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压轴专题04 三角函数与解三角形压轴题
压轴分析
高考数学中，三角函数与解三角形压轴题往往位于中后段，其难点不仅在于公式的熟练运用，更在
于对几何条件、代数变形与函数性质的综合处理能力。真正的压轴难点在于将三角恒等变换、函数
图像与性质、平面几何性质以及解三角形的多种工具（正余弦定理、面积公式等）融合贯通，考查
学生在复杂条件与多变量情境下进行数学建模与逻辑推理的能力。命题人常通过给出含有多角关
系、边角混合条件、三角形形状判断或存在性问题、以及涉及最值或范围的综合性情境设置障碍，
其核心是检验学生能否突破纯代数或纯几何的单一视角，实现“边角互化”、“形数结合”，并灵
活选取变换、化简、构造、建系的策略。解题的关键在于建立“条件翻译—公式选择—模型求解”
链：首先准确理解并翻译题目中的几何与代数条件，将其转化为关于角或边的等式与不等式；然后
根据目标选择三角恒等变换（如和差化积、辅助角公式）或解三角形工具（如正弦定理、余弦定
理）；最后结合三角形内角和为π、函数有界性、基本不等式等建立可解的数学模型。掌握“几何
审视（识别三角形特有条件）→ 代数翻译（建立边角方程）→ 综合求解（结合函数、不等式或解
析方法）”的思想路径，方能从复杂的边角关系与约束条件中，构建出严谨、清晰且计算可行的解
题方案。
知识总结
1. 三角恒等变换核心公式与策略
变换目标
首选公式
关键点与常见变式
化简单角三角函
数式
同角关系： sin
2α +cos
2α =1
诱导公式：奇变偶不变，符号看象限
注意齐次式的处理，如 sin θ
1+cos θ = tan θ
2
处理两角和差
sin(α ± β)=sin α cos β ±cosα sin β
cos(α ± β)=cosα cos β ∓sin α sin β
正向展开合并，或逆向构造特殊角（如 π
3 , π
6 ）
处理
asin x +bcos x
型
辅助角公式：
asin x +bcos x =
❑√a
2+b
2sin( x +φ)
其中 tan φ= b
a
关键：确定 φ 角所在象限（由 a,b 符号决
定），影响单调区间、对称轴等性质
降幂或升幂
二倍角公式：
sin
2 x = 1−cos 2 x
2
,
cos
2 x = 1+cos 2 x
2
将高次幂化为一次，便于积分或求最值
和差化积与积化
和差
sin A +sin B =2sin A + B
2
cos A −B
2
sin A cos B = 1
2 [sin( A + B)+sin( A −B
在解三角形中处理边角混合条件时常用，可简化
方程
2. 解三角形核心工具与选择策略
已知条件
首选定理/方法
公式与注意事项
两角及一边 (AAS, ASA) 正弦定理
a
sin A =
b
sin B =
c
sin C =2 R
直接求其余边，再结合 A + B+C = π 求角
两边及夹角 (SAS)
余弦定理求第三边
c
2=a
2+b
2−2abcosC
求边后再用正弦定理求角（注意可能有两解）
三边 (SSS)
余弦定理求角
cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
先求最大边所对角，判断三角形形状
两边及一对角 (SSA)
正弦定理求另一角
sin B = bsin A
a
特别注意：需判断解的情况（无解、一解、两解）
涉及面积或高
面积公式 + 正/余弦定理
S = 1
2 absinC = abc
4 R = ❑√p( p−a)( p−b)( p−c)
其中 p= a+b+c
2
(海伦公式)
3. 三角形中的隐含条件与范围限制
条件类型
数学表达
应用方向
内角和定理A + B+C = π
消元：如求 sin(B+C )=sin A；或化三元为二元
锐角三角形
0< A ,B ,C < π
2 ，且
A + B> π
2
求取值范围时，利用角限制缩小范围
钝角三角形存在一角 θ 使 cosθ<0
利用余弦定理判断，常结合不等式
边的不等关
系
两边之和大于第三边（如
a+b>c）
求参数范围时，往往是最易忽略的隐藏条件
角的范围
在 △ABC 中，
0< A ,B ,C <π
用正弦定理求角时， sin B =k 可能对应锐角、钝角两解，需结
合边长判断取舍
4. 常见压轴题型与破题关键
题型特征
核心策略
关键步骤与注意点
“边角混合”条件
下的化简或证明
统一化为边或角：
1. 用正弦定理化边为角（ a=2 R sin A）
2. 用余弦定理化角为边（
cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
）
观察式子结构：若含 a
2,b
2,c
2 及
ab,bc 项，考虑余弦定理；若含
sin A ,sin B 比例，考虑正弦定理
求边长、角度或周
长的取值范围（最函数思想：选定一个变量（如角 A），利用
1. 确定自变量 A 的精确范围（利用三
题型特征
核心策略
关键步骤与注意点
值）
正/余弦定理将目标表示为 A 的函数，再利
用三角函数有界性求解
角形类型）
2. 化简目标函数，常化为 asin ωA +b
型
3. 注意检查端点能否取到
判断三角形形状
将条件完全化为边的关系或完全化为角的关
系，再判断等式特征
纯边关系：用余弦定理判断等边、等
腰、直角、钝角
纯角关系：用三角恒等变换判断角的关
系
与平面几何、向量
结合的综合题
先利用几何性质（如中线、角平分线、垂直）
转化为三角形内部边角关系，再用解三角形工
具求解
1. 画出精确草图，标注已知
2. 掌握常见几何结论（如中线长公式、
角平分线定理）
3. 向量点积常可转化为余弦定理
5. 解题流程梳理
1. 画图标注：无论题目是否附图，自己画图，标出所有已知边、角、特殊线。
2. 条件翻译：将文字描述（如“最大边”、“最小角”）和几何关系转化为等式或不等式。
3. 选择主线：
求值或证明：判断用“纯边化”还是“纯角化”更简洁。
求范围：选定自变量（常选一个角），建立目标函数，务必先确定自变量范围。
判断形状：统一为边或角后，因式分解观察。
4. 执行计算：步步为营，活用和差化积、辅助角等工具化简。
5. 检验与作答：检查结果是否满足三角形基本定理（如内角和、边的关系），如果是范围问题，检
查端点情况。
典例精讲
【典例1】
（2025·浙江·一模）（多选）已知函数
，则（ ）
A．方程
的解集是
B．当
时，恒有
C．函数
的值域是
D．函数
的零点个数不可能为3
【答案】BCD
【分析】对于A，令
代入计算可判断；对于B，分
，
，
三种情况讨论即可判断；
对于C，求出函数
的周期是
，设
，
当
时，可得
，即可得到
范围；
同理当
时，
，即可求解函数
的范围；
对于D，化简可得
的图象关于
轴对称，根据对称性即可求解.
