2026中考数学压轴题选择+填空275题_2025-2026中考数学《压轴题每日一题》(1)

★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 目录 类型 1：几何综合 60 题………………………………………1 类型 2：几何最值 44 题………………………………………15 类型 3：几何多结论 30 题……………………………………26 类型 4：二次函数图像与系数及性质综合 40 题……………36 类型 5：反比例函数综合题+k 的几何意义 40 题……………48 类型 6：动点产生的函数图像 18 题…………………………60 类型 7：圆综合 21 题…………………………………………66 类型 8：新定义+数论+代数推理 22 题………………………72★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ ★类型一：几何综合题 60题★ 1．（2025•湖北）如图，折叠正方形 1 / 78 A B C D 的一边 B C ，使点 C 落在BD上的点 F 处，折痕 B E 交 A C 于点 G ．若 D E = 2 2 ，则 C G 的长是 ( ) A． 2 B．2 C． 2 + 1 D．2 2−1 2．（2025•深圳）如图，将正方形 A B C D 沿EF 折叠，使得点A与对角线的交点 O 重合，EF 为折痕，则 E C F G 的值为 ( ) 1 1 A． B． C． 4 2 2 2 2 D． 3 3．（2025•重庆）如图，正方形ABCD的边长为2，点 E 是 B C 边的中点，连接DE ，将△ D C E 沿直线 D E 翻折到正方形 A B C D 所在的平面内，得△DFE，延长DF 交 A B 于点G．  A D G 和DAG的平分线 D H ， A H 相交于点 H ，连接GH，则△DGH的面积为 ( ) A． 5 8 5 B． C． 4 5 8 5 D． 5 4 5 4．（2025•连云港）如图，在△ABC中，ACB=90，CAB=30，AD平分CAB， B E ⊥ A D ， E 为垂 足，则 A B D E 的值为( ) A． 2 3 B． 7 3 3 5 C． 3 D． 2 8 3 3★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 5．（2025•广东）如图，在矩形ABCD中， 2 / 78 E ， F 是BC边上的三等分点，连接 D E ， A F 相交于点G，连 接 C G ．若AB=8， B C = 1 2 ，则 ta n  G C F 的值是 ( ) 10 A． B． 10 1 3 C． 3 1 1 0 0 2 D． 3 6．（2025•烟台）如图，在△ABC中，  A C B = 9 0  ， A C = B C ， A D 是角平分线．点 E 从点 A 出发，沿 A B 方向向点 B 运动，连接 C E ，点F 在 B C 上，且  C E F = 4 5  ．设 A E = x ， F D = y ，若 y 关于 x 的函数图象 过点 ( 0 , 2 − 2 ) ，则该图象上最低点的坐标为( ) 1 3 2 3 1 2 A．( ， − 2) B．( ， − 2) C．( ，3−2 2) D．( ，3−2 2) 2 2 2 2 2 2 7．（2025•河北）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形 E F G H 与正方形 O A B C 的顶点均为整点．若只将正方形 E F G H 平移，使其内部（不含边界）有且只有A， B ， C 三个整点， 则平移后点 E 的对应点坐标为( ) A． ( 7 5 , 1 1 5 ) 8 23 B．( , ) C． 5 10 ( 3 2 , 2 ) D． ( 3 2 , 9 4 ) 8．（2024•重庆）如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转90，得 到 F E ，连接 C F FG 并延长与AB的延长线交于点G．则 的值为( ) CE A． 2 B． 3 C． 3 2 2 D． 3 2 3★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 9．（2024•自贡）如图，在矩形ABCD中， 3 / 78 A F 平分BAC，将矩形沿直线 E F 折叠，使点 A ， B 分别落在 边 A D 、 B C 上的点 A  ， B  处， E F ， A F 分别交 A C 于点 G ， H ．若 G H = 2 ， H C = 8 ，则 B F 的长为 ( ) 20 2 A． B． 9 2 0 9 3 C． 5 2 3 D．5 10．（2024•淮安）如图，在 A B C D 中， A B = 2 ， B C = 3 ，  B = 6 0  ，P是 B C 边上的动点(BP1)，将△ ABP沿 A P 翻折得△ABP，射线PB与射线AD交于点E．下列说法不正确的是 ( ) A．当 A B  ⊥ A B 时， B  A = B E B．当点 B  落在 A D 上时，四边形 A B P B  是菱形 C．在点P运动的过程中，线段AE的最小值为2 D．连接 B B  ，则四边形 A B P B  的面积始终等于 1 2 A P  B B  11．（2024•呼和浩特）如图，在  A B D 中，  A B D = 3 0  ，  A = 1 0 5  ，将ABD沿 B D 翻折 1 8 0  得到  C B D ， 将线段DC绕点D顺时针旋转 3 0  得到线段 D F ，点 E 为 A B 的中点，连接 E F ， E D ．若EF =1，则BED 的面积是 ( ) A． 1 + 4 3 2+ 3 B． C． 4 2 + 2 3 D． 1 + 2 3 12．（2025•成都）如图，在△ A B C 中， A B = A C ，点D在 A C 边上，AD=3，CD=2，  C B D = 4 5  ，则 tanACB的值为 ；点 E 在BC的延长线上，连接 D E ，若CED=ABD，则CE的长为 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 13．（2025•江西）如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点 4 / 78 A 折叠纸片并展开， A B 的对应边为 A B  ，折痕与 边 B C 交于点 P ．当 A B  与 A B ， A D 中任意一边的夹角为 1 5  时，APB的度数可以是 ． 14．（2025•山西）如图，在四边形 A B C D 中，AD//BC，  B = 9 0  ， A B = 8 ， B C = 4 ，点E在边 A B 上， A E = 3 ，连接 C E ，且  D C E =  B C E ．点F 在 B C 的延长线上，连接 D F ．若 D F = D C ，则线段 C F 的长 为 ． 15．（2025•陕西）如图，在 A B C D 中， A B = 6 ，AD=8，  B = 6 0  ．动点M ， N 分别在边 A B ， A D 上， 且 A M = A N ，以 M N 为边作等边△ M N P ，使点 P 始终在 A B C D 的内部或边上．当△ M N P 的面积最大时， D N 的长为 ． 16．（2025•河南）定义：有两个内角的差为 9 0  的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ A B C 中， AB=AC=5， B C = 8 ，点P为边 B C 上一点，若△APC为“反直角三角形”，则 B P 的长为 ． 17．（2025•内蒙古）如图，在菱形 A B C D 中， A B = 4 5 ，对角线 B D 的长为16，E是 A D 的中点，F 是 B D 上一点，连接EF ．若BF=3，则EF 的长为 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 18．（2025•广西）如图，点 5 / 78 A ， D 在 B C 同侧， A B = B C = C A = 2 ， B D = C D = 2 ，则 A D = ． 19．（2025•黑龙江）如图，在矩形 A B C D 中， A D = 6 ，  C A D = 6 0  ，点 E 是边CD的中点，点 F 是对角 线 A C 上一动点，作点 C 关于直线EF 的对称点 P ，若 P E ⊥ A C ，则 C F 的长为 ． 20．（2025•辽宁）如图，在菱形ABCD中，对角线 A C 与 B D 相交于点 O ，AC=8，BD=12，点 E 在线段 O A 上， A E = 2 ，点 F 在线段 O C 上， O F = 1 ，连接 B E ，点 G 为 B E 的中点，连接 F G ，则 F G 的长为 ． 21．（2025•兰州）如图，黄金矩形 A B C D 中 A A B D = 5 2 − 1 ，以宽 A B 为边在其内部作正方形 A B F E ，得到四 边形 C D E F 是黄金矩形．依此作法，四边形DEGH ，四边形 K E G L 也是黄金矩形．依次以点 E ， G ，L为 圆心作 A F , F H , H K ，曲线AFHK 叫做“黄金螺线”．若 A D = 2 ，则“黄金螺线” AFHK 的长为 ．（结 果用表示） 22．（2025•贵州）如图，在矩形 A B C D 中，点E，F ， M 分别在AB，DC，AD边上，BE=2CF，FM 分别交对角线BD、线段DE于点 G ， H ，且H 是DE 的中点．若CF =2，  A B D = 3 0  ，则 H G 的长为 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 23．（2024•成都）如图，在RtABC中，C=90， 6 / 78 A D 是ABC的一条角平分线， E 为AD中点，连接 BE ．若 B E = B C ， C D = 2 ，则 B D = ． 24．（2024•深圳）如图，在△ A B C 中， A B = B C ， ta n  B = 1 5 2 ，D为 B C 上一点，若满足 C D = 5 8 B D ，过 D 作 D E ⊥ A D 交AC延长线于点 E ，则 C A E C = ． 25．（2024•苏州）如图，△ A B C 中，  A C B = 9 0  ， C B = 5 ，CA=10，点 D ， E 分别在 A C ， A B 边上， AE= 5AD，连接 D E ，将△ A D E 沿 D E 翻折，得到△ F D E ，连接 C E ， C F ．若△ C E F 的面积是△ B E C 面积的2倍，则 A D = ． 26．（2024•山西）如图，在 A B C D 中，AC为对角线，AE⊥BC于点E，点F 是AE延长线上一点，且  A C F =  C A F ，线段 A B ， C F 的延长线交于点G．若AB= 5，AD=4， ta n  A B C = 2 ，则 B G 的长 为 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 27．（2024•天津）如图，正方形 7 / 78 A B C D 的边长为 3 2 ，对角线 A C ， B D 相交于点 O ，点 E 在 C A 的延长线 上， O E = 5 ，连接DE． （Ⅰ）线段 A E 的长为 ； （Ⅱ）若 F 为 D E 的中点，则线段 A F 的长为 ． 28．（2024•呼和浩特）如图，正方形 A B C D 的面积为 50，以AB为腰作等腰  A B F ， A B = A F ，AE平分 DAF 交DC于点G，交 B F 的延长线于点 E ，连接 D E ．若 B F = 2 ，则DG= ． 29．（2024•淄博）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线 A C ， B D 相交于点 O ，点 E 在 B C 延长线 上， O E 与 C D 相交于点 F OF 5 ．若ACD=2OEC， = ，则菱形 FE 6 A B C D 的面积为 ． 30．（2024•哈尔滨）如图，矩形 A B C D 的对角线 A C ，BD相交于点 O ，延长 B C 至点G ，连接DG，  C D G = 1 4  A O B ，点E为DG的中点，连接 O E 交 C D 于点 F ，若AO=6EF， D E = 2 3 ，则 D F 的长 为 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 31．（2024•济南）如图，在矩形纸片 8 / 78 A B C D 中， A B = 2 ， A D = 2 ， E 为边 A D 的中点，点F 在边 C D 上， 连接EF ，将△DEF 沿EF 翻折，点D的对应点为D，连接BD．若BD=2，则DF = ． 32．（2024•盐城）如图，在△ A B C 中，  A C B = 9 0  ，AC=BC=2 2，点 D 是AC的中点，连接 B D ，将 △ B C D 绕点B旋转，得到△ B E F ．连接 C F ，当 C F / / A B 时， C F = ． 33．（2024•无锡）如图，在△ A B C 中，AC=2，AB=3，直线CM //AB， E 是BC上的动点（端点除外）， 射线 A E 交 C M 于点 D ．在射线 A E 上取一点 P ，使得 A P = 2 E D ，作 P Q / / A B ，交射线 A C 于点 Q ．设 A Q = x ， P Q = y ．当x= y时， C D = ；在点 E 运动的过程中， y 关于 x 的函数表达式为 ． 34．（2024•眉山）如图，菱形 A B C D 的边长为6，BAD=120，过点D作DE⊥BC，交 B C 的延长线于 点 E ，连结 A E 分别交BD，CD于点 F ，G，则FG的长为 ． 35．（2024•连云港）如图，将一张矩形纸片ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF ，连 接 B F ．再将矩形纸片折叠，使点 B 落在 B F 上的点H 处，折痕为AG．若点G恰好为线段 B C 最靠近点 B 的一个五等分点，AB=4，则 B C 的长为 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 36．（2024•南充）如图，在矩形ABCD中， 9 / 78 E 为 A D 边上一点，ABE=30，将  A B E 沿 B E 折叠得  F B E ， 连接 C F ， D F ，若 C F 平分  B C D ， A B = 2 ，则 D F 的长为 ． 37．（2023•南京）如图，在菱形纸片 A B C D 中，点 E 在边 A B 上，将纸片沿CE折叠，点 B 落在 B  处， C B  ⊥ A D ， 垂足为 F ．若 C F = 4 c m ，FB=1cm，则 B E = c m ． 38．（2023•绵阳）如图，在  A B C 中，  A C B = 9 0  ， A C = 8 ，将  A B C 绕点 C 按逆时针方向旋转得到△ ABC，满足 1 1 A 1 B 1 / / A C ，过点 B 作 B E ⊥ A C1 ，垂足为 E ，连接 A E ，若 S  A B E = 3 S  A C E ，则 A B 的长为 ． 39．（2023•襄阳）如图，在  A B C 中， A B = A C ，点D是AC的中点，将  B C D 沿 B D 折叠得到BED，连 接 A E ．若 D E ⊥ A B 于点 F ，BC=10，则 A F 的长为 ． 40．（2023•成都）如图，在 R t A B C 中，  A B C = 9 0  ，CD平分ACB交AB于点D，过D作DE//BC交 AC于点E，将  D E C AG 7 沿DE折叠得到DEF ，DF 交AC于点G．若 = ，则 GE 3 ta n A = ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 41．（2023•深圳）如图，在 10 / 78  A B C 中， A B = A C ， ta n B = 3 4 ，点D为 B C 上一动点，连接AD，将ABD沿 AD翻折得到  A D E ， D E 交 A C 于点 G ， G E  D G ，且 A G : C G = 3 : 1 S ，则 三角形AGE = ． S 三角形ADG 42．（2023•济南）如图，将菱形纸片 A B C D 沿过点 C 的直线折叠，使点D落在射线 C A 上的点 E 处，折痕 C P 交 A D 于点 P ．若  A B C = 3 0  ， A P = 2 ，则PE 的长等于 ． 43．（2023•杭州）如图，在ABC中，AB=AC，A90，点 D ， E ， F 分别在边AB，BC，CA上， 连接 D E ，EF ， F D ，已知点 B 和点 F 关于直线 D E BC 对称．设 =k ，若 AB A D = D F CF ，则 = （结果 FA 用含 k 的代数式表示）． 44．（2023•苏州）如图，BAC=90，AB=AC=3 2，过点 C 作CD⊥BC，延长 C B 到 E 1 ，使BE= CD， 3 连接 A E ， E D ．若ED=2AE，则 B E = ．（结果保留根号） 45．（2023•山西）如图，在四边形 A B C D 中，BCD=90，对角线AC，BD相交于点 O ．若AB=AC=5， BC=6，ADB=2CBD，则AD的长为 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 46．（2023•武汉）如图， 11 / 78 D E 平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△ F D E ，AC分别与 D F ， E F 相 交于 G ， H 两点．若 D G = m ， E H = n ，用含 m ， n 的式子表示 G H 的长是 ． 47．（2023•扬州）如图，已知正方形 A B C D 的边长为1，点 E 、 F 分别在边 A D 、 B C 上，将正方形沿着 E F 翻折，点 B 恰好落在 C D 边上的点 B  处，如果四边形 A B F E 与四边形 E F C D 的面积比为 3 : 5 ，那么线段FC 的长为 ． 