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4.4 正余弦定理（精练题组版）
题组一 边角互换
1．（2025·安徽·模拟预测）在
中，内角
的对边分别为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（24-25 浙江·期中）已知锐角
的三个角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
，A=
3．（24-25 高三上·湖北武汉·期中）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，
则
=
4．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知
的内角
的对边分别为
，且满足
.
角
=
5.（2025·北京）在
中，
，则B=
题组二 判断三角形的形状
1．（2025 广东广州·期中）在
中，角A、B、C 所对的边为a、b、c 若
，则
的形状是
（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
2．（2025 重庆·阶段练习）在
中，
、
、分别为角
、
、
的对边，若
，则
的形状为（ ）
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
3．（2025·甘肃酒泉·三模）
中，
，
，分别是角
，
，
的对边，且
，则
的形状为（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．直角或钝角三角形
D．钝角三角形
4．（2025·安徽）记
的内角
的对边分别为
，
，，若
，则
为
（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
5．（24-25 广东·期中）在
中，
分别是内角
的对边，若
（其中
表示
的面积），且
，则
的形状是（ ）
A．有一个角是30°的等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．有一个角是30°的直角三角形
D．等边三角形
6．（2025·湖南·一模）（多选）
中，角
所对的边分别为
、
、，则“
是直角三角
形”的充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·江西·模拟预测）（多选）设
内角
的对边分别为
，则下列条件能判定
是等
腰三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025 山东临沂·阶段练习）（多选）已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，下列说法中正
确的是（ ）
A．若
，则
一定是等腰三角形
B．若
，则
一定是等边三角形
C．若
，则
一定是等腰三角形
D．若
，则
一定是钝角三角形
题组三 三角形的外接圆
1．（2024·四川·模拟预测）已知
的内角
所对的边分别为
，且
，
则
的外接圆的周长为 ．
2．（2024·辽宁·一模）在
中，
，
，则
外接圆半径为 .
3．（2025·陕西·三模）在圆内接梯形
中，
，
，
，
，则其外接圆的半
径为
4．（2024·山西晋城·一模）在
中，
，
，
．
(1)求A 的大小；
(2)求
外接圆的半径与内切圆的半径．
5．（2025 海南）在
中，内角
所对的边分别为
，
.
(1)求
的值；
(2)若
，求
外接圆的半径.
6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知
的内角
的对边分别为
，且
）.
(1)求
的值；
(2)若
，且
的面积为
，求
外接圆的面积.
题组四 三角形的面积公式
1．（2025·河北邯郸·模拟预测）在
中，角A，B，C 对应的边分别为a，b，c，若
，
，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·云南·模拟预测）记
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
．
(1)求
；
(2)若
，
，求
的面积．
3．（2025·辽宁·三模）已知
的内角
的对边分别为
，若
.
(1)求
；
(2)求
的面积.
4．（2024·广东河源·模拟预测）已知
的内角
，
，
所对的边分别是
，
，，且
．
(1)求角
；
(2)若
，
，求
的面积．
题组五 三角形个数的判断
1．（2024·湖北黄冈·一模）已知
的内角
所对的边分别为
，
，下面可使得
有两组解的
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·宁夏银川·三模）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
，若
有两
解，则c 的取值可能为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．（2025 河南）设在
中，角A、B、C 所对的边分别为a，b，c，若满足
的
不唯一，则m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·甘肃金昌·模拟预测）（多选）在
中，
，
，
，则“
有唯一解”的
充分条件可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
题组六 正余弦定理在几何中的应用
1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在四边形
中，
，
，
，
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·江西新余·模拟预测）如图，在四边形
中，
，
，
，
，
.
(1)求
；
(2)求四边形
的面积.
3（24-25 浙江杭州·阶段练习）已知
的内角
所对应的边分别为
是
外一点，若
，
且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求四边形
面积的最大值.
4．（24-25 浙江金华·阶段练习）如图，在
中，内角
所对的边分别为
，已知
，
，
．
(1)求
的值；
(2)若
为边
上一点，且
，求
的长．
5．（23-24 湖北·阶段练习）如图所示，圆内接四边形
中，
，
为圆周上一动点，
.