【详解】因为
是
的解，则A 错误；
当
时，
，则
，从而
，满足
，当
时，因为
，所以
，
当
时，因为
，所以
，也有
，B 正确；
函数
的周期是
，不妨设
，
当
时，
，因为
，
则
，从而
；
当
时，
，因为
，则
，从而
，
故
值域是
，C 正确；
对于
，因为
，
所以
的图象关于
轴对称，使得
在
上的零点个数为偶数，
又
显然是
的最小值，而且
当且仅当
即
，
这表明
零点个数只能为1 或偶数，D 正确.
故选：BCD.
会一题通一类
1．（2025·四川德阳·一模）（多选）已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
是函数
最小正周期为
的充要条件；
B．
的最大值是
；
C．若
在
单调递增，则
的取值范围是
；
D．若
在
单调递增，在
单调递减，则
的取值范围是
.
【答案】BCD
【分析】由三角函数周期公式依次分析充分性和必要性即可判断A；利用诱导公式、平方和公式和二次函
数性质直接计算即可求解判断B；由变量范围和正弦函数单调性列不等式
计算即可求解判断C；由函数单调性结合正弦函数的单调性和周
期列方程和不等式即可求出
范围判断D.
【详解】
时，
，函数
最小正周期为
，充分性成立，
当函数
最小正周期为
时，
，必要性不成立，
所以
是函数
最小正周期为
的充分不必要条件，A 错误；
，
所以
的最大值是
，B 正确；
若
，则
时，
，
因为
在
单调递增，所以
，
解得
，
，又
，所以
，
，
解得
，
，
所以
，则
，故
的取值范围是
，C 正确；
若
，
因为
，
在
单调递增，在
单调递减，
所以
，
且
，
所以
，即
的取值范围是
，故D 正确.
故选：BCD
2．（2025·安徽·模拟预测）（多选）已知函数
，则（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．函数
的值域为
C．直线
是函数
图象的一条对称轴
D．函数
在区间
上有且仅有5 个零点
【答案】BCD
【分析】对A，由周期性的定义判断；对B，分段讨论函数值域；对C，验证
；对D，分
段求解方程
求零点.
【详解】对于A：因为
，
所以
的最小正周期不是
，A 错误；
对于B：当
，即
时，
，
因为
，所以
，
则当
时，
取得最大值
；当
时，
取得最小值
，
所以此时
的值域为
；
当
，即
时，
，
因为
，所以
，
当
时，
，当
时，
取得最大值
，
所以此时
的值域为
；
综上，函数
的值域为
，B 正确；
对于C：因为
，
，所以
，
所以直线
是函数
图象的一条对称轴，C 正确；
对于D：当
时，由
，解得
或
，
当
时，由
，解得
，
又
，所以
，所以函数
有且仅有个零点，D 正确；
故选：BCD.
【典例2】
（25-26 高三上·山东德州·月考）（多选）已知函数
部分图
象如图所示，则下列说法正确（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．将函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象
C．若
在
上有3 个极值点，则m 取值范围是
D．若方程
在
上有且只有一个实数根，则
的取值范围是
【答案】BC
【分析】根据三角函数解析式的求法求出
的解析式，利用代入检验法可判断
；利用三角函数图象
平移及诱导公式可判断
；利用换元法结合正弦函数的图象及性质分析可判断
.
【详解】由图知
，
，所以
，所以
，
，
因为
，所以
，
所以
，
对于
：
，故
错误；
对于
：
，故
正确；
对于
：
，
，
根据正弦函数的图象可得，
在
上有3 个极值点，
则
，解得
，故
正确；
对于
：
，
，
，
由图可知，
在
上只有一个实数根，
则
，故
错误.
故选：
.
会一题通一类
1．（2025·甘肃武威·模拟预测）（多选）函数
的部分图象
如图所示，
，
是
的2 个零点，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
的最小值为
C．当
取最小值时，
的最大值为
D．若
在区间
上至少有10 个零点，则
的最小值为
【答案】ABD
【分析】本题考查三角函数的图象与性质，可先根据函数图象求出函数
的表达式，再根据三角函数
的性质逐一分析选项即可。
【详解】由
图象知，
，则
，根据周期公式
，可得
.
又因为函数
的最大值为3，最小值为
，所以
当
时，
取得最小值
，即
，解得
.
.
A：根据余弦函数的对称中心公式，令
可得
的对称中心为
，
当
时，对称中心为
，所以
的图象关于点
对称，故A 正确。
B：因为
是
的两个零点，令
，则
，
所以
或
，解得
，或
，
根据题意，取
，
，所以
，
当
时，
，故
其相邻零点的最小间距为
，故B 正确.
C：当
取最小值时，
，
不妨设
，所以
，则
=
所以
的最大值为
，故C 错误.
D：令
，则
，
所以
或
，解得
，或
，
所以
在
上的10 个零点依次为：
，
，
，
，
.
由
在区间
上至少有10 个零点，则
故
的最小值为
，故D 正确；
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：
的解析式的确定：
（1）
由最值确定；
（2）
由周期确定；
（3）
由图象上的特殊点确定.
提醒：根据“五点法”中的零点求
时，一般先根据图象的升降分清零点的类型.
【典例3】
（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
在区间
上单调递增且存在零点，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
在区间
上单调递增，得到
，换元法得到
，根据
的性质得到不等式组，求出
或
，得到答案.
【详解】设函数
的最小正周期为
，因为
在区间
上单调递增，
所以
，解得
，所以
.
令
，则当
时，
.
因为
在区间
上单调递增且存在零点，
所以
，解得
，
又
，
时，得
，
时，得
，其他
值，均不合要求，
所以
或
，
所以
的取值范围是
.
故选：C
会一题通一类
1．（2025·辽宁·三模）函数
，其
，若对于
，都有
恒成立，
则
的取值不可能是（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得
在
上单调，借助函数图象的对称轴建立不等式求出
范围即可.
【详解】依题意，函数
在
上单调，函数
图象对称轴为
，
，解得
，
由
，解得
，又
，则
或
，
所以
或
，
的取值不可能是
.
故选：C
2．（24-25 高一下·湖北武汉·月考）已知函数
（
，
），
，
，且
在
上单调，则
的最大值为（ ）
A．10
B．12
C．14
D．18
【答案】C
【分析】根据已知得
、
，进而有
，
，则
，从大到小代入解析式研究函数在
上的单调性，即可得.
【详解】由题设，
，可得
，
且
，可得
，
所以
，
，则
，
，
又
，所以
，
当
时，
，
，
，则
，
所以
，此时
，
，显然不单调；
当
时，
，
，
，则
，
所以
，此时
，
，满足题设；
所以
的最大值为14.