48．（2023•滨州）如图，矩形 A B C D 的对角线 A C ， B D 相交于点 O ，点 E ， F 分别是线段 O B ， O A 上的 点，若 A E = B F ， A B = 5 ， A F = 1 ， B E = 3 ，则 B F 的长为 ． 49．（2023•大连）如图，正方形 A B C D 中， A B = 3 ，点E在 B C 的延长线上，且 C E = 2 ．连接AE，  D C E 的平分线与 A E 相交于点 F ，连接 D F ，则 D F 的长为 ． 50．（2023•新疆）如图，在 ABCD中，AB=6，BC=8，  A B C = 1 2 0  ，点E是AD上一动点，将  A B E 沿BE 折叠得到△ A B E ，当点 A  恰好落在EC上时，DE 的长为 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 51．（2023•哈尔滨）如图，在正方形ABCD中，点 12 / 78 E 在CD上，连接 A E ， B E ， F 为 B E 的中点，连接CF， 若 C F = 2 2 9 ， D E E C = 3 2 ，则 A E 的长为 ． 52．（2023•营口）如图，在  A B C 中，  B A C = 9 0  ，AB=AC，将AC绕着点 C 按顺时针旋转 6 0  得到 C D ， 连接 B D 交 A C 于点 E AE ，则 = ． ED 53．（2023•朝阳）在矩形ABCD中，AB=5，BC=6，点M 是边 A D 上一点（点 M 不与点 A ， D 重合）， 连接 C M ，将△ C D M 沿 C M 翻折得到△ C N M ，连接 A N ， D N ．当△ A N D 为等腰三角形时， D M 的长 为 ． 54．（2023•呼和浩特）如图，正方形ABCD的边长为 2 5 ，点 E 是CD的中点， B E 与AC交于点 M ， F 是 A D 上一点，连接 B F 分别交AC， A E 于点 G ， H ，且BF ⊥ AE，连接MH ，则AH = ，MH = ． 55．（2023•盘锦）如图，四边形ABCD是矩形， A B = 6 ，BC=6，点E为边BC的中点，点F 为边AD上 一点，将四边形ABEF沿 E F 折叠，点A的对应点为点A，点B的对应点为点 B  ，过点 B  作BH ⊥BC于 点 H ，若 B H = 2 2 ，则 F D 的长是 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 56．（2025•绥化）在边长为7的等边三角形 13 / 78 A B C 中，点 D 在 A B 上， B D = 2 ．点 M 是直线 B C 上的一个动 点，连接 M D ，以MD 为边在 M D 的左侧作等边三角形MND，连接 B N ．当△ B N D 为直角三角形时，则 C M 的长是 ． 57．（2025•威海）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可 拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为 m ，宽为 n ，四边形 E F G H 的面积等于四边形 A B C D m 面积的2倍，则 = ． n 58．（2024•武汉）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等 的直角三角形和中间的小正方形 M N P Q 拼成的一个大正方形ABCD．直线 M P 交正方形ABCD的两边于点 E，F ，记正方形 A B C D 的面积为 S 1 ，正方形 M N P Q 的面积为 S 2 . 若 B E = k A E ( k  1 ) ，则用含 k 的式子表 示 S S 1 2 的值是 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 59．（2024•安徽）如图，现有正方形纸片 14 / 78 A B C D ，点 E ，F 分别在边 A B ， B C 上．沿垂直于 E F 的直线折 叠得到折痕 M N ，点 B ， C 分别落在正方形所在平面内的点 B  ， C  处，然后还原． （1）若点 N 在边 C D 上，且 B E F   = ，则  C  N M = （用含的式子表示）； （2）再沿垂直于 M N 的直线折叠得到折痕 G H ，点 G ，H 分别在边 C D ， A D 上，点D落在正方形所在平 面内的点D处，然后还原．若点D在线段 B C  上，且四边形 E F G H 是正方形，AE =4， E B = 8 ， M N 与 G H 的交点为 P ，则PH 的长为 ． 60．（2023•杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是 1700 多年前中国古代数学家赵爽的“弦 图”．如图，在由四个全等的直角三角形 (  D A E ，  A B F ，BCG，  C D H ) 和中间一个小正方形 E F G H 拼 成的大正方形ABCD中，ABF BAF ，连接 B E ．设 B A F   = ，BEF =，若正方形 E F G H 与正方 形 A B C D 的面积之比为 1 : n ， ta n ta n 2   = ，则 n = ( .★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ ★类型二：几何最值问题 44题★ 1．（2025•安徽）如图，在四边形ABCD中，A=ABC=90， 15 / 78 A B = 4 ，BC=3， A D = 1 ，点 E 为边 AB上的动点．将线段 D E 绕点 D 逆时针旋转 9 0  得到线段 D F ，连接 F B ， F C ， E C ，则下列结论错误 的是 ( ) A． E C − E D 的最大值是 2 5 B． F B 的最小值是 1 0 C． E C + E D 的最小值是 4 2 D．FC的最大值是 13 2．（2025•自贡）如图，正方形 A B C D 边长为6，以对角线BD为斜边作 R t △BED，  E = 9 0  ，点F 在 DE上，连接 B F ．若 2 B E = 3 D F ，则 B F 的最小值为( ) A．6 B．6 2− 5 C．3 5 D．4 5−2 2 3．（2025•宜宾）如图，在 R t △ABC中，  A C B = 9 0  ， A C = 4 ， B C = 5 ．过点 A 作直线 l / / B C ，点 E 是直线 l 上一动点，连结 E C ，过点 E 作 E F ⊥ C E ，连结 C F 使 ta n  E C F = 1 2 . 当BF 最短时，则AE的长 度为 ( ) A． 5 B．4 C． 2 5 D．2 13 4．（2025•资阳）如图，在四边形 A B C D 中， A B / / D C ， A D ⊥ D C ， A B = 4 ， A D = D C = 2 ，E是线段 A D 的中点，F 是线段AB上的一个动点．现将△ A E F 沿EF 所在直线翻折得到△AEF（如图的所有点在同一 平面内），连接 A  B ， A C ，则△ABC面积的最小值为( ) A．2− 2 B． 3 − 2 C． 1 0 − 2 D．4− 2★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 5．（2024•苏州）如图，矩形 16 / 78 A B C D 中， A B = 3 ， B C = 1 ，动点 E ，F 分别从点A， C 同时出发，以每 秒1个单位长度的速度沿AB， C D 向终点B，D运动，过点E，F 作直线l，过点A作直线 l 的垂线， 垂足为 G ，则 A G 的最大值为( ) A． 3 3 B． C．2 D．1 2 6．（2024•泸州）如图，在边长为6的正方形 A B C D 中，点 E ，F 分别是边 A B ， B C 上的动点，且满足 AE=BF ，AF 与DE交于点 O ，点M 是DF 的中点，G是边AB上的点， A G = 2 G B ，则 O M + 1 2 F G 的 最小值是 ( ) A．4 B．5 C．8 D．10 7．（2024•泰安）如图，菱形 A B C D 中，  B = 6 0  ，点 E 是 A B 边上的点，AE =4， B E = 8 ，点F 是 B C 上的一点，△ E G F 是以点G为直角顶点，  E F G 为 3 0  角的直角三角形，连结 A G ．当点F 在直线 B C 上运动时，线段AG的最小值是 ( ) A．2 B．4 3−2 C． 2 3 D．4 8．（2024•宜宾）如图，在ABC中， A B = 3 2 ，AC=2，以 B C 为边作RtBCD，BC=BD，点D与 点A在BC的两侧，则AD的最大值为( ) A．2+3 2 B．6+2 2 C．5 D．8★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 9．（2024•德阳）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位： 17 / 78 d m ) 的正方形纸片 A B C D ，他在边AB和AD上分别取点E和点M ，使AE =BE，AM =1，又在线段MD上任取一点 N （点 N 可与端点重合），再将△EAN沿 N E 所在直线折叠得到△ E A 1 N ，随后连接 D A 1 ，小王同学通过多 次实践得到以下结论：①当点N在线段 M D 上运动时，点 A 1 在以E为圆心的圆弧上运动； ②当 D A 1 达到最大值时，A到直线AD的距离达到最大；③ 1 D A 1 的最小值为 2 5 − 2 ；④ D A 1 达到最小值 时， M N = 5 − 5 ．你认为小王同学得到的结论正确的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2023•自贡）如图，分别经过原点 O 和点A(4,0)的动直线a， b 夹角  O B A = 3 0  ，点 M 是 O B 中 点，连接AM ，则 s in  O A M 的最大值是 ( ) 3+ 6 A． B． 6 2 3 C． 3 6 5 D． 6 11．（2023•泰安）如图，在平面直角坐标系中， R t A O B 的一条直角边 O B 在 x 轴上，点 A 的坐标为 ( − 6 , 4 ) ； R t C O D 中，  C O D = 9 0  ， O D = 4 3 ，  D = 3 0  ，连接 B C ，点 M 是 B C 中点，连接 AM ．将RtCOD以点 O 为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 A M 的最小值是( ) A．3 B． 6 2 − 4 C． 2 1 3 − 2 D．2 12．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA=OB=3 5，点C为平面内一动点， 3 BC= ，连接AC，点M 是线段AC上的一点，且满足 2 C M : M A = 1 : 2 ．当线段 O M 取最大值时，点M 的坐标是 ( ) 3 6 3 6 6 12 6 12 A．( ， ) B．( 5， 5) C．( ， ) D．( 5， 5) 5 5 5 5 5 5 5 5★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 13．（2023•盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，AB= 10，AD=4 2，点 18 / 78 P 是边 A D 上一点（不与点 A，D重合），连接PB， P C ，点M ， N 分别是PB， P C 的中点，连接 M N ，AM ， D N ，点E在边 AD上， M E / / D N ，则 A M + M E 的最小值是 ( ) A． 2 3 B．3 C． 3 2 D． 4 2 14．（2025•连云港）如图，在菱形ABCD中， A C = 4 ， B D = 2 ， E 为线段 A C 上的动点，四边形 D A E F 为平行四边形，则 B E + B F 的最小值为 ． 15．（2025•自贡）如图，在平面直角坐标系 x O y 中， R t △ABC的顶点C，A分别在 x 轴， y 轴正半轴 上，  A C B = 9 0  ，  B A C = 3 0  ， B C = 2 ．以 B C 为边作等边△ B C D ，连接 O D ，则 O D 的最大值 为 ． 16．（2025•烟台）如图，在菱形 A B C D 中，BAD=60，对角线AC=6cm．点M 从点A出发，沿 A C 方向以1cm/s的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿CD方向以 3cm/s的速度向点D运动，当 一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接 A N ， D M 交于点 P ．在此过程中，点P的运动路径长为 c m ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 17．（2025•扬州）如图，在矩形 19 / 78 A B C D 中， A B = 4 ， B C = 4 3 ，点 E 是 B C 边上的动点，将△ A B E 沿直 线 A E 翻折得到△ A P E ，过点 P 作 P F ⊥ A D ，垂足为 F ，点Q是线段AP上一点，且 A Q = 1 2 P F ．当点 E从点B运动到点C时，点Q运动的路径长是 ． 18．（2025•内江）如图，在△ A B C 中，  A = 4 5  ，  B = 6 0  ， A B = 2 2 ，点 D 、E、 F 分别是边 BC、AB、 A C 上的动点，则△DEF 周长的最小值是 ． 19．（2025•内江）如图，在矩形 A B C D 中， A B = 8 ， A D = 6 ，点 E 、F 分别是边 A D 、 C D 上的动点， 连接 B E 、 E F ，点 G 为 B E 的中点，点H 为 E F 的中点，连接 G H ，则 G H 的最大值是 ． 20．（2025•广安）如图，在等腰Rt△ A B C 中，  B A C = 9 0  ， A B = A C = 4 ，D是BC边上的一个动点， 连接 A D ，则 A D 的最小值为 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 21．（2025•山东）如图，在Rt△ABC中，ABC=90，AB=6，BC=8．点 20 / 78 P 为边AC上异于 A 的一 点，以 P A ， P B 为邻边作 P A Q B ，则线段 P Q 的最小值是 ． 22．（2025•宜宾）如图，在 R t △ A B C 中，  A B C = 9 0  ， B C = 6 ，将射线 C A 绕点 C 顺时针旋转90到 CA，在射线 1 C A 1 上取一点D，连结 A D ，使得△ACD面积为24，连结 B D ，则 B D 的最大值是 ． 23．（2025•黑龙江）如图，已知△ A B C 中，ACB=90，AC=7，BC=9，点 M 是△ A B C 内部一 点，连接 A M 、 B M 、 C M ，若 C M = 3 1 ，则AM + BM 的最小值为 ． 3 24．（2024•扬州）如图，已知两条平行线 l1 、 l2 ，点A是 l1 上的定点， A B ⊥ l2 于点B，点 C 、D分别是 l1 ，l 上的动点，且满足 2 A C = B D ，连接 C D 交线段AB 于点 E ， B H ⊥ C D 于点 H ，则当  B A H 最大 时， s i n  B A H 的值为 ． 25．（2024•河南）如图，在Rt△ A B C 中，  A C B = 9 0  ，CA=CB=3，线段 C D 绕点 C 在平面内旋转， 过点B 作 AD的垂线，交射线AD于点E ．若CD=1，则 AE 的最大值为 ，最小值为 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 26．（2024•烟台）如图，在 ABCD中，C=120，AB=8，BC=10， 21 / 78 E 为边CD的中点， F 为边 A D 上的一动点，将  D E F 沿 E F 翻折得△ D E F ，连接 A D  ， B D  ，则  A B D  面积的最小值为 ． 27．（2024•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点 A 在直线 y = 3 4 x 上，且点 A 的横坐标为4，直角三角 板的直角顶点 C 落在 x 轴上，一条直角边经过点 A ，另一条直角边与直线 O A 交于点 B ，当点 C 在 x 轴 上移动时，线段 AB 的最小值为 ． 28．（2024•黑龙江）如图，在RtABC中，  A C B = 9 0  ， ta n  B A C = 1 2 ， B C = 2 ， A D = 1 ，线段AD 绕点 A 旋转，点 P 为 C D 的中点，则 B P 的最大值是 ． 29．（2024•海南）如图，矩形纸片ABCD中， A B = 6 ，BC=8，点E 、 F 分别在边AD 、 B C 上，将 纸片 A B C D 沿 E F 折叠，使点 D 的对应点 D  在边 B C 上，点C的对应点为 C  ，则 D E 的最小值 为 ，CF 的最大值为 ． 30．（2024•连云港）如图，在△ A B C 中，C=90，B=30，AC=2．点P 在边AC 上，过点P 作 PD⊥ AB，垂足为D，过点D作DF⊥BC，垂足为F ．连接 P F ，取 P F 的中点E ．在点P 从点 A 到点 C 的运动过程中，点E 所经过的路径长为 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 31．（2024•宜宾）如图，正方形ABCD的边长为1，M 、N是边BC、CD上的动点．若MAN=45， 则 22 / 78 M N 的最小值为 ． 32．