文档文本内容
专题08 解三角形（七大核心考点精讲 +多模型与范围最值突破）
一、考点总结与提升
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC 中，若角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
a2＝b 2 ＋
c 2 －
2 bc
cos
A ；
b2＝c 2 ＋
a 2 －
2 ca
cos
B ；
c2＝a 2 ＋
b 2 －
2 ab
cos
C
变形
(1)a＝2Rsin A，
b＝2 R sin
B ，
c＝2 R sin
C ；
(2)sin A＝，
sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c
＝sin
A ∶
sin
B ∶
sin
C
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2．三角形中常用的面积公式
(1)S＝aha(ha表示边a 上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)．
3.三角形中常用结论
在△ABC 中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B.
(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin .
二、典例精讲
核心考点01.多三角形计算
多三角形问题，即一个三角形中引出一些线段后将其分为两个或者多个小三角形，前面的中线，角平分线，
高线均是如此. 当然，还有一些多三角形并没有像前面这些三角形有固定的解题背景或者结论，它们需要
的是结合正余弦定理和三角形内角和，把握住整体和局部的联系，抓住公共边，公共角等等一些特征，最
多通过多次解三角形实现目标.
基本几何特征:如图，
.
例1．已知
中，点
在边
上，
，
，
．当
取得最小值时，
．
解析：设
，
，在三角形
中，
，可得：
，
在三角形
中，
，可得：
，
要使得
最小，即
最小，
，其中
，此时
，当且仅当
时，即
时取等号，故答案为：
．
例2．在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
.
（1）求B；
（2）已知D 为边AB 上的一点，且
.
（ⅰ）若
，
，求AC 的长；
（ⅱ）求
的取值范围.
解析：（1 ）由题意知
，又由正弦定理得
，所以
.
又
，
所
以
，
所
以
，所以
，因为
，所以
，所
以
，
又因为
，所以
.
（2 ）（ⅰ）因为
，根据余弦定理得
，所以
，
因为
，所以
，
在
中，由正弦定理知，
，即
，所以
，
进而
,所以
故
，
（ⅱ）因为
，所以
，
在
中，由正弦定理得
，所以
；
又
在
中
，
；
所
以
，因为
，所以
，所以
，
所以
的取值范围是
.
例3．在
中，
，
.
（1）求
的值；
（2）若
，求
的面积;
（3）设
为
内一点，
，
，求
的值.
解析：（1）在
中由正弦定理
，又
，
所以
，又
，所以
，
所以
，即
，
即
，所以
；
（2）因为
，在
中由余弦定理
，
即
，解得
（负值已舍去），则
，所以
；
（3）在
中，设
，令
， 则
，
，
在
中，可得
，
，由正弦定理
，
得
，所以
，可得
，即
．
核心考点02.中线公式与向量方法
若已知顶角
的大小，且
时，可利用向量共线的基本结论求得.
例4.在
中，内角
的对边分别为
，
.
（1）求
；
（2）若
的面积为
，求
边上的中线
的长.
解析：（1）因为
，所以
，所以
，即
，
所以
，由余弦定理及
得：
，
又
，所以
，即
，
，所以
.
（2）由
，所以
，由（1）
，
所以
，因为
为
边上的中线，所以
，所以
，所以
，所以
边上的中线
的长为：
.
例5．记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
（1）求B；
（2）设
，若点M 是边
上一点，
，且
，求
的面积．
解析：（1）
．
（2）如图所示：
因为
，所以
，
．又
，所以
．
在
中，由余弦定理得
，即
．①
又
，所以
，两边平方得
，
即
，所以
．②，②－①得
，所以
，代入①得
，在
中，
，
所以
是以
为直角的三角形，所以
的面积为
．
核心考点03.
为角平分线：角平分线定理
如图，可设
，这样可得
.另一方面，设
的高为
，则
，联立上面两式可得：
，即角平分线性质定理.
例6
中，
是
上的点，
平分
，
面积是
面积的
倍．
（1） 求
；
（2） 若AD =1，DC =
√2
2 求BD 和AC 的长.
解析：（1）
，
因为
，
，所以
，由正弦定理可得
.
（2 ）因为
，所以
，在
和
中，由余弦定理知
，
故
，由（1）知
，所以
.
核心考点04.等面积思想.
设
为
的平分线，则设
，那么有等面积可得：
，
进一步可得：
，于是可以看到，倘若我们知道角
与角平分线
的长度，则
可得到
的转化关系，配合均值不等式就可得到一些范围问题.