故选：C
3．（2025·山东青岛·一模）已知函数
为
的零点，
为
图象的对称轴，且
在
单调，则
的最大值为（ ）
A．13
B．11
C．9
D．7
【答案】C
【分析】先根据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断
为奇数，由
在
，单调，分
在
单调递增、单调递减两种情况，分别求得
的最大值，综合可得它的最大值．
【详解】
函数
，
，
为
的零点，
为
图象的对称轴，
，
，且
，
，
相减可得
，
，即
，即
为奇数．
在
单调，
①若
在
单调递增，
则
，且
，
，
即
①，且
，
②，
把①②可得：
，
，故有奇数
的最大值为11．
当
时，
，
，
，
．
此时
在
上不单调，不满足题意．
当
时，
，
，
，
，
此时
在
上单调递减，不满足题意；
故此时
无解．
②若
在
单调递减，
则
，且
，
，
即
③，且
，
④，
把③④可得：
，
，故有奇数
的最大值为11．
当
时，
，
，
，
．
此时
在
上不单调，不满足题意．
当
时，由①
在
上单调递减，满足题意；
故
的最大值为9．
故选：C
【典例4】
（2025·江苏南通·三模）已知函数
，将
的图象向左平移
个单位后，得到函数
的图象，若
与
的图象关于y 轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换化简
，根据图象变换求出
的解析式，进而根据
即可代
入化简得
求解.
【详解】因为
，
所以
，
因为
与
关于y 轴对称，则
，
，
，得
，
，
所以
的最小值为
.
故选：C.
会一题通一类
1．（2025·天津河北·二模）已知函数
在区间
上单调递减，且
将函数
图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，若函数
在区间
上单调递增，则t 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知
的一条对称轴为
，一个对称中心为
，结合已知区间的单调性得到
，进而求得
、
，根据图象变换得
，由单调性列不等式求参数范围即
可得.
【详解】由
，则
的一条对称轴为
，一个对称中心为
，
又
在
上单调递减，则
，故
，可得
，
所以
，可得
，
，则
，
所以
，则
，
又
在区间
上单调递增，则
，
所以
，显然
，故t 的最大值为
.
故选：C
2．（2025·云南玉溪·模拟预测）（多选）已知函数
（
）的图像是由函数
的图象向右平移
个单位长度得到，则（ ）
A．
B．函数
的最大值为
C．
在区间
内只有一个极值点
D．曲线
与直线
，
，
，（
）所围成的封闭图形的面积为
【答案】ACD
【分析】A 选项，利用三角恒等变换和平移变换得到
；B 选项，利用导数和辅助角公式得到
的最大值为
；C 选项，求出
，由于
在
上只有
一个极大值点，C 正确；D 选项，直线
，
，
围成的矩形面积为
，由对称
性可知D 正确.
【详解】A 选项，
，
图象向右平移
个单位长度，得到
，
结合
，可得
，A 正确；
B 选项，
，
其中
，故
的最大值为
，B 错误；
C 选项，
，
，
由于
在
上只有一个极大值点，
故
在
内只有一个极值点，C 正确；
D 选项，
的最小正周期为
，最大值为2，最小值为-2，
而
，
的距离为
，
直线
，
，
围成的矩形面积为
，
又
在围成的矩形内部（或边界），且将此矩形平均分为全等的两部分，
故
与直线
，
，（
）所围成的封闭图形的面积为
，D 正确.
故选：ACD
【典例5】
（2025·四川成都·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用三角函数的和差角公式对已知角度关系进行变量代换，将复合角拆分为基本角的和差形式以
便于利用已知条件，通过正切函数的商数关系将等式转化为正弦与余弦的乘积关系，结合正弦的和角公式
建立方程并求解，再利用正弦的差角公式将所求角表示为已求量的代数组合，最终得出结果.
【详解】设
，
，则
，
已知
，即
；
已知
，即
，
由
得：
，即
设
，则
，
又
，解得
，
因此
，
所求
，
综上，
.
故选：D
会一题通一类
1．（2025·湖南长沙·二模）设
是锐角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用三角恒等变换化简得到
，两边同除
得到
，因为
是锐角，所以
，所以
.
【详解】由题可得
，
即
即
，
两边同除
得到
，所以
因为
是锐角，所以
，所以
；
故选B
2．（2025·山东青岛·三模）若
，
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．0
【答案】A
【分析】对已知条件进行化简，然后构造函数，利用函数的奇偶性和单调性来找出
与
的关系，最后
根据三角函数的性质求出
的值.
【详解】根据诱导公式，则
可化为
①.
对
，可得
，即
②.
设
，其定义域为
，关于原点对称.
且
，所以
是奇函数.
对
求导，
，
若
，
，
，所以
；
若
，
，则
，
所以
在
上单调递增.
由①式可得
，由②式可得
，所以
.
因为
是奇函数，所以
.
又因为
在
上单调递增，所以
，即
.
将
代入
，可得
.
的值为.
故选：A.
3．（2025·河北沧州·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．6
D．7
【答案】D
【分析】根据二倍角余弦公式结合和差角余弦公式化简
，可得
，结合条件求得
，再利用和差角的正弦公式求得
，进而求得答案.
【详解】因为
，
所以
，又
，所以
，
又
，
解得
，所以
.
故选：D.
【典例6】
（2025·河北秦皇岛·二模）已知
为锐角，且
，
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件等式利用三角恒等变换可得
，再通过构造函数利用导数求得
函数单调性，结合自变量取值范围即可求得结果.
【详解】由
可得
，
即
，
因此
即可得
，
令
，则
，
令
，则
,
由
可得
，
因此可知当
时，
，此时
在
上单调递减，
当
时，
，此时
在
上单调递增，
因此可得当
时，
取得极小值，也是最小值，
即
，
因此
的最小值为
.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用三角恒等变换以及二倍角公式得出
关于
的表达式，再
通过构造函数并利用导数得出其单调性，即可求得最小值.
会一题通一类
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】由题意分析出
，
，且不同时取最大值1，设
，将此式平方与
已知条件进行平方后相加，可得
，再进行验证即可.
【详解】因为
，
的最大值均为1，
且
，①
所以
，
，且不同时取最大值1，
设
，②
由①2+②2,
得
，
即
，
所以
，
当
时，等号成立;
当
时，
，
所以
，
，
所以
，
即
，
由
，
可得
，
平方得，
，
所以
，
解得
，
所以
，
综上，当
，
时，
取最小值，为
.
故答案为：
2．（2025·河南·模拟预测）已知
，
，则
的最大值为
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】将目标式化为
，令
，
得到线
性关系式为
，结合辅助角、二倍角余弦公式及三角函数的性质有最大值为
，由
及二次函数的性质求最大值，注意取值条件，即可得
答案.
【详解】由
①，
令
，
，则①式
，
所以
的最大值为
，
，
所以
，令
，
当
，即
时，
，
此时①式
，即
，
综上，
，
时目标式取最大值为1.
故选：A
【点睛】关键点点睛：将目标式化为
得到线性关系式
为关键.
3．（2025·福建漳州·模拟预测）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
成等
差数列，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知可得
，结合余弦定理可得
，利用两角差的正切公式可得
，利用基本不等式可求最小值.
【详解】因为
成等差数列，即
，
则
，
，
所以
，即
，且
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立.
故选：D．
【点睛】关键点点睛：关键在于利用余弦定理得到
，进而利用两角差的正切公式结合基本不
等式求解.
【典例7】
（2025·云南·一模）在
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，应用和差化积及已知可得
，再由三角形内角和性质、诱导公式
化简得
，利用二倍角正切公式、平方关系求
.