（2024•宜宾）如图，在平行四边形ABCD中， A B = 2 ， A D = 4 ， E 、 F 分别是边 C D 、 A D 上的 动点，且 C E = D F ．当 A E + C F 的值最小时，则 C E = ． 33．（2024•广元）如图，在  A B C 中， A B = 5 ， ta n  C = 2 ，则 A C + 5 5 B C 的最大值为 ． 34．（2023•广元）如图，ACB=45，半径为2的 O与角的两边相切，点 P 是 O上任意一点，过 点 P 向角的两边作垂线，垂足分别为 E ， F ，设t=PE+ 2PF，则 t 的取值范围是 ． 35．（2022•广元）如图，直尺 AB 垂直竖立在水平面上，将一个含45角的直角三角板CDE的斜边DE 靠在直尺的一边 AB 上，使点E 与点 A 重合，DE=12cm．当点D沿DA方向滑动时，点 E 同时从点 A 出发沿射线AF 方向滑动．当点D滑动到点 A 时，点C运动的路径长为 c m ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 36．（2023•达州）在△ 23 / 78 A B C 中， A B = 4 3 ，  C = 6 0  ，在边 B C 上有一点P ，且 B P = 1 2 A C ，连接 AP ，则 AP 的最小值为 37．（2023•南通）如图，四边形 A B C D 的两条对角线 A C ， B D 互相垂直， A C = 4 ， B D = 6 ，则 AD+BC的最小值是 ． 38．（2023•泸州）如图， E ， F 是正方形 A B C D 的边 A B 的三等分点， P 是对角线 A C 上的动点，当 PE+PF 取得最小值时， A P P C 的值是 ． 39．（2023•德州）如图，在四边形ABCD中，  A = 9 0  ， A D / / B C ，AB=3， B C = 4 ，点 E 在 A B 上，且 A E = 1 ．F ，G为边AD 上的两个动点，且FG=1．当四边形 C G F E 的周长最小时， C G 的长为 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 40．（2023•自贡）如图，直线 24 / 78 y = − 1 3 x + 2 与 x 轴， y 轴分别交于 A，B 两点，点D是线段AB 上一动 点，点 H 是直线 y = − 4 3 x + 2 上的一动点，动点 E ( m , 0 ) ， F ( m + 3 , 0 ) ，连接 B E ， D F ， H D ．当 BE+DF 取最小值时， 3 B H + 5 D H 的最小值是 ． 41．（2023•随州）如图，在矩形ABCD中， A B = 5 ， A D = 4 ，M 是边 A B 上一动点（不含端点），将△ A D M 沿直线DM 对折，得到△NDM．当射线 C N 交线段 A B 于点 P 时，连接 D P ，则△ C D P 的面积 为 ； D P 的最大值为 ． 42．（2023•黑龙江）如图，在菱形ABCD中，AB=3，ABC=60，点E ， F 分别是边BC和对角线 A C 上的动点，且 B E = C F ，连接 A E ， B F 相交于点M ，点P 是 B C 边上的一个动点，连接 P M ， PD，则PM +PD的最小值是 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 43．（2020•成都）如图，在矩形ABCD中， 25 / 78 A B = 4 ，BC=3， E ， F 分别为 A B ，CD边的中点．动 点 P 从点 E 出发沿EA向点 A 运动，同时，动点 Q 从点 F 出发沿 F C 向点 C 运动，连接 P Q ，过点 B 作 B H ⊥ P Q 于点 H ，连接 D H ．若点 P 的速度是点 Q 的速度的2倍，在点 P 从点 E 运动至点 A 的过 程中，线段 P Q 长度的最大值为 ，线段DH 长度的最小值为 ． 44．（2020•扬州）如图，在 A B C D 中，  B = 6 0  ，AB=10， B C = 8 ，点E 为边 A B 上的一个动点，连 接ED并延长至点F ，使得 D F = 1 4 D E ，以 E C 、EF 为邻边构造 EFGC，连接 E G ，则 E G 的最小值 为 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ ★类型三：几何多结论题 30题★ 1．（2025•天津）四边形ABCD中，AD//BC，B=90，AB=8cm，AD=10cm，BC=16cm．动点 26 / 78 M 从点 B 出发，以 2 c m / s 的速度沿边 B A 、边 A D 向终点D运动；动点N从点 C 同时出发，以 1 c m / s 的 速度沿边 C B 向终点B 运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间 为 t ．当 s t = 2 s 时，点 M ，N的位置如图所示．有下列结论：①当 t = 6 s 时，CN =DM ； ②当 1 t 2 时，△ B M N 的最大面积为 2 6 c m 2 ；③ t 有两个不同的值满足△ B M N 的面积为 3 9 c m 2 ．其中， 正确结论的个数是 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025•黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点 F 在BC边上（不与点 B 、C重合），点 E 在 C B 的延 长线上，且BE =BF，连接 A C 、 AE 、AF ，过点 E 作 E G ⊥ A F 于点G，分别交AB 、 A C 、 D C 于点 M 、 H 、 N ．则下列结论：①MN=AF；②  E A H =  E H A ；③ENBF=ECHN；④若 B F : F C = 3 : 4 ，则 ta n  F A C = 2 5 ；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是 ( ) A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 3．（2024•北京）如图，在菱形 A B C D 中，  B A D = 6 0  ， O 为对角线的交点．将菱形 A B C D 绕点 O 逆时 针旋转 9 0  得到菱形 A B C D  ，两个菱形的公共点为 E ， F ， G ， H ．对八边形 B F B G D H D E 给出下 面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等； ③点 O 到该八边形各顶点的距离都相等；④点 O 到该八边形各边所在直线的距离都相等． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 4．（2024•黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点 27 / 78 H 在AD 边上（不与点 A 、 D 重合），BHF =90， H F 交正方形外角的平分线 D F 于点 F ，连接 A C 交 B H 于点 M ，连接 B F 交 A C 于点 G ，交 C D 于 点 N ，连接 B D ．则下列结论：①  H B F = 4 5  ；②点 G 是 B F 的中点；③若点 H 是 A D 的中点，则 10 sinNBC= ；④ 10 B N = 2 B M 1 11 ；⑤若AH = HD，则S = S ．其中正确的结论是( ) 2 BND 2 AHM A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 5．（2024•东营）如图，在正方形ABCD中，AC与 B D 交于点O， H 为 A B 延长线上的一点，且 BH =BD，连接 D H ，分别交 A C ， B C 于点E ， F ，连接 B E ，则下列结论： ① C B F F = 2 3 ；② ta n  H = 3 − 1 ；③ B E 平分  C B D ；④ 2 A B 2 = D E  D H ． 其中正确结论的个数是 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024•宁夏）如图，在 R t  A B C 中，  A B C = 9 0  ， A B = 3 c m ，BC=2cm，点 A 在直线l 上，点 1 B ， C在直线 l2 上， l1 / / l 2 ，动点 P 从点 A出发沿直线l 以1cm/s的速度向右运动，设运动时间为t s ． 1 下列结论：①当 t = 2 s 时，四边形ABCP的周长是10cm；②当 t = 4 s 时，点P 到直线 l2 的距离等于 5 c m ； ③在点P 运动过程中，  P B C 的面积随着 t 的增大而增大；④若点D，E 分别是线段PB， P C 的中点， 在点P 运动过程中，线段DE 的长度不变．其中正确的是( ) A．①④ B．②③ C．①③ D．②④★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 7．（2024•呼和浩特）下列说法中，正确的个数有 28 / 78 ( ) ①二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 的图象经过(2,1)， ( − 4 ,1 ) 两点， m ， n 是关于 x 的一元二次方程 a x 2 + b x + c − k = 0 ( 0  k 1 ) 的两个实数根，且 m  n ，则 − 4  m  n  2 恒成立． ②在半径为 r 的 O 中，弦 A B ， C D 互相垂直于点 P ，当 O P = m 时，则 A B 2 + C D 2 = 8 r 2 − 4 m 2 ． ③  A B C 为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且  A B C = 9 0  ，点 A的坐标为 (1 , 0 ) ，点 B 的坐标为 (0,5)，点 C 是反比例函数 y = k x ( k  0 ) 的图象上一点，则 k =  3 0 ． ④已知矩形的一组邻边长是关于 x 的一元二次方程 x 2 − 2 ( a + 1 ) x + a 2 − 1 = 0 的两个实数根，且矩形的周长 值与面积值相等，则矩形的对角线长是 4 6 ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2024•德阳）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：dm)的正方形纸片 A B C D ，他在边 A B 和 A D 上分别取点 E 和点 M ，使 A E = B E ， A M = 1 ，又在线段 M D 上任取一点 N （点 N 可与端点重合），再将△ E A N 沿 N E 所在直线折叠得到△ E A 1 N ，随后连接 D A 1 ，小王同学通过多 次实践得到以下结论：①当点 N 在线段MD 上运动时，点 A 1 在以 E 为圆心的圆弧上运动； ②当 D A 1 达到最大值时， A 1 到直线 A D 的距离达到最大；③DA 的最小值为 1 2 5 − 2 ；④ D A 1 达到最小 值时，MN=5− 5．你认为小王同学得到的结论正确的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024•南充）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由 四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形 A B C D 中， A B = 1 0 ．下列三个结论：①若 ta n  A D F = 3 4 ，则EF =2；②若RtABG的面积是正方形 E F G H 面积的3倍，则点 F 是AG的三等分 点；③将  A B G 绕点 A逆时针旋转90得到  A D G  ，则 B G  的最大值为5 5+5．其中正确的是 ( ) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 10．（2024•达州）如图，△ABC是等腰直角三角形，ABC=90， 29 / 78 A B = 4 ，点 D ， E 分别在AC ， B C 边上运动，连结 A E ， B D 交于点 F ，且始终满足 A D = 2 2 C E ，则下列结论：① A B E D = 2 ；② DFE=135；③△ A B F 面积的最大值是4 2−4；④CF 的最小值是2 10−2 2．正确的是 ( ) A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 11．（2023•绥化）如图，在正方形 A B C D 中，点E 为边 C D 的中点，连接AE ，过点B 作BF ⊥ AE于点 F ，连接 B D 交 A E 于点 G ， F H 平分  B F G 交 B D 于点 H ．则下列结论中，正确的个数为 ( ) ① A B 2 = B F  A E ② S  B G F : S  B A F = 2 : 3 ③当 A B = a 时，BD2 −BDHD=a2 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12．（2023•眉山）如图，在正方形ABCD中，点E 是CD上一点，延长 C B 至点F ，使 B F = D E ，连结 A E ， AF ， E F ， E F 交 A B 于点 K ，过点 A作AG⊥EF，垂足为点 H ，交CF 于点G，连结 H D ，HC．下列四个结论：①AH=HC；②HD=CD；③  F A B =  D H E ；④AKHD= 2HE2．其中 正确结论的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 13．（2023•黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点 30 / 78 E ， F 分别是 A B ，BC上的动点，且 A F ⊥ D E ，垂 足为 G ，将△ABF沿 A F 翻折，得到△ A M F ， A M 交 D E 于点 P ，对角线 B D 交 A F 于点 H ，连接 HM ， C M ， D M ， B M ，下列结论正确的是 ( ) ① A F = D E ；② B M / / D E ；③若 C M ⊥ F M ，则四边形 B H M F 是菱形；④当点 E 运动到 A B 的中点， tanBHF =2 2；⑤ E P  D H = 2 A G  B H ． A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤ 14．（2023•东营）如图，正方形 A B C D 的边长为4，点 E ， F 分别在边 D C ， B C 上，且 B F = C E ， A E 平分  C A D ，连接 D F ，分别交 A E ， A C 于点 G ， M ． P 是线段 A G 上的一个动点，过点 P 作 P N ⊥ A C ，垂足为 N ，连接 P M ．有下列四个结论：① A E 垂直平分 D M ；②PM+PN的最小值为 3 2 ；③ C F 2 = G E  A E ；④ S  A D M = 6 2 ．其中正确的是( ) A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③ 15．（2021•深圳）在正方形 A B C D 中， A B = 2 ， E 是 B C 的中点，在 B C 延长线上取点 F 使 EF =ED，过点F 作 F G ⊥ E D 交ED于点M ，交 AB 于点G，交 C D 于点 N ，以下结论中：① 1 tanGFB= ；② 2 N M = N C CM 1 5+1 ；③ = ；④S = ．正确的个数是 EG 2 四边形GBEM 2 ( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 16．（2022•黑龙江）如图，正方形ABCD的对角线AC ， 31 / 78 B D 相交于点O，点 F 是CD上一点， O E ⊥ O F 交 B C 于点 E ，连接 A E ， B F 交于点 P ，连接 O P ．则下列结论：① A E ⊥ B F ；②  O P A = 4 5  ；③AP−BP= 2OP；④若 B E : C E = 2 : 3 ，则 ta n  C A E = 4 7 ；⑤四边形 O E C F 的面积是正 方形 A B C D 1 面积的 ．其中正确的结论是( ) 4 A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 17．（2021•绥化）如图所示，在矩形纸片 A B C D 中， A B = 3 ， B C = 6 ，点E 、F 分别是矩形的边 A D 、 B C 上的动点，将该纸片沿直线 E F 折叠．使点 B 落在矩形边AD 上，对应点记为点 G ，点 A 落在 M 处，连接EF 、 B G 、 B E ， E F 与 B G 交于点 N ．则下列结论成立的是 ( ) ① B N = A B ；②当点 G 与点 D 重合时， E F = 3 2 5 ；③  G N F 的面积 S 的取值范围是 9 4 S 7 2 ； ④当 C F = 5 2 3 13 时，S = ． MEG 4 A．①③ B．③④ C．②③ D．②④ 18．（2025•南充）如图， A C 为正方形 A B C D 的对角线， C E 平分  A C B ，交 A B 于点 E ，把△ C B E 绕 点 B 逆时针方向旋转90得到△ABF，延长CE 交AF 于点 M ，连接 D M ，交 A C 于点N．给出下列 AN 结论：①CM ⊥ AF；②CF=AF；③CMD=45；④ = 2−1．以上结论正确的是 ．（填写 CN 序号）★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 19．