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专题 25 三角形综合测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023·江苏·统考中考真题）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1=56°，则∠2的
度数是（ ）．
A．26° B．30° C．36° D．56°
【答案】A
【分析】根据平行线的性质可得∠3=∠1=56°，进而根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵直尺的两边平行，
∴∠3=∠1=56°，
又∵∠3=30°+∠2，
∴∠2=∠3−30°=56°−30°=26°，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外交的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
2．（3分）（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，点E、F在BC上，BE=CF，∠B=∠C，添加一个
条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）
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A．∠A=∠D B．∠AFB=∠DEC C．AB=DC D．AF=DE
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形
的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．根据BE=CF求出BF=CE，再根据
全等三角形的判定定理进行分析即可．
【详解】解：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵ ∠B=∠C，
∴当∠A=∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE；
当∠AFB=∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE；
当AB=DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE；
当AF=DE时，无法证明△ABF≌△DCE；
故选：D．
3．（3分）（2023·山东·统考中考真题）△ABC的三边长a，b，c满足
(a−b) 2+√2a−b−3+|c−3√2|=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由a2+b2=c2的关系，
可推导得到△ABC为直角三角形．
【详解】解∵(a−b) 2+√2a−b−3+|c−3√2|=0
又∵¿
∴¿，
∴¿
解得¿ ，
∴a2+b2=c2，且a=b，
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∴△ABC为等腰直角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非
负数均为0，和勾股定理逆定理．
4．（3分）（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，
AC=4√2，点P为AC边上的中点，PM交AB的延长线于点M，PN交BC的延长线于点N，且
PM⊥PN．若BM=1，则△PMN的面积为（ ）
13
A．13 B．√13 C．8 D．
2
【答案】D
【分析】依据题意，连接BP，然后先证明△BMP≌△CNP，从而CN=BP=1，又由等腰Rt△ABC可得
BC=4，从而在Rt△MBN中可以求得MN，又MP=NP，从而可得MN的值，进而可以得解．
【详解】解：如图，连接BP．
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∵AB=BC，点P为AC边上的中点，
1 1
∴BP⊥AC，∠CBP=∠ABP= ∠ABC=45°，∠BCA=45°，BP=CP= AC=2√2．
2 2
∴∠MBP=∠NCP=180°−45°=135°．
∵BP⊥AC，PM⊥PN，
∴∠BPM+∠MPC=90°，∠CPN+∠MPC=90°．
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∴∠BPM=∠CPN．
又BP=CP，∠MBP=∠NCP，
∴△BMP≌△CNP(ASA)．
∴BM=CN=1，MP=NP．
在Rt△BPC中，BC=√BP2+CP2=4．
∴在Rt△MBN中，MN=√BM2+BN2=√12+52=√26．
又在Rt△MPN中，MP=NP，
∴M P2+N P2=M N2．
∴MP=NP=√13．
1 13
∴S = MP⋅NP= ．
△PMN 2 2
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运
用是关键．
5．（3分）（2023·河北·统考中考真题）如图，直线l ∥l ，菱形ABCD和等边△EFG在l ，l 之间，点
1 2 1 2
A，F分别在l ，l 上，点B，D，E，G在同一直线上：若∠α=50°，∠ADE=146°，则∠β=（ ）
1 2
A．42° B．43° C．44° D．45°
【答案】C
【分析】如图，由平角的定义求得∠ADB=180°−∠ADE=34°，由外角定理求得，
∠AHD=∠α−∠ADB=16°，根据平行性质，得∠GIF=∠AHD=16°，进而求得
∠β=∠EGF−∠GIF=44°．
【详解】如图，∵∠ADE=146°
∴∠ADB=180°−∠ADE=34°
∵∠α=∠ADB+∠AHD
∴∠AHD=∠α−∠ADB=50°−34°=16°
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∵l ∥l
1 2
∴∠GIF=∠AHD=16°
∵∠EGF=∠β+∠GIF
∴∠β=∠EGF−∠GIF=60°−16°=44°