(1)求四边形ABCD 周长的最大值;
(2)若
，求AC 的长.
6．（2025 广东惠州·阶段练习）如图，在平面四边形
中，
，
，
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
题组七 正余弦定理在实际生活中的应用
1．（2025·江西景德镇·三模）如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包
括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正
午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的
那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午
太阳高度角为
，夏至正午太阳高度角为
，表高42 厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距
离为50 厘米，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2 ．（24-25 高三上·河北邢台·期中）如图，已知
为某建筑物的高，
，
分别为该建筑物附近的参照
物甲、乙的高，
，
，
分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C 分别为该建筑物、
甲、乙的顶点，经测量得
米，
米，
，
，在C 点测得B 点的仰
角为33.69°，在B 点测得A 点的仰角为51.34°，则该建筑物的高
约为（参考数据
，
，
）（ ）
A．268 米
B．265 米
C．266 米
D．267 米
4．（24-25 辽宁丹东·阶段练习）甲、乙骑自行车同时从
地出发，甲沿北偏东54.5°方向做匀速直线运动，去
往
地，乙沿南偏东50°方向做匀速直线运动，去往
地，甲、乙同时达到目的地，甲的速度是乙的速度的两
倍，且
地与
地相距10km，则
地与
地相距 km．（参考数据：取
）
5．
题组八 三角形中周长与面积的最值
1．（24-25 高三上·广西贵港·开学考试）在
中，
，且
边上的高为
，则
（ ）
A．
的面积有最大值，且最大值为
B．
的面积有最大值，且最大值为
C．
的面积有最小值，且最小值为
D．
的面积有最小值，且最小值为
2．（2024·陕西·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，已知
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．12
D．15.
3．（2025·内蒙古赤峰·一模）锐角
中，
分别为角
所对的边，且
，若
，
则
周长的取值范围是 .
4．（2025·湖北武汉·模拟预测）在
中，
，点D 是
上的点，
平分
，
的面积是
的面积的3 倍，当
的面积最大时，
.
5．（2024·河北·三模）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
是
的中线．若
，且
，则
面积的最大值为 ．
6．（2025·上海·三模）在
中，角
，
，
所对边的边长分别为
，
，，且满足
(1)求角
的值；
(2)若
，求
周长的最大值.
题组九 三角形的中线、角平分线与高
1．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）在
中，已知
是
边上的中线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·湖南长沙·二模）已知
的面积为
，
，
，
的内角平分线交边
于点
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知锐角
中，角
所对的边分别为
．
(1)求角
；
(2)若
为
的平分线，且与
交于点
，求
的面积．
4．（2025·重庆·三模）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
，点
在边
上，且
，求
的长．
5．（2025·四川乐山·三模）在
中，角
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)求
；
(2)若
，
，
的角平分线交
于
，求
.
题组十 三角形的取值范围
1．（2025·贵州毕节·二模）（多选）在
中，内角
、
、
所对的边分别为
、
、，已知
，
，则（ ）
A．
B．
的周长的最大值为
C．当
最大时，
的面积为
D．
的取值范围为
2．（2024·河北邯郸·三模）（多选）已知
的三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，面积为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的取值范围是
B．若
为边
的中点，且
，则
的面积的最大值为
C．若
是锐角三角形，则
的取值范围是
D．若角
的平分线
与边
相交于点
，且
，则
的最小值为10
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）在
中，记角
所对的边分别为
，已知
，且
，则
面积的最大值为 ．
4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）在
中，内角
、
、
所对的边分别是
、
、，若
，且
，则
的最小值为 ．
5．（2025·内蒙古通辽·三模）在
中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，点D 在边BC 上，且
.则
的取值范围是 .
6.（2025·湖北黄冈·模拟预测）在锐角
中，内角
的对边分别为
，且
，则
的取值范围为
8．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）记
的内角
所对的边分别为
，且
.
(1)求角
的值；
(2)若
，求
外接圆的面积；
(3)若
，求
的最小值.
9．（2025·湖北·模拟预测）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A；
(2)若∠BAC 的角平分线AD 与边BC 交于点D，且
，求
的最小值．
10．（2025·湖北·三模）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求C；
(2)若
边上的高
为
，求
的最小值．