（2025•遂宁）如图，在边长为1的正方形ABCD的对角线 32 / 78 B D 上取一点E ，使BAE=15，连结 CE 并延长至点 F ，连结 B F ，使BF=BC，CF 与 AB 相交于点 H ．有下列结论：①AE=CE； ② B E + A E = E F ；③ A H H B = 2 3 − 1 ；④点 M 是BC边上一动点，连结 H M ，将△ B H M 沿 H M 翻折，点 B 落在点P 处，连结 B P 交HM 于点 Q ，连结 D Q ，则 D Q 的最小值为 7 + 2 3 − 2 ． 其中正确的结论有 ．（填序号） 20．（2025•眉山）如图，正方形 A B C D 的边长为4，点 E 在边 A D 上运动（不与点 A 、 D 重合）， CDP=45，点F 在射线 D P 上，且 A E : D F = 1 : 2 ，连接 B F ，交 C D 于点 G ，连接 E B 、EF 、 E G ．下列结论：① s in  B F E = 2 2 ；② A E 2 + C G 2 = E G 2 ；③△ D E F 的面积最大值是2；④若 A E = 1 3 A D ，则点 G 是线段 C D 的中点．其中正确结论的序号是 ． 21．（2025•长春）如图，在边长为4的正方形 A B C D 中，对角线 A C 、 B D 相交于点 O ．点E 在线段OA 上，连结 B E ，作 C F ⊥ B E 于点 F ，交 O B 于点 P ．给出下面四个结论： ①  O C P =  O B E ；②OE=OP；③当 C E = C B 时，BP=EF ；④点 A与点F 之间的距离的最小值为 2 5 − 2 ．上述结论中，正确结论的序号有 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 22．（2024•遂宁）如图，在正方形纸片ABCD中， 33 / 78 E 是 A B 边的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点B 落在点 P 处，延长 C P 交 A D 于点Q，连结 A P 并延长交 C D 于点 F ．给出以下结论：①  A E P 为等腰 三角形；② F 3 为CD的中点；③AP:PF =2:3；④cosDCQ= ．其中正确结论是 （填序号）． 4 23．（2024•济宁）如图，△ A B C 中， A B = A C ，  B A C = 9 0  ， A D 是△ABC的角平分线． （1）以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA， B C 于点E ，F ． （2）以点 A 为圆心， B E 长为半径画弧，交 A C 于点 G ． （3）以点 G 为圆心， E F 长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点 H ． （4）画射线 A H ． （5）以点 B 为圆心， B C 长为半径画弧，交射线AH 于点M ． （6）连接 M C ， M B ． M B 分别交 A C ， A D 于点 N ， P ． 根据以上信息，下面五个结论中正确的是 . （只填序号） ① B D = C D ；②  A B M = 1 5  AM 3 ③APN=ANP；④ = ；⑤ AD 2 M C 2 = M N  M B ． 24．（2023•日照）如图，矩形 A B C D 中， A B = 6 ， A D = 8 ，点 P 在对角线 B D 上，过点 P 作 MN ⊥BD，交边AD，BC于点 M ，N，过点 M 作 M E ⊥ A D 交BD于点 E ，连接 E N ，BM ， DN ．下列结论： ① E M = E N ；②四边形MBND的面积不变；③当 A M : M D = 1 : 2 96 时，S = ；④ MPE 25 B M + M N + N D 的 最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 25．（2023•南充）如图，在等边ABC中，过点C作射线CD⊥BC，点M ，N分别在边 34 / 78 A B ，BC 上，将  A B C 沿 M N 折叠，使点B 落在射线 C D 上的点 B  处，连接 A B  ，已知 A B = 2 ．给出下列四个 结论：① C N + N B  为定值；②当 B N = 2 N C 时，四边形 B M B  N 为菱形；③当点 N 与 C 重合时， ABM =18；④当 A B  最短时， M N = 7 2 2 0 1 ．其中正确的结论是 .（填写序号） 26．（2023•湖北）如图，BAC，DEB和AEF都是等腰直角三角形，  B A C =  D E B =  A E F = 9 0  ， 点 E 在  A B C 内， B E  A E ，连接 D F 交 A E 于点 G ， D E 交 A B 于点 H ，连接 C F ．给出下面四个 结论：①  D B A =  E B C ；②  B H E =  E G F ；③ A B = D F ；④ A D = C F ．其中所有正确结论的序号 是 ． 27．（2023•大庆）如图，在ABC中，将AB 绕点 A 顺时针旋转 至  A B  ，将AC 绕点 A 逆时针旋转 至 A C ( 0 1 8 0 , 0 1 8 0 )            ，得到△ABC，使BAC+BAC=180，我们称△ABC是 ABC的“旋补三角形“，△ABC的中线 A D 叫做ABC的“旋补中线”，点 A叫做“旋补中心”．下列 结论正确的有 ． ①  A B C 与△ A B C  面积相同；② B C = 2 A D ；③若 A B = A C ，连接BB和 C C  ，则 BBC+CCB=180；④若 A B = A C ， A B = 4 ， B C = 6 ，则 B C  = 1 0 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 28．（2023•牡丹江）如图，在正方形ABCD中，E 在边CD上， 35 / 78 B E 交对角线AC 于点 F ，CM ⊥BE 于 M ，  C M E 的平分线所在直线分别交CD， A C 于点 N ， P ，连接 F N ． 下列结论：① S  N P F : S  N P C = F M : M C ；② C M = P N ；③ E N  C D = E C  C F ；④若 E M = 1 ， M B = 4 ， 则 P M = 2 ．其中正确的是 ． 29．（2023•遂宁）如图，以ABC的边 A B 、AC 为腰分别向外作等腰直角  A B E 、ACD，连结 E D 、 B D 、EC，过点 A 的直线l分别交线段 D E 、BC于点 M 、N．以下说法：①当AB=AC=BC时，  A E D = 3 0  ；② E C = B D ；③若 A B = 3 ， A C = 4 ， B C = 6 ，则 D E = 2 3 ；④当直线 l ⊥ B C 时，点 M 为线段 D E 的中点．正确的有 ．（填序号） 30．（2022•青岛）如图，已知  A B C ， A B = A C ， B C = 1 6 ，AD⊥BC，  A B C 的平分线交 A D 于点E ， 且 D E = 4 ．将  C 沿 G M 折叠使点 C 与点 E 恰好重合．下列结论正确的有： ．（填写序号） ① B D = 8 10 ；②点E 到 AC的距离为3；③EM = ；④ 3 E M / / A C ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ ★类型4：二次函数图像与系数及二次函数综合 40题★ 1．（2025•南充）已知某函数图象关于 36 / 78 y 轴对称，当 0 x 2 时， y=x2 −2x ；当x2时，y=2x−4．若直 线 y = x + b 与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数 b 的范围是 ( ) A． − 1 4  b  0 B． − 9 4  b  − 1 4 C． − 1 4 b 0 D． b − 1 4 或 b  0 2．（2025•遂宁）如图，已知抛物线 y = a x 2 + b x + c ( a 、 b 、 c 为常数，且 a  0 ) 的对称轴是直线 x = 1 ，且 抛物线与 x 轴的一个交点坐标是 ( 4 , 0 ) ，与 y 轴交点坐标是 ( 0 , m ) 且2m3．有下列结论：① a b c  0 ；② 9 a − 3 b + c  0 9 27 ；③ 4  y 最大值  8 ；④关于 x 的一元二次方程 a x 2 + ( b − 1 ) x + c − 2 = 0 必有两个不相等实 根；⑤若点 A ( x 1 ， y 1 ) ，B(x ， 2 y 2 ) ， C ( x 3 ， y 3 ) 在抛物线 y = a x 2 + b x + c 上，且 n  x 1  n + 1  x 2  n + 2  x 3  n + 3 ，当 y 1  y 3  y 2 时，则 n 的取值范围为 − 3 2  n  0 ． 其中正确的有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2025•烟台）如图，二次函数 y = a x 2 + b x + c 的部分图象与 x 轴的一个交点 A位于 ( − 2 , 0 ) 和 ( − 1 , 0 ) 之 间，顶点 P 的坐标为(1,n)．下列结论：① a b c  0 ；②对于任意实数 m ，都有 a m 2 + b m − a − b 0 ；③ 3 b  2 c ；④若该二次函数的图象与 x 轴的另一个交点为B ，且△ P A B 3 是等边三角形，则n=− ．其中 a 所有正确结论的序号是 ( ) A．①② B．①③ C．①④ D．①③④★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 4．（2025•广安）如图，二次函数 37 / 78 y = a x 2 + b x + c ( a ，b， c 为常数， a  0 ) 的图象交 x 轴于 A，B 两点， 点 A 的坐标是(−1,0)，点 B 的坐标是 ( n , 0 ) ，有下列结论：①abc0；② 4 a + c  2 b ；③关于 x 的方程 b n−1 ax2 +bx+c=0的解是x =−1，x =n；④− = ．其中正确的有( ) 1 2 2a 2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025•德阳）已知抛物线 y = a x 2 + b x + c ( a ， b ， c 是常数， a  0 ) 过点 (1 , 0 ) ， ( m , 0 ) ，且 2  m  3 ， 该抛物线与直线y=kx+c(k ， c 是常数， k  0 ) 相交于A(x ， 1 y 1 ) ，B(x ，y )两点（点 2 2 A 在点 B 左 侧）．下列说法：① b c  0 ；② 3 a + b  0 ；③点 A  是点 A关于直线 x = − b 2 a 的对称点，则 3  A A   4 ； ④当 x 2 = 4 时，不等式 a x 2 + ( b − k ) x  0 的解集为0x4．其中正确的结论个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025•宜宾）如图，O是坐标原点，已知二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 的图象与 轴交于 x A 、C两 点，与 y 轴交于B 点，顶点为D，对称轴为x=−2，其中 A ( 2 , 0 ) ， B ( 0 , c ) ，且 − 3  c  − 2 ．以下结论：① 2 abc0；② b1；③△ 3 A C D 是钝角三角形；④若方程 ax2 +(b−2)x+c=0 的两根为 x 1 、 x 2 (x 1 x 2 )，则−2x 1 4−2 7 ，6x 2 4+2 7．其中正确结论有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 7．（2025•齐齐哈尔）如图，二次函数 38 / 78 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 的图象与 x 轴交于两点 ( − 1 , 0 ) ， ( x 1 ，0)，且 2x 3．下列结论：① 1 a b c  0 ；② 2 a + c  0 ；③ 4 a − b + 2 c  0 ；④若 m 和 是关于 n x 的一元二次方程 a ( x + 1 ) ( x − x 1 ) + c = 0 ( a  0 ) 的两根，且mn，则m−1，n2；⑤关于 x 的不等式 a x 2 + b x + c  − c x 1 x + c ( a  0 ) 的解集为 0  x  x 1 ．其中正确结论的个数是 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2025•绥化）如图，二次函数 y = a x 2 + b x + c 与 x 轴交于点A(3,0)、 B ( − 1 , 0 ) ，与 y 轴交于点 C ( 0 , m ) ， 其中 − 4  m  − 3 ．则下列结论：① a − c  0 ；②方程ax2 +bx+c−5=0没有实数根；③ − 8 3  b  − 2 ； a+b+c ④ 0．其中错误的个数有( b−a ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2024•福建）已知二次函数 y = x 2 − 2 a x + a ( a  0 ) 的图象经过 A ( a 2 , y 1 ) ，B(3a,y )两点，则下列判断正 2 确的是 ( ) A．可以找到一个实数 a ，使得 y 1  a B．无论实数 a 取什么值，都有 y 1  a C．可以找到一个实数 a ，使得 y 2  0 D．无论实数 a 取什么值，都有 y 2  0 10．（2024•泸州）已知二次函数 y = a x 2 + ( 2 a − 3 ) x + a − 1 ( x 是自变量）的图象只经过第一、二、四象限， 则实数 a 的取值范围为( ) 9 3 9 3 A．1 a B．0a C．0a D．1 a 8 2 8 2★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 11．（2024•连云港）已知抛物线 39 / 78 y = a x 2 + b x + c ( a 、 b 、 是常数， c a  0 ) 的顶点为 (1 , 2 ) ．小烨同学得出以 下结论：① a b c  0 ；②当 x  1 时， y 随 x 的增大而减小；③若 a x 2 + b x + c = 0 的一个根为3，则 1 a=− ；④抛物线 y=ax2 +2 是由抛物线 2 y = a x 2 + b x + c 向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 的．其中一定正确的是 ( ) A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 12．（2024•眉山）如图，二次函数 y=ax2 +bx+c(a0) 的图象与 x 轴交于点 A ( 3 , 0 ) ，与 y 轴交于点B ， 对称轴为直线 x = 1 ，下列四个结论：① b c  0 ；② 3 a + 2 c  0 ；③ a x 2 + b x a + b ；④若 − 2  c  − 1 ，则 8 4 − a+b+c− ，其中正确结论的个数为 3 3 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（2024•宜宾）如图，抛物线 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 的图象交 轴于点 x A ( − 3 , 0 ) 、 B (1 , 0 ) ，交 y 轴于点 C．以下结论：① a + b + c = 0 ；② a + 3 b + 2 c  0 ；③当以点 A、B 、C为顶点的三角形是等腰三角 形时， c = 7 ；④当 c = 3 时，在AOC内有一动点P ，若OP=2，则 C P + 2 3 A P 的最小值为 9 3 7 ．其中 正确结论有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 14．（2024•遂宁）如图，已知抛物线 40 / 78 y = a x 2 + b x + c ( a 、 b 、 c 为常数，且 a  0 ) 的对称轴为直线 x = − 1 ， 且该抛物线与 x 轴交于点 A (1 , 0 ) ，与 y 轴的交点B 在(0,−2)， ( 0 , − 3 ) 之间（不含端点），则下列结论正确的 有多少个 ( ) ① a b c  0 ；② 9 a − 3 b + c  0 ；③ 2 3  a  1 ；④若方程ax2 +bx+c=x+1两根为 m ， n ( m  n ) ，则 − 3  m  1  n ． A．1 B．2 C．3 D．4 15．（2024•广元）如图，已知抛物线 y = a x 2 + b x + c 过点 C ( 0 , − 2 ) 与 x 轴交点的横坐标分别为 x 1 ， x 2 ，且 − 1  x 1  0 ，2x 3，则下列结论：① 2 a − b + c  0 ；②方程 a x 2 + b x + c + 2 = 0 有两个不相等的实数 根；③ a + b  0 ；④ a  2 3 ；⑤b2 −4ac4a2.其中正确的结论有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（2024•日照）已知二次函数 y=ax2 +bx+c(a0) 图象的一部分如图所示，该函数图象经过点 (−1,0)，对称轴为直线 x = 2 ．对于下列结论：①abc0；② a + c = b ；③多项式 a x 2 + b x + c 可因式分解 为(x+1)(x−5)；④当m−9a时，关于 x 的方程 a x 2 + b x + c = m 无实数根．其中正确的个数有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 17．