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理确定
角之间的数量关系是解题的关键．
6．（3分）（2023·四川德阳·统考中考真题）如图．在△ABC中，∠CAD=90°，AD=3，AC=4，
BD=DE=EC，点F是AB边的中点，则DF=（ ）
5 5
A． B． C．2 D．1
4 2
【答案】A
【分析】根据勾股定理可先求得CD的长度，根据直角三角形的斜边上的中线与斜边的数量关系，可求得
AE的长度，根据三角形的中位线定理可求得答案．
【详解】∵∠CAD=90°，
∴△CAD为直角三角形．
∴CD=√AD2+AC2=√32+42=5．
∵点E为Rt△CAD的斜边CD的中点，
1 5
∴AE= CD= ．
2 2
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∵BD=DE，BF=FA，
1 5
∴DF= AE= ．
2 4
故选：A．
【点睛】本题主要考查勾股定理、直角三角形的性质、三角形的中位线定理，牢记勾股定理、直角三角形
的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）、三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角
形的第三边，并且等于第三边的一半）是解题的关键．
7．（3分）（2023·北京·统考中考真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E
在直线AC同侧，AB√a2+b2；③√2(a+b)>c；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】如图，过D作DF⊥AE于F，则四边形ACDF是矩形，则DF=AC=a+b，由DFBE，可得a+b>√a2+b2，进而可判断②的正误；由勾股定理
得DE2=BD2+BE2，即c2=2(a2+b2)，则c=√2×√a2+b2<√2(a+b)，进而可判断③的正误．
【详解】解：如图，过D作DF⊥AE于F，则四边形ACDF是矩形，
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∴DF=AC=a+b，
∵DFBE，
∴a+b>√a2+b2，②正确，故符合要求；
由勾股定理得DE2=BD2+BE2，即c2=2(a2+b2)，
∴c=√2×√a2+b2<√2(a+b)，③正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性
质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
8．（3分）（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，
PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（ ）
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A．12 B．14 C．18 D．24
【答案】C
【分析】连接BD，由点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，可得点B、P、D在一条直线上，且
1 4
BP:PD=2:1，S = S ，通过△BEP∽△BCD可得S = S ，从而得到
△BCD 2 △ABC △BEP 9 △BCD
5 1 1 4 1
S = S ，通过△BEP∽△DFP，可得S = S = × S = S ，再根据四边
四边形CEPD 9 △BCD △DFP 4 BEP 4 9 △BCD 9 △BCD
形CDFE的面积为6，可得出S ，进而可得出△ABC的面积．
△BCD
【详解】解：如图所示，连接BD，
，
∵点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，
1
∴点B、P、D在一条直线上，且BP:PD=2:1，S = S ，
△BCD 2 △ABC
∵ PE∥AC，
∴△BEP∽△BCD，
∵ BP:PD=2:1，
∴BP:BD=2:3，
∴S :S =4:9，
△BEP △BCD
4
∴S = S ，
△BEP 9 △BCD
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5
∴S =S −S = S ，
四边形CEPD △BCD △BEP 9 △BCD
∵ DF∥BC，
∴△BEP∽△DFP，
∵ BP:PD=2:1，
∴S :S =4，
△BEP △DFP
1 1 4 1
∴S = S = × S = S ，
△DFP 4 △BEP 4 9 △BCD 9 △BCD
5 1 6
∵S =S +S = S + S = S =6，
四边形CDFE 四边形CEPD △DFP 9 △BCD 9 △BCD 9 △BCD
∴S =9，
△BCD
∴S =18，
△ABC
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，根据三角形的中线求面积，熟
练掌握三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
9．（3分）（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角
形，把△ADE以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点．若AB=√3，AD=1．以下结论：
①BD=CE；②BD⊥CE；
3−√3
③当点E在BA的延长线上时，MC= ；
2
1
④在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为 ．
2
其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
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【分析】证明△BAD≌△CAE即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明∠DCM∽∠ECA得