【详解】设
，则
①，
②，
得
，在
中
，
所以
，即
，
又因为
，即
，
因为
，代入得
，
因为
，所以
．
故选：A
会一题通一类
1．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知
的内角A，B，C 对边分别为a，b，c，h 是AB 边上的高，
若
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】由题结合余弦定理可得
，然后由三角形面积公式结合三角函数恒等变换可得
，然后通过图形可得
范围，最后由
与
关系可得答案.
【详解】
.又
，
则
.
又注意到
，则
.
如图，过C 点做AB 垂线CE，则
，又过B 点做AB 垂线BD，使
，
过C 做AB 平行线，交DB 为F，易得四边形CEBF 为矩形，则
，
从而
，则
为等腰三角形，则
，则由图结合三角形三边关系可得
，
则
，则
.
因
，
则构造函数
，因
在
上单调递减，则
.
则
，则
最小值为
.
故答案为：
【点睛】结论点睛：本题涉及的一些常见恒等式：
，
.
2．（2025·河南·模拟预测）在
中，角
的对边分别为
，已知
，则当
的面积取最大值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用余弦定理结合已知条件得出
的关系①，再利用三角形面积公式得出
的关系②，联立
①②求解．
【详解】
，
，
，
，化简整理得
①，
，
，
②，
联立①②得，
，
令
，则
，当
时，面积最大，此时
，
．
故选：B．
3．（2025·浙江台州·一模）在
中，斜边
，
为
边上的高，
的平分线交
于点
，当
最大时，
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，利用直角三角形求得
，令
，记
，利用导数法求得
最大时
的值.
【详解】设
，因为
，所以
，
，
所以
，
所以
，
令
，记
，
则
，
，
令
得
，令
得
，令
得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
时，
即
取到最大值，此时
.
故选：C
【典例8】
（2025·河南·三模）定义
行列式
，已知函数
，若在区间
上，始终存在两个不相等的实数
，
，满足
，则a 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据定义运算，利用三角恒等变形化解可得
，分析
在区间的值
域，结合二次函数性质，建立不等式可解.
【详解】由题中所给定义可知，
，
当
时，
，
所以
，所以
，
当
时，
，
，
所以
，解得
；
当
时，
，
，
，
所以
，解得
，
综上，a 的取值范围是
．
故选：C.
会一题通一类
1．（24-25 高一下·湖北·期中）若函数
的定义域内存在
，使得
成立，
则称该函数为“完整函数”．已知
是
上的“完整函
数”，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．[3，5]
D．
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换可知
，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为
在
上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围.
【详解】由题意可得：
，
即
是
上的“完整函数”，所以存在
，
使得
成立；
即存在
，使得
成立；
又因为
，因此
，
即
在
上至少存在两个最大值点，
所以
，解得
；
当
，即
时，一定满足题意；
若
，因为
，
，所以
，
又易知
；
所以只需保证
即可，解得
，
综上可知
．
故选：B．
2．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，
的终边
与正方形
交于
点
，我们定义
的类余弦值
，类正弦值
.则下面叙述正确的是（ ）
A．对任意的
B．对任意的
C．
在区间
上单调递增
D．对任意的
【答案】D
【分析】根据给定的定义，举例说明判断ABC；利用轴对称性推理判断D.
【详解】对于AB，当
时，
，
，
AB 错误；
对于C，
，C 错误；
对于D，正方形
关于直线
对称，
和
的终边也关于直线
对称，
则
和
的终边和正方形
的交点也关于直线
对称，所以
，D 正确.
故选：D
热点预测
1．（2025·河北·模拟预测）已知函数
，若
图象上相邻的两个
零点之间的距离是
，且
，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【分析】由
图象上相邻的两个零点之间的距离为
，得到
的表达式，进而根据
的范围，求出
的
范围，由
分析出
，从而根据正弦的对称轴方程列出等式，化简得到
，再根据
的限制条件即可求出
的值.
【详解】依题意
，
，即
，
.
又
，
，
，将
代入，
可得
，即
，
，
或4，
又
，
.
故选：C
2．（2025·云南昆明·二模）已知函数
，
，则下列说法错误的是
（ ）
A．若
，则
为单调函数
B．若
，则
的图象关于
对称
C．若
存在最大值，则
D．
有
个零点
【答案】B
【分析】A 选项，
时，
，求导，得到
在
上单调递减，A 说法正确；B 选项，
计算出
，B 错误；C 选项，
时，
取得最大值，故
，解得
，C 说法正确；D 选项，令
，即
，解得
或
，分
为偶数和
为奇数两种情况，得到两种情况下，
均有
个零点.
【详解】A 选项，
时，
，
，
，当
时，
，故
恒成立，
故
在
上单调递减，为单调函数，A 说法正确；
B 选项，
时，
，
，
则
，
所以
的图象关于
中心对称，B 说法错误；
C 选项，当
，即
时，
取得最大值，
要想
在
取得最大值，
，解得
，C 说法正确；
D 选项，令
，即
，
，
所以
或
，
解得
或
，
又
，
当
为偶数时，
中，令
，满足要求，
中，令
，满足要求，
故共有
个零点，
当
为奇数时，
中，令
，满足要求，
中，令
，满足要求，
故共有
个零点，D 说法正确.
故选：B.
3．（2025·辽宁沈阳·三模）已知函数
在区间
上有且仅有一个零点，
当
最大时，
的图象的一条对称轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
可求得
，根据函数
在区间
上有且仅有一个零点
可求出
的取值范围，再利用正弦型函数
的对称性可求得结果.
【详解】当
时，且
，
，
由
可得
，所以
，
，
解得
，
，
若
无解，则
或
，解得
或
，
由于
且
存在，故
或
，即
或
，则有
或
，
故
的最大值为
，此时
，
由
可得
，
当
时，函数
的一条对称轴方程为
，
故选：B.
4．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函数关系式，结合已知条件求得
，根据二倍角的正切公式，结合
的取值范
围，求得
.
【详解】由
，得
，所以
.
，所以
，所以
.
所以
，
，所以
.
所以
，
所以
.
所以
，化简得：
，解得：
，或
.
因为
，所以
，所以
故选：B.
5．（2025·重庆·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，
为
图象与
轴交点且满足
为等边三角形，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出相邻两条对称轴方程，进而求出
值.
【详解】观察图象得，正
的高为
，则
，又
，因此
，
线段
中垂线方程分别为
，即
是函数
图象相邻两条对称轴，
则函数
的最小正周期
，所以
.
故选：C
6．（2025·安徽淮北·二模）在
中，记
，
则（ ）
A．存在
，使
B．存在
，使
C．
的最小值为
D．
的最大值为
【答案】D
【分析】利用两角和差公式以及
、
化简AB 选项；令
化简
，
使其为关于
的函数，求函数值域即可判断C 选项；利用一元二次方程
有
根，则可根据
求解判断D 选项.
【详解】由题意可得，
，
，
则
，故AB 错误；
若
，则
因
，则
，则
，得
，
则
，故C 错误；
，即
，
则方程
在
上存在根，
则
，即
，
等号成立时
，
因
，则
，则
，
此时
变为
，
得
，则
，
故当
时，
取最大值
，故D 正确.