（2024•广安）如图，二次函数 41 / 78 y = a x 2 + b x + c ( a ，b， 为常数， c a  0 ) 的图象与 x 轴交于点 A ( − 3 2 ， 0)，对称轴是直线 x = − 1 2 ，有以下结论：① a b c  0 ；②若点 ( − 1 , y 1 ) 和点 ( 2 , y 2 ) 都在抛物线上，则 1 1 y y ；③am2 +bm a− b(m为任意实数）；④ 1 2 4 2 3 a + 4 c = 0 ，其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（2024•绥化）二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 的部分图象如图所示，对称轴为直线x=−1，则下列结 论中：① b c  0 ；② a m 2 + b m a − b ( m 为任意实数）；③ 3 a + c  1 ；④若 M ( x 1 ， y)、 N ( x 2 ， y ) 是抛物线 上不同的两个点，则 x 1 + x 2 − 3 ．其中正确的结论有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（2024•雅安）已知一元二次方程ax2 +bx+c=0有两实根 x 1 = − 1 ， x 2 = 3 ，且abc0，则下列结论 中正确的有 ( ) ① 2 a + b = 0 ；②抛物线 y = a x 2 + b x + c 4c 的顶点坐标为(1, )；③ 3 a  0 ；④若m(am+b)4a+2b，则 0m1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 20．（2024•齐齐哈尔）如图，二次函数 42 / 78 y = a x 2 + b x + 2 ( a  0 ) 的图象与 x 轴交于 ( − 1 , 0 ) ， ( x 1 ， 0 ) ，其中 2x 3．结合图象给出下列结论：① 1 a b  0 ；②a−b=−2；③当 x  1 时，y随 x 的增大而减小； ④关于 x 的一元二次方程 a x 2 + b x + 2 = 0 ( a  0 ) 的另一个根是 − 2 a ；⑤b的取值范围为 1  b  4 3 ．其中正 确结论的个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 21．（2024•资阳）已知二次函数 y = − 1 2 x 2 + b x 与 y = 1 2 x 2 − b x 的图象均过点 A ( 4 , 0 ) 和坐标原点 O ，这两个 函数在 0 x 4 时形成的封闭图象如图所示， P 为线段 O A 的中点，过点P 且与 轴不重合的直线与封闭 x 图象交于 B ， C 两点．给出下列结论： ① b = 2 ；②PB=PC；③以 O ，A， B ， C 为顶点的四边形可以为正方形； ④若点 B 的横坐标为1，点 Q 在y轴上 ( Q ， B ，C三点不共线），则△ B C Q 周长的最小值为5+ 13． 其中，所有正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 22．（2024•牡丹江）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2 +bx+c(a0)与 x 轴交于 A 、 B 两点， A(−3,0)， B (1 , 0 ) ，与y轴交点C的纵坐标在 − 3 ~ − 2 之间，根据图象判断以下结论：① a b c 2  0 ；② 4 3  b  2 5 ；③若ax2 −bx =ax2 −bx 且x x ，则x +x =−2；④直线y=− cx+c与抛物线 1 1 2 2 1 2 1 2 6 y = a x 2 + b x + c 的一个交点 ( m ， n ) ( m  0 ) ，则 m = 1 2 ．其中正确的结论是 ( ) A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 23．（2024•西宁）点 43 / 78 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 是抛物线 y = a x 2 − 4 a x + 1 ( a 是常数，且 a  0 ) 上的两个 点．下列结论：①抛物线与 y 轴的交点是 ( 0 ,1 ) ；②抛物线的对称轴是直线x=−2；③当 y 1 = y 2 = 1 时， A B = 4 ；④当 x 1  x 2  2 时， y 1  y 2 ；⑤当 0 x 2 时， y 有最大值是1．其中正确结论的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 24．（2023•丹东）抛物线 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 与 x 轴的一个交点为A(−3,0)，与y轴交于点 C ，点 D 是 抛物线的顶点，对称轴为直线 x = − 1 ，其部分图象如图所示，则以下4个结论：① a b c  0 ；② E ( x 1 ， y 1 ) ，F(x ，y )是抛物线y=ax2 +bx(a0)上的两个点，若x x ，且x +x −2，则 2 2 1 2 1 2 y 1  y 2 ；③在 x 轴上有一动点 P ，当 P C + P D 的值最小时，则点 P 3 的坐标为(− ,0)；④若关于x的方程 7 a x 2 + b ( x − 2 ) + c = − 4 ( a  0 ) 无实数根，则b的取值范围是 b  1 ．其中正确的结论有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．（2023•盐城）如图，关于 x 的函数 y 的图象与 x 轴有且仅有三个交点，分别是 ( − 3 , 0 ) ， ( − 1 , 0 ) ， (3,0)，对此，小华认为：①当 y  0 时， − 3  x  − 1 ；②当 x  − 3 时， y 有最小值；③点 P ( m , − m − 1 ) 在 函数 y 的图象上，符合要求的点P只有1个；④将函数 y 的图象向右平移1个或3个单位长度经过原 点．其中正确的结论有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 26．（2023•衢州）已知二次函数y=ax2 −4ax(a是常数，a0)的图象上有 A ( m , y 1 ) 和B(2m,y )两点．若 2 点A，B都在直线y=−3a的上方，且y  y ，则m的取值范围是( ) 1 2 3 4 4 3 A．1m B． m2 C． m D．m2 2 3 3 2★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 27．（2023•湖州）已知在平面直角坐标系中，正比例函数 44 / 78 y = k 1 x ( k 1  0 ) 的图象与反比例函数 y = k 2x ( k 2  0 ) 的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点 A ( t , p ) 和点B(t+2,q)在函数 y = k 1 x 的 图象上 ( t  0 且 t  − 2 ) ，点 C ( t , m ) 和点 D ( t + 2 , n ) k 在函数y= 2 的图象上．当 x p − m 与 q − n 的积为负数 时， t 的取值范围是 ( ) 7 A．− t−3或 2 1 2  t  1 B． − 7 2  t  − 3 或 1  t  3 2 C． − 3  t  − 2 或 − 1  t  0 D． − 3  t  − 2 或 0  t  1 28．（2023•泸州）已知二次函数 y = a x 2 − 2 a x + 3 （其中x是自变量），当 0  x  3 时对应的函数值 y 均为 正数，则a的取值范围为 ( ) A．0a1 B． a  − 1 或 a  3 C． − 3  a  0 或 0  a  3 D． − 1 a  0 或 0  a  3 5 29．（2023•南充）抛物线y=−x2 +kx+k− 与x轴的一个交点为 4 A ( m , 0 ) ，若 − 2 m 1 ，则实数 k 的取值 范围是 ( ) 21 21 A．− k 1 B．k − 或 4 4 k 1 9 C．−5 k D．k −5或 8 k 9 8 30．（2025•凉山州）二次函数 y = a x 2 + b x + c 的部分图象如图所示，其对称轴为x=2，且图象经过点 ( 6 , 0 ) ，则下列结论错误的是 ( ) A．bc0 B．4a+b=0 C．若 a x 21 + b x 1 = a x 22 + b x 2 且 x 1  x 2 ，则x +x =4 1 2 D．若 ( − 1 , y 1 ) ，(3,y )两点都在抛物线 2 y = a x 2 + b x + c 的图象上，则 y 2  y 1★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 31．（2025•资阳）如图，在平面直角坐标系中， 45 / 78 O 为坐标原点．抛物线y=ax2 +bx+c(a0)与 y 轴相交 于点 A ( 0 , 2 ) ，且抛物线的对称轴为直线x=−1．给出以下4个结论：①abc0；②对于任意实数m， a m 2 + b m + c + a 的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则 O P + A P 的最小值为 2 2 ； ④若点 ( x 1 ，y )， 1 ( x 2 ， y 2 ) 在抛物线上，满足 x 1  x 2 且 x 1 + x 2 + 2  0 ，则一定有 y 1  y 2 ． 其中，所有正确结论的序号为 ． 32．（2024•武汉）抛物线y=ax2 +bx+c(a， b ，c是常数， a  0 ) 经过(−1,1)， ( m ,1 ) 两点，且 0  m  1 ．下列四个结论：① b  0 ；②若 0  x  1 ，则 a ( x − 1 ) 2 + b ( x − 1 ) + c  1 ；③若 a = − 1 ，则关于 x 的一元二次方程ax2 +bx+c=2无实数解；④点 A ( x 1 ， y 1 ) 1 ，B(x ，y )在抛物线上，若x +x − ， 2 2 1 2 2 x 1  x 2 ，总有 y 1  y 2 ，则 0  m 1 2 ．其中正确的是 （填写序号）． 33．（2024•烟台）已知二次函数 y = a x 2 + b x + c 的 y 与 x 的部分对应值如表： x − 4 −3 −1 1 5 y 0 5 9 5 − 2 7 下列结论： ① a b c  0 ；②关于 x 的一元二次方程 a x 2 + b x + c = 9 有两个相等的实数根；③当 − 4  x  1 时， y 的取值 范围为 0  y  5 ；④若点 ( m , y 1 ) ， ( − m − 2 , y 2 ) 均在二次函数图象上，则 y 1 = y 2 ；⑤满足 ax2 +(b+1)x+c2的x的取值范围是x−2或x3．其中正确结论的序号为 ． 34．（2024•南充）已知抛物线 C 1 : y = x 2 + m x + m 与x轴交于两点 A ， B ( A 在B的左侧），抛物线 C 2 : y = x 2 + n x + n ( m  n ) 与x轴交于两点 C ， D ( C 在D的左侧），且AB=CD．下列四个结论：① C 1 与 C 交点为(−1,1)；②m+n=4；③mn0；④A，D两点关于(−1,0)对称．其中正确的结论是 . 2 （填写序号）★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 35．（2024•德阳）如图，抛物线 46 / 78 y = a x 2 + b x + c 的顶点A的坐标为 ( − 1 3 ， n ) ，与 x 轴的一个交点位于0和 1之间，则以下结论：① a b c  0 ；② 5 b + 2 c  0 ；③若抛物线经过点 ( − 6 , y 1 ) ， ( 5 , y 2 ) ，则 y 1  y 2 ；④若 关于 x 的一元二次方程 a x 2 + b x + c = 4 无实数根，则 n  4 ．其中正确结论是 （请填写序号）． 36．（2024•巴中）若二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 的图象向右平移1个单位长度后关于 y 轴对称．则下 列说法正确的序号为 ． b 3 5 ① =2；②当 a 时，代数式 a 2 2 a 2 + b 2 − 5 b + 8 的最小值为3；③对于任意实数m，不等式 a m 2 + b m − a + b 0 一定成立；④ P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) 为该二次函数图象上任意两点，且 x 1  x 2 ，当 x 1 + x 2 + 2  0 时，一定有y  y ． 1 2 37．（2024•通辽）关于抛物线y=x2 −2mx+m2 +m−4(m是常数），下列结论正确的是 （填写所有 正确结论的序号）． ①当 m = 0 时，抛物线的对称轴是 y 轴；②若此抛物线与 x 轴只有一个公共点，则 m = − 4 ； ③若点 A ( m − 2 , y 1 ) ， B ( m + 1 , y 2 ) 在抛物线上，则 y 1  y 2 ；④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y=x 的距离都等于 2 2 ． 1 38．（2023•无锡）二次函数y=x2 +(2m−1)x+2m(m )，有下列结论：①该函数图象过定点(−1,2)； 2 ②当m=1时，函数图象与 x 3 轴无交点；③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧；④当1m 时，点 2 P(x ， 1 y 1 ) ， Q ( x 2 1 ，y )是曲线上两点，若−3x −2，− x 0，则 2 1 2 2 y 1  y 2 ． 其中，正确结论的序号为 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 39．（2023•青岛）如图，二次函数 47 / 78 y = a x 2 + b x + c 的图象与正比例函数 y = k x 的图象相交于A，B两点， 已知点 A 的横坐标为−3，点 B 的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x=−1．下列结论：① abc0；②3b+2c0；③关于x的方程ax2 +bx+c=kx的两根为 x 1 = − 3 ， x 2 = 2 1 ；④k = a．其中正 2 确的是 ．（只填写序号） 40．（2023•宜宾）如图，抛物线 y = a x 2 + b x + c 经过点A(−3,0)，顶点为 M ( − 1 , m ) ，且抛物线与 y 轴的交 点 B 在 ( 0 , − 2 ) 与(0,−3)之间（不含端点），则下列结论：①当−3 x 1时， y 0 ；②当  A B M 的面积为 3 2 3 3 时，a= ；③当 2  A B M 为直角三角形时，在  A O B 内存在唯一一点 P ，使得 P A + P O + P B 的值最 小，最小值的平方为 1 8 + 9 3 ．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ ★类型5：反比例系数K的几何意义 40题★ 1．（2025•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中， 48 / 78 A ， B 分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形 O A C B 1 是矩形，函数y= (x0)的图象与边 x A C 交于点 M ，与边 B C 交于点N(M ，N不重合）．给出下 面四个结论：①△ C O M 与△ C O N 的面积一定相等；②△ M O N 与△MCN的面积可能相等；③△ M O N 一定是锐角三角形；④△ M O N 可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．（2025•广西）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯” ABCDEFG的所有线段均与 x 轴平行或垂 直，且满足 B C = D E = F G = 1 ，点 A ， C ， E ， G 均在双曲线 y = k x 的一支上．若点 A 的坐标为 ( 4 , 3 2 ) ， 则第三级阶梯的高 E F = ( ) A．4 B．3 C． 7 2 5 D． 2 3．（2025•烟台）如图，菱形 O A B C 的顶点 A 在x轴正半轴上， O A = 3 ，反比例函数 y = k x ( x  0 ) 的图象 过点C和菱形的对称中心 M ，则 k 的值为 ( ) A．4 B．4 2 C．2 D．2 2★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ k 4．（2025•绥化）如图，反比例函数y= 经过A、 x 49 / 78 C 两点，过点A作 A B ⊥ y 轴于点B，过点 C 作 C D ⊥ x 轴于点 D ，连接 O A 、 O C 、 A C ．若 S A C O = 4 ，CD:OB=1:3，则 k 的值是 ( ) A． − 1 2 B． − 9 C． − 6 D． − 3 5．（2025•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点 A 、点 B 都在双曲线 y = k x ( k  0 ) 上，且点 A 在点 B 的右侧，点 A 的横坐标为 − 1 ，  A O B =  A B O = 4 5  ，则 k 的值为( ) A． 2 5 B．− C． 2 5 2 − 1 D． − 5 2 + 1 6．