MC √3−1
出 = ，即可判断③；以A为圆心，AD为半径画圆，当CE在⊙A的下方与⊙A相切时，MB的
√3 2
值最小，可得四边形AEMD是正方形，在Rt△MBC中MC=√BC2−MB2 =√2+1，然后根据三角形的
面积公式即可判断④．
【详解】解：∵△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴BA=CA,DA=EA,∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，故①正确；
设∠ABD=∠ACE=α，
∴∠DBC=45°−α,
∴∠EMB=∠DBC+∠BCM=∠DBC+∠BCA+∠ACE=45°−α+45°+α=90°，
∴BD⊥CE，故②正确；
当点E在BA的延长线上时，如图所示
∵∠DCM=∠ECA，∠DMC=∠EAC=90°，
∴∠DCM∽∠ECA
MC CD
∴ =
AC EC
∵AB=√3，AD=1．
∴CD=AC−AD=√3−1，CE=√AE2+AC2=2
MC √3−1
∴ =
√3 2
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3−√3
∴MC= ，故③正确；
2
④如图所示，以A为圆心，AD为半径画圆，
∵∠BMC=90°，
∴当CE在⊙A的下方与⊙A相切时，MB的值最小， ∠ADM=∠DAE=∠AEM=90°
∴四边形AEMD是矩形，
又AE=AD，
∴四边形AEMD是正方形，
∴MD=AE=1，
∵BD=EC=√AC2−AE2=√2，
∴MB=BD−MD=√2−1，
在Rt△MBC中，MC=√BC2−MB2
∴PB取得最小值时，MC=√AB2+AC2−MB2 =√3+3−(√2−1) 2=√2+1
1 1 1
∴S = MB×MC= (√2−1)(√2+1)=
△BMC 2 2 2
故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形
的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
10．（3分）（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若
∠AOC=140°，则∠BOD的度数为 ．
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【答案】20°/20度
【分析】根据邻补角得出∠BOC=180°−140°=40°，再由角平分线求解即可．
【详解】解：∵∠AOC=140°，
∴∠BOC=180°−140°=40°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD=20°，
故答案为：20°．
【点睛】题目注意考查邻补角及角平分线的计算，找准各角之间的关系是解题关键．
11．（3分）（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D．交AB
于点E．连接CE．若CE=CA，∠ACE=40°，则∠B的度数为 ．
【答案】35°/35度
【分析】先在△ACE中利用等边对等角求出∠AEC的度数，然后根据垂直平分线的性质可得BE=CE，
再利用等边对等角得出∠B=∠BCE，最后结合三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵CE=CA，∠ACE=40°，
180°−∠ACE
∴∠A=∠AEC= =70°，
2
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴∠B=∠BCE，
又∠AEC=∠B+∠BCE，
∴∠B=35°．
故答案为： 35°．
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【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握等腰三
角形的等边对等角是解题的关键．
12．（3分）（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为BC的中点，过
点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，若AC=4，CE=5，则CD的长为 ．
3 1
【答案】 /1 /1.5
2 2
【分析】先根据AAS证明△BDA≌△CDE，推出BA=CE=5，再利用勾股定理求出BC，最后根据中点的
定义即可求CD的长．
【详解】解：∵ CE∥AB，
∴ ∠BAD=∠CED，
∵点D为BC的中点，
∴ BD=CD，
又∵ ∠BDA=∠CDE，
∴ △BDA≌△CDE (AAS)，
∴ BA=CE=5，
∵ Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，
∴ BC=√AB2−AC2=√52−42=3，
1 3
∴ CD= BC= ．
2 2
3
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等，证明△BDA≌△CDE是解题
的关键．
13．（3分）（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射线CP从射线
CA开始绕点C逆时针旋转α角(0°<α<75°)，与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD
处，射线C A'与射线AB相交于点E．若△A'DE是等腰三角形，则∠α的度数为 ．
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【答案】22.5°或45°或67.5°
【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知∠A=∠A'=30°，∠ACP=∠ACP'=α，再画出图形，利用三
角形的外角性质列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知∠A=∠A'=30°，∠ACP=∠ACP'=α，
当A'D=DE时，∠DEA'=∠A'=30°，
