，连接 ，点 是 的中点，连接 ， ．求证： ．
【尝试应用】
问题3 如图4，请直接写出当旋转角 从 变化到 时，点 经过路线的长度．
第119页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 120 题★
120．（2024•烟台）在等腰直角△ 中， ， ， 为直线 上任意一点，连接
．将线段 绕点 按顺时针方向旋转 得线段 ，连接 ．
【尝试发现】
（1）如图1，当点 在线段 上时，线段 与 的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）当点 在线段 的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段 与 的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若 ， ，请直接写出 的值．
第120页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 121 题★
121．（2024•绥化）综合与实践
问题情境
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．纸片 和
满足 ， ．
下面是创新小组的探究过程．
操作发现
（1）如图1，取 的中点 ，将两张纸片放置在同一平面内，使点 与点 重合．当旋转 纸片
交 边于点 、交 边于点 时，设 ， ，请你探究出 与 的函数关系式，
并写出解答过程．
问题解决
（2）如图2，在（1）的条件下连接 ，发现 的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理
由．
拓展延伸
（3）如图3，当点 在 边上运动（不包括端点 、 ，且始终保持 ．请你直接写出
纸片的斜边 与 纸片的直角边所夹锐角的正切值 （结果保留根号）．
第121页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 122 题★
122．（2024•大庆）如图1，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 在 轴的正半轴上．点 ， 在
第一象限，四边形 是平行四边形，点 在反比例函数 的图象上，点 的横坐标为2．点 的
纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为 ， ， ， ，则 中点坐标为 ，
．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图2，点 是 边的中点，且在反比例函数 图象上，求平行四边形 的面积；
（3）如图3，将直线 向上平移6个单位得到直线 ，直线 与函数 图象交于 ，
两点，点 为 的中点，过点 作 于点 ．请直接写出 点坐标和 的值．
第122页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 123 题★
123．（2024•广东）【知识技能】
（1）如图1，在 中， 是 的中位线．连接 ，将 绕点 按逆时针方向旋转，得
到△ ．当点 的对应点 与点 重合时，求证： ．
【数学理解】
（2）如图2，在 中 ， 是 的中位线．连接 ，将 绕点 按逆时针方向
旋转，得到△ ，连接 ， ，作△ 的中线 ．求证： ．
【拓展探索】
（3）如图 3，在 中， ，点 在 上， ．过点 作 ，垂足为 ，
， ．在四边形 内是否存在点 ，使得 ？若存在，请给出证
明；若不存在，请说明理由．
第123页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 124 题★
124．（2024•南通）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
图序 角平分线 的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积
图① 1 2 4 4
图② 1 2
图③ 1
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知△ 的角平分线 ， ， ，用含 的等式写出两腰之和 与两腰之
积 之间的数量关系： ．
【变式思考】
（2）已知△ 的角平分线 ， ，用等式写出两边之和 与两边之积
之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④，△ 中， ，点 在边 上， ．以点 为圆心， 长为半
径作弧与线段 相交于点 ，过点 作任意直线与边 ， 分别交于 ， 两点．请补全图形，
并分析 的值是否变化？
第124页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 125 题★
125．（2024•巴中）在平面直角坐标系中，抛物线 经过 ， 两点，与
轴交于点 ，点 是抛物线上一动点，且在直线 的上方．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，过点 作 轴，交直线 于点 ，若 ，求点 的坐标．
（3）如图 2，连接 、 、 ， 与 交于点 ，过点 作 交 于点 ．记△
、△ 、△ 的面积分别为 ， ， 当 取得最大值时，求 的值．
第125页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 126 题★
126．（2024•自贡）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，顶点为 ．（1）
求抛物线的解析式及 点坐标；
（2）抛物线交 轴于点 ，经过点 ， ， 的圆与 轴的另一个交点为 ，求线段 的长；
（3）过点 的直线 分别与抛物线、直线 交于 轴下方的点 ， ，直线 交抛物线对
称轴于点 ，点 关于 的对称点为 ， 轴于点 ．请判断点 与直线 的位置关系，并证
明你的结论．
第126页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 127 题★
127．（2024•济宁）综合与实践
某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形 中， 且 足够长）进行探究活动．
【动手操作】
如图2，第一步，沿点 所在直线折叠，使点 落在 上的点 处，折痕为 ，连接 ，把纸片展
平．
第二步，把四边形 折叠，使点 与点 重合，点 与点 重合，折痕为 ，再把纸片展平．
第三步，连接 ．
【探究发现】
根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论．
甲同学的结论：四边形 是正方形．
乙同学的结论
（1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由．
【继续探究】
在上面操作的基础上，丙同学继续操作．
如图3，第四步，沿点 所在直线折叠，使点 落在 上的点 处，折痕为 ，连接 ，把纸片
展平．
第五步，连接 交 于点 ．
根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：
．
（2）请证明这个结论．
第127页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 128 题★
128．（2024•烟台）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ， ，
，对称轴为直线 ．将抛物线 绕点 旋转 后得到新抛物线 ，抛物线 与 轴交于
点 ，顶点为 ，对称轴为直线 ．
（1）分别求抛物线 和 的表达式；
（2）如图1，点 的坐标为 ，动点 在直线 上，过点 作 轴与直线 交于点 ，连接
， ，求 的最小值；
（3）如图2，点 的坐标为 ，动点 在抛物线 上，试探究是否存在点 ，使 ？
若存在，请直接写出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
第128页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 129 题★
129．（2024•绵阳）如图， 为△ 的外接圆，弦 ，垂足为 ，直径 交 于点 ，
连接 ， ．若 ， ．
（1）证明：四边形 为平行四边形；
（2）求 的值；
（3）求 的值．
第129页（共130页）★2025 初三数学压轴题 每日一题 第 130 题★
130．（2024•德州）如图，圆 与 都经过 ， 两点，点 在 上，点 是 上的一点
连接 并延长交 于点 ，连接 ， ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ．
①求 的半径；
②求图中阴影部分的面积．
第130页（共130页）