（2025•贵州）如图，一次函数 y = x ( x 0 ) 与反比例函数 y = 9 x ( x  0 ) 的图象交于点 C ，过反比例函数图 象上点 A 作 x 轴垂线，垂足为点 D ，交 y = x 的图象于点 B ，点 A 的横坐标为1．有以下结论： ①线段 A B 的长为8；②点C的坐标为 ( 3 , 3 ) ；③当x3时，一次函数的值小于反比例函数的值． 其中结论正确的个数是 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 7．（2025•宜宾）如图， 50 / 78 O 4 是坐标原点，反比例函数y=− (x0)与直线 x y = − 2 x 交于点A，点B在 y = − 4 x ( x  0 ) 的图象上，直线 A B 与 y 轴交于点 C ，连结OB，若 A B = 3 A C ，则 O B 的长为 ( ) A． 1 0 5 2 B． C． 2 3 4 D． 1 3 2 0 8．（2024•宿迁）如图，点 A 在双曲线 y 1 = k x ( x  0 ) 上，连接AO并延长，交双曲线 y 2 = k 4 x ( x  0 ) 于点 B，点C为 x 轴上一点，且 A O = A C ，连接 B C ，若△ A B C 的面积是6，则 k 的值为 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 9．（2024•淄博）如图所示，正方形ABCD与 A E F G （其中边 B C ，EF 分别在 x ，y轴的正半轴上）的 公共顶点 A 在反比例函数 y = k x 的图象上，直线 D G 与x， y 轴分别相交于点 M ，N．若这两个正方形 15 的面积之和是 ，且 2 M D = 4 G N ．则 k 的值是 ( ) A．5 B．1 C．3 D．2 10．（2024•长春）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A(4,2)在函数 y = k x ( k  0 , x  0 ) 的图 象上．将直线 O A 沿 y 轴向上平移，平移后的直线与 y 轴交于点 B ，与函数 y = k x ( k  0 , x  0 ) 的图象交于 点 C ．若BC= 5，则点B的坐标是 ( ) A．(0, 5) B．(0,3) C．(0,4) D．(0， 2 5 )★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 11．（2024•宜宾）如图，等腰三角形 51 / 78 A B C 中， A B = A C ，反比例函数 y = k x ( k  0 ) 的图象经过点A、B及 A C 的中点 M ， B C / / x 轴， A B 与 y 轴交于点 N ．则 A A N B 的值为 ( ) A． 1 3 1 B． C． 4 1 5 2 D． 5 12．（2024•牡丹江）矩形OBAC在坐标系中的位置如图所示，反比例函数 y = k x 的图象与 A B 边交于点 D ，与 A C 边交于点 F ，与OA交于点 E ， O E = 2 A E ，若四边形 O D A F 的面积为2，则k的值是 ( ) 2 A． B． 5 3 5 C． 4 5 D． 8 5 13．（2024•通辽）如图，平面直角坐标系中，原点 O 为正六边形 A B C D E F 的中心， E F / / x 轴，点 E 在双 k 曲线y= (k为常数， x k  0 ) 上，将正六边形 A B C D E F 向上平移 3个单位长度，点D恰好落在双曲线 上，则 k 的值为 ( ) A． 4 3 B． 3 3 C． 2 3 D．3★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 14．（2024•德州）如图，点A， 52 / 78 C 在反比例函数 y = a x 的图象上，点B，D在反比例函数 y = b x 的图象 上， A B / / C D / / y 轴，若AB=3，CD=2， A B 与CD的距离为5，则a−b的值为 ( ) A． − 2 B．1 C．5 D．6 15．（2023•广西）如图，过 y = k x ( x  0 ) 的图象上点 A ，分别作 x 轴， y 轴的平行线交 y = − 1 x 的图象于 B， D 两点，以 A B ， A D 为邻边的矩形 A B C D 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S ，S ， 1 2 S 3 ， S 4 5 ，若S +S +S = ，则k的值为 2 3 4 2 ( ) A．4 B．3 C．2 D．1 16．（2023•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数 y = k x ( k  0 , x  0 ) 的图象上，分别以A、 B为圆心，1为半径作圆，当 A与x轴相切、 B与 y 轴相切时，连接 A B ， A B = 3 2 ，则 k 的值为 ( ) A．3 B． 3 2 C．4 D．6★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 17．（2023•宜宾）如图，在平面直角坐标系 53 / 78 x O y 中，点 A 、 B 分别在 y 、 x 轴上， B C ⊥ x 轴，点 M 、 N 分别在线段 B C 、 A C 上，BM =CM ， N C = 2 A N k ，反比例函数y= (x0)的图象经过 x M 、 N 两点， P 为 x 轴正半轴上一点，且 O P : B P = 1 : 4 ，  A P N 的面积为3，则 k 的值为( ) A． 4 5 4 B． 4 5 8 C． 1 4 2 4 5 72 D． 25 18．（2025•威海）如图，点 A 在反比例函数 y = 4 x 的图象上，点B在反比例函数 y = − 2 x 的图象上，连接 O A ， O B ， A B ．若 A O ⊥ B O ，则 ta n  B A O = ． 19．（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，过原点 O 的直线与反比例函数 y = 3 x 的图象交于 A ， B 两点，分别以点A，点 B 为圆心，画半径为1的 A 和 B ．当 A ， B 分别与 x 轴相切时，切点分别 为点 C 和点 D ，连接 A C ， B D ，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留) 20．（2025•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y = − x − 1 k 的图象与反比例函数y= (k 0) x 的图象在第二象限内交于点 A ，与x轴交于点 B ，点C坐标为 ( 0 , 3 ) ，连接AC，BC，若AC=BC，则 实数k的值为 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 21．（2024•绥化）如图，已知点 54 / 78 A ( − 7 , 0 ) ， B ( x ,1 0 ) ， C ( − 1 7 , y ) ，在平行四边形ABCO中，它的对角线 k OB与反比例函数y= (k 0)的图象相交于点D，且 x O D : O B = 1 : 4 ，则 k = ． 22．（2024•甘南州）如图，在平面直角坐标系 x O y 中，矩形 O A B C 的两边 O A 、 O C 分别在 x 轴、 y 轴的 正半轴上，反比例函数 y = k x 的图象与 A B 相交于点 M ，与 B C 相交于点 N ，若点 B 的坐标为 ( 4 , 2 ) ，△ MON的面积是 1 5 4 ，则 k 的值为 ． 23．（2024•深圳）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形， s in  A O C = 4 5 ，且点 A 落在反比 例函数 y = 3 x ( x  0 ) 上，点 B 落在反比例函数 y = k x ( x  0 ) 上，则 k = ． 24．（2024•广元）已知 y = 3 x k 与y= (x0)的图象交于点 x A ( 2 , m ) ，点 B 为 y 轴上一点，将  O A B 沿 O A 翻折，使点 B k 恰好落在y= (x0)上点 x C 处，则B点坐标为 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 25．（2024•扬州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 55 / 78 (1 , 0 ) ，点B在反比例函数 y = k x ( x  0 ) 的图 象上， B C ⊥ x 轴于点 C ，  B A C = 3 0  ，将△ A B C 沿AB翻折，若点 C 的对应点D落在该反比例函数的 图象上，则 k 的值为 ． 26．（2024•广州）如图，平面直角坐标系 x O y 中，矩形OABC的顶点 B 在函数 y = k x ( x  0 ) 的图象上， A (1 , 0 ) ， C ( 0 , 2 ) ．将线段 A B 沿 x 轴正方向平移得线段AB（点 A 平移后的对应点为 A ) ， A B  交函数 k y= (x0)的图象于点 x D ，过点 D 作DE ⊥ y轴于点 E ，则下列结论：①k=2；②△OBD的面积等于四 边形ABDA的面积；③ A E 的最小值是 2 ；④BBD=BBO．其中正确的结论有 ．（填写所有 正确结论的序号） 27．（2024•日照）如图，在平面直角坐标系 x O y 中，点 A ( 4 , 0 ) ， C ( 0 , 4 2 ) 是矩形 O A B C 的顶点，点 M ，N分别为边 A B ，OC上的点，将矩形 O A B C 沿直线MN 折叠，使点 B 的对应点 B  在边 O A 的中点 处，点C的对应点 C  k 在反比例函数y= (k 0)的图象上，则k= ． x★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 28．（2024•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，点 56 / 78 A ， B 的坐标分别为 ( 5 , 0 ) ， ( 2 , 6 ) ，过点 B 作 B C / / x 轴交y轴于点 C ，点 D 为线段 A B 上的一点，且 B D = 2 A D k ，反比例函数y= (x0)的图象经过 x 点 D 交线段 B C 于点 E ，则四边形 O D B E 的面积是 ． 29．（2023•衢州）如图，点A，B在 x 轴上，分别以 O A ，AB为边，在 x 轴上方作正方形 O A C D ， ABEF，反比例函数 y = k x ( k  0 ) 的图象分别交边CD， B E 于点 P ，Q．作PM ⊥x轴于点 M ， Q N ⊥ y 轴于点 N ．若 O A = 2 A B ， Q 为 B E 的中点，且阴影部分面积等于6，则 k 的值为 ． 30．（2023•盐城）如图，在平面直角坐标系 x O y 中，点 A ， B k 都在反比例函数y= (x0)的图象上，延 x 长 A B 交y轴于点C，过点 A 作 A D ⊥ y 轴于点 D ，连接 B D 并延长，交x轴于点 E ，连接 C E ．若 A B = 2 B C ，  B C E 的面积是4.5，则 k 的值为 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 31．（2023•宁波）如图，点A，B分别在函数 57 / 78 y = a x ( a  0 ) 图象的两支上 ( A 在第一象限），连结AB交 x 轴于点 C ．点 D ，E在函数 y = b x ( b  0 , x  0 ) 图象上， A E / / x 轴， B D / / y 轴，连结 D E ， B E ．若 A C = 2 B C ，  A B E 的面积为9，四边形 A B D E 的面积为14，则 a − b 的值为 ， a 的值为 ． 32．（2023•安徽）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点 A 在x轴的正半轴上， A B = 2 ，  A O B = 3 0  k ，反比例函数y= (k 0)的图象经过斜边 x O B 的中点 C ．（1） k = ； （2） D 为该反比例函数图象上的一点，若 D B / / A C ，则 O B 2 − B D 2 的值为 ． 33．（2023•连云港）如图，矩形 O A B C 的顶点 A k 在反比例函数y= (x0)的图象上，顶点 x B 、 C 在第一 象限，对角线 A C / / x 轴，交y轴于点 D ．若矩形 O A B C 的面积是6， c o s  O A C = 2 3 ，则 k = ． k 34．（2023•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y= (k为大于0的常数，x0)图象上的两点 x A(x ， y )，B(x ，y )，满足x =2x ， 1 1 2 2 2 1  A B C 的边AC//x轴，边BC//y 轴，若  O A B 的面积为6，则  A B C 的面积是 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 35．（2023•威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数 58 / 78 y = k x ( x  0 ) 的图象上．点A的坐 标为 ( m , 2 ) ．连接OA，OB， A B ．若OA=AB，OAB=90，则k的值为 ． 36．（2023•新疆）如图，在平面直角坐标系中，  O A B 为直角三角形，  A = 9 0  ，  A O B = 3 0  ， O B = 4 ．若反比例函数 y = k x ( k  0 ) 的图象经过 O A 的中点 C ，交 A B 于点 D ，则 k = ． 37．（2023•达州）如图，一次函数y=2x与反比例函数 y = 2 x 的图象相交于 A 、 B 两点，以 A B 为边作等 边三角形ABC，若反比例函数 y = k x 的图象过点 C ，则 k 的值为 ． 38．（2023•深圳）如图，Rt△ O A B 与Rt△ O B C 位于平面直角坐标系中，AOB=BOC=30， BA⊥OA，CB⊥OB，若AB= 3，反比例函数 y = k x ( k  0 ) 恰好经过点 C ，则 k = ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 39．（2023•陕西）如图，在矩形 59 / 78 O A B C 和正方形 C D E F 中，点 A 在 y 轴正半轴上，点 C ， F 均在 x 轴正 半轴上，点 D 在边 B C 上，BC=2CD， A B = 3 ．若点 B ， E 在同一个反比例函数的图象上，则这个反比 例函数的表达式是 ． 40．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， M N 垂直于 x 轴，以 M N 为对称轴作△ O D E 的轴对称图形，对称轴MN与线段 D E 相交于点 F ，点 D 的对应点 B 恰好落在反比例函数 k y= (x0)的图象上，点 x O 、E的对应点分别是点C、A，若点A为 O E 的中点，且 S E A F = 1 4 ，则 k 的 值为 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ ★类型6：动点产生的函数图像 18题★ 1．（2025•齐齐哈尔）如图，在菱形ABCD中， 60 / 78  A = 6 0  ， A B = 4 ，动点 E 从点 A 出发沿边 A B → B C 匀 速运动，运动到点 C 时停止，过点 E 作 A D 的垂线l，在点 E 运动过程中，垂线 l 扫过菱形（即阴影部 分）的面积为 y ，点 E 运动的路程为 x ( x  0 ) ．下列图象能反映 y 与 x 之间函数关系的是 ( ) A． B． C． D． 2．（2025•浙江）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1， 点 P 是一个固定观测点，运动点 Q 从 A 处出发，沿笔直公路 A B 向目的地 B 处运动．设 A Q 为 x （单位： km)(0 x n)，PQ2为 y （单位：km2)．如图2， y 关于 x 的函数图象与 y 轴交于点 C ，最低点 D(m,81)，且经过 E (1 , 2 2 5 ) 和 F ( n , 2 2 5 ) 两点．下列选项正确的是 ( ) A．m=12 B．n=24 C．点 C 的纵坐标为240 D．点 (1 5 , 8 5 ) 在该函数图象上 3．（2025•眉山）如图1，在 R t △ A B C 中，  C = 9 0  ，点D在 A C 上， C D = 2 ，动点P在 R t △ A B C 的 边上沿 C → B → A 方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以 D P 为边作正方形 D P E F ．设点P的运动时间为 t 秒，正方形 D P E F 的面积为 S ．当点P由点B运动到点A时，如图2， S 是关于 t 的二次函数．在3个时刻t ， 1 t2 ，t (t t t )对应的正方形DPEF 的面积均相等．下列4个结 3 1 2 3 论：①当 t = 1 时， S = 3 ；②点P在线段 B A 上时 S = 2 t 2 − 1 6 t + 3 4 ；③AD=4 2；④ t1 + t 2 = 4 ．其中正 确结论的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 4．（2025•甘肃）如图1，在等腰直角三角形ABC中，ACB=90，点D为边 61 / 78 A B 的中点．动点 P 从点 A出发，沿边 A C → C B 方向匀速运动，运动到点 B 时停止．设点 P 的运动路程为x，△ A P D 的面积为 y ， y 与x的函数图象如图2所示，当点 P 运动到CB的中点时， P D 的长为 ( ) A．2 B．