例7.在
中，已知角
，角A 的平分线AD 与边BC 相交于点D，AD=2.则AB+2AC 的最小值为
___________.
解析：
，依题意
是角
的角平分线，
由三角形的面积公式得
，
化简得
，
，
.当且仅当
，
时等号成
立.故答案为：
例8.在
中，
的对边分别为
.
（1）若
，求
的值；
（2）若
的平分线
交
于点
，求
长度的取值范围.
解
析
：
（
1
）
已
知
，
由
正
弦
定
理
可
得
，
，
，
，
， 即
，
.
（2）由（1）知
，由
，则
.设
，
，
，
.
例
9 ．在
中，内角
A ，B ，C
所对的边分别为
a ，b ，c ，且
.
（1）求A；
（2）若D 是BC 边上一点，AD 是
的平分线，且
，
，求
的面积.
【解析】（1）因为
，
由二倍角公式和诱导公式可得
，
整理得
，
由正弦定理得
，
由余弦定理得
，
又
，所以
.
（2）如图所示，
， D 是BC 边上一点，AD 是
的平分线，且
，
，
由于
，则
，
得
，又
，所以
，
解得
或
（舍去），
所以
.
核心考点05.与三角形中特数线段有关的最值、范围问题
例10
的内角A，B，C 所对边分别为a，b，c，点O 为
的内心，记△OBC，
的面
积分别为
，
，
，已知
，
,若
为锐角三角形，则 AC 的取值范围为
_______________.；
【解析】设
的内切圆半径为r，因为
，
所以
，化简得：
，
所以
，因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
，
因为
为锐角三角形，
所以
，
，解得：
，
所以
，所以AC 的取值范围为
．
故答案为：
例11．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，若
.
(1)求角
的大小；
(2)若
为
上一点，
，
，求
的最小值.
【解析】（1）依题意，
，
由正弦定理得
，
，所以
，
所以
是钝角，所以
.
（2）
，
，所以
，
即
，
所以
，
当且仅当
时等号成立.
核心考点06. 与三角形周长、面积有关的最值问题、范围问题
例12 已知三角形
中，
，角
的平分线交
于点
，若
，则三角形
面积的最大
值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】在
中
，在
中
，
故
，
，
因为
，故
，
又角
的平分线交
于点
，则
，故
.
故
.
以
为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为
，
，
故
，
，设
，则
，
即
，故
，
化简可得
，即
，故点
的轨迹是以
为圆心，2 为半径的圆（除
去
）.
故当
纵坐标最大，即
时
面积取最大值为
.
故选：C
例13．记
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求A 的值；
(2)若
的平分线与
交于点
，求
面积的最小值.
【解析】（1）因为
，由正弦定理可得
，
则
，
，
即
，
可得
，
因为
，则
，则
，
整理得
，
又因为
，则
，
可得
，所以
.
（2）因为
平分
且
，所以
，
由
，可得
，
整理得
，则
，当且仅当
时，等号成立，
故
面积的最小值为
．
核心考点07.三角形中有关量的最值或范围
例14．设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，a＝btanA，B－A＝且B 为钝角．则sinA＋sinC
的取值范围（ ）
A.[
❑√2
2 , 9
8] B.[
❑√2
2 , 9
8) C. (
❑√2
2 , a
8) D.
【解析】由题意知，C＝π－(A＋B)＝π－＝－2A＞0，∴A∈，于是sinA＋sinC＝sinA＋sin＝sinA＋cos2A
＝－2sin2A＋sinA＋1＝－2＋.
∵0＜A＜，∴0＜sinA＜.因此＜－2＋≤.
由此可知sinA＋sinC 的取值范围是。故选D。
例15．（多选）在Rt△ABC 中，C＝90°，且A，B，C 所对的边a，b，c。下列实数x 的值哪些能使，满
足a＋b＝cx 成立（ ）
A.1 B.
❑√3
2
C.
❑√5
2
D.
❑√6
2
【解析】x＝＝＝sin A＋cos A＝sin.又A∈，∴<A＋<，∴<sin≤1，即x∈(1，]。故选CD。
例16．在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
（1）求A 的大小；
（2）若
为锐角三角形，求
的取值范围．
【解析】（1）由
，
则根据正弦定理有
，即
，
又由余弦定理有
，得
，
所以在
中，得
；
（2）由
为锐角三角形，且
，
则有
，得
，即
，即
，
所以根据正弦定理有
．
例17．在锐角△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知6cos2＋cos A＝5.
(1)求A 的大小；
(2)若a＝2，求b2＋c2 的取值范围.