故选：D
7．（2025·四川广安·模拟预测）（多选）已知实数
满足
，则下列命题正确的是（ ）
A．若
时，则
B．若
，
，则
是
的减函数
C．若
，
，则
是
的周期函数
D．若
，
，则
是
的偶函数
【答案】BC
【分析】对于A，根据
的大小得到
，即可得到
的大小；对于B，利用已知条件得到
关于
的函数
解析式，结合复合函数同增异减的原则判断即可；对于C，根据
得到
关于
的函数解析
式，结合余弦函数的周期判断即可；对于D，利用
这一特例说明一个
对应两个
的值，即可判断.
【详解】对于A，当
时，
，
可得
或
，故A 错误；
对于B，若
，
，则由
可得
，
根据
在
上为减函数，
在
上是增函数，
可知
在
上为减函数，故B 正确；
对于C，因为
，
，
，
所以
，其中
，
所以
，即
，
结合余弦函数
的周期为
，可知
是
的周期函数，故C 正确；
对于D，若
，
，
，
则当
时，
，可得
或
，一个
对应两个
的值，
所以
不是关于
的函数，故D 错误.
故选：BC.
8．（2025·四川绵阳·模拟预测）（多选）已知函数
，
，
且
，则（ ）
A．函数
的一个周期为
B．函数
在
上单调递减
C．曲线
关于
对称
D．函数
与函数
的最大值相等
【答案】ABD
【分析】由
判断A；由
在
上单调递减，结合复合函数的单调性可判断B；利
用
可判断C；求得函数
与函数
的最大值可判断D.
【详解】对于A，因为
，
所以函数
的一个周期为
，故A 正确；
对于B，
，当
时，
，
又因为
在
上单调递减，
由复合函数的单调性可得
在
上单调递减，故B 正确；
对于C，
，
所以曲线
关于
对称，故C 错误；
对于D，
，所以
，
当
时，
，所以函数
的最大值为，
又
，又因为
，
所以
，
当且仅当
时取等号，
所以
的最大值为，所以函数
与函数
的最大值相等，故D 正确.
故选：ABD.
9．（2025·浙江宁波·一模）已知函数
，若对任意的
，
恒
成立，且当
时，
取到最大值，则
的所有可能取值构成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知条件“对任意的
，
恒成立”得出函数周期，从而得出
值，利用“
时，
取到最大值”得出
的表达式，从而得出
的表达式，最后结合余弦函数的周期性得
出
的所有可能值．
【详解】
，对任意的
恒成立，
函数周期
满足
，
，
，
当
时，
取到最大值，
，
，即
，
，
，则
的可能值为：
当
时，
；当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
；当
时，
；
当
时，值循环出现．
的所有可能取值集合为：
．
故选：C．
10．（2025·安徽·一模）（多选）已知正实数
满足
，则下
列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式即可求解AB，根据题中所给等式，结合余弦定理的形式可构造三角形，进而根据
图形关系求解CD.
【详解】对于A，因为
为正实数，
，
结合基本不等式可得
，解得
，当且仅当
时等号成立，
当
时，代入
得
，此时这个等式不成立，
所以
，所以
，故A 错误；
对于B
，由基本不等式可得
，解得
，
当且仅当
，即
时等号成立，
当
时，代入
，可得
，
再把
代入
，得
，两方程的解不一致，
所以
，
所以
，故B 正确；
对于C，由
，可得
，
构造成余弦定理得
，
由
，也构造成余弦定理得
，
由
，构造成勾股定理得
1，
令
，如图:
则
，
可知
，则
，
则
，即
，进而
所以
，故C 正确；
，又由
，
而
，
所以有
，故D 正确.
故选：BCD.
11．（2025·河北·模拟预测）（多选）在
中，内角
的对边分别为
，
,
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
为等腰三角形，则
C．当
时，
D．当
时，
【答案】BC
【分析】利用辅助角化简得到
，求解得到
，A 选项错误；
为等
腰三角形时，
，解得
，故B 选项正确；当
时，
，结合余弦定理化简得
到
，故C 选项正确；
由三角恒等变换得到
，当
时，
，即
，
故D 选项错误．
【详解】对于A，
，即
，
因为
，故
，故
，故
，A 选项错误；
对于A，由对A 选项的分析可知，当
为等腰三角形时，
为等边三角形，故
，则
，解得
，故B 选项正确；
对于C，当
时，
，
结合余弦定理
得
，即
，即
，故C 选项正确；
对于D，由
，又由对C 选项分析可知，当
时，
，代入
，解得
，
故
，代入
，得
，
故
，即
，故D 选项错误．
故选：BC．
12．（2025·安徽·二模）（多选）已知锐角
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，满足
，
，且
的面积为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的周长为
【答案】BCD
【分析】由两角和与差的三角函数公式、正余弦定理逐项分析计算即可.
【详解】选项A：由
，得
，
两式相加得
，整理得
，
即
，解得
或
，
因为锐角
中，
，所以
，
，故A 错误；
选项B：由选项A 得，
，则
，
所以
，即
，
整理得
，即
，因为
，所以
，
所以
，
则
，故B 项正确；
选项C：由锐角
的面积为
，得
，得
，
设
的外接圆半径为
，则
，
又
，
，
则
，解得
，
所以
，
，
，
所以
，故C 项正确；
选项D：由选项C 得，
的周长为
，故D 正确.
故选：BCD.
模拟训练
一、单选题
13．（2025·河北保定·一模）记
的内角
所对的边分别为
，若
，则
边上的中线
长度的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，求得
，结合余弦定理、向量运算、基本不
等式等知识来求得正确答案.
【详解】由
，得
，
所以
，
即
，
则由正弦定理得
，
因为
，所以
，所以
，即
，
又
，所以
，因为
，
所以由余弦定理得
，即
.
由题可得
，
所以
，
因为
，所以
，当且仅当
时等号成立，
所以
，则
，
所以
边上的中线
长度的最小值为
.
故选：C.
14．（2025·四川广安·二模）若函数
的定义域内存在
，
，使得
成
立，则称该函数为“完备函数”.已知
是
上的“完
备函数”，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由诱导公式和辅助角公式化简函数
，由“完备函数”的定义得到关系式，结合三角函数的
有界性，得到
，从而得到
在
上至少存在两个最大值点，即可得
中至少存在两个整数
，然后求得
的取值范围.
【详解】由
，
即
是
上的“完备函数”，所以存在
，
，使得
成立；
即存在
，
，使得
成立；
又因为
，因此
，即
在
上至少存在两个最大值点，
令
，则
，即
，
则
至少存在两个整数
，
∴
，
当
，即
一定满足题意.
又∵
，即
，
∴
，即
∴当
取1，2 时，
，则
，
∴
，
综上可知
的取值范围为
.
故选：D
【点睛】思路点睛，本题定义了“完备函数”，所以先化简函数，然后得到其性质，然后结合三角函数的
有界性得到函数在区间内最大值点的个数，然后再转化为整数解的个数问题.