2.5 C．2 2 D．4 5．（2025•新疆）一辆快车从 A 地匀速驶向 B 地，一辆慢车从B地匀速驶向 A 地，两车同时出发，各自到 达目的地后停止．两车之间的距离 s ( k m ) 与行驶时间 t ( h ) 之间的函数关系如图所示，下列错误的是 ( ) A．两车出发2h后相遇 B． A ， B 两地相距280km C．快车比慢车早 3 2 h 到达目的地 D．快车的速度为80km/h，慢车的速度为 6 0 k m / h 6．（2025•山东）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度 y （厘米 / 天）和光照强度 x （勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围 ( 2 0 0 x  1 0 0 0 ) 内， y 与 x 近似成一次函数关系；在中 高光照强度范围(x 1000)内，y与 x 近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论 正确的是( ) A．当 x 1 0 0 0 时， y 随x的增大而减小 B．当 x = 2 0 0 0 时， y 有最大值 C．当 y 0 .6 时， x 1 0 0 0 D．当 y = 0 .4 时， x = 6 0 0 7．（2025•兰州）如图，在正方形 A B C D 中，AB=2cm，对角线 A C ， B D 相交于点 O ，动点P从点 O 出发 沿 O → A → B 方向以 2 c m / s 的速度运动，同时点 Q 从点C出发沿 C → D 方向以1cm/s的速度运动．当点 Q 到达点 D 时，P， Q 同时停止运动．若运动时间为 x ( s ) ，△CPQ的面积为y(cm2)，则点P分别在 O A ， AB上运动时，y与x的函数关系分别是 ( ) A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数 C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 8．（2024•济南）如图1，△ABC是等边三角形，点 62 / 78 D 在边 A B 上， B D = 2 ，动点 P 以每秒1个单位长度 的速度从点 B 出发，沿折线 B C − C A 匀速运动，到达点 A 后停止，连接 D P ．设点P的运动时间为 t ( s ) ， DP2为 y ．当动点 P 沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示．有以下四个结论：① A B = 3 ；②当 t = 5 时， y = 1 ；③当 4 t 6 时， 1 y 3 ；④动点 P 沿 B C − C A 匀速运动时，两个时刻 t1 ， t 2 ( t1  t 2 ) 分别对应 y 1 和 y 2 ，若 t1 + t 2 = 6 ，则 y 1  y 2 ．其中正确结论的序号是 ( ) A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④ 9．（2024•安徽）如图，在 R t △ABC中，  A B C = 9 0  ， A B = 4 ， B C = 2 ， B D 是边 A C 上的高．点 E ， F 分别在边AB， B C 上（不与端点重合），且DE ⊥DF ．设AE=x，四边形DEBF 的面积为 y ，则 y 关 于 x 的函数图象为 ( ) A． B． C． D． 10．（2024•烟台）如图，水平放置的矩形 A B C D 中，AB=6cm，BC=8cm，菱形 E F G H 的顶点E， G 在同一水平线上，点G与AB的中点重合， E F = 2 3 c m ，E=60，现将菱形 E F G H 以 1 c m / s 的速度沿 BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止．在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分 的面积 S ( c m 2 ) 与运动时间t(s)之间的函数关系图象大致是 ( ) A． B． C． D．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 11．（2024•威海）同一条公路连接A， 63 / 78 B ，C三地，B地在 A ，C两地之间．甲、乙两车分别从 A 地、 B地同时出发前往 C 地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙 两车之间的距离y(km)与时间 x ( h ) 的函数关系．下列结论正确的是 ( ) A．甲车行驶 8 3 h 与乙车相遇 B． A ，C两地相距220km C．甲车的速度是 7 0 k m / h D．乙车中途休息36分钟 12．（2024•甘肃）如图1，动点 P 从菱形 A B C D 的点 A 出发，沿边 A B → B C 匀速运动，运动到点 C 时停 止．设点 P 的运动路程为x， P O 的长为 y ，y与x的函数图象如图2所示，当点 P 运动到 B C 中点时， PO的长为( ) A．2 B．3 C． 5 D． 2 2 13．（2024•淄博）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从A地匀速出发，甲健 步走向 B 地．途中偶遇一位朋友，驻足交流10min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发 3 0 m in ， 跑步到达 B 地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．如图表示甲、乙两人之间的距离 y ( m ) 与 甲出发的时间 x ( m in ) 之间的函数关系．那么以下结论：①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为 2 0 m in ；②甲出发 8 6 m in 时，甲、乙两人之间的距离达到最大值 3 6 0 0 m ；③甲、乙两人第二次相遇的时间 是在甲出发后100min；④A，B两地之间的距离是11200m．其中正确的结论有 ( ) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 14．（2024•齐齐哈尔）如图，在等腰RtABC中，BAC=90， 64 / 78 A B = 1 2 ，动点 E ， F 同时从点 A 出 发，分别沿射线 A B 和射线 A C 的方向匀速运动，且速度大小相同，当点 E 停止运动时，点 F 也随之停止 运动，连接 E F ，以 E F 为边向下作正方形EFGH，设点 E 运动的路程为 x ( 0  x  1 2 ) ，正方形EFGH和 等腰 R t A B C 重合部分的面积为y．下列图象能反映y与 x 之间函数关系的是( ) A． B． C． D． 15．（2024•内蒙古）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同 学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用 x 表示 时间， y 表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：（1）体育场离该同学家2.5千米．（2）该同学 在体育场锻炼了15分钟．（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍．（4）若该同学骑行的平均 速度是跑步平均速度的1.5倍，则a的值是3.75．其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 16．（2023•常州）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①开始， 沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进 行，全程无需绕过标志物．小华练习了一次250m的折返跑，用时18s．在整个过程中，他的速度大小 v(m/s)随时间 t ( s ) 变化的图象可能是 ( ) A． B． C． D．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 17．（2025•湖北）如图1，在△ 65 / 78 A B C 中，  C = 9 0  ， B C = 4 c m ， A B = n c m ．动点 P ， Q 均以 1 c m / s 的速度从点 C 同时出发，点 P 沿折线 C → B → A 向点 A 运动，点 Q 沿边 C A 向点 A 运动．当点 Q 运动到 点 A 时，两点都停止运动．△ P C Q 的面积 S （单位： c m 2 ) 与运动时间 t （单位： s ) 的关系如图2所示． （1） m = ；（2） n = ． 18．（2023•烟台）如图1，在ABC中，动点 P 从点 A 出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停 止．设点 P 的运动路程为 x ，线段 A P 的长度为 y ，图2是 y 与 x 的函数关系的大致图象，其中点 F 为曲 线DE的最低点，则  A B C 的高 C G 的长为 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ ★类型7：圆综合 21题★ 1．（2025•湖南）如图，北京市某处 66 / 78 A 位于北纬 4 0  （即AOC =40)，东经 1 1 6  ，三沙市海域某处 B 位 于北纬 1 5  （即  B O C = 1 5  ) ，东经 1 1 6  ．设地球的半径约为R千米，则在东经 1 1 6  所在经线圈上的点 A和点 B 之间的劣弧长约为 ( ) 5 A． R（千米） B． 72 1 1 2 R  （千米） C． 5 3 6 R  （千米） D． 2 9 R  （千米） 2．（2025•山西）如图，在△ A B C 中，  B A C = 9 0  ， A B = A C ，分别以点 B ， C 为圆心、 B C 的长为半 径画弧，与 B A ，CA的延长线分别交于点 D ， E ．若BC=4，则图中阴影部分的面积为 ( ) A．2−4 B． 4 4  − C． 8 8  − D． 4 8  − 3．（2025•南充）如图， A B 是 O的直径， A D ⊥ A B 于点 A ， O D 交 O 于点 C ， A E ⊥ O D 于点E，交 O 于点 F ， F 为弧 B C 的中点， P 为线段AB上一动点，若 C D = 4 ，则 P E + P F 的最小值是 ( ) A．4 B． 2 7 C．6 D． 4 3 4．（2025•德阳）如图， O的直径 A B = 1 0 ， D E 是弦， A B ⊥ D E ，CEB=EBD， s in  B A C = 3 5 ， A D 的延长线与 C B 的延长线相交于点 F ， D B 的延长线与 O E 的延长线相交于点G，连接 C G ．下列结论中 正确的个数是 ( ) ①DBF=3DAB；② C G 是 O 的切线；③ B ， E 两点间的距离是 1 0 ；④ D F = 1 1 9 1 0 ． A．1 B．2 C．3 D．4★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 5．（2022•德阳）如图，点 67 / 78 E 是ABC的内心， A E 的延长线和ABC的外接圆相交于点 D ，与BC相交 于点 G ，则下列结论：①  B A D =  C A D ；②若  B A C = 6 0  ，则  B E C = 1 2 0  ；③若点 G 为 B C 的中 点，则BGD=90；④ B D = D E ．其中一定正确的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2023•十堰）如图， O 是△ A B C 的外接圆，弦 B D 交 A C 于点 E ， A E = D E ， B C = C E ，过点 O 作 OF ⊥AC于点 F ，延长 F O 交 B E 于点 G ，若 D E = 3 ，EG=2，则 A B 的长为 ( ) A．4 3 B．7 C．8 D．4 5 7．（2025•重庆）如图， A B 是 O的直径，点C在 O上，连接 A C ．以 A C 为边作菱形 A C D E ， C D 交 O 于点 F ， A B ⊥ C D ，垂足为 G ．连接 A D ，交 O 于点 H ，连接 E H ．若 A G = 1 2 ， G F = 5 ，则 DF的长度为 ，EH 的长度为 ． 8．（2025•泸州）如图，梯形ABCD中， A D / / B C ， A B = C D = 1 0 ， O 与梯形ABCD的各边都相切，且 O的面积为16，则点 B 到CD的距离为 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 9．（2025•浙江）如图，矩形 68 / 78 A B C D 内接于 O ， E 是 A D 上一点，连接 E B ， E C 分别交 A D 于点 F ， G ．若AF =1， E G = F G = 3 ，则 O 的直径为 ． 10．（2025•遂宁）综合与实践﹣硬币滚动中的数学：将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币， 深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放 在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现 将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一 周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为 ． 11．（2025•河北）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快 降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字1−12对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应 圆心．图中以数字 0 ~ 1 2 对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半 径为1，则这条线段的长为 ． （参考数据： s in 1 5  = 6 − 4 2 ， s in 7 5  = 6 + 4 2 ) 眼肌运动训练图 使用方法：以0，1，2，3， 的顺序沿着箭头方向移动 眼球．移动一圈后再回到原 点，反复进行．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 12．（2025•深圳）如图，以矩形ABCD的 69 / 78 B 点为圆心，BC的长为半径作 B，交 A B 于点 F ，点 E 为 AD上一点，连接 C E ，将线段 C E 绕点 E 顺时针旋转至 E G ，点 G 落在 B上，且点F 为 E G 中点．若 AF =1， A E = 3 ，则 C D 的长为 ． 13．（2025•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点 P ，A均在格点上． （Ⅰ）线段 P A 的长为 ； （Ⅱ）直线PA与△ A B C 的外接圆相切于点A， A B = B C ．点M 在射线 B C 上，点 N 在线段BA的延长线 上，满足 C M = 2 A N ，且 M N 与射线 B A 垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 M ， N ， 并简要说明点M ， N 的位置是如何找到的（不要求证明） ． 14．（2024•重庆）如图，以AB为直径的 O 与 A C 相切于点 A ，以 A C 为边作平行四边形 A C D E ，点 D ， E 均在 O上， D E 与 A B 交于点 F ，连接 C E ，与 O交于点G，连接DG．若 A B = 1 0 ， D E = 8 ，则 A F = ， D G = ． 15．（2024•重庆）如图， A B 是 O 的直径， B C 是 O 的切线，点 B 为切点．连接AC交 O 于点 D ， 点 E 是 O 上一点，连接BE ，DE，过点 A 作AF//BE交BD的延长线于点F ．若BC=5，CD=3， F =ADE，则 A B 的长度是 ； D F 的长度是 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 16．（2024•绵阳）如图，在矩形ABCD中，点 70 / 78 E 在 A B 上运动，△ADE 的内切圆与 D E 相切于点G，将 △ A D E 沿 D E 翻折，点 A 落在点 F 处，连接 B F ．当点 E 恰为AB的三等分点（靠近点 A ) 时，且 EG= 5−1， D G = 5 + 1 ，则 c o s  A B F = ． 17．（2024•长春）如图， A B 是半圆的直径， A C 是一条弦，D是 A C 的中点， D E ⊥ A B 于点 E ，交 A C 于点 F ，DB交AC于点G，连结 A D ．给出下面四个结论：①ABD=DAC；②AF =FG；③当 D G = 2 ， G B = 3 时， F G = 1 2 4 ；④当 B D = 2 A D ， A B = 6 时，  D F G 的面积是 3 ，上述结论中，正确 结论的序号有 ． 18．（2024•青岛）如图，△ A B C 中， B A = B C ，以BC为直径的半圆O分别交 A B ，AC于点 D ， E ．过 点 E 作半圆 O 的切线，交 A B 于点 M ，交 B C 的延长线于点 N ．若 O N = 1 0 3 ，cosABC= ，则半径 5 O C 的长为 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 19．