由三角形的外角性质得∠DEA'=∠A+∠ACD+∠A'CD，即30°=30°+2α，
此情况不存在；
当A'D=A'E时，
1
∠A'=30°，∠DE A'=∠ED A'= (180°−30°)=75°，
2
由三角形的外角性质得75°=30°+2α，
解得α=22.5°；
当EA'=DE时，∠EDA'=∠A'=30°，
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∴∠DE A'=180°−30°−30°=120°，
由三角形的外角性质得120°=30°+2α，
解得α=45°；
当A'D=A'E时，∠A'DE=∠A'ED=15°，
1
∴∠ADC=∠A'DC= (180°−15°)=82.5°，
2
∴α=∠ACD=180°−30°−82.5°=67.5°；
综上，∠α的度数为22.5°或45°或67.5°．
故答案为：22.5°或45°或67.5°．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的
关键．
14．（3分）（2023·辽宁·统考中考真题）如图，线段AB=8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B
顺时针旋转120°得到线段BD，连接CD，在AB的上方作RtΔDCE，使∠DCE=90∘,∠E=30∘，点F
为DE的中点，连接AF，当AF最小时，ΔBCD的面积为 ．
【答案】√3
【分析】连接CF，BF，BF，CD交于点P，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得BF垂直平分
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CF，∠ABF=60°为定角，可得点F在射线BF上运动，当AF⊥BF时，AF最小，由含30度角直角三
角形的性质即可求解．
【详解】解：连接CF，BF，BF，CD交于点P，如图，
∵∠DCE=90∘，点F为DE的中点，
∴FC=FD，
∵∠E=30∘，
∴∠FDC=60°,
∴△FCD是等边三角形，
∴∠DFC=∠FCD=60°；
∵线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD，
∴BC=BD，
∵FC=FD，
∴BF垂直平分CF，∠ABF=60°，
∴点F在射线BF上运动，
∴当AF⊥BF时，AF最小，
此时∠FAB=90°−∠ABF=30°，
1
∴BF= AB=4；
2
1
∵∠BFC= ∠DFC=30°，
2
∴∠FCB=∠BFC+∠ABF=90°，
1
∴BC= BF=2，
2
1
∵PB= BC=1，
2
∴由勾股定理得PC=√BC2−PB2=√3，
∴CD=2PC=2√3，
1 1
∴S = CD⋅PB= ×2√3×1=√3；
△BCD 2 2
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故答案为：√3．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含30度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平
分线的判定，勾股定理，旋转的性质，确定点F的运动路径是关键与难点．
15．（3分）（2023·江苏·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是AC
延长线上的一点，CD=2．M是边BC上的一点（点M与点B、C不重合），以CD、CM为邻边作
▱CMND．连接AN并取AN的中点P，连接PM，则PM的取值范围是 ．
√2
【答案】 ≤PM<√5
2
【分析】过点B作BN'∥CD交CD的延长线于点N'，连接AN'，过点P作BC的平行线交AN'于点P'，
交AD于点P″，连接BP'，过点P″作P″G⊥BC，分析可知BP'为PM的最大值，P″G为PM的最小值，
据此即可求解．
【详解】解：过点B作BN'∥CD交CD的延长线于点N'，连接AN'，过点P作BC的平行线交AN'于点
P'，交AD于点P″，连接BP'，过点P″作P″G⊥BC，如图所示：
由题意得：点N在线段N'N″上运动（不与点N',N″重合），点P在线段P'P″上运动（不与点P',P″重合）
故：BP'为PM的最大值，P″G为PM的最小值
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∵∠BAC=90°，AB=AC=4
∴∠ABC=∠ACB=45°
∵BN'∥CD
∴∠N'BC=45°,故∠ABN'=90°
∵ ▱CMND且CD=2
∴BN'=2,AN'=√AB2+BN'2=2√5
∵P为AN的中点
1
∴BP'= BN'=√5
2
∵P为AN的中点
∴P″为AN″的中点
1
∴AP″= AN″=3,P″C=1
2
∵∠ACB=45°
∴P″G=CG,P″C2=P″G2+CG2
√2
故P″G=
2
∵点M与点B、C不重合
√2
∴PM的取值范围是 ≤PM<√5
2
√2
故答案为： ≤PM<√5
2
【点睛】本题综合考查了勾股定理、动点轨迹问题．根据题意确定动点轨迹是解题关键．
16．（3分）（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC−A B C 中，
1 1 1
AB=2√3,A A =2，点M为AC的中点，一只小虫从B 沿三棱柱ABC−A B C 的表面爬行到M处，则
1 1 1 1 1
小虫爬行的最短路程等于 ．
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【答案】√19
【分析】：如图，连接B M，由题意可得：底面为正三角形的直三棱柱ABC−A B C ，
1 1 1 1
AB=2√3,A A =2，点M为AC的中点，当B 在右侧处时，可得MB =√22+(3√3) 2=√31，当B 在下方
1 1 1 1
时，由等边三角形的性质可得：B K=√(2√3) 2 −(√3) 2=3，此时B M=3+2=5，如图，当按下图方式展
1 1
开时，延长AC，过C 作C N⊥AC于N，作B T⊥AC于T，作C K⊥B T于K，则C K∥AC，四
1 1 1 1 1 1