15．（24-25 高一下·江苏南通·期中）密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十
种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形
的镶嵌．皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成．在平面凹四边形
（图2）中，测得
，凹四边形
的面积为
，则
的
余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】在图2 中连接
，在
和
中，分别利用余弦定理可得
，利
用三角形的面积公式可得
，两式平方相加，由两角
差的余弦公式，即可求出
的余弦值.
【详解】如图，连接
，
因为
，
在
中，由余弦定理得
，
则
，
在
中，由余弦定理得
，
则
，
所以
，
即
，①
因为
，
，
所以
，②
则①式和②式分别平方并相加得：
，
则
，所以
，
即
的余弦值为
.
故选：A.
16．（2025·河北·模拟预测）已知
，
则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】D
【分析】利用题目中角度之间的关系将方程变形，再利用消元法用
来表示
和
的值，化简可求得
的值.
【详解】
，
，
，
设
，则
，
原方程组可表示为
，即
，
由①得
，由②得
，
两式联立得，
，
将
的值代入
中得，
，
则
.
故选：D.
17．（2025·浙江·三模）在锐角
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三角形内角和与诱导公式将已知条件转化为边角的三角函数关系，利用正弦定理由边化角，
使用二倍角公式进行恒等变换以及利用同角的三角函数关系求出
的三角函数值，再利用正弦定理和同
角的三角函数关系根据
的范围求出结果.
【详解】由
得
，即
，即
，又
，故
，
故
，
因为
，所以
，故
，得
，
，
因为
，
因为
，
，所以
，
故
，所以
，所以
，
故选D．
18．（2025·河北·模拟预测）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意得
，令
，得
，故只需求出
的取
值范围即可得解.
【详解】因为
，所以
，
，
即
，设
，
因为
，所以
，解得
，则
，
从而
，由对勾函数性质可知，
的取值范围是
，
从而
，
故所求范围为
.
故选：C.
19．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数
满足：当
时，
的最小值为
，且
，则函数
在区间
内的零点个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【分析】根据
的最小值为
可求周期，再根据对称轴可求
，最后根据正弦函数的性质可求在给定
范围上零点的个数.
【详解】令
，则
，解得
，
而
，故
，
此时
，
即曲线
在对称中心处的切线的斜率的绝对值最大①，
考虑正弦函数
，
，若
时，
则由①可得当且仅当
时，
最小且最小值为
即为周期的
，
而当
时，
的最小值为
，
类比可得
的周期为
，故
，
故
，而由
可得
为对称轴，
故
，而
，故
，故
，
当
时，
，
因
在
的零点为
，
故
在区间
内的零点个数为4 个，
故选：A.
20．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
在
上单调，且
，
，则
的最大值与最小值之和为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】由函数的对称性可得对称轴，再由零点联立方程得出
，再由函数单调性确定
关于周期的不等式，求出
，联立可得
的范围，据此分类讨论确定
检验，即可得出
【详解】由
得
，
即
的图象关于直线
对称，且
，
故
，则
，
即
，
由函数
在
上单调，
得
，即
，
所以
，
，解得
，而
，故
，1，2.
当
时，
，则
，
，结合
，得
，
此时
，当
时
，
由于
在
上单调递增，故
在
上单调递增，满足题意；
当
时，
，则
，
，结合
，得
，
此时
，当
时，
，
由于
在
上单调递减，故
在
上单调递减，满足题意；
当
时，
，
，
，结合
，得
，
此时
，当
时
，
由于
在
上不单调，故
在
上不单调，不满足题意.
综上，
或1，则
的最大值与最小值之和为
.
故选：B
21．（25-26 高三上·四川南充·月考）已知
三个内角
所对的边分别为
，点
是线段
上一点，且
平分
，若
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
平分
，即
，进而得
，利用三角形的面积公式
即可求解.
【详解】因为
平分
，所以
，
又
，所以
，
即
.
故选：B.
22．（2025·全国·模拟预测）已知三棱锥
的体积为3，
，
，
，则
（ ）
A．3
B．4
C．
D．
【答案】D
【分析】作出符合题意的图形，建立空间直角坐标系，结合题意得到
，再利用勾股定理求解即可.
【详解】如图，作
面
，以
为原点建立空间直角坐标系，
设
，因为
，所以
，解得
，
因为
，
，所以
，
设
且
，
，则
到面
的距离为
，
因为三棱锥
的体积为3，所以
，解得
，
由两点间距离公式得
，
可得
，得到
，
而
，则
，化简得
，解得
，
由勾股定理得
，故D 正确.
故选：D
23．（2025·浙江·模拟预测）方程
的所有正数解之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式化简，再结合余弦函数的有界性及取最值的条件求出所有
正数解即可.
【详解】由
，得
，
整理得
，则
或
，而
，
由
，得
，则
，
而
，因此
，此时
；
由
，得
，则
，
当
时，
为正奇数，而
是正偶数，
无解，
所以原方程所有正数解为
，它们的和为
.
故选：B
24．（2025·广东·模拟预测）
的内角
的对边分别为
，若
边上的高为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用三角形的余弦定理求解即可
【详解】如图：
设
边上的高为
．因为
，所以
，
所以
．
由勾股定理可得
，
由余弦定理可得
．
故选：D
25．（2025·广东肇庆·一模）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用同角公式、二倍角的正余弦公式及差角的正弦公式计算得解.
【详解】由
，得
，令
，则
，
即
，于是
，
，
，
所以
.
故选：D
26．（2025·四川遂宁·二模）若点
为
的外心，且满足
，则
的最大值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据外心的性质，以及平面向量的线性运算和数量积运算，对向量等式进行化简，再根据余弦定
理解三角形，求出角的范围，根据正弦函数性质，求出结果.
【详解】因为点
为
的外心，
所以
，
因为
，
即
，
即
，即
，
化简得
，
可知
，化简得
，
根据基本不等式可知
，当且仅当
时取等号，
因为
，
，所以
，
所以
的最大值为
.
故选：C.
27．（2025·新疆·二模）已知函数
，若方程
在
的解为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用三角函数的图像和性质，先求出
在
的一条对称轴及与
轴的两个交点，再由图像
的对称性得到
的关系及
的范围，利用
，把
转化成
即可求解.
【详解】因为
，所以
，
所以当
时，解得
即为
在
的一条对称轴,
当
时，解得
或
，
即
或
为
在
与
轴的两个交点，
又因为
是方程
在
的解，
所以由图像的对称性可知
，
，
且
，所以
，
所以
.
又因为
，
，
所以
.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题有两个关键点：
关键一：由图像的对称性得到
，
关键二：利用
，把
转化成
.
28．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数
，若
恒成立，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】根据题意，可得
与
周期相同，即
，再利用基本不等式求最值.
【详解】因为函数
恒成立，所以
与
同号或为
，
则
与
周期相同，即
，可得
，
则
，
所以
，则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
.