（2023•河北）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各 有一个顶点在直线 71 / 78 l 上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正 六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中： （1）   = 度； （2）中间正六边形的中心到直线 l 的距离为 （结果保留根号）． 20．（2023•湖北）如图，在  A B C 中，  A C B = 7 0  ，  A B C 的内切圆 O 与AB， B C 分别相切于点 D ， E ，连接 D E ， A O 的延长线交 D E 于点 F ，则AFD= ． 21．（2023•温州）图1是 4  4 方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为 2 ，现将它剪拼成一个“房 子”造型（如图2)，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点 A ， E， D ， B 在圆上，点 C ， F 在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为 ．若点 A ，N， M 在同 一直线上，AB//PN，DE= 6EF，则题字区域的面积为 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ ★类型8：新定义+数论+代数推理 22题★ 1．（2025•重庆）已知整式 72 / 78 M : a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n ，其中 a 0 为自然数， n ，a ， 1 a 2 ， ， a n 为正整数， 且 a 0 + a 1 + + a n = 4 ．下列说法：①满足条件的所有整式 M 中有且仅有1个单项式； ②当 n = 3 时，满足条件的所有整式 M 的和为4x3 +4x2 +4x+1； ③满足条件的所有二次三项式中，当 x 取任意实数时，其值一定为非负数的整式 M 共有3个． 其中正确的个数是 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025•威海）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进 制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： 2 2 = 1  2 4 + 0  2 3 + 1  2 2 + 1  2 1 + 0  2 0 = 1 0 1 1 0 2 ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： 2 2 = 2  3 2 + 1  3 1 + 1  3 0 = 2 1 1 3 ． 将二进制数 1 0 1 1 2 化为三进制数为 ( ) A． 1 0 2 3 B． 1 0 1 3 C． 1 1 0 3 D． 1 2 3 3．（2024•无锡）已知 y 是 x 的函数，若存在实数 m ， n ( m  n ) ，当 m x n 时， y 的取值范围是 tm y tn ( t  0 ) ．我们将 m x n 称为这个函数的“ t 级关联范围”．例如：函数y=2x，存在 m = 1 ， n = 2 ， 当1 x 2时，2 y 4，即 t = 2 ，所以1 x 2是函数 y = 2 x 的“2级关联范围”．下列结论： ①1 x 3是函数y=−x+4的“1级关联范围”；②0 x 2不是函数 y = x 2 的“2级关联范围”； ③函数 y = k x ( k  0 ) 总存在“3级关联范围”；④函数 y = − x 2 + 2 x + 1 不存在“4级关联范围”． 其中正确的为 ( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4．（2024•重庆）已知整式 M : a n x n + a n − 1 x n − 1 + + a 1 x + a 0 ，其中n， a n − 1 ，  ， a 0 为自然数， a n 为正整数， 且 n + a n + a n − 1 + + a 1 + a 0 = 5 ．下列说法：①满足条件的整式M中有5个整式是单项式； ②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且仅有3个；③满足条件的整式M共有16个． 其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 5．（2024•湖南）在平面直角坐标系 73 / 78 x O y 中，对于点P(x,y)，若 x ， y 均为整数，则称点 P 为“整点”，特 y 别地，当 （其中xy0)的值为整数时，称“整点” x P 为“超整点”．已知点P(2a−4,a+3)在第二象限， 下列说法正确的是( ) A． a  − 3 B．若点 P 为“整点”，则点 P 的个数为3个 C．若点 P 为“超整点”，则点 P 的个数为1个 D．若点 P 为“超整点”，则点 P 到两坐标轴的距离之和大于10 6．（2024•日照）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两 个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：2，4，进行第1次构造，得到新的一列 数：2，6，4，第2次构造后，得到一列数：2，8，6，10，4，，第 n 次构造后得到一列数：2， x 1 ， x 2 ， x ， 3  ，x ，4，记a =2+x +x +x + +x +4．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是( ) k n 1 2 3 k A．a =84 B． 3 a 3 n 为偶数 C． a n + 1 = 3 a n − 6 D．k =2n−1 7．（2023•济南）定义：在平面直角坐标系中，对于点 P ( x 1 ，y )，当点 1 Q ( x 2 ， y 2 ) 满足 2 ( x 1 + x 2 ) = y 1 + y 2 时， 称点 Q ( x 2 ， y 2 ) 是点 P ( x 1 ， y 1 ) 的“倍增点”．已知点 P 1 (1 , 0 ) ，有下列结论： ①点Q(3,8)， 1 Q 2 ( − 2 , − 2 ) 都是点 P 1 的“倍增点”； ②若直线 y = x + 2 上的点A是点 P 1 的“倍增点”，则点A的坐标为 ( 2 , 4 ) ； ③抛物线 y = x 2 − 2 x − 3 上存在两个点是点 P 1 的“倍增点”； 4 5 ④若点B是点P的“倍增点”，则PB的最小值是 ；其中，正确结论的个数是 1 1 5 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2023•重庆）在多项式 x − y − z − m − n （其中 x  y  z  m  n ) 中，对相邻的两个字母间任意添加绝对 值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如： x−y−|z−m|−n=x−y−z+m−n，|x−y|−z−|m−n|=x−y−z−m+n，．下列说法： ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 9．（2025•成都）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一 3 1 1 3 个分数拆分成几个单位分数之和，如： = + ．将 拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地， 5 2 10 11 对于任意奇数 74 / 78 k ( k  2 ) ，将 2 k 拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ． 10．（2025•安徽）对于正整数 n ，根据 n 除以 3 的余数，分以下三种情况得到另一个正整数 m ；若余数为 0，则 m = n 3 ；若余数为1，则 m = 2 n ；若余数为2，则 m = n + 1 ．这种得到 m 的过程称为对 n 进行一次“变 换”．对所得的数 m 再进行一次变换称为对 n 进行二次变换，依此类推．例如，正整数 n = 4 ，根据4除以 3的余数为1，由42=8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由 8 + 1 = 9 知， 对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由93=3知，对4进行三次变换得到的数为 3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的 n 的值之和为 ． 11．（2025•重庆）我们规定：一个四位数 M = a b c d ，若满足 a + b = c + d = 1 0 ，则称这个四位数为“十全 数”．例如：四位数 1928，因为 1 + 9 = 2 + 8 = 1 0 ，所以 1928 是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全 数”是 ；一个“十全数” M =abcd ，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换 位置，得到一个新的数 M  = d c b a ，记 F ( M ) = M 9 − 0 M 9  ， G ( M ) = M + 1 1 M  ．若 4 F ( M ) + 1 G 3 ( M ) + 1 5 与 a b + 1 7 c d 均是整数，则满足条件的 M 的值是 ． 12．（2025•湖南）已知，a，b，c是△ A B C a b 的三条边长，记t=( )k +( )k，其中k为整数． c c （1）若三角形为等边三角形，则 t = ； （2）下列结论正确的是 ．（写出所有正确的结论） ①若 k = 2 ，t=1，则△ A B C 为直角三角形； ② 若 k = 1 , a = 1 2 b + 2 , c = 1 ，则5t11； ③ 若 k = 1 , t  5 3 ，a，b，c为三个连续整数，且abc，则满足条件的△ A B C 的个数为7．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 13．（2025•长沙）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严 格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理 过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果 75 / 78 a ，b， c 为实数，且满足 a + b = − c ．那么2=1． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有 a + b = − c ；① 第二步：根据七年级学过的整式运算法则有 a = 2 a − a ， b = 2 b − b ， c = 2 c − c ；② 第三步：把②代入①，可得 ( 2 a − a ) + ( 2 b − b ) = − ( 2 c − c ) ；③ 第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2(a+b+c)=(a+b+c)；④ 第五步：把④两边同时除以 ( a + b + c ) ，得 2 = 1 ．⑤ 请你判断上述推理过程中，第 步是错误的，它违背了数学的基本法则． 14．（2025•宜宾）已知 a 1 、 a 2 、a 、 3 a 4 、 a 5 是五个正整数，去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种 情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = ． 15．（2025•新疆）对多项式 A ， B ，定义新运算“⊕”： A ⊕ B = 2 A + B ；对正整数 k 和多项式 A ，定义新 运算“  ”： k  A = 个 k A A A A  A （按从左到右的顺序依次做“⊕”运算）．已知正整数 m ， n 为常数，记 M = m  ( x 2 + 3 1 x y ) ， N = n  ( y 2 − 1 4 x y ) ，若 M ⊕N不含xy项，则 m n = ． 16．（2024•重庆）我们规定：若一个正整数A能写成 m 2 − n ，其中m与 n 都是两位数，且m与 n 的十位数 字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成m2 −n的过程，称为“方减分解”．例如： 因为 6 0 2 = 2 5 2 − 2 3 ，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分 解成602=252 −23的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ．把一个“方减数” A进行“方减分解”，即 A = m 2 − n ，将 m 放在n的左边组成一个新的四位数B，若 B 除以19余数为1，且 2m+n=k2(k为整数），则满足条件的正整数 A 为 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 17．（2024•重庆）一个各数位均不为0的四位自然数 76 / 78 M = a b c d ，若满足 a + d = b + c = 9 ，则称这个四位数 为“友谊数”．例如：四位数1278， 1 + 8 = 2 + 7 = 9 ，  1 2 7 8 是“友谊数”．若 a b c d 是一个“友谊数”，且 b − a = c − b = 1 ，则这个数为 ；若 M = a b c d M F(M)+ab+cd 是一个“友谊数”，设F(M)= ，且 是 9 13 整数，则满足条件的 M 的最大值是 ． 18．（2024•长沙）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为 在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4， 5，6，7，8，9 这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上 4.6，将此时的运算结果再乘以 10，然后 加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是 2 0 1 0 ) ， 得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参 与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 ． 19．（2024•大庆）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”．该 点称为“倍值点”．例如：“倍值函数” y=3x+1，其“倍值点”为(−1,−2)．下列说法不正确的序号为 ． ①函数 y = 2 x + 4 是“倍值函数”； ②函数 y = 8 x 的图象上的“倍值点”是 ( 2 , 4 ) 和 ( − 2 , − 4 ) ； 1 ④ 若关于x的函数y=(m−1)x2 +mx+ m的图象上有两个“倍值点”，则 4 m 的取值范围是 m  4 3 ； ⑤ 若关于x的函数 y = x 2 + ( m − k + 2 ) x + n 4 − k 2 的图象上存在唯一的“倍值点”，且当 − 1 m 3 时， n 的最 −3− 5 小值为k，则k的值为 ． 2 20．（2023•成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数 m ， n 的平方差，且 m − n  1 ，则称这个正 整数为“智慧优数”．例如，16=52 −32，16就是一个智慧优数，可以利用m2 −n2 =(m+n)(m−n)进行研 究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ．★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★ 21．（2023•重庆）如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足 77 / 78 a b − b c = c d ，那 么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129， 4 1 − 1 2 = 2 9 ，  4 1 2 9 是“递减数”；又如：四位数5324， 5 3 − 3 2 = 2 1  2 4 ，  5 3 2 4 不是“递减数”．若一个“递减数”为 a 3 1 2 ，则这个数为 ；若一个“递减 数”的前三个数字组成的三位数 a b c 与后三个数字组成的三位数 b c d 的和能被 9 整除，则满足条件的数的 最大值是 ． 22．（2023•重庆）对于一个四位自然数 M ，若它的千位数字比个位数字多 6，百位数字比十位数字多 2， 则称 M 为“天真数”．如：四位数7311， 7−1=6，3−1=2，7311是“天真数”；四位数8421， 8−16，  8 4 2 1 不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数” M 的千位数字为 a ，百位数字为 b ，十位数字为c，个位数字为 d ，记 P ( M ) = 3 ( a + b ) + c + d ， Q ( M ) = a − 5 ，若 P Q ( ( M M ) ) 能被 10 整除，则 满足条件的 M 的最大值为 ．