1
边形KTNC 为矩形，可得C N=1，CN=√3，C K= B C =√3，B K=√(2√3) 2 −(√3) 2=3，此时
1 1 1 2 1 1 1
C,T重合，可得B M=√(√3) 2+42=√19，从而可得答案．
1
【详解】解：如图，连接B M，由题意可得：底面为正三角形的直三棱柱ABC−A B C ，
1 1 1 1
AB=2√3,A A =2，点M为AC的中点，
1
当B 在右侧处时，
1
∴BB =A A =2，MB=2√3+√3=3√3，
1 1
∴MB =√22+(3√3) 2=√31，
1
当B 在下方时，由等边三角形的性质可得：B K=√(2√3) 2 −(√3) 2=3，
1 1
此时B M=3+2=5，
1
如图，当按下图方式展开时，延长AC，过C 作C N⊥AC于N，作B T⊥AC于T，作C K⊥B T于K，
1 1 1 1 1
则C K∥AC，四边形KTNC 为矩形，
1 1
∴C N=KT，KC =TN，
1 1
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则∠C CN=180°−60°−90°=30°=∠KC C，
1 1
∴∠B C K=90°−30°=60°，
1 1
∵B C =2√3，CC =2，
1 1 1
1
∴C N=1，CN=√3，C K= B C =√3，B K=√(2√3) 2 −(√3) 2=3，
1 1 2 1 1 1
∴此时C,T重合，
∴B T=3+1=4，MT=2√3−√3=√3，
1
∴B M=√(√3) 2+42=√19，
1
∵√31>5>√19，
∴小虫爬行的最短路程等于√19．
故答案为：√19．
【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质，含
30°的直角三角形的性质，最短路径的理解，清晰的分类讨论是解本题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，AB和CD相交于点O，AC∥BD，点O为AB的中
点，求证：AC=BD．
【答案】证明见解析
【分析】先根据平行线的性质得到∠A=∠B，∠C=∠D，再由线段中点的定义得到△AOC≌△BOD，
由此即可证明AC=BD．
【详解】证明：∵AC∥BD，
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∴∠A=∠B，∠C=∠D，
∵点O为AB的中点，
∴OA=OB，
在△AOC和△BOD中，
¿，
∴△AOC≌△BOD(AAS)，
∴AC=BD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是
解题的关键．
18．（6分）（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，AB∥CD，直线MN与AB,CD分别交于点E，F，
CD上有一点G且¿=GF，∠1=122°．求∠2的度数．
【答案】64°
【分析】根据AB∥CD，可得∠DFE=∠1=122°，从而得到∠EFG=58°，再由¿=GF，可得
∠FEG=∠EFG=58°，然后根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，∠1=122°
∴∠DFE=∠1=122°，
∴∠EFG=180°−∠DFE=58°，
∵¿=GF，
∴∠FEG=∠EFG=58°，
∴∠2=180°−∠FEG−∠EFG=64°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，
等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
19．（8分）（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，BC=2，D为
AB的中点，以CD为直角边作含30°角的Rt△CDE，∠DCE=90°，且点E与点A在CD的同侧，请用尺
规或三角板作出符合条件的图形，并直接写出线段AE的长．
2√21
【答案】作图见解析，线段AE的长为AE=2√3或AE=
3
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【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质得到AB=2BC=4，AC=√3BC=2√3，再根据直角三角
形斜边上的中线性质和等边三角形的判定证明△BCD为等边三角形，可得∠BCD=∠BDC=60°，
∠ACD=30°，分∠CED=30°和∠CDE=30°两种情况，利用等边三角形的性质，结合锐角三角形和勾
股定理求解即可．
【详解】解：如图，当∠CED=30°时，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=90°−∠B=30°，又BC=2，
∴AB=2BC=4，AC=√3BC=2√3，
∵D为AB的中点，
1
∴CD=BD=AD= AB=2，
2
∴△BCD为等边三角形，
∴∠BCD=∠BDC=60°，∠ACD=30°，
∵∠DCE=90°，DC=2，
∴∠ACE=90°−∠ACD=60°，CE=√3CD=2√3=AC，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE=AC=2√3；
如图，当∠CDE=30°时，
∵∠BDC=60°，
∴∠ADE=∠BDC+∠CDE=90°
DC 4√3
在Rt△DCE中，DC=2，则DE= = ，
cos30° 3
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2√21
在Rt△ADE中，AD=2，则AE=√AD2+DE2=
，
3
2√21
综上，满足条件的线段AE的长为AE=2√3或AE= ．
3
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性
质、锐角三角函数以及勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形和直角三角形的相关性质是解答的关键．
20．（8分）（2023·湖南·统考中考真题）如图，在等边三角形ABC中，D为AB上的一点，过点D作BC