【解析】(1)由已知得6sin2A＋cos A＝5，整理得6cos2A－cos A－1＝0，
解得cos A＝或cos A＝－.又A∈，所以cos A＝，即A＝.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A 及a＝2，A＝得4＝b2＋c2－bc，
即b2＋c2＝4＋bc，由正弦定理得＝＝＝＝，即b＝sin B，c＝sin C，又C＝－B，所以bc＝sin Bsin C＝sin
Bsin
＝sin B·cos B＋sin2B＝sin 2B－cos 2B＋＝sin＋，
又由解得<B<，所以<2B－<π，所以sin∈，
所以bc∈，所以b2＋c2＝4＋bc∈.
三、高考练场
1. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
，
，则a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】因为
是锐角三角形，所以
，
，所以
，
，
由正弦定理得
，所以
．
故选：C．
2.
中，角
的对边分别为
，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①
；②
；③
的面积为
.
则
的取值范围为_______________.
【解析】选择①由正弦定理可得，
，
因为
，所以
，即
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，即
；
选择②
，则
，
由正弦定理得
，
因为
，所以
，即
，
因为
，所以
，所以
，即
；
选择③由
，
可得
，即
，
所以
，由于
，故
.
因为
，所以
，
所以
，
所以
，
即
的取值范围为
故答案为：
3．已知在
中，
，
为
的中点，且
，则边
上高的最大值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
解析：由题意
为
的中点，设
，则
，
则
在
中
，
,
则
的
面
积
，当
时取等号，
所以
的面积最大值为
，
的面积最大值为
，
上高的最大值为
．
故选：D．
4．在
中，
边上的高等于
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：如图，
边上的高为
，
，且
，所以
，则
，
则
，
，所以
，则
.
故选：B
5．在锐角
中，角
，
，
的对边分别为
，
，.若
，
，则边
上中线
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：因为
是
边
上的中线，所以
，
则
，
由正弦定理得
，可得
，
，
所以
，
而
，
，
所以
，
因为
为锐角三角形，
，则
，即
，
所以
，所以
，所以当
时，
取得最大值
，
的最小值大于
，所以
的最大值为
，最小值大于
，即
的取值范围为
．
故选：B．
6 ．在
中，
，
为
内一点，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：在
中，设
，令
，
则
，
，在
中，可得
，
，
由正弦定理
，得
，
所以
，可得
，即
．故选：B．
7．如图，D 为
的边AC 上一点，
，
，
，则
的最小值
为_________
解析：设
，则
，在
中，
，所以
，所以
，
因为
，所以
，所以
，所以
，
所以
，所以
，当
时，
有最小值，此时
取最小值，所以
.故答案为：
.
8 ．在锐角
中，内角
所对的边分别为
，若
，则
的最小值为
_________
解析：由余弦定理得
，又
，所以
，
即
，所以
，由正弦定理得
，
即
，
因为
，所以
，所以
或
（舍去），所以
，
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
.故答案为：
.
9 已知
的内角A，B，C 的对应边分别为a，b，c，且
，若
为锐角三
角形，
，则
周长的取值范围为___________．
【解析】
，
由正弦定理得
，
中，
，所以
，得
，即
，
∵
，则
， ∴
，∴
.
为锐角三角形，
，
，
由正弦定理得
，
∴
，
，
，
周长
，
∵
为锐角三角形， ∴
，
∴
， ∴
， ∴
，
∴
，即
周长的取值范围为
.
故答案为：
10 记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，满足
.
（1）求
；
（2）若角
的平分线交
于
点，且
，求
面积的最小值.
【解析】（1）由已知和正弦定理可得：
，
所以
.
又因为
，
，所以
或者
.
当
时，
，
；
当
时，
与题设
不符.
综上所述，
.
（2）
面积
，
由
是角平分线，
，
因为
，得
，
即
，由基本不等式
，
，
当且仅当
时等号成立.
所以面积
.
故
面积的最小值
.
11．在
中，角
的对边分别为
，已知
.
（1）求
；
（2）若
，且
，求.
解析：（1）
.由正弦定理，可得
又
,
.
（2 ）
，设
，则
，在
中，
. 在
与
中，
.
.
12．已知
的内角
所对的边分别为
，且
（1）求角A；
（2）若
为边
上一点，
为
的平分线，且
，求
的面积
解
析
：
（
1
）
因
为
，
由
正
弦
定
理
可
得
，且
，
即
，
整
理
可
得
，且
，则
，可得
，又
因为
，则
，可得
，所以
.
（2 ）因为
为
的平分线，则
，因为
，则
，
即
，可得
，在
中，由余弦定理可得
，
即
，
整
理
可
得
，
解
得
或
（
舍
去
）
，
所
以
的
面
积
.