故选：B
二、多选题
29．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知函数
满足
，
且在
上是单调函数，则
的所有可能取值是（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】AC
【分析】分析出
关于
中心对称，关于
轴对称，根据单调性得到
，设对称中心
和对称轴
的距离为
，则
，设
的最小正周期为
，分
，
，
，
和
五种情况，结合函数的性质判断出答案.
【详解】
，故
关于
中心对称，
，故
关于
轴对称，
，则
，
在
上是单调函数，所以
，故
，
设对称中心
和对称轴
的距离为
，则
，
设
的最小正周期为
，
若
，则
，故
，此时
，
，
，
，
，
故
，
，
，
，
因为
，故当
，
时，满足要求，此时
，
此时
，当
时，
，
此时
在
上单调递增，满足要求；
若
，即
，
，此时
，
，
，
，
，
故
，
，
，
，
因为
，故当
，
时，满足要求，此时
，
此时
，当
时，
，
故
在
上不单调，不合要求，
若
，即
，
，此时
，
，
，
，
，
故
，
，
，
，
因为
，故当
，
时，满足要求，此时
，
此时
，当
时，
，
此时
在
上单调递增，满足要求；
若
，即
，
，此时
，
，
，
，
，
故
，
，
，
，
因为
，故当
，
时，满足要求，此时
，
此时
，当
时，
，
故
在
上不单调，不合要求，
当
时，
，
不合要求，
综上，
所有可能取值为1 或5.
故选：AC
30．（2025·四川绵阳·模拟预测）在
中，
是角
的对应边，满足
，
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的最小值为1
C．若
，则
D．
的面积最大值为
【答案】BCD
【分析】先根据
证明
，A 选项，结合勾股定理可求得等式右边是，从而得出判断；B
选项，由
，则
为锐角，故对
使用基本不等式进行处理即可求解；C 选项，选项条
件结合勾股定理，可得三边关系，从而得出三个正弦值进而求解；D 选项，利用基本不等式
求解.
【详解】先证明
.
由题意，
，得
，
即
，等式左右使用和差化积，积化和差公式，
得到
，
由诱导公式可得，
，
若
，则
，上式可转化成
，
令
，则
可知矛盾，从而
.
对于A，由于
，根据勾股定理得
，此时
，
而右边为
，
因左边
右边，故A 错误；
对于B，在
中，由
，则
为锐角，
.
由基本不等式得：
，
所以
，整理得：
，
当且仅当
，即
，也即
或
时等号成立，
所以
的最小值为1，B 正确；
对于C，由
，又
，所以
，
即
，整理得：
.
，
代入
得
.
.
所以
，C 正确；
对于D，
，
由
，由基本不等式，
，即
，
解得
（负值舍去），
又
，
则
，
当
取得等号，D 选项正确.
故选：BCD.
31．（2025·湖南·一模）在
中，
是
的中点，则下列结论
正确的是（ ）
A．
可以是钝角三角形
B．
C．若
，则
D．
【答案】BCD
【分析】对A，由
，利用三角恒等变换化简可得
，结合
分析得解；对B，由
，可得
，结合角
的范围求解；对
C，由
，得
，结合
求解判
断；对D，由题可得
必是锐角三角形，问题转化即证
，即证
.
【详解】对于A，
，
即
，
所以
所以
，
即得
，即
，
因为
，所以
，
故
，则
，
所以
，
故
为直角三角形，故A 错误；
对于B，由
，则
，所以
，
由于
，故
，故B 正确；
对于C，由
，则
，
所以
，
其中
，
又
，
故
，故C 正确；
对于D，
，所以
必是锐角三角形，
即证
，
又
，即证
，即
，成立，故D 正确.
故选：BCD.
32．（2025·全国·模拟预测）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，则（ ）
A．
的面积为
B．BC 边上的高为
C．
的最小值为
D．
最大值为
【答案】AD
【分析】根据边角互化，结合面积公式即可求解A、B，根据正弦的和差角公式以及弦切互化可得
，即可求解C，根据余弦定理，结合辅助角公式以及三角函数的性质可求解
，
即可利用不等式求解D.
【详解】由
可得
，
,
故
,即
，
对于A，
，A 正确，
对于B，由于
，故
，其中为
边上的高，B 错误，
对于C，由
可得
，
即
，故
，
故
，当
时，
，故
不是
的最小值，故C 错误，
对于D，
，
，
故
，其中锐角
满足
，
因此
的最大值为
，即
令
则
，故
，因此
最大值为
，D 正确，
故选：AD
33．（2025·福建泉州·模拟预测）在斜
中，若
，则（ ）
A．
B．
的最大值为
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据正弦定理、余弦定理及三角恒等变换判断得出.
【详解】对于A，由余弦定理得
，再由正弦定理得
即
，整理得：
，即
，故A 错误；
对于B，因为
，
，所以
，
，
所以
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，又因为
，所以
，所以
的最大值为
，故B 正确；
对于C，由A 可知
，即
，
又因为
，
即
，
同理可得
，
所以
，
即
，
所以
，故C 正确；
对于D，因为
，
又因为
，所以
，
，所以
，故D 正确.
故选：BCD.
34．（2025·广东·模拟预测）已知
的内角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，
，
．则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】将
切化弦，整理得到
，从而得到
或
，当
时计算出角
，代入已知
，得到
，产生矛盾 ，从而得到
；由
，计算出
，利用
求出
，由
和
得到
，代入
整理后得到
，将此式子放缩后得到
，即
，整理后得
到
，从而得到
的范围；由
和
得到
，由
和
得
到
和
，从而得到
；设
，则
，转化为
且
，设
，利用导数法得到
在
内是减函数，利用
二分法思想得到
的零点在
内，即
，求出
的范围，得到
，由
得到
，由正弦定理得到
，从而得到
.
【详解】
，
，
，
，
，
，
，
或
，
若
，
，
代入已知
，得到
，这是不可能的，则
舍去，
，故选项A 正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选项B 正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，故选项C 错误；
设
，
，
，
，
，
，
设
，
，
在
内是减函数，
，
，
在
内有唯一的零点，
利用二分法思想，
，
的零点在
内，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故选项D 正确.
故选：ABD.
35．（2025·浙江丽水·一模）在
中，若
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的最大值是
【答案】BD
【分析】利用降幂公式以及三角恒等变换可得
，结合已知可得
，可求得
判断B；求得
，进而计算可判断ACD.
【详解】由
，可得
，
所以
，
所以
，
所以
，即
，
所以
，
所以
，
所以
，
即
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
，故B 正确；
又
，则
或
，
当
时，则
，不能得出
，故A 错误，
若
，则
时，符合题意，但
，所以
，故C 错误；
由
，得
，
所以
，解得
，
所以
，当且仅当
，即
时取等号，故D 正确.
故选：BD.
36．（2025·河南·一模）已知在
中，
，则（ ）
A．
没有最大值
B．
没有最小值
C．
的最大值为
D．
的最小值为
【答案】BC
【分析】由二倍角公式及诱导公式可得
，由
，可得
，当
时取等号可判断AC；当
时，
，可判断BD.
【详解】因为
，
，所以
，
所以
，
当
时取等号，故C 正确， A 不正确.