的平行线DE交AC于点E，点P是线段DE上的动点（点P不与D、E重合）．将△ABP绕点A逆时针方
向旋转60°，得到△ACQ，连接EQ、PQ,PQ交AC于F．
(1)证明：在点P的运动过程中，总有∠PEQ=120°．
AP
(2)当 为何值时，△AQF是直角三角形？
DP
【答案】(1)见解析
(2)√3
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用四点共圆知识解答即可．
（2）只有∠AFQ=90°，△AQF是直角三角形，解答即可．
【详解】（1）∵等边三角形ABC，
∴AB=BC=CA,∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，
∵DE∥BC，
∴∠AEP=∠ACB=60°，
∵△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，
∴∠PAQ=60°,AP=AQ，
∴△APQ时等边三角形，
∴∠AQP=∠APQ=60°，
∴∠AQP=∠AEP=60°，
∴A、P、E、Q四点共圆，
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∴∠APQ=∠AEQ=60°，
∴∠PEQ=∠AEP+∠AEQ=120°．
（2）如图，根据题意，只有当∠AFQ=90°时，成立，
∵△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，
∴∠PAQ=60°,AP=AQ，
∴△APQ时等边三角形，
∴∠PAQ=60°，
∵∠AFQ=90°，
∴∠PAF=∠QAF=30°，
∵等边三角形ABC，
∴∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADP=∠ABC=60°，
∴∠DAP=30°,∠APD=90°，
AP
∴tan∠ADP=tan60°= =√3．
PD
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，四点共圆，特殊角的三角函数值，熟练掌握等边
三角形的性质，平行线的性质，四点共圆，特殊角的三角函数值是解题的关键．
21．（8分）（2023·辽宁·统考中考真题）在RtΔABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点O为AB的中点，
点D在直线AB上（不与点A,B重合），连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点
B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G．
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(1)如图，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；
(2)如图，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=√2BC；
S
(3)连接DE，△CDE的面积记为S ，△ABC的面积记为S ，当EF:BC=1:3时，请直接写出 1 的值．
1 2 S
2
√2
【答案】(1)EF= AD．
2
(2)见解析．
5 17
(3) 或 ．
9 9
【分析】（1）可先证△BCD≌△BCE，得到BD=BE，根据锐角三角函数，可得到BE和EF的数量关系，
进而得到线段AD与线段EF的数量关系．
（2）可先证△ACD≌△GEC，得到DA=CG，进而得到CG+BD=DA+BD=AB，问题即可得证．
（3）分两种情况：①点D在线段AB上，过点C作CN垂直于FG，交FG于点N，过点E作EM垂直于BC，
交BC于点M，设EF=a，利用勾股定理，可用含a的代数式表示EC，根据三角形面积公式，即可得到答
案．②点D在线段BA的延长线上，过点E作EJ垂直于BC，交BC延长线于点J,令EF交AC于点I,连接BE,
设EF=b，可证△CDA≌△CEB，进一步证得△EBJ是等腰直角三角形，EJ=BJ，利用勾股定理，可用
含b的代数式表示EC，根据三角形面积公式，即可得到答案
√2
【详解】（1）解：EF= AD．
2
理由如下：
如图，连接BE．
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根据图形旋转的性质可知CD=CE．
由题意可知，△ABC为等腰直角三角形，
∵CD为等腰直角三角形△ABC斜边AB上的中线，
∴∠BCD=45°，AD=BD．
又∠DCE=90°，
∴∠BCE=45°．
在△BCD和△BCE中，
¿
∴△BCD≌△BCE．
∴BD=BE，∠CBE=∠CBD=45°．
∴∠EBF=45°．
√2
∴EF=BE·sin∠EBF= BE．
2
√2
∴EF= AD．
2
（2）解：∵CO为等腰直角三角形△ABC斜边AB上的中线，
∴AO=BO．
∵∠ACD+∠DCB=∠BCE+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠BCE．
∵BC⊥l，EF⊥l，
∴BC∥EF．
∴∠G=∠OCB=45°，∠GEC=∠BCE．
∴∠G=∠A，∠ACD=∠GEC．
在△ACD和△GEC中，
¿
∴△ACD≌△GEC．
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∴DA=CG．
∴CG+BD=DA+BD=AB=√2BC．
（3）解：当点D在线段AB延长线上时，不满足条件EF:BC=1:3，故分两种情况：
①点D在线段AB上，如图，过点C作CN垂直于FG，交FG于点N；过点E作EM垂直于BC，交BC于点
M．
设EF=a，则BC=AC=3a．
根据题意可知，四边形BFEM和CMEN为矩形，△GCN为等腰直角三角形．
∴EF=BM=a，CM=NE=2a．
由（2）证明可知△ACD≌△GEC，
∴AC=≥=3a．
∴NG=NC=a．
∴NC=EM=a．
根据勾股定理可知
CE=√EM2+CM2=√(2a) 2+a2=√5a，
△CDE的面积S 与△ABC的面积S 之比
1 2
1 1
CE2 (√5a) 2
S 2 2 5
1= = =
S 1 1 9
2 BC2 (3a) 2
2 2
②点D在线段BA的延长线上，过点E作EJ垂直于BC，交BC延长线于点J,令EF交AC于点I,连接BE,由
题意知，四边形FBJE，FBCI是矩形，
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∵∠DCE=∠ACB=90°
∴∠DCE−∠ACE=∠ACB−∠ACE
即∠DCA=∠ECB
又∵CD=CE，CA=CB
∴△CDA≌△CEB
∴∠DAC=∠EBC
而∠DAC=180°−∠CAB=180°−45°=135°
∴∠EBC=135°
∠EBJ=180°−∠EBC=45°
∴△EBJ是等腰直角三角形，EJ=BJ
设EF=b，则BC=IF=3b，EJ=BJ=CI=b
∴EI=EF+IF=4b
Rt△CIE中，CE=√CI2+EI2=√b2+(4b) 2=√17b
△CDE的面积S 与△ABC的面积S 之比
1 2
1 1
CE2 (√17b) 2
S 2 2 17
1= = =
S 1 1 9
2 BC2 (3b) 2
2 2
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、勾股定理以及图形旋转的性质，灵活利用全等三角形的
判定及性质是解题的关键．
22．（8分）（2023·辽宁大连·统考中考真题）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知AB=AC,∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如
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下探究：
独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”
小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：
问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．
（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；
（2）如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以将问题进
一步拓展．
问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，则求BC
的长．
3+√57
【答案】（1）见解析；（2） ；问题2：BC=√10
2
【分析】（1）根据等边对等角可得∠ABC=∠C，根据折叠以及三角形内角和定理，可得∠BDE=∠A
=180°−2∠C，根据邻补角互补可得∠EDC+∠BDE=180°，即可得证；
（2）连接AD，交BE于点F，则EF是△ADC的中位线，勾股定理求得AF,BF，根据BE=BF+EF即可
求解；
问题2：连接AD，过点B作BM⊥AD于点M，过点C作CG⊥BM于点G，根据已知条件可得
BM∥CD，则四边形CGMD是矩形，勾股定理求得AD，根据三线合一得出MD,CG，根据勾股定理求
得BC的长，即可求解．
【详解】（1）∵等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到
∴∠ABC=∠C，∠BDE=∠A =180°−2∠C，
∵∠EDC+∠BDE=180°，
∴∠EDC=2∠ACB；
（2）如图所示，连接AD，交BE于点F，
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∵折叠，
1
∴EA=ED，AF=FD，AE= AC=2，AD⊥BE，
2
∵E是AC的中点，
∴EA=EC，
1 3
∴EF= CD= ，
2 2
在Rt△AEF中，AF=√AE2−EF2=
√
22−
(3) 2
=
√7
，
2 2
在Rt△ABF中，BF=√AB2−AF2=
√
42−
(√7) 2
=
√57
，
2 2
3+√57
∴BE=BF+EF= ；
2
问题2：如图所示，连接AD，过点B作BM⊥AD于点M，过点C作CG⊥BM于点G，
∵AB=BD，
1
∴AM=MD，∠ABM=∠DBM= ∠ABD，
2
∵2∠BDC=∠ABD，
∴∠BDC=∠DBM，
∴BM∥CD，
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∴CD⊥AD，
又CG⊥BM，
∴四边形CGMD是矩形，
则CD=GM，
在Rt△ACD中，CD=1，AD=4,AD=√AC2−CD2=√42−12=√15，
√15 √15
∴AM=MD= ，CG=MD=
2 2
在Rt△BDM中，BM=√BD2−DM2=
√
42−
(√15) 2
=
7
，
2 2
7 5
∴BG=BM−GM=BM−CD= −1= ，
2 2
在Rt△BCG中，BC=√BG2+CG2=
√ (5) 2
+
(√15) 2
=√10．
2 2
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟练掌握以上知识
是解题的关键．
23．（8分）（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给
定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家
和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为
“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择
填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④
处填写该三角形的某个顶点）
当△ABC的三个内角均小于120°时，
如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接PP'，
由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'为 ① 三角形，故PP'=PC，又P' A'=PA，故