又
，
当
时，
，
所以m 没有最小值，故B 正确， D 不正确.
故选：BC.
37．（2025·广东深圳·模拟预测）已知
的外接圆半径为
，则（ ）
A．
B．
C．
的面积为6
D．
【答案】AD
【分析】A 选项，根据正弦定理得到
，由同角三角函数关系求出A 正确；B 选项，在
基础上，由三角恒等变换得到
，进而求出
，得到
；C 选
项，由正弦定理得
，
，又
，由三角形面积公式求出C 错误；D 选项，利
用向量数量积公式得到D 正确.
【详解】A 选项，
，即
，
由正弦定理得
，
又
，故
，所以
，
故
，A 正确；
B 选项，由A 知，
，因为
，
所以
，
即
，则
，
，
又
，故
，
解得
，
，故
，
，
故
，
故
，B 错误；
C 选项，由正弦定理得
，又
，
，
，
即
，
，
又
，
故
的面积为
，C 错误；
D 选项，
，D 正确.
故选：AD
38．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知曲线
：
，
：
，记变换①为：曲线上
各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变；变换②为：曲线上各点向右平移
个单位长度；变换③为：
曲线上各点向右平移
个单位长度；变换④为：曲线上各点的纵坐标伸长到原来的2 倍，横坐标不变.每
一次变换后得到新的曲线，把
上各点按照如下哪些顺序变换，可以得到曲线
.（ ）
A．②-①-④
B．①-②-④
C．④-③-①
D．④-①-③
【答案】BC
【分析】根据函数的伸缩变换和平移变换即可求解.
【详解】将曲线
：
上各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，得
，
再将
上各点向右平移
个单位长度得
，
再将
上各点的纵坐标伸长到原来的2 倍，横坐标不变，得
，故B 正确；
将曲线
：
上各点的纵坐标伸长到原来的2 倍，横坐标不变，得
，
将
上各点向右平移
个单位长度得
，
再将
上各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，得
，故C 正确；
故选：BC.
39．（2025·福建厦门·二模）已知函数
的图象如图所示，
下列说法正确的是（ ）
A．函数
的一个对称中心是
B．
C．将函数
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
，再向右平移
个单位长度，可
得到函数
的图象
D．函数
在
上有5 个零点，则
的取值范围为
【答案】BC
【分析】根据图象求得函数解析式，再根据正弦型函数的图象与性质逐项判断即可.
【详解】由题图可知，
，所以
，所以
，
由
，得
，
由
，解得
，所以
．
对于A，令
，则
，
,故A 错误；
对于B，
，
，故B 正确；
对于C，函数
变换后的解析式为
，因为
，即为函数
，故C 正确；
对于D，因为
，得
，令
，则
，
由正弦函数图象可知，
，解得
，故D 错误．
故选：BC
40．（2025·四川内江·一模）已知
，则下列命题中正确的是 （ ）
A．当
时，
在
上的值域为
B．当
时，
的图象可由函数
的图象向左平移
个单位长度得到
C．当
时，
的值域为
D．若存在正偶数
，使得
对任意
恒成立，则
【答案】BCD
【分析】当
时，利用辅助角公式合并，可判断AB；对于C：利用立方和公式与完全平方式化简求值域
即可；对于D：令
，先把
当作变量，利用
，求出
，问题转化成
对任意
恒成立，利用恒成立问题的解法可得答案.
【详解】当
时，
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
，故A 错误；
向左平移
个单位长度得到
，
化简得
，
，
，故B 正确；
当
时，
，
又
，得
的值域为
，故C 正确；
令
，得
，
因为
，
，且
，
所以
，
存在正偶数
，使得
成立，当
时，
，
所以只需
对任意
恒成立，
即
对任意
恒成立，
由于
，
所以
，
解得：
，故D 正确.
故选：BCD
41．（2025·浙江金华·一模）在
中，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据
与
在
上的图象及已知得到
，结合零点存在性定理分析得
，进而有
，再由
、
在区间
上单调性，得
，最后构造函数并应用导数证明
，即可得.
【详解】根据
与
在
上的图象，如下图示，
显然
与
在
上有且仅有唯一交点，
即
在
上有且仅有一个根，而
，
，
由
，所以
，且
，A 对，
又
，
，则
所以
，即
，B 对，C 错，
由
，则
，而
中
，
由
在区间
上单调递增，
在区间
上单调递减，
所以，只需
，可得
，
令
且
，则
，
对于
且
，则
，故
在
上单调递增，
所以
，即
，则
，
所以
在
上单调递增，故
，即
，
所以
，而
，则
，即
，
所以
，故
，即
，D 对.
故选：ABD
42．（2025·广东佛山·一模）已知
，
，若对任意的
，不等式
恒
成立，则（ ）
A．当
时，
，命题成立
B．当
时，
，命题成立
C．
D．使得命题成立的有序数对
恰有3 组
【答案】BCD
【分析】对于A 令
得
，令
得
即可判断A，对于B 利用诱导公式得
，取
，即可判断，对于C 令
即可判断，对于D 由
得
，由
即可得
，即
，对
分类讨论即可求
解.
【详解】对于A，
，令
得
，又
，故
，令
，
同理得
，故
，矛盾，故A 错误；
对于B，
，取
，此时
恒成立，命题成立，故B 正确；
对于C，令
，则
，又
，所以
，则
，
故C 正确；
对于D，由
得
，
，所以
，
得
，所以
恒成立，
当
时，此时
，
，所以
，符合题意；
当
时，只能
恒成立，分两种情况：
，
，此时
，
，即
②
，
，此时
，
，即
，
综上，使得命题成立的有序数对
恰有3 组，故D 正确.
故选：BCD.
三、填空题
43．（2025·江苏淮安·模拟预测）法国著名数学家傅里叶用一个纯粹的数学定理表述了周期性声音的规
则特征：任何周期性声音的公式是形如
的简单正弦函数之和．某种叠加音波的函数模型为
，则函数
的最大值为 ．
【答案】
【分析】先得到故
的一个周期为
，考虑
，求导，化简得到
，解不等式，求出
的单调性，得到极大值和最大值.
【详解】
，
故
的一个周期为
，
考虑
，
，
其中
，
，
令
得
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
在
上单调递增，
在
上单调递减，
故
在
处取得极大值，
且
，
，
，
又
，
，
故
的最大值为
.
故答案为：
44．（2025·四川达州·一模）在
中，三个内角
对边分别为
的角平分
线交
于点
，记
内切圆半径为，外接圆半径为
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由三角形面积公式
得到
，进而得到
，
，进而得到
，令
，则
，
，再结合函数单调
性即可求解.
【详解】
由三角形面积公式可得：
，
又
，
可得：
，
即
，又
，
，
所以
，又
，
所以
，所以
，即
，
即
为直角三角形，所以
，
又
的面积为
，
所以
，又
，
所以
，
所以
，
所以
，
令
，则
，
则
是方程
的两根，
所以
，
所以
所以
，即
，所以
，
所以
，
则
即
的解析式可知其在
单调递增，值域为
所以
的取值范围是
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