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PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，
由 ② 可知，当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A'B，此时
的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB= ③ ；
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若
∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为
△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=2√3km，∠ACB=60°．
现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分
别为a元/km，a元/km，√2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．
（结果用含a的式子表示）
【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③120°；④A．
(2)5
(3)2√13a
【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；
（2）根据（1）的方法将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，即可得出可知当B，P，P'，A在
同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，最小值为A'B，在根据∠ACB=30°可证明
∠AC A'=∠A'CP'+∠BCP+∠PCP'=90°，由勾股定理求A'B即可，
（3）由总的铺设成本=a(PA+PB+√2PC)，通过将△APC绕，点C顺时针旋转90°得到△A'P'C，得
到等腰直角△PP'C，得到√2PC=PP'，即可得出当B，P，P'，A在同一条直线上时，P' A'+PB+PP'
取最小值，即PA+PB+√2PC取最小值为A'B，然后根据已知和旋转性质求出A'B即可．
【详解】（1）解：∵PC=P'C，∠PCP'=60°，
∴△PCP'为等边三角形；
∴PP'=PC，∠P'PC=∠PP'C=60°，
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又P' A'=PA，故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，
由两点之间线段最短可知，当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，
最小值为A'B，此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴∠BPC+∠P'PC=180°，∠A'P'C+∠PP'C=180°，
∴∠BPC=120°，∠A'P'C=120°，
又∵△APC≅△A'P'C，
∴∠APC=∠AP'C=120°，
∴∠APB=360°−∠APC−∠BPC=120°，
∴∠APC=∠BPC=∠APB=120°；
∵∠BAC≥120°，
∴BC>AC，BC>AB，
∴BC+AB>AC+AB，BC+AC>AB+AC，
∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．
又∵已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，
故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③120°；④A．
（2）将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接PP'，
由（1）可知当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，最小值为A'B，
∵∠ACP=∠A'CP'，
∴∠ACP+∠BCP=∠A'CP'+∠BCP=∠ACB=30°，
又∵∠PCP'=60°
∴∠BC A'=∠A'CP'+∠BCP+∠PCP'=90°，
由旋转性质可知：AC=A'C=3，
∴A'B=√BC2+A'C2=√42+32=5，
∴PA+PB+PC最小值为5，
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（3）∵总的铺设成本=PA·a+PB·a+PC·√2a=a(PA+PB+√2PC)
∴当PA+PB+√2PC最小时，总的铺设成本最低，
将△APC绕，点C顺时针旋转90°得到△A'P'C，连接PP'，A'B
由旋转性质可知：P'C=PC，∠PCP'=∠AC A'=90°，P' A'=PA，A'C=AC=4km，
∴PP'=√2PC，
∴PA+PB+√2PC=P' A'+PB+PP'，
当B，P，P'，A在同一条直线上时，P' A'+PB+PP'取最小值，即PA+PB+√2PC取最小值为A'B，
过点A'作A'H⊥BC，垂足为H，
∵∠ACB=60°，∠AC A'=90°，
∴∠A'CH=30°，
1
∴A'H= A'C=2km，
2
∴HC=√AC2−AH2=√42−22=2√3(km)，
∴BH=BC+CH=2√3+2√3=4√3(km)，
∴A'B=√AH2+BH2=√ (4√3) 2+22=2√13(km)
PA+PB+√2PC的最小值为2√13km
总的铺设成本=PA·a+PB·a+PC·√2a=a(PA+PB+√2PC)=2√13a（元）
故答案为：2√13a
【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股
定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键．
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